Интегралы и индикаторы субгармонических функций. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 20. Выпуск 4.

УДК 517.53 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-236-269

Интегралы и индикаторы субгармонических функций. II1

К. Г. Малютин, М. В. Кабанко, Т. И. Малютина

Малютин Константин Геннадьевич — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического анализа и прикладной математики, Курский государственный университет (г. Курск). e-mail: malyutinkg@gmail.com,

Кабанко Михаил Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математического анализа и прикладной математики, Курский государственный университет (г. Курск). kabankom@mail.ru

Малютина Таисия Ивановна — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического анализа и прикладной математики, Курский государственный университет (г. Курск). malyutinkg@gmail.com

Аннотация

Настоящая статья является непосредственным продолжением статьи [18]. В начале статьи мы излагаем те известные результаты общей теории субгармонических функций, которые используются в дальнейшем.

В определении полуформального порядка требуется существование чисел S > 0, q G (0,1) и вещественного числа N таких, чтобы произвольная область D(R,q,5) содержала точку я, такую, что v(z) > NV(|z|). Это условие мы называем условием Левина. Мы ослабляем это условие и требуем только, чтобы нужная точка я содержалась не в произвольной области D(R, q, а только при R = Rn, где Rn — некоторая последовательность, сходящаяся к бесконечности. Функции, удовлетворяющие этому ослабленному условию, мы называем функциями, локально удовлетворяющими условию Левина. Наш результат, относящийся к этому классу функций состоит в том что на множестве

Е = : argz g (0,^), |z| g u qRn,Rn/q j

функция v(z) ведет себя как функция по-

луформального порядка р(г). Отметим ещё утверждения 1 и 3 теоремы 2, связанные с оценками полной меры множеств, которые не являются подмножествами множества Е. Основным результатом является теорема 7. В утверждении 3 этой теоремы фиксируется новое свойство субгармонических функций конечного порядка, которое наряду со свойством, формулируемым в теореме 3, можно рассматривать как одно из важнейших свойств, выделяющих субгармонические функции в классе всех функций. Если риссовские меры субгармонической функции v(z), расположенные внутри некото poro угла S величин ы 2Д, сместить на границу этого угла и обозначить через v&(z) субгармоническую функцию со смещённой риссовской мерой, то полученную функцию можно рассматривать как некоторое приближение для функции v(z). Это приближение является гармонической функцией внутри S. Мы получаем интегральную оценку модуля разности \ü(z) — г>д(.г)|, которая качественно лучше, чем оценка соответствующего интеграла для |f(z)|. Специально исследуется случай, когда нижний индикатор функции v конечен та биссектрисе угла S.

Ключевые слова: субгармоническая функция, полуформальный порядок, локальное условие Левина, мера Рисса, индикатор функции.

Библиография: 23 названий.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-01-00236.

Для цитирования:

К. Г. Малютин, М. В. Кабанко, Т. И. Малютина. Интегралы и индикаторы субгармонических функций. II // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 4, с. 236-269.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 4.

UDC 517.53 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-236-269

Integrals and indicators of subharmonic functions. II

K. G. Malvutin, M. V. Kabanko, T. I. Malvutina

Malyutin Konstantin Gennadyevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor of the Department of Mathematical Analysis and Applied Mathematics, Kursk State University (Kursk). e-mail: malyutinkg@gmail.com,

Kabanko Mikhail Vladimirovich — candidate of Phvsico-mathematical Sciences, Associate Professor, Head of the department of Mathematical Analysis and Applied Mathematics, Kursk State University (Kursk). e-mail: kabankom@mail.ru

Malyutina Taisia Ivanovna — candidate of Phvsico-mathematical Sciences, Associate Professor, Docent of the Department of Mathematical Analysis and Applied Mathematics, Kursk State University (Kursk). e-mail: malyutinkg@gmail.com

Abstract

This article is a direct continuation of the article [18]. At the beginning of the paper, we present those known results of the general theory of subharmonic functions, which are used in what follows.

In the definition of a semi-formal order, it is required the existence of the real numbers S > 0, q g (0,1) Mid N such that an arbitrary domain D(R, q, 5) contains a point z which satisfies v(z) > NV(|z|) condition. This condition we call the Levin's condition. We weak this condition and require only that the necessary point z be contrnned not in an arbitrary domain D(R, q, S), but only for R = Rn, where Rn is a sequence that converges to infinity. Functions that satisfy this weakened condition are called functions that locally satisfy Levin's condition. Our result related

( oo

to this class of functions is that on the set E = < z : argz g (0,^), |z| g |J

I n=1

function v(z) behaves like a function of the semi-formal order p(r). We also note assertions 1 and 3 of the theorem 2 associated with estimates of the full measure of sets that are not subsets of the set E. The main result is the theorem 7. In assertion 3 of this theorem we fix a new property of subharmonic functions of finite order, which, together with the property formulated in theorem 3, can be considered as one of the most important properties that distinguish subharmonic functions in the class of all functions. If shift the Riesz measures of a subharmonic function v(z), that are located inside some angle S of size 2A, to the boundary of this angle and to denote by v&(z) a subharmonic function with a shifted Riesz measure, then the resulting function can be regarded as an approximation of the function v(z). This approximation is a harmonic function inside S. We obtain an integral estimate for the modulus of the difference ^(z) — which is qualitatively better than the estimate of the corresponding integral for

|v(z)|. A special case when the lower indicator of the function v is finite on the bisector of the angle S is investigated.

qRn, Rn/q

the

Keywords: subharmonic function, semi-formal order, local Levin's condition, Riesz measure, function indicator.

Bibliography: 23 titles. For citation:

K. G. Malvutin, M. V. Kabanko, Т. I. Malvutina, 2019, "Integrals and indicators of subharmonic functions. II" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 4, pp. 236-269.

Посвящается 5-летию памяти профессора, Анатолия Филипповича Гришина

1. Введение

Настоящая статья является непосредственным продолжением статьи [18]. Основные определения, результаты и обозначения из [18] мы используем здесь без их напоминания. Нумерация параграфов, формул, теорем и других утверждений дается заново. Сформулируем основные результаты настоящей работы.

Как уже упоминалось во введении первой части нашего исследования, теория целых функций вполне регулярного роста относительно гр(\ где р(г) — уточненный порядок в смысле Влирона, была создана в 30-е годы прошлого столетия независимо друг от друга в работах Б. Я. Левина [15] и А. Пфлюгера [22, 23]. Изложение этой теории приведено в классической монографии Б. Я. Левина [16]. Теория целых функций вполне регулярного роста занимает важное место в анализе и находит многочисленные применения. Дальнейшее развитие этой теории в пространствах субгармонических функций конечного порядка в комплексной плоскости получило в работах А. Ф. Гришина [6] и В. С. Азарина [1]. Н. В. Говоров распространил теорию целых функций вполне регулярного роста на функции аналитические в полуплоскости [2, 3]. Одновременно, независимо от Н. В. Говорова, А. Ф. Гришин построил теорию субгармонических функций вполне регулярного роста в полуплоскости [7, 8]. Введение А. Ф. Гришиным понятия полной меры [9, 10] позволило А. Ф. Гришину и М. А. Федорову получить вариант второй основной теоремы Р. Неванлинны для полуплоскости [21]. А. А. Кондратюк [11, 12, 13], используя теорию коэффициентов Фурье, распространил распространил теорию целых функций вполне регулярного роста на мероморфные в комплексной функции, рост которых оценивается достаточно общей, не убывающей на положительной полуоси, функцией j(r). При этом теория Левина-Пфлюгера вкладывается в теорию Кондратюка как частный случай при j(r) = гр(Т\ В работе [19] результаты А. А. Кондратюка были частично распространены на дельта-субгармонические функции в полуплоскости.

Если голоморфная функция f (z) на луче arg z = в является функцией порядка р и вполне регулярного роста, то это означает, что величина r~p ln |/(гег90)| — h(9)rp (h(6) - индикатор функции /) стремится к нулю при г ^ го вне множества значений г нулевой линейной плотности. Еще до введения в работах Б. Я. Левина и А. Пфлюгера понятия функций вполне регулярного роста В. Бернштейн [20] оценивал для произвольной функции порядка р размеры множества, где написанная выше величина мала. Один из наших результатов можно рассматривать как далеко идущее усиление указанного результата В. Бернштейна.

В определении полуформального порядка требуется существование чисел ö > 0 q £ (0,1) и вещественного числа N таких, чтобы произвольная область D(R, q, ö) содержала точку z, такую, что v(z) > NV(|z|). Это условие мы называем условием Левина. Мы ослабляем это условие и требуем только, чтобы нужная точка z содержалась не в произвольной области D(R, q, ö), а только при R = Rn, где Rn — некоторая последовательность, сходящаяся к бесконечности. Функции, удовлетворяющие этому ослабленному условию, мы называем функциями, локально удовлетворяющими условию Левина. Наш результат, относящийся к этому

оо

классу функций состоит в том что на множестве Е

z : argz G (0, п), |z| G (J qRn,Rn/q

функция ь(г) ведет себя как функция полуформального порядка р(г). Отметим ещё утверждения 1 и 3 теоремы 2, связанные с оценками полной меры множеств, которые не являются подмножествами множества Е. Основным результатом является теорема 7. В утверждении 3 этой теоремы фиксируется новое свойство субгармонических функций конечного порядка, которое наряду со свойством, формулируемым в теореме 3, можно рассматривать как одно из важнейших свойств, выделяющих субгармонические функции в классе всех функций. Если риссовские меры субгармонической функции ь(г), расположенные внутри некоторого угла 5 величины 2Д, сместить на границу этого угла и обозначить через ^д(^) субгармоническую функцию со смещённой риссовской мерой, то полученную функцию можно рассматривать как некоторое приближение для функции ь(г). Это приближение является гармонической функцией внутри Мы получаем интегральную оценку модуля разности 1ь(г) — которая качественно лучше, чем оценка соответствующего интеграла для Специально исследуется случай, когда нижний индикатор функции V конечен на биссектрисе угла 5.

2. Общая теория субгармонических функций. Функции, локально удовлетворяющие условию Левина

Вначале мы рассмотрим некоторые факты, относящиеся к общей теории субгармонических в плоскости и полуплоскости функций. Уточнённый порядок р(г) называется формальным порядком, функции ь(г) субгармонической во всей комплексной плоскости С (в верхней полуплоскости С+ = {г : 1тг > 0}), если существует константа М\ такая, что п(гегв) < М\У(г) при в е [0, 2^] (в е (0, я)). Через ЯЕ(р(г)) мы обозначаем множество субгармонических во всей комплексной плоскости С (в верхней полуплоскости С+) функций, для которых р(г) является формальным порядком. Мы не делаем различия в обозначении ЯЕ(р(г)) для субгармонических во всей комплексной плоскости С или в верхней полуплоскости С+) функций, из контекста всегда ясно будет видно о каком множестве идет речь.

Субгармоническая функция ь(г) называется функцией конечного порядка, если существует уточнённый порядок р(г) такой, что ь(г) е 8Р(р(г)).

Уточнённый порядок р(г) называется полуформальным порядком, функции ь(г) субгармонической в С+, если р(г) — формальный порядок этой функции и выполняется условие Б. Я. Левина: существуют числа д е (0,1), 5 е (0,^/2), М2, такие, что в каждой области

найдётся точка z такая, что v(z) > M2V(|z|). Такого типа условие появилось в одной теореме Б. Я. Левина [16, глава 2, теорема 7]. Аналогичное определение вводится для функций субгармонических в угле arg z G (a,ß).

Известно, что если р > ж/(ß — а), то каждый формальный порядок функции v(z) одновременно является полуформальным порядком. Таким образом, различие между формальным и полуформальным порядками наблюдается только при р < ft/(ß — а;). Через SHF(p(r)) мы обозначаем множество субгармонических функций, для которых р(г) является полуформальным порядком.

Пусть v(z) — субгармоническая функция внутри угла (a,ß). Обозначим через Ev множество чисел р гада р = lim р(г), где р(г) — полуформальный порядок функции v(z). Величина

т£ Еъ называется порядком функции у(г) внутри угла (а,Р).

Обозначим через С (г, г), В(х,г) соответственно открытый и замкнутый круг с центром в точке г радиса г. Через ЯК мы обозначаем класс функций ь(г), субгармонических в С+ и име-

(1)

г^-о

ющих в каждом полукруге С+(0, К) = {г : < К, 1т г > 0} положительную гармоническую мажоранту. Для функций у (г) € ЯК, следуя [9], вводится понятие полной меры Л следующим образом. Ограничение меры А на полуплоскость 1т г < 0 — есть нулевая мера. Ограничение меры А на полуплоскость 1т г > 0 — есть мера йХ((') = 2ж!т ( ), где р — риссовская мера функции у(г). Ограничение меры А на вещественную ось М есть мера V, где V определяется равенством

ъ

[ 11

V([a, 6]) = Ит у(х + гу) йх - -V({а}) - -V({6}).

] 2 2

а

Мера А является конечной на каждом компакте и определяет субгармоническую функцию класса ЯК с точностью до слагаемого 1т д(х), где д(г) — целая вещественная функция (то есть принимает вещественные значения при вещественных значениях аргумента). Для функций класса ЯК почти всюду существует предел

ьШ = Нт уН + гу), уШ € Ьцос(-го, го),

и выполняется равенство йи(¿) = у(Ь) (М+с1а(1), где а — сингулярная относительно меры Лебега мера, называемая сингулярной граничной мерой функции у. Для функций у(г) € ЯЕ(р(г)) мера а отрицательная. Если кроме того р < 1, то для полной меры I справедливо неравенство

Ф|(С) и, X + X

1 + 12 < |Л| = А+ + А- ,

а для функции у (г) имеет место представление

1

v(z) = -1^JJk(z,() dX(()+ су, с < 0,

где

к ^ln

* - с

* - с

причём ядро К при Im ( = 0 определяется по непрерывности. Нам удобно будет считать, что К(z, () = 0 при Im ( < 0.

Пусть v(z) £ SF(p(r)) в C+, р > 0. Для того чтобы уточнённый порядок р(г) был полуформальным порядком функции ■u(z), необходимо и достаточно, чтобы для некоторого и для всех R > 1 выполнялось неравенство

|А|([Д, 2R, 0,^]) < M3RV(R),

где

[Ri, R2, <pi, ^2] = [z : Ri < |<г| < R2, <pi < arg 2 < ^2} .

Через V (г) мы как и в первой части нашего исследования обозначаем функцию гр(г\ Пусть А = [С(zj, Rj), j = 1, 2,... } - система открытых кругов. Величина

l*(A) = limsup^ ^ Rj R \zj\<R

называется верхней линейной плотностью системы А Если множество F можно покрыть системой кругов А с 1*(А) = 0, то F называется Со — множеством.Этот термин ввел Б. Я. Левин. Если Е С [0, го), то величина

R

1

l*(E) = lim sup1 I хе(t) dt

R J

о

называется верхней линейной плотностью множества Е. Здесь хе — характеристическая функция множества Е.

Пусть р — положительная мера в плоскости C, такая, что р,(С(0, г)) < KV(г) при некотором К > 0 те зависящем от г. И пусть A(r), г е [0, те) Л(0) > 0 f(а) а е [0,1], ^(0) = 0 — возрастающие непрерывные функции. Исключительным множеством для меры р, построенном с помощью функций А(г) и ф(а), называется множество F тех точек z е C\{0}, для которых существует а е (0,1] такое, что

р,(В(z, ar)) > <p(a)A(r), г = |z|. (2)

Легко видеть, что для каждого z е F существует максимальное а (мы его будем обозначать az), для которого выполняется неравенство (2). Если az < 1, то выполняется равенство

p,(B(z, azг)) = ip(az)V(г). Обозначим G = |J С(z,azг) и пусть G = |J Gi — разложение открытого множества G на

ztF г

связные компоненты. Если компонента Gi ограничена, то через С(gi,Ri) мы обозначим круг наименьшего радиуса, содержащий множество Gi. Если все компоненты Gi ограничены, то через А мы будем обозначать систему кругов С (gi, Щ), г = 1, 2,....

Теорема 1. Пусть v(z) — субгармоническая функция во все и плоскости, р(г) — её формальный порядок, ц, — её риссовская мера, "ц ^ произвольное число из интервала (0,1/4). Тогда, существуют величины М4, М5, М6, не зависящие от, г], такие, что если F — исключительное множество для, меры ц,, построенное с помощью функции A(r) = V(г), ф(а) = ——, то I* (А) < ц и выполняются неравенства

|ф)| < М5 V (г), z/F,

1

|ф + hz) - ф)| < M6 J 1n^1 + ^ dtV (r), z,z + hz / F.

0

Более подробное изложение и доказательство большинства из приведенных выше результатов можно найти [6, 7, 8, 9, 10].

Как мы уже отмечали, субгармоническая функция v(z) формального порядка р(г) называется функцией полуформального порядка р(г), если выполнено условие Б. Я. Левина. Сейчас мы ослабим это условие, потребовав чтобы оно выполнялось не для любой области D(R, q, 5), а только при R е Е, где Е — некоторое неограниченное множество. В этом случае мы будем говорить, что функция v(z) локально удовлетворяет условию Б. Я. Левина. Утверждения следующей теоремы для случая функций v(z) полуформального по рядка р(г) известны и их можно извлечь, например, из работ [6, 7, 8, 9]. Если считать доказанными утверждения 1, 3, 6 нижеследующей теоремы, то остальные утверждения доказываются точно также, как и для функций полуформального порядка р(г). Поэтому мы не будем полностью доказывать теорему 2, а только пункты 1, 3, 6 этой теоремы.

Теорема 2. Пусть v(z) е SF(р(г)), 5 е (0,^/2), q е (0,1), Л — полная мера функции v(z), N е (-те, +те),

An = J г > 1 : sup v(reie) > NV(гП , I oe[<5,*--<5] I

Ег = и (У е2 = и (Ь/)

(ж (ж 7тг

Бл = Ег х \ — , — , Б2 = Е2 х —, —

1 1 V 4 4 / 2 2 V 8 8

Пусть Ах-неограниченное множество. Тогда,

1) |А| ([0, г, 0,^]) < М7гУ(г), г> 1, г € Е2, р> 0,

2) |л|([дг,г/д, 0,эт]) < М8гУ(г), г> 1, г € Е2, р = 0,

3)

те

Г (1\хIП) „V(г)

<М9, Г€Е2, 0 <р< 1

2

г

4)

ф) = ^ // К(-2, С)^А(0 + вт 6<1а(г№(г), г = ге* ,

С (х, аг)

где при любом а € (0,1), ^а(,г) — есть ограниченная функция при |z| € Е2,

5)

ф + Кг) - ф) = ^ Ц (К (г + Нг, С) - К (г, 0) ¿Л(0 + Щс1а(г, (г),

С(х, аг)

где при любом а € (0,1), |К| < \а, ¿а(г, К) — есть ограниченная функция при |z| € Е2,

2

ж

У |фе*)| ыпбдВ <М^(г), г € Е2 . 0

Пусть р € (0,1), — ограничение риссовской меры, функции V на, множество Б2,

У\(г) = / / 1п

1 - ?

Фг(0, гф)=ф) - У\(г).

Тогда,

7) уг(г) — субгармоническая функция во всей плоскости формального порядка, р(г),

8) у2(г) — есть субгармоническая функция в С+, гармоническая на множестве Б2,

9) |?ф)| < (г), г € Бь

10) |Ь2(г + Кг) - ф,г)| < М12|К| V(г), г, г + 1гг €

Доказательство. Пусть г € Е^. Тогда существует число К такое, что для некоторого ш = В,ег1р, <р € [5,п - ¿] будет выполняться неравенство у(ш) > ЖV(Е) и г € [</Д/2, 2Д/д]. В полукруге С+ (0, 4К/д) справедливо неравенство ь(г) < М\зУ(К). Пусть С(х, () — функция Грина этого полукруга, а Н — наименьшая положительная мажоранта функции и в том же полукруге. Тогда Н(г) < М\зУ (К) при г € С+ (0, 4К/ц). Из представления Рисса-Мартина для функций V, Н в полукруге С+ (0, 4К/д) следует

И , я [дС(ш, 4Ке)в/о) (4

УУ «+ 2? У 'г4» ' »М

^+

С+(0,4Д/д)

4Д/д

2Ь / ^|(^) = 2Н(ш) -

-4К/д

где и — риссовская мера, а и — граничная мера функции V, —--производная по внутренней

оп

нормали. Имеем

2Н(у)) — у(р) < Мх4У(К), Мг4 = 2Мг3 — N . При | < 2К/ц справедливо неравенство

2^ < мх с),

к

где величина М\5 зависит только от 5 и д. Это дает

Jj 2^Im С ) < Мх5 JJ G(w, () d^(() < Mi4 Mi5F(R). (3)

1 R

C+(0,2R/q) C+(0,2R/q)

При |i| < 2R/q справедливо неравенство

1 < щ

R < 2ж дп

Это дает

2R/q 2R/q

> ([-2*2*])=И <¡ ^wo<

-2R/g -2R/g

Мх4Мг6V(R). (4)

Из неравенств (3) и (4) следует

| А| (с+ (0, 2R/q)^ < Mi7RV(R).

Так как r G [qR/2, 2R/q], то

| A|(C+(0,r)) < | A| (C+ (0, 2R/q)^ < Mx7RV(R) < Mx8rF(r) .

Утверждение 1 теоремы доказано.

Заметим, аналогично доказывается, что неравенство |А|(С+(0,г)) < Mi9V(г) справедливо

при r G U [çR/4, 4R/q). Далее неравенство ReAN

R dG (w, 4Reie/q)

л (/1т i 11/. . а n.r1

sin в < m20

2п дп

дает

ж

Г /А .Л

sin OdO < Ml4М20 V(R)

ж

í К4»")

0

Напишем формулу Карлемана

Ж R2 ж

-1 J V (^е^) sin ddd = j ^¡г dt + Y J v (Rieie) sin в d6.

0 R1 0

Из полученных ранее оценок и формулы Карлемана с = 4R/q, R\ = г следует

т

г eie^J sin 6d6 <M21V (г).

о

Вместе с очевидной формулой v+ (гегб) < M22V(г) это дает утверждение 6 теоремы 2.

Пусть теперь р < 1. Тогда, взяв в формуле Карлемана Ri = г и перейдя к пределу при R2 ^ го, R2 £ Е2, мы получим

ж

X(t) dt = - - Jv sin в dd, (5)

J t3 r

r 0

где интеграл в левой части понимается в особом смысле,

оо R2

О Щ dt = lim ¡Щ dt.

J t3 J t3

r щ 6 Щ r

Так как v G SF( p(r)), то сингулярная граничная мера функции v отрицательна. Поэтому мера А_ сосредоточена на вещественной оси и имеет вид d\-(t) = v+(t) dt. Тогда

r

Xi(r) = X-(B(0, r)) = j v+(t) dt < M23rV(r).

f х^г) , ^ г хи) 1

Отсюда следует сходимость интеграла т , абсолютная сходимость интеграла —3- аЛ,

г г

оо

и, более того, сходимость интеграла J ^3 ) ^, где 12(¿) = Щ(В(0, ¿)). Равенство

г

о о

о ах2(1)_ Х2(г)+2 0 Х2(I) м

J t2 r2 J t3

r r

вместе с (5) дает утверждение 3 теоремы 2.

В дальнейшем нам будет нужно следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть v(z) — субгармоническая функция во все и плоскости, р(г) — её формальный порядок, Е — измеримое множество на полуоси [0, го), Er = Е П [0, R]. Тогда, существует величина, М24, не зависящая от, R и 9, такая, что

R

iХЕ(t)\v(tегв)\dt <М24(R). j R mes Er

0

Теорема 3 — это аналог леммы Эдрея и Фукса о малых дугах, доказательство которой приведено в [4, глава I, теорема 7.3]. Теорема 3 доказывается тем же методом. Для полноты изложения приведем его.

Можно считать,что в = 0. Стандартным способом доказывается, что

v(t) = JJ ln

С(t,St)

1 — \

dfi(C ) + d(t)V (t)

где d(t) — ограниченная на полуоси [1, те) функция при каждом фиксированном 5 > 0. В дальнейшем мы будем считать, что 5 е (0,1/8) Пусть 7(1) = у (В(0, ¿)). Тогда 7(¿) < МУ(Ь). Далее, поскольку 1п |1 — £/(| отрицательно при ( е С(£, 5¿), то

R R

' С

1=1 ХЕ(ф(t)ldt <[хе(t)ff ln J J J JC(t,St)

C(t,St) 0

R (1+S)t

-

dfi( ()dt+

M mes ErV (r) < j J ln dj (т) хе (t) dt+

0 (l-5)t

M mes ErV (R) <j J хе (¿)ln+ T dtdj(r) + M mes ERV (R).

00

Так как функция ((t) = ln+ т/|т — t\ принимает наибольшее значение при î = th убывает на полуоси [т, те), и так как функция ф(и) = ((и + т) является четной, то

2R 2 mes Er

J J ln+^ dudj(r) + M mes ERV (R) =

I <

и

0 - 1 mes ER

2R min(r, 1 mes Er)

ln

|u|

2 j J l n щ dudj(r) + M mes ERV (R).

00

Вычисляя внутренний интеграл, получим

2 mes ER 2R

I <2 I Td-y(T) + mes En I ln-

I t d^(r)+mes ER I ln—d^(r)+

J J mes Er

0 1 mes Er

2R

mes ER Î dj (t) + M mes ErV (R) < M ln —^^—RV (R).

u J n J n v 7 < 4 R mesER K J

1 mes Er

Теорема доказана.

3. Интегральная оценка разности субгармонических функций со смещёнными риссовскими мерами

В этом параграфе мы рассмотрим функцию г>д ( х), которая получается из ь(г) смещением вдоль окружностей с центром в нуле части её риссовской меры, расположенной внутри угла (9 — Д,9 + Д) на граничные лучи этого угла.

Пусть V € 8Р(р(г)), р < 1, Х - полная мера, V - граничная мера функции и(г). Как мы уже

( )

v(z) = 2к

In

К(z, ()d\(()+ay = ■ j

z-(

du (t)

C+

-

к J (t — x)2 + y2

—<x

dp(() + ay, z = x + iy .

+

Пусть в g (0, к) — некоторое фиксированное число, А > 0 — А, в + А] С (0, к). Пусть h отображение C+ в себя, определяемое формулой

с, arg С G (0 — А, в + А),

h(()4 Klег(в_А), arg( G (в — А], К|ei(e+A), arg( G (в + А).

(6)

Пусть ри(Е) = р(к-1(Е)). Меру рь мы называем мерой, полученной из меры р смещением вдоль окружностей с центром в нуле части меры р, расположенной внутри угла (в — А, в + А) на стороны этого угла. По формуле замены переменной в интеграле получаем

In

z — h(0

C+

* — h(()

dp(() = jjln

—

C+

—

dph(C)

Обозначим

= (С : в — А < arg( < в + А} ,

<Х>

"д(г) = к i

dv(t)

(t — x)2 + y2

+

ln

— h( )

— h( )

Отметим, что

( — Q(z — h( 0)

( — 0(z — h( ))

dp(() + ay.

dß(Q

v(z) — ьд(г) = JJ ln Sa

Пусть ( e S(А), z = гегд, ( = тel(d+v\ h(() = тег(е+'^\ Torдa sign p = sign ф при p = 0, < |ф|, |ф| = А. Рассмотрим величину

L(г, т) = ln

* —НО z—C

z — ( z — h(()

ln

— тe1'^ г — тg-i(20+v)

f _j-f>i<p у, _j-ß-i(20+^)

1 г2 — 2гт cos ф + т2 г2 — 2гт cos(29 + р) + т2

2 г2 — 2гт cos р + т2 г2 — 2гт cos(26 + ф) + т2 ' Выбирая 9 = ^/2 (другие случаи в дальнейшем не используются), получим

, 1, г — 2rrcosü + т2 г2 — 2rrcosp + т2

L( Г, Т) = - ln ----;т

2 г2 + 2rrcosp + т2 г2 + 2rrcosy + т2

4гт(г2 + r2)(cos p — cos ф)

1ln + (г2 — 2rrcosp + т2)( г2 + 2гтел^ф + т2)

).

Отсюда, в частности, вытекают следующие свойства, которые необходимы для дальнейшего:

1 ( 2ттА? \ 0 < Ь(г, т) < 2 1 + — т)2) , у(й) ^ (и).

Теорема 4. Пусть V е 3¥(р(г)) в С+, р е (0,1),

у(г еУ)

индикатор функции V(г) относительно уточнённого порядка, р(г), Н(р) = —ж. Пусть А^ и Е\ — те множества, которые определены в теореме 2, причём N выбрано таким образом,, чтобы множество А^ было бы неограниченным. Пусть А1 е (0,1/2), А е (0, Д1). Тогда, существует величина, М25, не зависящая от, К, А, А1 такая, что при К е Е1 выполняется неравенство:

(1+Д1)Д

J IV (г г) — ьд(й) | М < М25 АШ (К). я

Доказательство. Обозначим

(1+Д1)Д

в = ! ь(г, т) м.

я

Имеем

(1+Д1)Д (1+Д1) л

„ 1 (■ ( 21тА2 \ , 1 Г , / 2иА2 \ ,

в< 1 / Ч^^;л=1т .1 1п{1+(и2иАг)Ми.

Я Л

т

Обозначим через 7(и) подынтегральную функцию в последнем интеграле, далее обозначим у(и) = и^(и), К/т = в,

(1+Д1)«

, Ми

в

Имеем

а(8)= / 7(и) ^

Ф))

а' (з) = (1 + А1)7 ((1 + А1)в) — 7(8) = Ы(1 + А1» — Вычисляем производные функции у.

2иА2 \ 2А2и(и + 1)

2 иА2

у (и)=1Ч1+(и-^)

(и — 1)2) (и — 1)((и — 1)2 + 2иА2)

У '(и) = — 2А2 ( —

2А2 (—2(2и + 1)(и — 1)2 + 2А2и(и2 — 2и — 1))

(и — 1)2((и — 1)2 + 2иА2)2

Из формулы для у'(и) следует, что у'(и) > 0 при и е (0,1). Из формулы для у"(и) следует, что у" (и) > 0 при и е (1, ж) для достаточно малых А. Тогда У (и) есть возрастающая функция на полуоси (1, ж) Так как у'(ж) = 0, то у'(и) < 0 при и е (1, ж) Таким образом, у(и) есть возрастающая функция на интервале (0,1) и убывающая функция на полуоси (1, ж). Поэтому, если «о — точка максимума функции а(,в), то «о < 1 < (1 + А1)«о, в частности, (1 + А1)з0 < 1 + Аь Заметим, что а(в) < а(з0).

Теперь из неравенства и < 1 + |и — 1| следует, что

1+Д1 „ Д

1о

д1

Д1 4Д2 2А 1 ^ 1

т J \n(^1 + dt = 2Ат J In + ^ dt < 2Ат J ln + ^ dt .

0 0 0 Обозначим

( 1 К

< А

SiA = {<■■ Kl< \r,\\ - аг§с| < а} ,

х = {с:1й< Kl < 2 R,\' - arg(\< А} S3,A = {(■ Kl> 2R,\' - arg(\< а} ,

Тогда

(1+Ai)fl 3 (i+Ai)B

/ |фi) - va(it)ldt = ^ // L(i, T)dfi(Qdt =

J J J J Sb А

R k=1 R k' А

^l(R)+52(R)+^3(R) . Пусть t e [R, (1 + Ai)R) T = Kl < R/2, R e Еъ Тогда

1T, \ 1 , ( 2trA2 \

~-L(t,T) < -ln{1+(J-W) <

2 ( - )2 ( 2 RTA2 \

V + WA-2)

1 / 2 RTA2 \ RA2 4A2

T^ln 1 + —-^ < —-^ <

2т \ (К — т)У - (К — т)2 - К '

Теперь из утверждения 1 теоремы 2 и соотношения сМХ(() = 2тт!ш( в С+ следует

(1+Д1)Д

В1 < 1 . / Ц , т)М\((№ <М26А1А2Ш(К).

2тг соя А ] У/^ , дг й

Пусть теперь £ е [ К, (1 + А1)К) г > 2 К, К е Е1. Тогда

\ 1, ( 2гтА2 \ 1 ( 2К(1 + ААтА2 \

-Ш, т) < — 1п[ 1 + --^ < — 1и[ 1 + -—Ц-ч 0 <

т (, ) < 2т V Г — V2) < 2т V Г — (1 + А1)К)2) <

К(1 + А1)А2 < К(1 + А1)А2 = 4(1 + А1)А2К < 24А2К

(г - (1 + Ai)R)2" (г - 1 (1 + Ai)r)2 (1 - Ai)2 г2 " г2

Далее из утверждения 3 теоремы 2 следует

(i+Ai) Д

Вз < 1 I Ц -L(t, T)dX(()dt <

2к cos A J JJS а г

R '

(i-HAi)B

24RA2 Г Г dX(T)

j / dX(T dt <M27AiA2RV(R).

2 ' cos A 2

R 2R

В

R e Ei

(i-HAi)B

В2 < 1

2' cosA J JJS2 а

R '

J jj^ ±L(t, t) dX(()dt =

(1+A1)R

1

L(t, т) dt^Q < A j + du jj d\(() <

2к cos A J JS2 Л J ' t J \ u

' R 0

M28 ARV (R).

Из полученных оценок следует утверждение теоремы.

4. Исключительное множество в окрестности луча, на котором конечен нижний индикатор

В этом параграфе мы продолжим изучение функции v&(z). Оказывается, что если нижний индикатор h(9) функции v(z) на луче argz = в конечен, то исключительное множество для риссовской меры функции v&(z) обладает некоторыми свойствами, которых нет в общем случае.

Мы напомним определение нижнего индикатора.

,/лч 1- • r*v(rегв) . t.v(rегв)

п(0) = 1imini --- = supiimmi--- ,

-v ' г^те V (г) V(г)

где супремум берется по всем множествам нулевой линейной плотности.

Мы будем пользоваться обозначениями, введенными перед формулировкой теоремы 1. В

A A1

соотношения подобраны таким образом, чтобы используемый метод давал наилучшую оценку для величины w(a) из теоремы 7. Далее мы используем такое обозначение для итерированного логарифма: 1n2x = In In ж, 1nk+1x = 1n(1nfcx).

Теорема 5. Пусть v е SHF(p(r)), р е (0,1), в е (0,к), Н(к/2) > —го, [к/2 — A,K/2 + A] С (в 1, в2) С [di, в2] С (0,к).

Пусть

. . 1п2 (3/Ai) 1 Г ^ 3"

A = A^/ А V , п =-Au 1п2 — 1^ — ,

^ 1n(3/Ai) , 1 M28 1V Ai Ai ,

где M28 = M28(v) — специально выбираемая констант,а. Пусть h(() — функция, определяемая равенством (6), с в = к/2, р — риссовская мера функции v(z), Ph(E) = p(h-1(E)), p1 — ограничение меры ph на угол argz е [д1, в2]. Пусть F — исключительное множество, построенное для, меры pi с помощью функций A(r) = V(г), р(а) = M4a/r] (M4 из теоремы 1). Тогда, существуют A0 > 0 и R0 такие, что если A1 е (0, A0), то

к

G n{z : argz = 2, N > R0} = 0 .

Доказательство. Сформулированная теорема имеет несколько длинное доказательство и мы разбиваем его на несколько этапов. Первый этап. Пусть

-N<h(K),N> 1, M29 = sup , N1 =NM29, Ai < e-e .

V2/ r2<(1+exp(-e))n V (П)

R

[R, (1 + A1)R] имеет точку £ такую, что v^(i() > — N1V(R). Пусть An = {r : v(ir) > -NV(r)}.

1

Из определения нижнего индикатора следует, что линейная плотность множества А^ равна единице. Поэтому для любого достаточно большого К сегмент [К, (1 + Д1Ж содержит точку £ такую, что у(г£) > —ИУ(£)• Тогда уа(Ю > у(г£) > —ИУ(£) > —^У(К).

Второй этап. На этом этапе мы докажем, что при подходящем выборе числа М28 в формуле для г] из неравенства уА( гт) > — ( N + 2)У( К) будет следовать соотношение гт € С. Отсюда, в частности, будет следовать, что г £ € С. Допустим, что г>д (гт) > —(N1 + 2)У (К), и что гт € С. Тогда существует г € Р такое, что гт € С (г, ах г). Поэтому т = \гт — х + х\> (1 — ах )г. Пусть ■ € С (г ,аг г). Тогда

— гт\ < 2ахг < 2- 2

1 — ах Таким образом,

С (г ,а2г) С с( гт, ^ .

V 1 — ах)

Предположим теперь, что ах < Д/3. Так как Д < Д1 < ехр(—ее) < 1/2, то

„ ах 2 12 Д 4 л

2-— <--ах <--= -Д .

1 — ах 1 — 1/6 х 5 3 5

В этом случае круги С (г, ах г), С (г т, 2ах т/(1 — ах)) целиком лежат внутри угла (ж/2 — Д, ж/2 + Д). Однако мера »1 те нагружает этого угла. Поэтому р1(С(г,агг)) = 0. Это противоречит определению числа ах. Тем самым предположение ах < Д/3 приводит к противоречию и, следовательно, выполняется неравенство ах > Д/3. По теореме 1

1 I 3 3 а = М^8 Д1 у 1п2 Д1пД =:Ь(М28, Д1) ■

Будем считать, что М28 > 1 и пусть 5 = 2Ь(1, е-е)/(1 — Ь(1, е-е)). Тогда будет выполняться

соотношение

С (г, ах г) С С (гт,^—^т ) С С (г т, 5 т). V 1 — ах)

Кроме того, из теоремы 2, пункт 4, следует, что существует величина М30, не зависящая

ъА(гт) < 1п

■) .)С(гтМ)

гт — С,

1п

С(г,аг г)

С(гт,6т)

г т — (

¿1и(0+МзоУ(К) <

г т — (

гт — ( ф1(0 + МзоУ(К).

Так как г т € С (г ,ах г), то при ( € С (г ,ах г) выполняется неравенство \ гт — £\ < 2ахг. Кроме того, \ гт — (\ > т > (1 — ах)г. Поэтому

УА(гт) <— 1п а1 Ц Ц 1п(-—Х) ¿»1«)+

С (г,агг) С(х,ах г)

МзоУ(К < —»1(С(г, ахг)) 1п — + М31У(К),

ах

М31

По свойству числа ах справедливо равенство

У (г)

»1 (С (г ,ах г)) =Мз2ах—^~

Следовательно,

0,-У 1 U-y 1

va(iт) < -Mi— ln —V(г) + M3iV(R) < -M32— ln —V(R) + M31V(R). V az r az

Функция — az ln 1/az является убывающей функцией на интервале (0, е-1) и az > —/3. Поэтому

1 А 3

VA(iт) < — -M32-ln^V(R) + M31V(R) = 3 r —

( . hm^ Л „ _ „ „ . о \ \

1 —Ш1 A +1 ^Ar — 2 lnsAr)

—-M32M28—*—r-. -+ M31

3 — l^A ln AI, )

V /

V( R).

При соответствующем выборе числа М28 полученное неравенство противоречит неравенству ьа(гт) > —(N1 + 2)У(R). Таким образом, сформулированное нами выше утверждение доказано.

Третий этап. На этом этапе мы докажим, что при достаточно малых А\ из соотношений т е [R, (1 + А1^], гт /С следует неравенство

УА(гт) > —(N + 1)У( R).

vi(z) = ln

1—!

dßl (о, V2(z) = va(z) — v i(z).

Из теоремы 2, пункт 10, следует, что существует величина M33, не зависящая от z, h, г такая, что при argz, arg( z + hz) G [ж/2 — —,ж/2 + —\, выполняется неравенство |v2(z + hz) — v2(z)| < M33JhjV(г). Кроме того, как следует из теоремы 1, существует величина M34, не зависящая от z, h, ] такая, что при z, z + hz G F выполняется неравенство

i

lvi(z + hz) — vi(z)| < M34 J ln^1 + r^J dtV(r).

0

Таким образом, при z, z + hz / F, arg z, arg(z + hz) G [ж/2 — —,ж/2 + —\, выполняется неравенство

i

| va(z + hz) — va( z)l < M35 J ln^1 + dtV (r).

0

Пусть теперь т G [R, (1 + — 1) R\, гт G G. Тогда, учитывая, что £ G [R, (1 + — i)R\, G G, |r — £| < — i£, получим

M*)— «ACWI < M35 j + ^3—^3—») * V. —1

Iva(it) — va(%)I < V(R), va(it) > —(Nr + 1)V(R).

—0 R0

ла, что при —i G (0, — 0), R > Ro все три предыдущих утверждения верны. Множество

Gfl {z : | z\> 0, argz = ж/2} есть объединение непересекающихся интервалов (г ak,ibk )• Предположим, что для некоторого R > Ro и некоторого к пересечение [R, (1 + Ai)R] P|(ük, bk) не пусто. Так как точка г £ £ G, то отрезок [R, (1+Ai)R] не принадлежит интервалу (ük, bk )• Тогда хотя бы одна из точек (k, bk принадлежит сегменту [R, (1 + Ai)R^. Пусть ük £ [R, (1 + Ai)R]. Тогда ak £ [R, (1 + Ai)R). Так как iak £ G, то vA(iak) > -(N1 + 1)V(R). Так как функция г>д непрерывна в точке г(ik, то для некоторого г £ (ük, bk) П [ R, (1 + Ai)R] будет выполняться неравенство г>д(гг) > — (Ni + 2)V(R). Это противоречит второму доказанному утверждению.

Теорема доказана.

Замечание. Фактически мы доказали несколько более общее утверждение. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема 6. Пусть v £ SF(p(r)), р £ (0,1), N — некоторое фиксированное число, N > 1, ж/2 £ (di, в2) с [9i, в-2] с (0, ж). Пусть р — риссовская мера функции v, h — функция определяемая равенством (6) щи 9 = ж/2, ßh(E) = p(h-i(E)), ßi — ограничение меры ph на угол, [9i, 02], F — исключительное множество, построенное для, меры р\ с помощью функций A(r) = V(г), (р(а) = М4а/г] (М4 — константа из теоремы 1), G = (J С(z,az|z|). Тогда,

zeF

существуют величина, М28 = М28(v,N, 0i, в2) и числа Aq > 0, Rq > 0 т,а,кие, что если

Л \n2(3/Ai) 1 I 3,3

А = Аг J Л,,. 1 , V =-Аи 1n2— In —

!У НЗ/Аг) , 1 М28 ^ 2 А! А!

Ai е (0, Ао), R > Ro, выполняется нера,венетво sup v(ir) > —NV(R), то

re[R,(l+Ai)R]

G р|[гR, i(1 + Al)R] = 0. 5. Формулы для индикатора и нижнего индикатора

В этом параграфе мы доказываем основную теорему нашего исследования.

Теорема 7. Пусть v(z) е SF( p(r)) внутри угла (9i, в2), 9 е ( 9г, в2), р > 0, s ^ произ-

,

(1+«)г

ws(a) = lim sup -. , тг. . tsv(tегв) dt,

г^ж r!+sV(г) J

(1+«)r

Ws(a)=limní r1+sV,r) J fV(t^)dt.

г^ж f1+sv(r)

r

Пусть h(9) и h(9) — индикатор и нижний индикатор функции v(z) относительно уточненного порядка, р(г). Тогда,

1) существуют пределы

, ws(a) w„(a)

ws = lim -, w„ = lim -;

«^+0 a a^+0 a

2) выполняются равенства: h(9) = ws, h(9) = Ws;

3) если H e (-то, то) П [h(9),h(9)\,

(1+«)r

w(a) = liminf —/ | v(teie)-HV(t)ldt; Г V (r) J

то

w(a) lim —-—- = 0 ;

а^+0 a

4) если Н G (h(Q),h(Q)], то существует величина М = М(Н, v) такая, что при a G (0, е-е) выполняется неравенство

V

■'» SM-

Доказательство. Доказывать теорему для функции v(z) и уточнёного порядка р(г) или для функции v(e^Q1) и уточнённого порядка р\(т) = 7р(т1) — это эквивалентные задачи. Поэтому можно считать, что [0,^] С (вв2), в = 0 р G (0,Если h(9) = —го, то Ws(a) = ws(a) = —го и все утверждения теоремы становятся тривиальными. Поэтому можно считать, что h(9) > —го.

Дальнейшее доказательство теоремы мы разбиваем на несколько этапов.

Первый этап. На этом этапе мы докажем, что существуют пределы

, ws (a) , wч (a) , w(a) lim -, lim —-, lim -.

a^+0 a a^+0 a a^+0 a

Из свойств верхнего и нижнего пределов и соответствующих свойств уточнённого порядка следует, что выполняются неравенства

„ , ß w I гт

1 + a

ws(a + ß) < ws(a) + (1 + a)1+p+sw (,

\1 + aJ

w(a + ß) > w(a) + (1 + a)1+-w (^) ,

ß

w(a + ß) > w(a) + (1 + a)1+pw()

\1 + aJ

.1 + a,

Так как ws(a) < (h(0) + 1)a при малых a, то limsupws(a) < 0. Теперь из теоремы 7

работы [18] следует существование первого из написанных пределов. Если ws(a) = —го, то существование второго предела очевидно. Если для некоторого a > 0 ws(a) > —го, то отсюда следует, что v(z) G SHF(р(г)).Тогда из теоремы 2, пункты 7 и 9, и теоремы 3 следует оценка |ш8(a)| < M33aln(4/a) и равенство lim ws(a) = 0.

Вновь применяя теорему 7 из [18], получим, что существует второй из написанных преде-w( a)

третьего из написанных пределов.

Второй этап. На этом этапе мы докажем неравенства ws < h(0), ws > h(0). Пусть £ > 0. Тогда существует число R0 такое, что при t > R0 выполняется неравенство v(t) < (h(0) + e)V(t). Тогда при R > R0

(1+a)R (1+a)R

1 f tsv(t)dt < £n, f tsV(t)dt.

R1+SV(R) J w " R1+SV(R)

R R

Далее, применяя теорему 21 из [18], получаем

1+а

ws(a) < (h(0) +е) I tp+s dt, ws < h(0).

Докажем теперь второе неравенство. Оно очевидно, если Ь(0) = —го. Поэтому будем считать, что И,(0) > —го Тогда у(х) € БНЕ(р(г)). Пусть

Е = -Л > 0, ф) < (Н(0) — е))У^)} .

По определению нижнего индикатора множество Е имеет линейную плотность ноль. Тогда

(1+а)К (1+а)К

1 Г ..... 1

/ t °V (f )dt = R1+*V(R) J XCE (*)**v (Qdt+

R1+SV (R) J ' R1+SV (R)

R R

(1+a)R

+ r1+sV(rR) j XE (t) fv (t)dt = h(R)+ I2(R) R

(1 +a)R

h(R) > h+'VR) J XCE(t)tSV(t)dt =

R

(1+a)R (1+a)R

Ш i , .„mj. h(0) — e . , ,t.t.

r+v(R) i nr(t)dt -R+^m) i XEW-VЮ* =

R R

= h(R)+ h(R).

По теореме 21 из [18]

1+a

lim I3(R) = (h(0) — e) f tp+a dt. R^x J

1

Так как множество E имеет линейную плотность ноль, то lim Ii(R) = 0. Из теоремы 3

и теоремы 2, пункты 7 и 9, следует, что lim I2(R) = 0. Из доказанных утверждений легко

следует, что ws > h(0).

Третий этап. На этом этапе мы докажем неравенство h(0) < ws, а, следовательно, и равенство h(0) = ws. Обозначим

А = {t : t > 0, 39 G [0,-/8] такое, что v(teie) > (h(ß) — 1)V(t)} .

При некотором 5 G (0,-/8) функция v(z) является субгармонической в угле 5<argz<- — 5. Из этого нетрудно вывести, что при q G (0,1) справедливо неравенство

( )

N = ini sup , > —го.

reA te[gr,r/g] V(Ч

Пусть

An = {t : t > 0, v(it) > (N — 1)V(t)}, En = У

reAN

Тогда для любого в G [0,-/8] выполняется равенство

2 1 ' 2

( i )

hw = limsup т^т. (7)

reEN

Далее мы будем рассматривать как функцию субгармоническую в полуплоскости \~rnz > 0. Пусть Л — её полная мера. Тогда по теореме 2, пункт 4, справедливо равенство

v(z) = 1 Jf к(z, ()d\(() +sin9d(r, 9)V(г),

1 7

С( z,r/2)

где d(г, 9) — функция, ограниченная на множестве Е^ х (0, к/8]. Пусть (R\, R2) — есть пересечение круга С (z, т/2) с вещественной осью. Тогда Ri = а(в)г, R2 = Р(9)г, где

a(e)=cose 1/4 - sin29, р(6) =cose + .

Так как ядро К(z, () отрицательно при Imz > 0 ImC — 0 а ограничение меры Л на полуплоскость Im ( > 0 — есть положительная мера, то

R2

v(z) < — Í К(z, t) dЛ(t) + sin 9 d(г, 9)V(г). 2к J

Ri

( )

d Л( ) = - ( ) d .

Поэтому

R2 R2

v(z) < ^ I , v(tldt 2 + sin 9 d(r, 9)V(r) = V- I (t)U 2Л + sin 9 d(r, 9)V(r).

У ' - 7 J (t - x)2 + У2 У ' У ' 7 J ts((t -x)2 + у2) У У >

Rl Ri

= tsv+(t) < M34tsV(t) = MMVi(t),

Если dv\(t) = tsv(t) dt, то

v\(r + ar) — v\(r) --= ws(a).

Мера абсолютно непрерывна и плотность её положительной составляющей удовлетворяет неравенству

" d vi+(t)

Ж

где Vi(t) = tpl(t), pi(t) = s + p(t).

Теперь из теоремы 23 [18] и равенства (7) следует

т*

1 ... , v(r е ) гs г sin 9 f dv\(t)

h(e)=<^J +

reEN а(в)г

Р(в)

n и m sin0 [ tp dt _ , ...

+ hmsupsmfc>d(r, 9) <ws- ^----bsmft di(9),

r^ 7 J t2 — 2t cos 9 + 1

reEn а(в)

где d\(9) — ограниченная функция на интервале (0,п/8). Переходя в полученном неравенстве к пределу при 9 ^ получим неравенство h(0) < ws.

Четвёртый этап. На этом этапе мы докажем равенство ws = h(0), когда хотя бы одна из двух указанных величин равна минус бесконечности. Из неравенства ws — h(0) следует, что

если ws = —ж, то h(0) = —ж. Покажем теперь, что если h(0) = —го, то ws = —ж. Допустим противное, что ws > —го. Тогда можно считать, что ws = 0. Пусть Е\ = {г : v(r) < —2V(г)}. Поскольку h(0) = —ж, то 1*(Е\) > З7 > 0. Поэтому существует последовательность {гп}, lim гп = ж, такая, что mes ( Е\ П [гп, 2гп}) > 7гп.

Поскольку ws = 0, то ws(а) те равно тождественно —ж. Поэтому v(z) G SHF(ß(r)). Тогда по теореме 2 справедливо разложение v(z) = V\(z) + v2(z), где v2(z) — гармоническая функция на множестве Ss = {z : \z\ > 1, \ arg z\ < которая удовлетворяет неравенствам

|V2(z)\ < M35V(r), \v2(z + hz) — v2(z)\ < M36\h\V(r),

когда z,z + h z G Ss, a V\(z) — субгармоническая во всей плоскости функция формального порядка ß(r). Пусть — риссовская мера функции V\(z), 7]\ G (0, 0.01) M4, M§ — те величины, о которых говорится в теореме 1. Пусть F — исключительное множество для меры построенное с помощью функций A(r) = V(г), р(а) = М^а/щ. Пусть А — та система кругов, которая построена перед формулировкой теоремы 1. По теореме 1 выполняются неравенства:

I*(А) < m,

1

\v i(z + h z ) — v i( z)\ < M37 J ln + ^Çj dtV (r), z,z + h/F.

0

Поэтому при z, z + hz G {C : \£\ > 1, \ arg < 5}\F будет выполняться неравенство

i

\ v(z + hz ) — v(z)\ < M37 J ln + jh) dtV (r).

01

Число а мы будем называть относительным радиусом круга С (г, а г). Пуст ь А = А2, где А1 — те круги из набора А, чей относительный радиус строго меньше чем 2, а А2 — остальные круги набора А. Заменим каждый круг из набора А2 кругом с тем же центром и в десять раз большим радиусом. Набор таких кругов обозначим А2. Пусть А = А1 У А2. Тогда I*( А) < 10 щ. Пусть 10 щ < 72. Мы можем также считать, что 7 < 0.1. Тогда 1*(А) < 0.17. Пусть Е2 — объединение кругов, входящих в систему А. Тогда существует номер п\ такой, что при п >п\ будет выполняться соотношение

(Ег П [гга, 2 гга])\Е2 = 0 .

Пусть В,п € (Е\ П [гп, 2гп])\Е2. Поскольку Кп € Е1, то у(Кп) < —2У(Еп). Поскольку € Е2, то круг С(Кп, Зщ2Кп) не пересекается ни с одним из кругов набора А2- Кроме того, Кп € Р- Если г € С(ККп, 3]\2Кп)\Е, то выполняется неравенство

1

|у(Кп) — у(г)1 < М37 11^1 + ^ МУ(Кп). 0

1

М3711^1 + ^ а < 1, (8)

0

то при г € С(Кп, Зщ2Кп)\Р будет выполняться неравенство и(г) < —У(Кп). Пусть г0 € С(В,п,Т12В,п) П Р. Тогда для некоторого номера г г0 € С^ Пусть С(дг,а^д^) — круг

наименьшего радиуса, содержащий Ог. Тогда аг < щ2 и поэтому Ог С С(Кп, 3г]12Кп). Поскольку различные множества О г не пересекаются между собой, то ддОг ПО = О, ддОг ПР = О. Тогда при г € ддОг будет выполняться неравенство ь(г) < —V(Кп). По принципу максимума это неравенство будет выполняться при г € О%. В частности, ь(го) < — V(Кп). Таким образом, во всём круге С(Кп, ^12Кп) справедливо неравенство у(г) < — V(Кп). Из этого следует, что

2

при а < щ2 выполняется неравенство

ws(a) < — J t

1+ а

dt.

Поэтому ^ < — 1. Мы получили противоречие, и равенство = —то доказано.

Пятый этап. На этом этапе мы докажем равенство = Н(0). При этом доказательство достаточно получить в том случае, когда Н(0) > —то. В дальнейшем мы будем предполагать, что это неравенство выполнено. Доказательство будет в основном проходить по схеме четвёртого этапа. Пусть е — произвольное строго положительное число. На этот раз множество Е\ мы определяем следующим образом

Е1 = {г : ь(г) < (Ь(0) + е^(г)} .

Заключение о свойствах множества Е1 остаётся прежним. Выбор числа щ на четвёртом этапе определялся из неравенства (8). Сейчас мы это неравенство заменим на неравенство

1

М37 J In^l + ^j dt < е. о

Тогда теми же рассуждениями, что и на четвёртом этапе, мы получаем, что в круге С (Кп, г}12Кп) при п > П\ выполняется неравенство v(z) < (h(0) + 2e))V (Rn). Откуда легко следует, что ws < h(0), ws = h(0).

Следующее утверждение, доказательство которого следует из рассуждений, проведенных на четвёртом и пятом этапах, мы выделим в виде отдельной теоремы.

Теорема 8. Пусть v(z) — субгармоническая функция внутри угла (в1, в2), р(г) — её формальный порядок, в £ (81, 62). Пусть М — произвольное вещественное число, если h(9) = —то, и М = h(9) + е, где £ — произвольное строго положительное число, если h(9) > —то. Тогда, существуют число 5 > 0 и последовательность Rn, lim Rn = то, т,а,кие, что в круге

В(Кпегв, Кп) выполняется неравенство: v(z) < MV(|^|).

Эта теорема является уточнением теоремы B.C. Азарина [1] о "ямах" и в существенном совпадает с теоремой 7 из [5].

Шестой этап. На этом этапе мы докажем утверждение 3 теоремы, когда Н = h(0) > —то. Пусть Кп и 5 те числа, о которых идёт речь в теореме 8. Обозначим

Е3 = {г : v(r) < (h(0) — e)V(г)} .

По определению нижнего индикатора 1*(Ез) = 0. На множестве [ Кп, (1 + 5)Кп]\Ез выполняется неравенство |f (г) — h(0)V( r)| < еV( г). Поэтому при а £ (0, имеем

(1+а)К„ (1+а) Rn (1+а) Rn

J lv(t) — h(0)V(t)ldt <e J V(t)dt + J xe3(Ф(t) — h(0)V(t)ldt.

Rn

Rn Rn

lim w( a)/ a = 0

Н = h( )

и что в = -/2. Из определения индикатора следует, что существует функция e(r) ^ 0 при г ^ го такая, что

(1+Дх)г (1+Ах)г

.2.

J v(it) — h{—j V(t) dt = j (h^V(t) — v(it)^ dt + e(r)rV(r).

Пусть hA(d) — индикатор функции va- Далее мы имеем (1+Ai) г (1+Ах)г

1=1 (h (2) — hA (2 ))v (t)dt + j hA (2) (V (t) — V (r))dt+

2 2 2

(1+Ai)r (1+Ai)r

.2,

(1+Ai)r 6

+ (hA (2) V(r) — VA(ir)) dt + (VA(ir) — VA(it)) dt+

+

J (vA(it) — v(it)) dt + e(r)rV(r) = ^ bk .

Так как у(г^ < уа(И), то Ъ (2) < На (§), Ь\ < 0. Из теоремы 21 [18] следует, что Ь2 < М38а2гУ(г). Из определения индикатора следует, что существует неограниченное множество Е такое, что Ъ3 = е1(г)гУ(г), где е1(г) ^ го при г ^ го, г € Е. Далее пусть — мера, введенная в теореме 5, а М28 — константа из этой же теоремы. Мы выбираем

. ln2(3/A1) 1л/, 3,3

А = Аи12У, х V, V=-Аи ln2-r~ l^^- .

^ ln(3/A{) , 1 М28 ^ 2 А1 А1

Далее мы строим исключительное множество Р для меры с помощью функций А(г) = V(г), <р(а) = М4т/а (М4 — константа из теоремы 1). На третьем этапе доказательства теоремы 5 мы показали, что при х, х + Ъг / Р, г € С (гг,5г/2), Щ < 5/4, выполняется неравенство

1

|УА(г + Ъг) — УА(г)1 < М3^ 1п + ^ СиУ(г).

0

Согласно теореме 6 при г € Е отрезок [гг, г(1 + А1)г] не пересекается с множеством Р. Поэтому

(1+А1) г 1

' М28

Л/1П2(3/А1)1и(3/А1)и

I ъ41<М35 J j ln(l + — t nt M28 ,nlA s ) dudt V (г) = 0

y/\n2(3/Ai) ln(3/Ai)/М28

= M35M28rV(r) . A1 i ln[1 + 1)ds <

28 () Vln2(3/A1)ln(3/A1) J \ sj <

< M35M28rV(r) . A1 {[ ln[1 + 1 ) ds+

< () y/ln2(3/A1)ln(3/A1) yj V sj

+ 1 '"2 £ ^ £ - Ч ^ < M3,rv(r)Aj .

Согласно теореме 4 выполняется неравенство

|Ьб| < M25rV(r)A = M25rV(r)AiJЩщ) .

■

Из полученных оценок следуют утверждения 3 и 4 теоремы при Н = h(9). Восьмой этап. Нам осталось доказать утверждение 4 теоремы при h(0) < Н < h(0). Мы по-прежнему считаем, что v(z) — есть субгармоническая функция в верхней полуплоскости, р(г) — её формальный порядок, причём р £ (0,1) в = ж/2. На этом этапе мы докажем, что Н

строго положительного числа А существует последовательность rn, lim гп = +то, такая, что vA(irn) = HV(гп). Пусть е > 0 и такое, что

<Н - 8е <Н + 8е <h(^j .

Пусть Ai £ (0, exp(-е)), и по-прежнему

4

a = aJ-n2(3/Ai)

M3/A0 •

Тогда из теоремы 4 вытекает, что

(1+Ai)R

У lv (it) - VA(it)ldt < M25ARV (R), R £ E\. (9)

R

где Е\ — множество, определенное в этой теореме.

Согласно уже доказанному утверждению 3 теоремы при Н = к (к/2) получаем, что для любого достаточно малого А1 существует последовател ьность Rn, Нт Rn = то, такая, что

(1+Д1)Д„

У IV(и) - Щ) У(¿)| ^ < еА^пУ^п).

Rn

Причем, как следует из приведенного доказательства последовательность Rn можно выбрать Е1

(1+Ai)Rn

У |va(it) - V(t)ldt < Ai ^£ + M25RnV(Rn) < 2eAiRnV(Rn),

Rn

если A\ достаточно малое число. Пусть

В = {t : t £ [Rn, (1 + A!)Rn], \vA(it) - Щ) V(i)| > 4eV(Rn)} . Тогда mes В < A\Rn/2. Поэтому при некотором t £ [Rn, (1 + A\)Rn] выполняется неравенство

va(ü) - h (^2) V(i)| < 4eV(Rn).

Из этого следует, что существует последовательность R2n, lim R2n = ж, такая, что

vA(iR2,n) > (Н + 3e)V(R2,n). (Ю)

По теореме 8 существуют число ö > 0 и последовательность R33 п, lim R3n = ж, такие, что

при z Е С(Шэ,п, <SR3,n) выполняется неравенство v(z) < (Н — 8e)V(|-г|). Предположим дополнительно, что v(z) Е SHF(p(r)). В этом случае множество Е\, о котором идет речь в теореме 4, можно считать равным лучу [1, ж). Если теперь написать неравенство, аналогичное (9), с R = R3 n, то из него можно получить, что существует последовательность R\ n, lim R\n = ж,

' ...... , n^-те '

такая, что

vA(iRi,n) < (Н — 3e)V(Rhn). (11)

Как следует из теоремы 2, функции v(z) и vA(z) принадлежат или не принадлежат классу SHF(p(r)) одновременно. Если vA(z) Е SHF(p(r)), то нижний индикатор этой функции в точке ж/2 равен минус-бесконечности. В этом случае условие (11), очевидно, выполняется. Функция vA(it)/V(t) является непрерывной на оси [1, ж). Теперь из условий (10), (11) и теоремы о промежуточном значении для непрерывных функций следует, что существует такая последовательность Rn, lim Rn = ж, что vA(iRn) = HV(Rn).

Девятый этап. На этом этапе мы закончим доказательство утверждения 4 теоремы. Rn

D = U{ f-QRn <N< Rn, 4 < arg, < 3-},

n— 1 ^ ^ '

n M / q Rn ^ I I ^ 2 Rn ж 1ж'

D = U\z:-2T <lzl<^, 8 < argz < T

n—1

Пусть р1 — риссовская мера функции уА(г), а р2 — ограничение меры р1 на множество Оь Тогда по теореме 2 р(г) будет формальным порядком меры р2 и функциии

i — !

dß2(0

У1(г) = // ^

причём функция и2(г) = уа(^) — ь^г) при г, г + кг Е О будет удовлетворять неравенству

|У2(г + кг) — У2(г)1 < М^ЩУ(г).

Пусть М4 и Мб — те величины, о которых идёт речь в теореме 1. Для меры р2 построим исключительное множество Р с помощью функций А(г) = V(г), р(а) = М^а/г]. Тогда по теореме 1 выполняются соотношения 1*(А) < г/,

1

Iы(г + кг) — У1(х)1 < МбУ(г) Jln(l + ^ М, г, г + кг / Р.

о

Таким образом, существует величина М40, не зависящая от г], такая, что при г, г+кг Е О\Р будет выполняться неравенство

1

I уА(г + к г) — уА ( г)1 < МтУ (г) ^ 1п + ^ М.

По-прежнему считаем

Л л ln2(3/Ai) 1 Г г 3

А = Аи1гУ, х V , Г)=-AM 1n2 — — .

'V 1n(3/Ai) , 1 M28 'V 2 Ai Ai

Тогда из теоремы 6 следует, что существуют числа До и по такие, что при А\ £ (0, До), п > щ сегменты [гКп, г(1 + Д1)КП] не будут пересекаться с множеством Р. Имеем

(1+Д1)Д„ (1+Дх)Д„

У IV (И) -НУ < J IV (И) - ьд(И)1М+

К-п Я-П

(1+Д1)Я„ (1+Д1)Я„

+ I | уд(и) - уд(г Кп)1М + |Н I У |У (Кп) -У ШМ.

Теперь, повторяя некоторые из рассуждений пункта 7 получим

"(Ai) *M„

Теорема полностью доказана.

Отметим, что при Н £ (Ы,в),к(0)} мы доказали, что величина ,ы(а) допускает оценку

V

■") SM., ig«

Для случая Н = h(ff) мы получили только соотношение lim w(a)/a = 0. Отметим, что в

этом случае никакой иной оценки для ■(.) в классе всех субгармонических функций полуформального порядка р(г) не существует. Соответствующий пример будет построен.

6. Пример

Пусть а £ (0,1) и пусть 7(и) строго возрастающая функция на сегменте [0, а\, дифференцируемая на полуинтервале (0, а],7(0) = 0 7'(+0) = и такая, что сходится интеграл

а

У 1n(^J d-y(t) .

о

Сходимость последнего интеграла эквивалентна сходимости интеграла

а

¡ш*.

о

Пусть р £ (0,1^. Пусть гп, Г1 > 1, — быстро возрастающая числовая последовательность, удовлетворяющая условиям

п— 1 те

Е < < </2, £ <-1 < 1/Гп.

к=1 к=п+1

Пусть, наконец,

РпОО = гп1\ —

> п

Сп)

Обозначим

Ьп(г) =

1п

1 -

Гп + г 8

а

(крп^) = <J 1п

1

Гп(1 + г и)

(у(и)

к ^ = ^2Пп(г).

п=1

Исследуем некоторые свойства функции и(г). Пусть д — произвольное число из интервала (0,1) и пусть г = I г1 Е [дгп, гп/д]. Пусть т <п. Тогда

а

Vт(г) = грт 1п

1

Гт(1 + г и)

(у(и) = (1 + о(1)) гЩу(а)1пг (п ^ ж),

п 1

т( )

т=1

< А^р/2 1п г.

При т > п выполняется неравенство 1 УтШ < 7(а)гШ-1 r,

т( )

т=п+1

< 1(а)— < А2 .

Таким образом, при г Е [дгп, гп/д] справедливо представление

у(г) = V п(г) + фп(г), 1Ы*)1 < А^р/21пг + А2 .

(12)

Изучим динамическую систему Азарина: = ь(Ьг)/Ьр, Ь Е (0, ж). Для этого зафикси-

Гпг)

гргр

1/ь V ]

о

1

1 + г и

(у(и) = аг(х).

Из соотношения (12) следует, что для любого Ь Е (0, ж) функция а^х) принадлежит предельному множеству Азарина Рг(и) функции V. Мы используем определение Азарина [1] предельного множества Рг (и) субгармонической функции V. Очевидно, что если К — компакт, не содержащий нуля, то а^х) ^ 0, если Ь ^ 0 или Ь ^ ж равномерно на компакте К. Можно также показать, что множество функций а^х), Ь Е (0, ж) и 0 совпадает с Рг V. Детали рассуждения будут приведены позже по другому поводу.

Обозначим

а

1 Л (ь - 1)2 +и2

ф) = аг(1) = ^ 11п-

1 + и2

( ( и).

Теорема Азарина [1] утверждает, что если к(в) ж Н(в) — индикатор и нижний индикатор

к(в)= вир и(е ), Ыв)= И и(е ). «ер™ «ер™

п

п

а

h(0) = sup ip(t), h(0) = inf ip(t). te(o,x) te(0,x)

В частности, ^(1) £ [h(0), h(0)]. Легко видеть, что ^(+0) = <р(2) = 0 и что <^(t) < 0 при t £ (0, 2), <p(t) > 0 при t> 2. Имеем

11

Ч>' (t) = 1

2 tP+1

а

J (_, щ" -1)2 + "' + -Ч

1+U2

(t - 1)2 + U2,

d7(u).

При £ £ (1, 2) оба слагаемых в скобках положительны, и поэтому функция ^(Ь) возрастает на сегменте [1, 2]. Так как 7'(+0) = +то, то, применяя расуждения, связанные с доказательством теоремы Фату [14, глава 1, пункт Е)3], можно доказать, что (1 + 0) = +то, (1 - 0) = -то. Таким образом, точка 1 есть, по крайней мере, точка локального минимума функции ^(Ь). Мы не нашли простого доказательства, что точка 1 есть точка минимума функции ^(Ь) на оси (0, то). В дальнейшем, применяя теорему 7, мы докажем это утверждение. Всюду в дальнейшем предполагается, что Р £ (0, а].

Рассмотрим величины

(1+/3)г

(1+/) г п

w(p) = limmf-+- f Ki)-^(1)tp | dt, wi(P)=lim f |v(i) - <p(1)t-ldt.

Из дальнейшего будет видно, что второй из написанных выше пределов существует. Из соотношения (12) следует, что

w1(P) = lim

n^-x r n

1

rn(1+/)

1+-

J |Vn(t) - Ф)t-l dt =

Нш

1

rn(1+P)

„1+-n

n- ln

1

Гп(1 + i U)

а

d7 (u)- 1 tp j ln

U

оо Сделаем в интеграле замену Ь = г п + тгп. Мы получим

¡3 а

oo

W1(P) = j J ln 1 - d7(u) -\(1+TYj ln

U

U2 + 1

1 + U2

d 7( U)

d ( U)

d .

j (1 + t)-j ln1+u-d7(u) -j ln

0

1 +u2

T2 + U2

d =

d7 (u)

оо Выражение под знаком модуля имеет вид

а

d .

((1 + т)р - 1) jln 1+-U- d7(u) + J ln

T2 +U2

U2

d7(u)

оо и поэтому положительно при т > 0. Таким образом,

3 а

W1(P) = 2

(1+т)р ln

1+U

2

U

2

ln

1+U2

2 + U2

d ( U) .

oo

(13)

а

а

а

Из определений w(ß) и w\(ß) следует, что

w(ß) < w(ß). Пусть tk, lim tk = то, — такая последовательность, что

k^-x

(1+/) tk

(14)

w(ß)=,}]m0 t+p j \v® tp\dt•

к tk

Прореживая, если нужно эту последовательность можно добиться того, что на каждом из полуинтервалов [гп, гп+\) будет находится те более одной точки Прореживая, если нужно, последовательность Ьк ещё раз можно добиться чтобы любая точка ^ находилась бы только в

одном из множеств

f П7 л/^пТп+1

{^гПгП+1, тп+\) (разумеется, каждому к отвечает свое п). Так как оба случая изучаются одинаково, то можно дополнительно предположить, что для

каждого к однозначно определяется номер Пк такой, что tk £ разным к отвечают различные Пк• Пусть

к

s = limsup-.

k^-x ^nk

Не ограничивая общности, можно считать, что

к

s = lim -.

Т n(k) , / rn(k)r n(k) + 1

причем

k^x Г.

Пк

Очевидно, что s £ [1, то]. Докажем, что s < то. Предположим, что s = то. Имеем

< Airp/2 ln г, г > гПк ,

Пк 1

Y1Vm(z)

т=1

1

W

Y1 Vm(z)

m=nk+1

1- p 1- p <7(о0 л-г + --■

ГПк + 1 ' Пк + 1

Г £ [Гпк 1 /Гпк Гпк+1] .

Из полученных оценок следует, что

w( ß) = lim

1

(1+/) tk

k^x t1+p

|Vnk (t) -<p(1)tp\ dt =

(1+/) tk

lim -Tj—

k^x tk+p

tk

tk

1

lim

k^-x

0 0

Учитывая равенство

//(^ ln

1

r nk (1 + iи)

t k 1+T

dj(u) - <p(1)tp

Vnk 1 + i и

dj(u) -<f(1)(1+r)p

d =

d .

lim ^ = 0,

k^-x tk

а

а

p

получим

3 а

■и>(13) = 1 Ы1)1(1+т)р(т = 2! ¡(1+т)р (и)(т.

0 0 0

Сравнивая с (13), получим т(Р) > т^/З). Это противоречит (14). Таким образом случай, = ж невозможен. Покажем что случай Е (1, ж) также невозможен. В противном случае из соотношения (12) следует, что

Ък ( 1+3)

) = Иш [ IУпк(V - <р(1)гр1 а =

Ч+р

1

Ък ( 1+3)

Иш .

к^ж £ \+р

к

1

Иш

р

^ I у ь

0

1

Г пк(1 + ги)

г к 1 + т

(у(и) - <р(1)Ьр

1/ ь

0

1

Гпк 1 + г и 8(1 +т) '

(у(и) -р(1)(1+т)р

( =

( =

1 + % и

(у(и) -р(1)(1 + т)р

(1 + т)р Ы1-^ - 11п 1 + и

и2

р (- 1 + ,вт)2 + и2_

( =

(у(и)

( .

Выражение в квадратных скобках совпадает по знаку с выражением

1 + и2

(1 + т)р8р - 1п

1+и2

и2

(8 - 1 + 8Т)2 +и2

= {8 р(1 + т)р - 1)1п^ +1п(* - ^^ + и

и2

и2

и поэтому положительно. Таким образом, мы получаем

3 а

"(Р) = \] / ((1 + г)р 1п 00

1+и2 1, -^---1п

1 + и2

и2

р ( - 1 + )2 + и2

(у(и) (т.

Вместе с (13) это даёт

"(Р) -т (Р) = 2

1п „+и .--1п

1 + и2

00

2 + и2 р ( - 1 + ) 2 + и2

(у(и) (т.

Подинтегральная функция совпадает по знаку с функцией

8 р 1п \+ и 2 - 1п 22

1+и2

т2 +и

1+и2 (8 - 1+8Т)2 +и2

= (8р - 1) ^-+ 1п ■

( в - 1 + вт)2 + и2 т2 + и2 т2 + и2

2 + и2

3

а

3

а

а

3

а

3

а

Так как > 1, т € [0,3] С [0,1], то написанная выше функция строго положительна. Это даёт — Wl(/) > 0, что противоречит (14). Таким образом, осталась единственная

возможность 5 = 1. Это даёт

w(ß)=-

ß а

(1+т)р ln

1+и2

-In

и2

1+и2 т2 +и2

dy (и) dr,

о о

w(ß)=w1(ß). Таким образом, функция w(ß) вычислена. Далее имеем

w(ß) > -

ß а aß/и

1 2 + и2 1

ln-2— dy(и) dr = - и ln(1 + T^dridy^) =

оо

оо

= \ Í и(ß ln(l + - 2ß +2arctg ^ dy(n) > 2 J \и \ и2) и и J

о

a ß

lln(1 + > -М1 + 5)

> 2J ln[1 + и2) d~tM > 2 J Inil + Zil d-i(v) >

оо

ß ß ß о Г У(и)

>ßj ln ß dy (и) = ß J

d и .

и

(15)

о о

Пусть е (3) произвольная положительная функция, сходящаяся к нулю при / ^ 0. Огра-

ß

1(и)

и

d и > ( ß)

(16)

в некоторой правой окрестности нуля. В частности, если e(ß) = (М + 1)^J, гДе М — константа из теоремы 7, то тогда неравенства (15), (16), соотношение р(1) е (h(0), h(0)] и теорема 7 вместе дают противоречие. Тем самым, если функция у удовлетворяет неравенству (16)

с написанной выше функцией e(ß), то h(0) = р(1) = min p(t). Кроме того, неравенства (15) " te(o,<х)

и (16) показывают, что при Н = h(0) в теореме 7 условие w(a) < е(а)а не выполняется ни для какой функции е(а), сходящейся к нулю при е ^ 0, в классе всех субгармонических функций, удовлетворяющих условиям теоремы 7.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОИ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азарин B.C. Об асимптотическом поведении субгармонических функций 1979. Т. 108, № 2. С. 147-167.

Матем. сб.

2. Говоров Н.В. Об индикаторе функций нецелого порядка, аналитических и вполне регулярного роста в полуплоскости // Докл. АН СССР. 1965. Т. 162, № 3. С. 495-498.

а

3. Говоров Н.В. Об индикаторе функций целого порядка, аналитических и вполне регулярного роста в полуплоскости // Докл. АН СССР. 1967. Т. 172, № 4. С. 763-766.

4. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. 592 с.

5. Гольдберг А. А., Островский И. В. Индикаторы целых функций конечного порядка, пред-ставимых рядом Дирихле // Алгебра и анализ. 1990. Т.2, № 3. С. 144-170.

6. Гришин А. Ф. О регулярности роста субгармонических функций. I // Респ. сб. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения". 1968. Вып. 6. С. 3-29.

7. Гришин А. Ф. О регулярности роста субгармонических функций. II // Респ. сб. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения". 1968. Вып. 7. С. 59-84.

8. Гришин А. Ф. О регулярности роста субгармонических функций. III // Респ. сб. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения". 1969. Вып. 8. С. 126-135.

9. Гришин А. Ф. Непрерывность и асимтотическая непрерывность субгармонических функций. I // M а гс.м. физика, анализ, геом. 1994. Т. 1, № 2. С. 193-215.

10. Гришин А. Ф. Непрерывность и асимтотическая непрерывность субгармонических функций. II // Ma гс.м. физика, анализ, геом. 1995. Т. 2, № 2. С. 177-193.

11. Кондратюк А. А. Метод рядов Фурье для целых и мероморфных функций вполне регулярного роста // Матем. сб. 1978. Т. 106, № 3. С. 386-408.

12. Кондратюк А. А. Метод рядов Фурье для целых и мероморфных функций вполне регулярного роста. II // Матем. сб. 1980. Т. 113, № 1. С. 118-132.

13. Кондратюк А. А. Метод рядов Фурье для целых и мероморфных функций вполне регулярного роста. III // Матем. сб. 1983. Т. 120, № 3. С. 331-343.

14. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984. 368 с.

15. Левин Б. Я. О росте целой функции по лучу и о распределении ее нулей по аргументам // Матем. сб. 1937. Т. 2(44), № 6. С. 1097-1142.

16. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956. 632 с.

17. Малютин К. Г. Ряды Фурье и ¿-субгармонические функции конечного 7-типа в полуплоскости // Матем. сб. 2001, Т. 192, № 6. С. 51-70.

18. Малютин К. Г., Кабанко М.В., Малютина Т.Н. Интегралы и индикаторы субгармонических функций. I // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, Вып. 2. С. 272-303.

19. Малютин К. Г., Садик Н. 2001 Дельта-субгармонические функции вполне регулярного роста в полуплоскости // Доклады РАН. 2001. Т. 380, № 3. С. 1-3.

20. Bernstein V. Sopra una proposizione relativa alla crescenza delle funzioni holomorfe // Ann. Scuola norm sup. Pisa. 1933. Vol 2, N0 2. P. 381-399.

21. Fedorov M. A., Grishin A. F. Some Questions of the Nevanlinna Theorv for the Complex HalfPlane // Mathematical Phvsics, Analvsis and Geometry. 1998. Vol 1, N0 3. P. 1-49.

22. Pfluger A. Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasse analvtischer Functionen. I // Comm. Math. Helv. 1938. Vol. 11. P. 180-213.

23. Pfluger A. Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasse analvtischer Functionen. II // Comm. Math. Helv. 1939. Vol. 12. P. 25-69.

268

K. T. MajnoTHH, M. B. Ka6anKO, T. II. MajnoTnna

REFERENCES

1. Azarin, V. S. 1980, "On the asymptotic behavior of subharmonic functions of finite order" , Math. USSR-Sb., vol. 36, no. 2, pp. 135-154.

2. Govorov, N. V. 1965, "On the indicator of functions of non-integer order, analytic and completely regular growth in the half-plane" , Doklady Akademii nauk SSSR, vol. 162, no. 3, pp. 495-498.

3. Govorov, N. V. 1967, "On the indicator of functions of integer order, analytic and completely regular growth in the half-plane" , Doklady Akademii nauk SSSR, vol. 172, no. 4, pp. 763-766.

4. Gol'dberg, A. A. k, Ostrovskii, I. V. 1970, Value Distribution of Meromorphic Functions. M., Nauka.

5. Gol'dberg, A. A. k, Ostrovskii, I. V. 1991, "Indicators of entire functions of finite order that can be represented by Dirichlet series" , Leningrad Mathematical Journal, vol. 2, no 3, pp. 589-612.

6. Grishin, A.F. 1968, "On regularity of the growth of subharmonic functions. I" , Teor. funktsii, funkts. analiz i ih pril., vol. 6, pp. 3-29.

7. Grishin A. F. 1968., "On regularity of the growth of subharmonic functions. II" , Teor. funktsii, funkts. analiz i ih pril, vol. 7, pp. 59-84.

8. Grishin, A. F. 1969, "On regularity of the growth of subharmonic functions. Ill" , Teor. funktsii, funkts. analiz i ih pril, vol. 8, pp. 126-135.

9. Grishin, A.F. 1994, "Continuity and asymptotic continuity of subharmonic functions. I", Mathematical Physics, Analysis and Geometry, vol. 1, no 2, pp. 193-215.

10. Grishin, A.F. 1995, "Continuity and asymptotic continuity of subharmonic functions. II", Mathematical Physics, Analysis and Geometry, vol. 2, no 2, pp. 177-193.

11. Kondratvuk, A. A. 1979, "The Fourier series method for entire and meromorphic functions of completely regular growth" , Math. USSR-Sb., vol. 35, no 1, pp. 63-84.

12. Kondratvuk, A. A. 1982, "The Fourier series method for entire and meromorphic functions of completely regular growth. II" , Math. USSR-Sb., vol. 41, no 1, pp. 101-113.

13. Kondratvuk, A. A. 1984, "The Fourier series method for entire and meromorphic functions of completely regular growth. Ill" , Math. USSR-Sb., vol. 48, no 2, pp. 327-338.

14. Koosis, Paul. 1980, Introduction to Hp Spaces. Cambridge University Press, Cambridge -London - New York - New Rochelle - Melbourne - Sydney.

15. Levin, B.Ya. 1937, "On the growth of an entire function along a ray, and the distribution of its zeros with respect to their arguments" , Math. USSR-Sb., vol. 2(44), no. 6, pp. 1097-1142.

16. Levin, B.Ya. 1980, Distribution of zeros of entire functions. Providence, RI: Amer. Math. Soc.

17. Malvutin, K.G. 2001, "Fourier series and ¿-subharmonic functions of finite 7-tvpe in a halfplane" , Sb. Math., vol. 192, no 6, pp. 843-861.

18. Malvutin, K.G., Kabanko, M.V. k, Malvutina, T.I. 2018, "Integrals and indicators of subharmonic functions. I" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no 2, pp. 272-303.

19. Malvutin, K.G., Sadik, N. 2001, "Delta-subharmonic functions of a completely regular growth in the half-plane" , Doklady Mathematics, 2001, vol. 380, no. 3, pp. 1-3.

20. Bernstein, V. 1933, "Sopra una proposizione relativa alia crescenza delle funzioni holomorfe" , Ann. Scuola norm sup. Pisa, vol 2, no 2, pp. 381-399.

21. Fedorov, M.A. k. Grishin, A.F. 1998, "Some Questions of the Nevanlinna Theory for the Complex Half-Plane" , Mathematical Physics, Analysis and Geometry, vol. 1, no. 3, pp. 1-49.

22. Pfluger, A. 1938, "Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasse analytischer Functionen I" , Comm. Math. Helv., vol. 11, pp. 180-213.

23. Pfluger, A. 1939, "Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasse analytischer Functionen II" , Comm. Math. Helv., vol. 12, pp. 25-69.

Получено 15.11.2019 г.

Принято в печать 20.12.2019 г.