CC BY
0
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 24. Выпуск 5.
УДК 517.53 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-136-152
Представление субгармонических функций в полукольце и в
полукруге1
К. Г. Малютин, А. А. Наумова
Малютин Константин Геннадьевич — доктор физико-математических наук, профессор, Курский государственный университет (г. Курск). e-mail: malyutinkg@gmail.com,
Наумова Алена Александровна — аспирант, Курский государственный университет (г. Курск).
e-mail: aliona.filatowa2013@yandex.ru
Аннотация
Работа содержит в себе результаты, в которых даются представления субгармонических функций на наиболее упоминаемых множествах в полуплоскости — полукольце и полукруге. Классическими результатами в этом направлении являются, например, формулы Неванлинны, Пуассона — Иенсена и Симидзу — Альфорса о представлении меро-морфной функции в замкнутом круге и в замкнутом полукруге, а также теорема Рисса — Мартина о представлении субгармонических функций. В работах Т. Карлемана (1933) и Б. Я. Левина (1941) для функций, аналитических и мероморфных в замыкании полукольца и в замыкании полукруга на комплексной плоскости, были получены формулы, связывающие логарифм модуля функции с расположением её нулей и полюсов. Эти формулы нашли многочисленные приложения в теории целых и мероморфных функций. Независимо друг от друга Дж. Ито и А. Ф. Гришин (1968) распространили формулы Левина и Карлемана на функции субгармонические в открытом полукруге. Заметим, однако, что формулы А. Ф. Гришина с использованием функции Мартина, на наш взгляд, являются более наглядными и удобными для практического применения. Кроме того, А. Ф. Гришин сформулировал (без доказательства) теорему о представлении субгармонической функции в полуоткрытом полукольце. Н. В. Говоров (1968) распространил формулы Левина и Карлемана на функции аналитические в полузамкнутом полукруге и в полузамкнутом полукольце. Под выражением "полузамкнутое множество"мы понимаем множество на комплексной плоскости, часть границы которого принадлежит множеству, а остальная часть границы ему не принадлежит. В частности, под полузамкнутым полукольцом или полузамкнутым полукругом в верхней полуплоскости комплексного переменного мы понимаем полукольцо или полукруг, пересечение границы которого с вещественной осью не принадлежит данному множеству.
В статье мы распространяем формулу Гришина на субгармонические функции в открытом полукольце. Мы вводим понятие полной меры субгармонической функции в открытом полукольце, которое обобщает понятие полной меры в смысле Гришина. Благодаря этому получается наиболее простое по форме и при наименьших ограничениях на функцию представление субгармонической функции в открытом полукольце.
Ключевые слова: формула Левина, формула Карлемана, полуплоскость, полукольцо, полукруг, субгармоническая функция, граничная мера, полная мера, мера Рисса, сингулярная мера.
Библиография: 30 названий.
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № . 22-21-00012, https://rscf.ru/project/22-21-00012/).
Для цитирования:
К. Г. Малютин, А. А. Наумова. Представление субгармонических функций в полукольце и в полукруге // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, вып. 5, с. 136-152.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 5.
UDC 517.53 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-136-152
Representation of subharmonic functions in the half-ring and in
the half-disk
K. G. Malvutin, A. A. Naumova
Malyutin Konstantin Gennadyevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Kursk State University (Kursk). e-mail: malyutinkg@gmail.com,
Naumova Alena Aleksandrovna — postgraduate student, Kursk State University (Kursk). e-mail: aliona.filatowa2013@yandex.ru
Abstract
The work contains results in which representations of subharmonic functions on the most mentioned sets in a half-plane — in a half-ring and in a half-disk — are given. Classical results in this direction are, for example, the Nevanlinna, Poisson-Jensen and Shimizu-Ahlfors formulas of the representation of a meromorphic function in a closed disk and in a closed half-disk, as well as the Riesz-Martin theorem on the representation of subharmonic functions. In the works of T. Carleman (1933) and B. Ya. Levin (1941) for functions that are analytic and meromorphic in the closure of a half-ring and in the closure of a half-disk on the complex plane, formulas that relate the logarithm of the modulus of a function with the location of its zeros and poles were obtained. These formulas have found numerous applications in the theory of entire and meromorphic functions. Independently of each other, Jun-Iti Ito and A. F. Grishin (1968) extended the Levin and Carleman formulas to subharmonic functions in an open half-disk. Note, however, that Grishin's formulas using the Martin function, in our opinion, are more visual and convenient for practical use. In addition, A. F. Grishin formulated (without proof) a theorem on the representation of a subharmonic function in a semi-open half-ring. N. V. Govorov (1968) extended the Levin and Carleman formulas to analytic functions in a semi-closed half-disk and in a semi-closed half-ring. By the expression "semi-closed set"we mean a set on the complex plane, part of the boundary of which belongs to the set, and the rest of the boundary does not belong to it. In particular, by a semi-closed half-ring or a semi-closed half-disk in the upper half-plane of a complex variable we mean a half-ring or half-disk whose intersection of boundary with the real axis does not belong to the given set.
In the article, we extend Grishin's formula to subharmonic functions in an open half-ring. We introduce the concept of full measure of a subharmonic function in an open half-ring, which generalizes the concept of full measure in the sense of Grishin. Due to this, the representation of the subharmonic function in the open half-ring, which is the simplest in form and with the least restrictions on the function, is obtained.
Keywords: Levin formula, Carleman formula, half-plane, half-ring, half-disk, subharmonic function, boundary measure, full measure, Riesz measure, singular measure.
Bibliography: 30 titles. For citation:
K. G. Malyutin, A. A. Naumova, 2023, "Representation of subharmonic functions in the half-ring and in the half-disk" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 5, pp. 136-152.
1. Введение
Будем использовать следующие определения и терминологию. Обозначим через N = = {1, 2,... } — множество целых положительных (натуральных) чисел, С = {г = х+1у} — комплексная плоскость с вещественной осью М, 1т г = у, И,е г = х, С+ := {г € С : 1т г > 0} — верхняя полуплоскость без границы. Открытый круг радиуса г с центром в точке а будем обозначать через С (а, г), через В(а,г) = С (а, г) обозначим замкнутый круг, С — замыкание множества С, С+ означает пересечение множества С с полуплоскостью С+, то есть
о +
С+ = С п С+, О — внутренность множества С. Через х+ = тах{ж;0} обозначаем неотрицательную часть вещественного числа х. В частноети, 1п+ 0 = 0. Для расширенной числовой функции f : X ^ М и {+го; —го} через f + : х ^ (/(ж))+ обозначаем её неотрицательную, а /- : х ^ (/(х))- — её неположительную часть. Под выражением "полузамкнутое множество" мы понимаем множество на комплексной плоскости, часть границы которого принадлежит множеству, а остальная часть ему не принадлежит. В частности, под полузамкнутым полукольцом или полукругом в верхней полуплоскости мы понимаем полукольцо или полукруг, пересечение границы которого с вещественной осью не принадлежит данному множеству.
Обозначим через Б(К1,К2) = {х : 0 < К1 < |г| < К2 < — открытое кольцо
на плоскости, а через Б+(К1,К2) = {х : 0 < К1 < |г| < К2 < 1т г > 0} — открытое полукольцо на верхней полуплоскости. В работах Т. Карлемана [10] и Б. Я. Левина [7] были получены формулы, связывающие логарифм модуля функции, аналитической в замкнутом полукольце ^+(^1,^2) с расположением её нулей. Эти формулы нашли многочисленные приложения в теории целых и мероморфных функций (см. [3, 17]). Независимо друг от друга Дж. Ито [15] и А. Ф. Гришин [5, 6] распространили формулы Б. Я. Левина и Т. Карлемана на ограниченные аналитические функции в полузамкнутом полукруге В+ (0,К) = В+ (0,К) п С+. Аналитичность в замкнутом полукольце ^+(^1,^2) равносильна аналитичности в В+(К1, К2, 5) = {х : 0 < К[ < |г| < Я2 < 1т г > — при некоторых К1 < К1 < И,2 < Я2, $ > 0. Поэтому функции аналитические и ограниченные внутри открытого полукольца ^+(^1, Д2) образуют более широкий класс, чем аналитические в замыкании ^+(^1,^2) полукольца. В совместной статье А. Ф. Гришина и М. А. Фёдорова [11] формулы А. Ф. Гришина использовались для построения неванлинновской теории мероморфных функций в полуплоскости, а в совместной статье А. Ф. Гришина и Т. И. Малютиной [13]) эти формулы использовалась для изучения субгармонических функций, удовлетворяющих локальному условию Левина. Формулы А. Ф. Гришина использовалась в работах [19, 20] при построении теории множеств регулярного роста в полуплоскости и решения некоторых интерполяционных задач в классах аналитических функций в полуплоскости с индикатором равным (и не превосходящим) данного, а в статье [21] для построения рядов Фурье дельта-субгармонических функций в полуплоскости. Эти формулы использовались в совместной работе К. Г. Малютина и Н. М. Садыка [22] для построения обобщенных представлений функций, аналитических в полуплоскости. Теория А. Ф. Гришина нашла применение в работах [23, 24] для изучения интегралов и индикаторов субгармонических функций и для нахождения новых формул индикаторов субгармонических функций. Гяд актуальных интерполяционных задач с использованием формулы Гришина решен в серии работ [18, 25, 26, 27, 28]. Независимо от А. Ф. Гришина, Н. В. Говоров [12] распространил формулы Б. Я. Левина и Т. Карлемана на функции аналитические в полузамкнутом полукруге В+ (0, К) и в полузамкнутом полукольце
(Еь Д2) = {^ : 0 <К1 < И < #2 < 1т г > 0}
В настоящей статье формулы Ито — Гришина и Ито — Гришина — Говорова распространяются на функции аналитические и ограниченные в открытом полукольце ^+(^1, Д2) и в открытом полукруге С+(0, К). Основным результатом является теорема 7.
2. Предварительные сведения
Нам понадобится следующая теорема.
Теорема 1. Пусть ц — мера, на вещественной оси такая, что
оо —о
где ц = — ц— — разложение Жордана, меры, ц. Пусть
сю
, . у f da(t) V(z) = - "TT-^-2 ' ^ = Ж + гУж J (t -х)2 + у2
—оо
1) Если в точке х0 существует конечная или бесконечная (определённого знака) производная ß (хо), то
lim v(xo + г у) = ß (хо). у^+о
2) Пусть —ж < а < b < +ж, х({а}) = х({Ь}) = 0. Тогда
ь
lim / v(x + iy)dx = ß([a, b]). y^+o J
а
Доказательство. Утверждение 1) — это известная теорема Фату для случая полуплоскости, её доказательство можно найти, например, в [16, Chapter VI].
2) Зафиксируем 5 > 0. Пусть Is = R \ [ а — 5, b + . Представим функцию v в виде суммы
ь+
" «)=ж Jw—x^h+ихь=■
При х = Re z <G [a, b], t <G Is, справедлива оценка
t2 + 1
(t — х)2 + у2 где К (а, Ь, 5) > 0 — константа. Поэтому
ь ь
< К (a, b, S).
ь ь с
lim [ | V 2(х + i y)\dx < lim f I К (a,b, S) -I ) dx = 0.
y^+0 J y^+0 J \ Ж J 1+ t2
а а \ —с /
Оценим интеграл от функции v\:
ь+
¡' ,, i 1 f b-t а -А,,, v\(x + г у) dx = — arctg--arctg- da(t).
J J к V у у J
а a—&
Подынтегральная функция f(t, у; а, b) в правой части последнего равенства ограничена. Кроме того,
( 0, t</ R \ [а, Ь], lim f(t,у;а, Ь) = < 1, te (а, b), у^+0 ( 1/2, 1е[а; Ь} .
Поскольку ^({а}) = Ь}) = 0, то f (Ь,у;а,Ъ) |^|-иочти всюду сходится при у ^ +0 к характеристической функции Х[а,ъ\ интервала [а, Ь] . Тогда по теореме Лебега о мажорированной сходимости
lim / ы(х + гy)dx = dy(t) = ц([а, Ш.
J
у^+0
а а
Теорема доказана.
Следующая теорема — это вариант теоремы Рисса о представлении [14, Chapter 3, 3.5], [29, 30], который можно найти в [8, Глава V].
Теорема 2. Пусть D — область, имеющая функцию Грина, G(z, Q. Пусть v — субгармоническая функция в области D, ц — её риссовская мера. Для того, чтобы имело место представление
Ф) = -JJ G(z, C)d/x(0+ h(z), (1)
D
где h — гармоническая функция в области D, необходимо и достаточно, чтобы функция v D , h
D
Следующая теорема доказана в диссертации А. Ф. Гришина [4, Теорема 31].
D , G( , )
D,
жоранту. Пусть h — наилучшая гармоническая мажоранта функции v в области D. Для того, чтобы функция v имела в области D положительную гармоническую мажоранту,
, h D
,
,
h
Доказательство. Нам неизвестна публикация этой теоремы в других источниках, кроме диссертации А. Ф. Гришина, поэтому для полноты изложения, не претендуя на авторство, приведем доказательство, которое использует идеи из [4].
Пусть Н\ж — наилучшие положительные гармонические мажоранты в области D (если они существуют) функций v и h, соответственно. Пусть существует Н2- Тогда v < h < Н2.
них — Н2. Очевидно, что Н\ < Н2.
Наоборот, пусть существует Н\. Рассмотрим последовательность вложенных областей Dm,
__00 _
исчерпывающую область D, обладающую свойствами: 1) Dm с Dm+1, 2) D = |J Dm, 3) Dm —
m= 1
компакт, 4) Dm — конечно-связная область, 5) граница Dm есть объединение конечного числа замкнутых аналитических жордановых кривых.
Пусть дЕ = Г — граница области Е, состоящая из конечного числа замкнутых аналитических жордановых кривых. Для функции и, ограниченной и гармонической в области Е, непрерывной в замыкании Е, справедлива формула Грина [2, Глава VI]:
um = 2F / Щпт u(0ds' (2)
г
где G(z, О — функция Грина области Е, д/дп^ — производная по внутренней нормали в точке С) С = Ф) — параметризация границы Г.
Пусть теперь Ст(х, (), С (г, () — функции Грина областей Ит и И. Известно [2, Глава VI], что Ст(г, О ^ С(г, () при т ^ ж, г € Ит, начиная с некоторого номера т.
Пусть к — наилучшая гармоническая мажоранта функции V в области И. Согласно фор-
1 Г дС^г, (т) Тт = дПт .
7 дпСт
Гт
Используя равенство (1), получаем
+ !/ (I! «О.
Гт о \ Гт )
Из формулы (2) следует равенство
1 [дСт(г, и) ги = Г С(г, () — Ст(г, (), ( € Бт, 2ж] дщт С ^, У*8 = \ О, (€Ит.
Г
Г т
Кроме того, справедливо неравенство
1 [ дСт{х, (т) , 1 [ дСт{х, (т)
2ж } дщт 2ж] дп^
Гт
Следовательно, справедливо неравенство
у((т) < 1 [ дСт{г, (т) Н1(и) = Н1 (г) . -1 дПСт
к( г) < Н\(г) + JJ (С(г, () — Ст(г, ()) *ц(() + JJ С (г, () *ц(()
От О\От
<Нг(г) + Ц(С(г, () — Ст (г, ()) *ц(() + Ц С (г, ()*ц((),
От0 О\От0
если т0 < т. Так как С(х, () — Ст(х, () < С (г, (), Иш (С(х, () — Ст (г, ()) = 0, то по теореме Лебега о мажорируемой сходимости
к(г) <Щ(г) + Ц С (г, () *ц(() = Н1(г) + ['[ Хо\ото «)С(г, ()*ц(().
О\От0 О
Вновь применяя теорему Лебега о мажорируемой сходимости, получаем, что Н(х) < Н\(х). Таким образом, функция Н(х) имеет положительную гармоническую мажоранту и Н\(х) — одна из таких мажорант. Тогда Н\(х) > Н2(г), Н\(х) = Н2(г). Теорема доказана
Следующая теорема — это знаменитая теорема Мартина о представлении положительных гармонических функций. Её доказательство можно найти в [9].
Теорема 4. Пусть И — область, имеющая функцию Грина, и пусть Г — граница Мартина области И, М(г, () — функция Мартина области И, ( € Г. Пусть и(г) — положительная гармоническая функция в области И. Тогда существует единственная конечная, положительная, сосредоточенная на множестве минимальных точек границы, Г, мера \ на, Г,
и(г) = ! М(г, О *Х(0 .
Замечание 1. О функции Мартина, и границе Мартина, можно прочесть в [9].
Доказательство следующей теоремы можно найти в [9].
Теорема 5. Пусть И — односвязная область, евклидова граница ко торой Г есть жор-данова, кривая. Тогда, граница Мартина, области И гомеоморфна Г и каждая, точка границы, минимальна. Если ( € Г, то функция Мартина, М(г, () области И, отвечающая этой точке, имеет вид
М <« • 0 = ^ ,
где С(г, () — функция Грина, области И, г0 такая точка, что у(г0) > —ж.
Следствие 1. Пусть И — односвязная облаеть, ограниченная жордановой кривой Г. Пусть в точке ( € Г кривая Г имеет касательную, а, функция, Грина, С(г, () области И — нормальную производную. Тогда
М О-Ж.
Нам понадобится ещё одна теорема А. Ф. Гришина, доказанная в его докторской диссертации [4, Теорема 36].
Теорема 6 (Гришин). Пусть область И ограничена замкнутой жордановой кривой Г, которая является объединением, конечного числа, дважды, непрерывно дифференцируемых дуг Г и пусть ^, ] — 1, 2,... ,п, ^ множество угловых т,оч,ек кривой Г. Пусть V — субгармоническая функция в И, имеющая в этой области положительную гармоническую мажоранту, ^ _ её риссовская мера. Тогда, существуют однозначно определяемые функцией V вещественные числа, а^, j — 1, 2,... ,п, и мера V на, границе Г, конечная на каждом, компакте, не содержащем, точек ^, такие, что имеет место равенство
ф) — — Ц С(г, о (х(0 + Ц ^(О + Е аМ(г, 0), (3)
Б
3=1
где С(г, () — функция Грина области И, М(г, () — функция Мартина, области И, от,вечаю-
Г
особыми точками (д, (2,..., (п-
Доказательство. Нам неизвестна публикация этой теоремы в других источниках, кроме диссертации А. Ф. Гришина, поэтому для полноты изложения, не претендуя на авторство, приведем доказательство, которое использует идеи из [4]. По теореме 2 справедливо равенство
ф) — — JJ С(г, С)Ф(С)+ Кг). о
По теореме 3 функция К имеет положительную гармоническую мажоранту в области И и поэтому представляется в виде разности положительных гармонических функций К — К — Н2. Тогда из теорем 4 и 5 следует, что существует конечная мера Л на Г такая, что
КСЮ — У М(г, 0 (1Л(0
Положим aj = А({(j}), Xi = А — ajö(С — Cj) где $(() — дельта-функция Дирака. Тогда
j = i
п
h(z) = J M(z, 0dXi(0 + ^ajM(z, 0).
г з=1
На открытой дважды непрерывно дифференцируемой дуге, лежащей на границе односвяз-ной области V, для любого ,г £ V существуют и непрерывны по переменной ( функции
дС(г, 0 (дС(х, 04-1
(dG(z, Q\ -i V 9пс ) ,
дщ
где С(х, () — функция Грина области V.
Далее, из следствия 1 следует, что почти всюду по мере |А1| на крив ой Г выполняется равенство
Обозначим через V меру
' МО = * (д«У*М<).
Мера V — конечна на каждом компакте, не содержащем точек Кроме того, имеет место равенство (3). Теорема доказана.
3. Представление субгармонических функций в полукольце
Теперь мы докажем основную теорему нашей работы о представлении субгармонической функции в открытом полукольце.
Теорема 7. Пусть функция V — субгармоническая, функция, в полукольце В+(К1, К2),
имеющая в этом полукольце положительную гармоническую мажоранту, С(г, () — функция
Грина, полукольца, В+(К1, К2). Тогда, существуют вещественные числа, а^, ] = 1, . . . , 4, меры
V], ,] = 1, 2, на интервале (0, ж), причем,, если г0 такая точка, что у(г0) > —ж, то меры т)^,
Л , дС( го,К1е1^) . . где аи^ =---, ] = 1, 2, имеют ограниченную полную вариацию на интервале (0,ж),
м,ера, V на множестве I = (—К2, — Я1) и ( К1, К2), причем мера и, где (№ = —( ^ имеет
дщ
ограниченную полную вариацию на, множестве I, такие, что при г £ В+(К1, К2) имеет место равенство
ф)== —ff g(z, сж0 + £ +
D+(R1,R2) j = l 0 I v >
+aiM(z, Ri) + a2M(z, —Ri) + a3M(z, R2) + aAM(z, —R2),
где M(z, () — функция Мартина полукольца, D+(Ri, R2), отвечающая граничной точке (, а интегралы понимаются как несобственные с особым,и т очкам и на концах интегрирования. Имеют место формулы:
ß ß
vi([a,ß])= lim Ri I v(reiip)dp, U2([a,ß])= lim R2 f v(reiip) dp,
r^Ri +0 J r^R2-0 J (5)
а а
еслиО < а < ß < ж, Vj({а}) = ({ß}) = 0, j = 1, 2 ,
к
о
v([a, Ш = lim v(x + iу)йх,если [a, b] G I, v({a}) = v({b}) = 0, (6)
у^+0 J
а
dvj(p) = RjV(RjeiLp) dp + doj(p) dtp, j = 1,2, dv(t) = u(i) dt + do(i), (7)
g(9e почти всюду
v(Riei(p) = lim u(re^), u(R2e^) = lim u(re^), v(t)=limv(t + iy), i8)
r^Ri+0 r^R2-0 у^+ö v 1
a Oj, j = 1, 2, о, — меры,, сингулярные относительно меры Лебега (невозраст,ающие ограниченные функции на (0,п), на I, для которых почти всюду Oj = 0, о' = 0).
Если, кроме этого, функция v является субгармонической и имеет положительную гармоническую мажоранту в более широком полукольце D+(R[, R'2), 0 < R\ < R1 < R2 < R'2, mo
2 ж
Ф) = - // G(Z, 0 d„(0 + £ ¿¡J ^Rf1^) dp + . №
D+(RI,R2 ) j=1 0 I
Доказательство. Равенство (4) и соответствующие свойства мер Uj, j = 1,2, и и являются следствиями теоремы 6. Докажем равенство (5). Пусть 0 < ai < а < ß < ßi < к. Положим
Bi = D+(Ri,Ri + 5) П(С : ai < arg( < ßi}, B2 = D+(R2 — 5,R2) П {( : ai < arg( < ßi} ,
v3 (z) = Ц G(z, 0 dß(() = JJ G(z, 0 dß(() + jj G(z, 0 dß(()
D+(RI,R2 ) Bj D+(R1,R2 )\Bj
+vji(z)+ Vj2(z), j = 1,2 .
Пусть z0 такая точка, что v(z0) > —го. Тогда мера d/ii(() = G(z0, () d/j,(() есть конечная мера. Далее, поскольку равномерно по p G [а, ß]
Ä *0 (< € D+(Ri'R2) ^Bi>- rJRS-o *0 (c € D+R r2> ^
то
ß ß .
lim f v i2 ( re^)dp = lim / /i ^' ^ d^C) = 0 ,
r—ri +oJ JJ G( Zo, 0
« aD+(Ri,R2 )\Bi
ß ß
Jr^M^p=Jmtoj H
a »D+(Ri,R2 )\B2
G( , ) - G ( , )
Пусть Gi(-2, С) — функция Грина кольца D(R\, R2), Ф(г, () =---г—-— . Функция
" " __G( О "
Ф(г, О непрерывно продолжается на множество Bj, j = 1, 2, причём, если p G ], то
Ф( Rje%v, О = 0 при каждом ( G Bj.
Пусть Vjs(z) = ff G\(z, О dß(Q, j = 1, 2. Тогда Vji(z) — Vj3(z) = ff Q(z, () dß(Q. Поскольку Bj Bj
lim ,0 * 0 С G B2, lim Ф(ге^°,() * 0 ( G B^ при p G [a,ß],TO
r^R2-0 r^rx+0
ß ß
lim (V2i( z) — V23(z)) dp = 0, lim (vn(z) — vi3(z)) dp = 0. T—у R2—0j T—у ri+0 J
Далее
ß 2ж 2ж
Jvj3(z))dp <j Vj3(z))dp = ff Jg! (reip, ()dpdß(() = ffmin(ln R ; R) dß((),j = l, 2 .
а 0 Bj 0 Bj
Поэтому
ß ß ß ß
lim / v21(z) dp = lim / v23(z) dp = 0, lim / vu(z) dtp = lim / v\3(z))dp = 0. r^R-2-0 J r—R2-0 J r—Ri+0 J r—Ri+0 J
а а а а
G(z C)
Далее M (z, Rj ) = lim ——'—r , j = l, 2. Поэтому
j C—RdG(Z0,0 "
ß ß
lim I M(reiip, R2) dp = lim [ M(reip, -R2) dp = 0,
r—R2-0 J r—R2-0 J
а а
ß ß
lim ¡M (r eip,R1) dp = lim ¡M (r eip, -R1)dp = 0. r—Ri+oJ r—Ri+oJ
а а
l (' O^G (z t)
Положим vAz) = — —-—-— du(t) . Так как мера ù имеет ограниченную полную вариацию 2тт J dnt
и равномерно по p G [a,ß], t G I,
dG(reip, t) /dG(zo, t) , dG(reip, t) /dG(Z0, t)
lim --- —--= 0 , lim --- —--= 0 ,
т—^ r2-0 ont Ont r—ri+0 ont ont
TO
lim / v4(reip) dp = lim / v4(reip) dp = 0.
r—R2-0j r—Ri+0 J
l f dG(z,R-eiP)
Пусть теперь I1 = (0, ж) \ [a1,ß1], v5j(z) = ^ -~k—j-dùj(t) , j = l, 2. Так как меры
J С
i
ùj(t) имеют ограниченную полную вариацию и равномерно по в G [a,ß], p G I1,
dG(reie, Reip) /dG(zo,Reip) n dG(reie,Reip) /dG(zo,Reip) n
lim --- ---= 0 , lim --- ---= 0 ,
т—^ r2-0 On^ / on^ r—Ri+0 On^ / on^
to
ß ß
lim / V52(Гei&) dp = 0, lim / v5i(rei&) dp = 0.
r—R2-0j r—Ri+0 J
а а
Рассмотрим теперь функции
ßi ßi l f dG(z, Rjßip) t , . . . l Г dGAz, Rjeip) , . .
ai ai
ß
ß
Так как меры (¿) имеют ограниченную полную вариацию на сегменте [ а\, и так как дС(г, К2е^) дСг(г, К2е^) г^ъ-о дС(г, Кхе^) дСг(г, Кхе^) г^Ъ +0
0, -т- — -т--0,
дп^ дп^ дп^ дп^
при в G [ a,ß\, p G [ai,ßi], то
ß ß
lim I(v62(rei()) — V72(reie)) dd = 0, lim I(v6i(reie) — v7i(reie)) dd = 0. r—R2 —oj r—Ri +0 J
a a
Равенство
ß ß
lim fV72(reie)d6 = ^([a,ß]), lim f V7i(reie) d6 = ^([a,ß]), r—R2 —OJ r—ri+0 J
a a
если Vj({a}) = Vj({ß}) = 0, j = 1, 2, хорошо известно и доказано, например, в книге И. И. Привалова [8].
Тем самым равенство (5) доказано.
Аналогично доказывается равенство (6). В этом случае всё дело сводится к вычислению
ь b+S
предела lim b v9(x + iy) dx, где v9(z) = — f dG2(z, ^ du(t), G2(z, () — функция Грина y—+0a 2к J dnt
a
верхней полуплоскости. Здесь вместо ссылки на книгу И. И. Привалова нужно сослаться на теорему 1.
Равества (7) и (8) являются следствием равенств (5) и (6).
скую мажоранту в более широком полукольце D+(R'i, R'2), 0 < Ri < Ri < R2 < R2. Тогда по доказанному мера v имеет ограниченную полную вариацию на множестве [—R2, —Ri]U[Ri, R2].
Кроме того, в этом случае
ß ß ß ß
lim R2 ! v(reie) dB = R2 [ vReie) d6, lim Ri [ v(reie) d6 = Ri i v(Rieie) d6,
r—R2—oj J r—Ri +0 J J
a a a a
и, следовательно, duj(в) = Rjv(Rjete)dd, j = 1,2. В этом случае выполняются равенства aj = 0,j = 1,..., 4. Теорема доказана.
Замечание 3. Формула (9) приведена в диссертации А. Ф. Гришина без доказательства (см. [4], Теорем а 38). Аналог теоремы 7 в математической литературе нам, не встречался.
4. Классы функций в D+(R1,R2)
Пусть SK(Ri,R2) — класс субгармонических функций в D+ (Ri,R2), имеющих в этом
G( , )
D+(Ri, R2). № теоремы 7 следует, что функция v из класса SK(Ri, R2) обладает следующими свойствами:
v(Rieiv)= lim v(reitp), v(R2eilf) = lim v(reitp), v(t) = lim v(i + iy); r—ri+0 r—R2 —0 y—+o
Ь) существуют меры ^, ] = 1, 2, на интервале (0,^), причем, если го такая точка, что
* , дСЫ,Щ
у(го) > —ж, то меры Uj, где dиj =---, ] = 1, 2, имеют ограниченную полную
вариацию на интервале (0, к), мера ^ на множестве I(К\, К2) = (—Н-2, —Щ) и (К\, К2),
дС(го,1)
причем мера и, где аи = —--имеет ограниченную полную вариацию на множестве
оп^
I, такие, что
vi([a,ß]) = lim Ri v(reip) dp,v2(\a, ß]) = lim R2 v(reip) dp, r^Ri+O J r^R2-0 J
а а
еслиО <a<ß<n, Vj({а}) = Vj({ß}) = 0, j = 1,2 , ь
v([a, b]) = lim / v(x + iy) dx,ex:.nи [a, b] e I, v({а}) = v({6}) = 0. y^+O J
а
Мера v = + V2 + v называется граничной мерой функции v.
с) duj(р) = Rjv(Rjегр) dp + daj(p) dp, j = 1,2, du(t) = v(t) dt + da(t), где Oj, j = 1,2, a, — ,(
на (0,^), на I, для которых почти всюду а' = 0, а' = 0). Для функции V e SK(Ri, R2) определим полную меру А как
\(К)=2ж J Im (dß(() - v(К) ,
D+(Ri,R2)<lK
где ß риссовская мера функции v. Мера А обладает следующими свойствами: \ — конечная мера на каждом компакте К с c, 2) х — неотрицательная мера в D+(R1, R2),
3) А равна нулю в дополнении С \ R2).
Наоборот, если мера А удовлетворяет условиям 1) - 3), то существует функция V € € Б К (Д1, Д2) с полной мерой р авной А. Совокупность условий 1) - 3) в дальнейшем будем обозначать через {С}, если, кроме того, мера А неотрицательная и на М, то через {0+}.
Используя введенные определения, формулу (4) для функции V € в К ^1, R2) можно записать в виде:
v(z) = -¿УI к (z, С) d\(C) + aiM (z, Ri) + a^M (z, -Ri) + a3M (z, R2) + a4M (z, -R2)
1 T
D+(Ri,R2)
где
f к(Z,(), < e D+(Ri,R2),
к iz,( ) = ±{
dG(z, Rjегр)
с = Rjeip,p e (0,n),
дщ
^, С e /(Ri,R2) dm
ß
ß
5. Обобщённая формула Гришина
Приведём теорему Гришина для субгармонических функций в открытом полукруге С+(0,К).
Теорема 8. Пусть функция V — субгармоническая, функция в полукруге С+(0,К), имеющая в этом полукруге положительную гармоническую мажоранту, С(г, () — функция Грина, полукруга С+ (0, К). Тогда существуют вещественные числа, а3, ] — 1, 2, мера на интервале (0,п), конечная на каждом компакте из этого интервала, причем мера йх, где дО(го, Де^)
айх — --- имеет ограниченную полную вариацию на, интервале (0,п), мера V на,
интервале (—К, К), конечная на каждом, ком,пакте из этого интервала, причем мера й, где дС(хо, Ь)
ай — —-- (г0 такая, точка, что ь(г0) > —ж), имеет ограниченную полную вариацию на,
интервале (—К, К), такие, такие, что при г € С+(0, К) имеет место равенство
Ж R
*) = —Ц GfcO*(0 + £/^^+ £/^**>
+aiM(z, R + a2M(z, —R ,
где M(z, Q — функция Мартина полукруга C+(0, R), отвечающая граничной точке (, а интегралы понимаются как несобственные с особым,и, т очкам и на концах интегрирования.
:
ß
vi([a,ß])= lim R v(reiip)dp,e^u0 <a<ß<K, щ({а}) = vi({ß}) = 0,
r—R+0 J
b
v([a, Ш = lim / v(x + iy) dx,ecAи [a, b] g (—R, R),v({a}) = v({b}) = 0 ,
y—+0
a
dvi(p) = Rv(ReiLp) dp + dai(p) dp, j = 1,2, dv(t) = v(t) dt + da(t), где почти всюду
v(Reiip) = lim v(rei,p), v(t)= limv(i + iy),
r—R—0 y—+0
a ai, a, _ мерЫ, сингулярные относительно меры Лебега (невозраст,ающие ограниченные функции на (0,к), на (—R, R), для которых почти всюду а[ = 0, а' = 0).
Если, кроме этого, функция v является субгармонической и имеет положительную гармоническую мажоранту в более широком полукруге C+(0, Ri), R < Ri, то
ж R
*> = — 2К Н 0«0 + £/^v^dp + £ / ^**).
C+(0,R) 0 —R
Теорема 8 доказана в диссертации А. Ф. Гришина [4, Теорема 37]. В других источниках (например, в [5, Теорема 1, Теорема 2]) она приводится без доказательства. Доказательство легко провести, используя рассуждения выше при доказательстве теоремы 7. В несколько другой формулировке теорема 8 доказана в работе [15].
6. Заключение
В проблеме представления субгармонических функций в различных областях комплексной плоскости остается много открытых вопросов. На наш взгляд, одна из основных проблем, являющейся камнем преткновения, является вычисление функции Грина данной области, особенно для многосвязных областей. Кроме того, интересно получить аналог формулы Карле-мана для открытого полукольца И+(К1, В,2). В этих случаях эффективным инструментом решения проблемы является теория тонкой топологии и пространств Мартина, в частности теорема Рисса — Мартина о представлении.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970. 157 с.
2. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.
3. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. 592 с.
4. Гришин А. Ф. Субгармонические функции конечного порядка. Дисс. док. физ.-мат. наук. Харьков, 1992. 434 с.
5. Гришин А. Ф. Непрерывность и асимптотическая непрерывность субгармонических функций. I // Maгс.м.. Физ., Анализ, Геом. 1994. Т. 1, № 2. С. 193-215.
6. Гришин А. Ф. Непрерывность и асимптотическая непрерывность субгармонических функций. II // Матем., Физ., Анализ, Геом. 1995. Т. 2, № 2. С. 177-193.
7. Левин Б. Я. О функциях голоморфных в полуплоскости // Труди Одеського державного ун-та. 1941. Т. 3. С. 5-14.
8. Привалов И. И. Субгармонические функции. Москва, Ленинград: ГРТТЛ, 1937. 199 с.
9. Brelot M. On topologies and boundaries in potential theory. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1971. 224 p.
10. Carleman T. Sur une inégalité différentielledans la théorie des fonctions analtiques // C. r. Acad. Sci. 1933. Vol. 196. P. 995-997.
11. Fedorov M. A., Grishin A. F. Some Questions of the Nevanlinna Theory for the Complex HalfPlane // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 1998. Vol. 1, No 3. P. 1-49.
12. Govorov N. V. Riemann's Boundary Problem with Infinite Index. Basel-Boston-Berlin: Birkâuser, 1994. 263 p.
13. Grishin A.F., Malvutina T.I. Subharmonic Functions Satisfying the Local Levin Condition // Israel Mathematical Conference Proceedings. 2001. Vol. 15. P. 137-147.
14. Havman W.K., Kennedy P. B. Subharmonic Functions. Volume I. London New York San Fracisko: Academic Press, 1976. 284 p.
15. Ito Jun-Iti. Subharmonic functions in a half-plane // Trans. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 129, No 3. P. 479-499.
150
K. T. MajnoTHH, A. A. HavMOBa
16. Koosis P. Introduction to Hp Spaces. Cambridge: Cambridge university press, 1998. 295 p.
17. Levin B.Ya. Distribution of Zeros of Entire Functions. English revised edition Amer. Math. Soc.: Providence, RI, 1980. 523 p.
18. Malvutin K. G. The problem of multiple interpolation in the half-plane in the class of analytic functions of finite order and normal type // Russian Acad. Sci. Sb. Math. 1994. Vol. 78, No 1. P. 253-266.
19. Malvutin K. G. On sets of regular growth of functions in a half-plane. I // Izvestija RAN. Mathematics. 1995. Vol. 59, No 4. P. 125-154.
20. Malvutin K.G. On sets of regular growth of functions in a half-plane. II // Izvestija RAN. Mathematics. 1995. Vol. 59, No 5. P. 103-126.
Sb. Math. 2001. Vol. 192, No 6. P. 843-861.
22. Malvutin K.G., Sadik N.M. Presentation of subharmonic functions in a half-plane // Russian Acad. Sci. Sb. Math. 2007. Vol. 198, No 12P. 47-62.
23. Malvutin K.G., Kabanko M.V., Malvutina T.I. Integrals and indicators of subharmonic functions. I // Chebvshevskii sbornik. 2018. Vol. 19, No 2. P. 272-303.
24. Malvutin K.G., Kabanko M.V., Malvutina T.I. Integrals and indicators of subharmonic functions. II // Chebvshevskii sbornik. 2019. Vol. 20, No 4. P. 236-269.
25. Malvutin K. G., Gusev A. L. The interpolation problem in the spaces of analytical functions of finite order in the half-plane // Probl. Anal. Issues Anal. 2018. Vol. 7, No 25, Special Issue. P. 113-123.
26. Malvutin K. G., Gusev A. L. The interpolation problem in the spaces of analytical functions of finite order in the half-plane // Probl. Anal. Issues Anal. 2019. Vol. 8, No 26. P. 96-104.
27. Malvutin K. G., Kabanko M. V. Multiple Interpolation by the Functions of Finite Order in the Half-Plane // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Vol. 41, No 11. P. 2211-2222.
28. Malvutin K. G., Kabanko M. V., Kozlova 1.1. Multiple Interpolation by the Functions of Finite Order in the Half-Plane. II // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2021. Vol. 42, No 4. P. 811-822.
29. Riesz F. Sur les functions subharmoniques et leur rapport a la thftorie du potentiel // Acta Math. 1926. Vol. 48. P. 329-343.
30. Riesz F. Sur les functions subharmoniques et leur rapport a la thftorie du potentiel // Acta Math. 1930. Vol. 54. P. 321-360.
REFERENCES
1. Ahiezer N.I. 1970, "Elements of the theory of elliptic functions", M. Nauka.
2. Goluzin G. M. 1966, "Geometric theory of functions of a complex variable", M. Nauka.
3. Gol'dberg, A. A. k, Ostrovskii, I. V. 1970, "Value Distribution of Meromorphic Functions", M. Nauka.
4. Grishin A. F. 1992, "Subharmonic functions of finite order", Abstract Dr. Sc. dissertation, Kharkov, Ukraine.
5. Grishin, A.F. 1994, "Continuity and asymptotic continuity of subharmonic functions. I" , Mathematical Physics, Analysis and Geometry, vol. 1, no 2, pp. 193-215.
6. Grishin, A.F. 1995, "Continuity and asymptotic continuity of subharmonic functions. II", Mathematical Physics, Analysis and Geometry, vol. 2, no 2, pp. 177-193.
7. Levin, B. Ya. 1941, "On functions holomorphic in a half-plane" , Trudy. , vol. 2, pp. 5-14.
8. Privalov I.I. 1937, Subharmonic functions. GRTTL, Moskva, Leningrad.
9. Brelot M. 1971, On topologies and boundaries in potential theory. Springer, Berlin-Heidelberg-New York.
10. Carleman T. 1993, "On an equal basis, there is a difference in the theory analtic functions" , C. r. Acad. Sci., vol. 196, pp. 995-997.
11. Fedorov M. A., Grishin A. F. 1998, "Some Questions of the Nevanlinna Theory for the Complex Half-Plane" , Mathematical Physics, Analysis and Geometry, vol. 1, no 3. pp. 1-49.
12. Govorov N.V. 1994, Riemann's Boundary Problem, with Infinite Index. Birkauser, BaselBoston-Berlin.
13. Grishin A.F., Malvutina T.I. 2001, "Subharmonic Functions Satisfying the Local Levin Condition" Israel Mathematical Conference Proceedings, vol. 15. pp. 137-147.
14. Havman W.K., Kennedy P. B. 1976, Subharmonic Functions. Volume I. : Academic Press, London-New York- San Fracisko.
15. Ito Jun-Iti. 1967, "Subharmonic functions in a half-plane" Trans. Amer. Math. Soc., vol. 129, no 3. pp. 479-499.
16. Koosis P. 1998, Introduction to Hp Spaces. Cambridge university press, Cambridge.
17. Levin, B.Ya. 1980, Distribution of zeros of entire functions. Providence, RI: Amer. Math. Soc.
18. Malvutin K.G. 1994, "The problem of multiple interpolation in the half-plane in the class of analytic functions of finite order and normal type" , Russian Acad. Sci. Sb. Math., vol. 78, no 1. pp. 253-266.
19. Malvutin K. G. 1995, "On sets of regular growth of functions in a half-plane.I" , Izvestija RAN. Mathematics., vol. 59, no 4. pp. 125-154.
20. Malvutin K. G. 1995, "On sets of regular growth of functions in a half-plane. II" , Izvestija RAN. Mathematics., vol. 59, no 5. pp. 103-126.
21. Malvutin K.G. 2001, "Fourier series and ¿-subharmonic functions of finite 7-tvpe in a halfplane" , Sb. Math., vol. 192, no 6. pp. 843-861.
22. Malvutin K.G., Sadik N.M. 2007, "Presentation of subharmonic functions in a half-plane" , Russian Acad. Sci. Sb. Math. vol. 198, no 12, pp. 47-62.
23. Malvutin, K.G., Kabanko, M.V. k, Malvutina, T.I. 2018, "Integrals and indicators of subharmonic functions. I" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no 2, pp. 272-303.
24. Malvutin K.G., Kabanko M.V. к Malvutina T.I. "Integrals and indicators of subharmonic functions. II" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no 4. pp. 236-269.
25. Malvutin K.G., Gusev A.L. 2018, "The interpolation problem in the spaces of analytical functions of finite order in the half-plane" , Probl. Anal. Issues Anal, vol. 7, no. 25, Special Issue, pp. 113-123.
26. Malvutin K.G., Gusev A.L. 2019, "The interpolation problem in the spaces of analytical functions of finite order in the half-plane" , Probl. Anal. Issues Anal, vol. 8, no 26, pp. 96104.
27. Malvutin K. G., Kabanko M. V. 2020, "Multiple Interpolation by the Functions of Finite Order in the Half-Plane" , Lobachevskii Journal of Mathematics, vol. 41, no. 11, pp. 2211-2222.
28. Malvutin K.G., Kabanko M.V.& Kozlova 1.1. 2021, "Multiple Interpolation by the Functions of Finite Order in the Half-Plane. II" , Lobachevskii Journal of Mathematics, vol. 42, no 4, pp. 811-822.
29. Riesz F. 1926, "On subharmonic functions and their relation to the theory of potential", Acta Math., vol. 48, pp. 329-343.
30. Riesz F. 1930, "On subharmonic functions and their relation to the theory of potential", Acta Math., vol. 54, pp. 321-360.
Получено: 12.05.2023 Принято в печать: 21.12.2023
