Представление результатов измерения атмосферной турбулентности для исследования случайного нагружения конструкций летательных аппаратов и высоких сооружений Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

То м IV 197 3

N° 5

УДК 629.735.33.015.073

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ АТМОСФЕРНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛУЧАЙНОГО НАГРУЖЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ И ВЫСОКИХ СООРУЖЕНИЙ

В. Д. Ильичев

Предлагается стандартная форма представления результатов экспериментальных исследований атмосферной турбулентности. Такая форма вместе с комплексом соответствующих алгоритмов дает возможность использовать экспериментальные данные для исследования динамического нагружения конструкции летательных аппаратов и высоких сооружений при различных расчетных условиях как традиционными методами динамики,так и методами статистической динамики.

Теоретические модели атмосферной турбулентности, используемые в практических расчетах динамических нагрузок на летательные аппараты и высокие упругие сооружения, обычно основаны на допущениях об изотропном, стационарном и нормальном или локально-нормальном характере турбулентности. Экспериментальные данные, полученные самолетным или башенным способом, обычно служат для уточнения параметров именно этих теоретических моделей [1—2]. Однако использование таких моделей для представления результатов экспериментальных исследований приводит к чрезмерному обеднению исходного экспериментального материала в процессе обработки. В настоящей работе для описания атмосферной турбулентности предлагается достаточно компактная для ЭВМ форма представления экспериментальных данных в виде таблицы параметров, обладающая большой информационной емкостью и позволяющая уточнять теоретические и получать различные феноменологические модели атмосферной турбулентности, приспособленные к конкретным условиям решаемых задач.

Очевидно, что полной статистической характеристикой случайного нагружения является ансамбль спектров конечных реали-

5—Ученые записки ЦАГИ № 5

65

заций процессов, порождающих нагрузку. Статистический анализ такого ансамбля позволяет получить как описание процессов нагружения „в среднем", в форме оценок спектральных плотностей дисперсии [3—5]^ так и статистические характеристики экстремальных и других различным образом обусловленных случаев нагружения. При этом не используются весьма сильные допущения о нормальности и эргодичности, что неизбежно, когда упоминавшиеся выше характеристики определяются методами спектральной теории нормальных, стационарных эргодических процессов.

О средних характеристиках атмосферной турбулентности. Осредненные спектры дисперсии процесса нагружения слабо отражают его особенности, в значительной степени сказывающиеся на текущем напряженном состоянии конструкции. Для подтверждения этого приведем некоторые результаты измерений горизонтальных пульсаций сильного приземного ветра со средними скоростями 1/0 более 10 м/с. Горизонтальные пульсации напора измерялись безынерционными приборами синхронно на нескольких площадках специальной жесткой ажурной башни высотой 100 м.

1,0 \ я¥т

о

|\ //=//> (0г-12 12,6 13,6

& \ \ —д—

— и,2 16,3 16.8

V ч \ .Сред няя Яу(Т) --Д--

и к V 21,2 21.7 23,01 23.8

V] 5~-|

N Ь чАО Чг

г"1 Л.

. К "Ч ".

*•4 N

к

10 і'-.

\ 1 т

Фиг. 1

На фиг. 1 показан ансамбль нормированных выборочных автокорреляционных функций пульсаций скорости На высоте 15 м при различных средних скоростях ветра (У0 — средняя скорость за период осреднения 7=156 с). Аналогичный вид имеют графики и для всех других высот. Соответствующие графики пространственных автокорреляционных функций были получены путем замены переменной т на г — 1/0х.

Путем осреднения ординат выборочных корреляционных функций ансамбля, соответствующего каждой высоте, получены графики фиг. 2 и 3. Там же нанесены значения пространственной и временной корреляционных функций, вычисленные по известным формулам [6]:

и

/?у (г) = е ;

_ N (х) = Є т° ,

где период т0 и масштаб турбулентности /_( ями [7] /.0=1/0х0, /?у(£0) = /?у(і0) = 4-.

(1)

(2)

связаны соотношени-

Н* 7?М Г5м 22,5м 30м Л,Ум 52,5м 75м

%

- —'37,5м • расчет

5^8 < >—

1 1 • .1.

а $ }о 1? г} с

Фиг. 2

Ж. г= 'вТ

% « —о— у4*1?М 22,5м 30м 37,5м

Ч>С^ • - .7 - 7 - рас (зт 5м 7,5М чет

и 37' • гз шг*

I «Г

700

200

Г.М

Фиг. 3

Соответствующие формулам (1) и (2) выражения для нормированных пространственного и временного спектров дисперсии имеют вид

Л<2)=^7т!иг й =

(3)

Таким образом, формулы (1) и (2) могут служить удовлетворительной аппроксимацией полученных экспериментальных данных на всех высотах от 7,5 до 97,5 м при ,с0~7 с и £0=140 м. Рассеивание между средними корреляционными функциями для разных

высот Н несравнимо меньше рассеивания между „текущими" корреляционными функциями на одной и той же высоте. При частоте V 0,1 Гц, что соответствует со > 0,2 л (в рад/с), соотношение (3) при-

2 --

ближенно можно заменить зависимостью со 3 , которая весьма

близка к „закону 5/3“ Колмогорова — Обухова для изотропной турбулентности, хотя в рассматриваемых экспериментах степень изотропности для высот 7,5 и 97,5 м была весьма различной. Сопоставление графиков фиг. 3 и расчетных кривых (1), (2) (расчетные точки на фиг. 2 и 3) иллюстрирует „в среднем" эффект использования гипотезы Тейлора. Полагая, что случайный процесс пульсаций скорости ветра близок к нормальному, на основании полученных эмпирических распределений мгновенных скоростей приходим к выводу, что „в среднем" этот процесс близок к марковскому, так как известно, что если стационарный случайный процесс имеет корреляционную функцию вида (2) и является нормальным, то он одновременно и марковский. (Справедливо и обратное положение: если стационарный марковский процесс имеет корреляционную функцию в виде затухающей экспоненты (2), то этот процесс одновременно является нормальным [5].)

Именно устойчивость средних характеристик атмосферной турбулентности практически не дает возможности с помощью этих характеристик учитывать при расчете нагрузок те или иные особенности текущего процесса нагружения.

Цикл случайного нагружения. Из некоторого случайного процесса пульсаций скорости V (£), порождающего случайную нагрузку, выберем и дискретизируем конечную реализацию продолжительностью Т секунд. Назовем ее циклом случайного нагружения. Продолжительность цикла Т и шаг дискретизации определим исходя из ширины актуальной полосы частот (в рад/с)

Штт< Ш <; сошах » определяемой, В СВОЮ ОЧереДЬ, ПО СПвКТру ЧЭСТОТ

собственных колебаний конструкции. Очевидно,

Т= — ки Д* = —, (4)

а>ш1п штах^2

где кг, к2— некоторые целые числа, — число периодов с«ш1п в интервале Т, &2 — число отсчетов на периоде а)шах (например, К — А2 = 5). Тогда число отсчетов при дискретизации

7 11 сотах

N= — = k1 k..

2

wmm

Выбор из регистограммы какого-либо цикла для обработки и анализа может быть произведен по различным признакам, например, по большим значениям величины max 1/А, где Vk=V (htk),

k

, N

& = 1, 2, 3, ..., N, или по величине среднего 1^ = -^ 2 или

П А = 1

по величине шах (V/— Vy-i), где V°j (у'= 1, 2, ... , В) — последова-k

тельность пиковых значений V (t) и т. д.

Такие параметры динамических условий нагружения, как шах Vk, V0 и др., служат для внешнего описания процесса и не по-k

зволяют его восстановить. К числу параметров условий нагружения могут быть присоединены метеорологические параметры, характеризующие текущее состояние атмосферы, географические параметры и прочие, необходимые для классификации результатов измерений.

Назовем параметрами цикла нагружения параметры, описывающие спектральный состав цикла или даже позволяющие в определенной степени восстановить цикл нагружения, если заданы их значения.

Предположим, что между параметрами условий нагружения и цикла нагружения имеются статистические связи. Тогда появляется возможность вычисления условных статистических характеристик нагружения, т. е. характеристик, соответствующих всевозможным фиксированным значениям параметров условий нагружения. Следовательно, появляется возможность формировать различные исходные условия для расчетов на прочность под действием случайной нагрузки путем использования методов многомерной статистики [7].

Если X = | -1 |—нормальный (или квазинормальный) случайный вектор параметров _и Х2—подвектор параметров условий нагружения, то, задавая Х2, можно получить условное среднее Хх — подвектора параметров цикла нагружения, условную ковариационную матрицу Хх, а в конечном итоге —• каноническое разложение Хи позволяющее формировать условные циклы нагружения конструкции путем статистических испытаний [7]. В результате появляется возможность получать дифференцированные для различных условий статистические характеристики случайного нагружения.

В упоминавшихся выше измерениях пульсаций ветрового напора q(t)= параметрами условий нагружения были Я (вы-

сота), V0 (средняя скорость), V^ax^max Vk, av (среднеквадратич-

k

ное значение скорости), iv [интервал „последействия11 —Rv(*v)=0,5, где /^(^ — нормированная автокорреляционная функция пульсаций скорости], Д V = Vmax — Vmln , f]v = Vy** (коэффициент ПОрЫВа),

Су 2 ]/2 av

vv = Tr (интенсивность турбулентности), rv =---Т--- [коэффициент

vo av

цикличности, равный единице для гармонического закона изменения V (£)] и т. д.

В табл. 1 приведены выборочные коэффициенты корреляции части этих параметров. В табл. 2 даны их выборочные средние е, среднеквадратичные о и коэффициенты вариации v — —.

Спектральный состав цикла случайного нагружения описывался параметрами цикла Dg, S'qi, Sq2, S'q3, Sq4 и т. д., где Dq — выборочная дисперсия цикла процесса q (t); Sgj—коэффициенты разложения в ряд по косинусам выборочной нормированной автокорреляционной функции цикла, соответствующие частотам (в герцах)

^/ = -^4-/С/=1, 2, 3,

н ^0 V ' шах °1/ V Ъу ГУ 'Су

н 1 0,125 -0,2 -0,66 —0,45 —0,57 —0,22 —0,57 о.о

Vо 1 0,82 0,096 —0,38 —0,33 -0,01 0,14 0,034

V шах 1 0,52 0,19 0,15 -0,05 0,58 0,119

аУ 1 0,67 0,86 0,28 0,86 0,227

Пу 1 0,87 0,004 0,65 0,152

”у 1 0,26 0,72 0,22

ГУ 1 -0,19 0,344

Лу 1 0,071

•V 1

Таблица 2

у0 у г тах °у Чу Ъу ГУ V V

18,6 23,9 2,01 1,29 0,11 0,51 11,3 5,3

ах 34 4,00 0,85 0,17 0,06 0,09 4,7 3,2

0,18 0,17 0,22 0,13 0,55 0,18 0,42 0,6

Таблица 3

Зд 1 ■5? 2 з *-*<7 4 9 г 5 в

а? -0,088 -0,11 -0.042 -0,12 -0,071 —0,16 0,008

0,043 0,049 0,084 0,0023 —0,026 —0,062 0,034

0,056 -0,25 -0,15 -0,22 -0,093 -0,22 -0,034

Чу 0,02 —0,18 —0,1 -0,17 —0,13 -0,12 -0,041

Гу -0,12 0,25 -0,1 -0,081 0,063 —0,25 0,086

*У -0,34 -0,35 -0,2 -0,47 —0,21 -0,49 -0,02

V 0,13 -0,16 -0,08 -0,19 -0,10 —0,13 —0,036

Н -0,028 0,17 0,056 0,456 -0,15 0,01 —0,15

Дискретизация ц (£) проводилась с шагом М —0,2 с, Т = 156 с, следовательно, согласно (4) при кх — к2 = 5

^тш ~ъ=~~^г 0,03 ГЦ, ^ах = ~ 1 ГЦ.

В табл. 3 приведены выборочные коэффициенты корреляции между параметрами условий нагружения и параметрами цикла. Видно, что имеет место значимая парная корреляция параметров, следовательно, существует и значимая множественная их коррели-рованность. Таким образом, есть достаточные основания для применения статистического анализа и прогноза.

Компактное дискретное представление цикла случайного нагружения. После дискретизации цикл случайного нагружения, обусловленный случайным процессом f(t), представляется N „отсчетами1*: {/(**)=/*}» где к=\, 2, 3 tk = k М.

Интерполирование значений /(£) по этим отсчетам можно осуществить с помощью тригонометрического полинома f{t). Примем для определенности, что N=T/bt— нечетное и

,У-1 ~ 2

f(t)«f(t) = £ as cos 2 ITS i-^Л + bs sin 2 us , (5)

s~Q ' ' ' '

где /(AAf)=/*.

Коэффициенты as, имеют вид

ДГ XAcos^ft s = 0, l, 2, 3,...,^ ; (6)

Й=1

<>,=-гі;л5іп2т4- <7>

*= і

Если Є (іш) есть спектральная плотность цикла/(£), то справедливо соотношение

= ±. О (*ш4)« 4- (а, - М.) = (8)

где

1 т ■ п 1 Г £/а\ — «05^

т

jf(t)e-iws‘dt,

f{t) = 0 при t>T, г

G (i&) = j" f(t) e~iwtdt.

0

Запишем соотношение (5) для моментов времени tk в матричном

виде *:

F = IfC, (9)

где Н = Нс + = (е* Л,5/} = |cos|^sy + isin^syj — квадратная

комплексная матрица Ny^N.

о N — 1 1 (1 1 N — I „

здесь s — ——g— ,. .., — 1, О, 1, •.., —g-индекс строки Н,

/ = 1, 2, 3,Л/ — индекс столбца Н. Если A — {as), B={bs], где s — О, 1, 2,.. ., N~ 1 — индекс строк, а Л' = {а.,}, 5' = {^}, где

5 — Л~~ ' ,...,2, 1, то можно убедиться, что в соответствии с (6) и '7) _ _ _ _

* Индекс х означает транспонирование и комплексное сопряжение, „т* —

только транспонирование.

ЛГ-1

~ 2 . 2ЛІ- _ ■:

/(0= X с,е™ ; /7={/*}.

и-\ і_ 2

Соотношение для С следует и из (9), так как можно показать, что ННх = ґГН=ЬіЕ. Учитывая это, легко получить дискретный аналог равенства Парсеваля

_________ лг-у ЛГ~Т

ж^ = с"с=4- £ к+*1)-т + -г £ (“2+»Э.

ЛГ-1 І=1

так как

Если Т7—центрированный случайный вектор, т. е. е.(Г) — 0, где е( ) —оператор осреднения по ансамблю реализаций Р, то из (9) получаем соотношение между ковариационными матрицами векторов Т7 и С.

Кр = е(Р?т) = НхКс Н,

где Кс = е(СС)~Кс — эрмитова матрица.

Для стационарных случайных процессов Кс диагональна, так как (9) есть каноническое разложение /\ Для выборки Е, представленной в виде матрицы == {/=■*} (£= 1, 2,..., I), также справедливо соотношение (9), ^==ЯХС и С = -тт- выборочные оценки

мат-

= 7<г

ковариационных матриц Кр = -^ Т7/7* = -дг Н* СС Н = ЯтКс Н, ричный аналог равенства Парсеваля Р = С* С.

Для рассматриваемых здесь широкополосных процессов с непрерывными спектрами дисперсии (фиг. 4) приближенно можно

восстанавливать все компоненты С, если известны некоторые из них. Это можно сделать путем кусочно-линейной интерполяции, аппроксимируя функцию д(ш) по ее значениям в отдельных точках:

О (гш;) =

=о(«^) = Х(а/-й;).

Когда незначима погрешность аппроксимации спектральной плотности дисперсии

Ч' п те г ^ Ж / + Г/£У*

,

\7

/ V*

I £ 1... ї 16 17 18

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 ш О,і

Фиг. 4

стационарного процесса, то, по-видимому, незначимо и различие между восстановленным и исходным ансамблями реализаций процесса. Это верно, по крайней мере, в том случае, если С есть нормальный случайный вектор, а он, очевидно, таков, когда нормальным является случайный вектор т. е. нормален сам стационарный процесс.

В качестве условных ожиданий компонентов С можно брать их условные средние при заданных параметрах условий нагружения. Согласно [7] определяется и условная выборочная ковариационная матрица компонентов вектора С. Тогда для приближенного представления случайного цикла можно будет использовать подвектор С' гораздо меньшей чем N размерности для опорного спектра частот.

Например, для актуальной полосы частот с ^ш1п == 1 /24 Гц,

^тах =1 Гц, при Т = 192 с, Дv == -|г , — & = 8 размерность С равна

N=6, 1536.

\шП

Возьмем в качестве опорного спектр для 18 частот Ш;. = 2™ш1п а;- (у = 1, 2,. . ., 18), где / и ау находятся в следующей зависимости:

j. . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

л,. ..1/8 1/4 1/2 1 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Соответствующий опорный подвектор С' содержит п — 36 компонентов вместо 1536. На фиг. 4 показано расположение опорных частот относительно спектра дисперсии (3).

Невязка равенства Парсеваля для опорного подвектора является мерой остаточной дисперсии при аппроксимации дискретизированного процесса опорной полигармоникой. Соотношение (9), соответствующее опорной полигармонике, будет уже приближенным соотношением

Ё=Н%С', (10)

где НН‘ = 1\Е, но Н^НфЫЕ, так как Н содержит только часть •строк матрицы Н. Следовательно, обращая соотношения (10) в смысле наименьших квадратов, получим соотношение

С' = ±-НР. (11)

Подставив (11) в (10), получим = -^-Н^НР, откуда следует

выражение для остаточной суммы квадратов при аппроксимации опорной полигармоникой

= {Р-Е)т (Р - Р) = Рт (е - /Г Я) Р

и выражение для относительной среднеквадратичной погрешности

Описание случайного поля. Случайное поле пульсаций измеряется синхронно несколькими датчиками, число которых и расположение в пространстве определяют схему пространственной дис-

н 7,5 м 15 м 22,5 м 30 м 37,5 м 52,5 м 75 м 97,5 м

7,5 м 0,727 0,599 0,27 0,624 0,459 0,25 0,727 0,5268 0,356 0,647 0,5685 -0,0298 0,249 0,0738 -0,289 0,311 0,0705 -0,392 0,294 0,1028 -0,345

15 м 0,785 0,597 0,0264 0,682 0,507 0,0073 0,639 0,362 —0,0121 0,589 0,223 -0,320 0,383 0,1532 -0,505 0,469 0,121 -0,463

22,5 м 0,85 0,735 0,415 0,829 0,48 0,004 0,732 0,325 -0,178 0,505 0,196 —0,301 0,583 0,139 -0,463

30 м 0,892 0,544 0,0059 0,783 0,3843 -0,0723 0,531 0,249 -0,219 0,571 0,1945 -0,142

37,5 м 0,890 0,511 0,058 0,641 0,334 0,044 0,639 0,0271 0.0015

52,5 м 0,697 0,49 0,205 0,720 0,3605 0,038

75 м 0,736 0,49 0,215

97,5 м

Примечание. Первое число в ячейке — максимальное значение гу, второе-среднее и третье — минимальное.

кретизации поля. Достаточное число и рациональное расположение датчиков связаны с характером пространственной неоднородности и пространственной корреляции поля.

В упоминавшихся синхронных измерениях поля пульсаций ветра в 8 точках по высоте до 100 м имела место значимая пространственная корреляция. В табл. 4 приведены средневыборочные коэффициенты корреляции пульсаций и их минимальные и максимальные выборочные значения. Обнаружено значительное уменьшение в среднем дисперсии пульсаций по высоте и слабая зависимость среднего нормированного спектра дисперсии пульсаций от высоты, что прямо следует из фиг. 2.

Высота, м Параметры динамических условий нагружения Опорный спектр Фурье Мгновенные значения напора в моменты ^1. ^2. Метеорологические параметры условий нагружения

Н 9о> Од, ?тах, <7ш)п аь> Ьк ?(^)> Я {к), Т, Д Т, К0, Р

Ъ

Нп

44 параметра 4 параметра

Рассмотрим для примера случайное нагружение упругого высокого сооружения типа башни. Пространственная дискретизация поля случайного напора <7(£, А) сводит всю случайную нагрузку в п поперечных сечениях данной конструкции по высоте в п „входов". Также дискретизируются все прочие нагрузки на сооружение. Представим мгновенное значение случайной нагрузки в виде вектора Р(?) сп компонентами. Цикл случайного нагружения представляет собой в этом случае синхронное нагружение конструкции в п точках случайными нагрузками /^(0 (/ = 1, 2в течение Т секунд. _

Случайный вектор комплексных спектров цикла Р0(ш) связан матричной частотной характеристикой Ф (гш) с вектором спектров случайных колебаний У0(ш) (т. е. спектров „выходов") в каждом из п сечений: _

У0 (г’ш) = ф (*'“) П (гш)-

Обычно металлические конструкции обладают большой избирательностью по отношению-к частотам внешних нагрузок. Тогда из всего непрерывного спектра нагрузки существенные относительно амплитуды нагрузки деформации вызываются гармоническими составляющими с частотами, близкими к собственным частотам конструкции. Значения спектров нагрузки для частот, близких к собственным, приближенно определяются путем интерполяции с помощью значений спектров для опорных частот.

Для каждого из заданных опорных значений частоты при заданных параметрах условий нагружения приближенно могут быть получены условные статистики вещественной и мнимой частей вектора /^(гш) = (со) — г'/7/(со), есл_и совместное распределение параметров условий и компонентов Р0 унимодально, симметрично, т. е. напоминает нормальное распределение (что легко проверить), и известны среднее значение и ковариационная матрица всех этих параметров (см. [7]).

Из изложенного выше следует, что разнообразные феноменологические модели, т. е. статистические описания, допускающие возможность обусловленного прогнозирования „в среднем“, могут

быть получены путем анализа сводной таблицы параметров. Для этого необходима специализированная библиотека стандартных программ для ЭЦВМ, составляющая вместе с таблицей параметров единый вычислительный комплекс. В качестве примера такой таблицы, рекомендуемой для описания поля пульсаций приземного ветра, приведена табл. 5, где р — плотность атмосферы (при//=//,), Т — температура, АТ — перепад температуры по высоте, У0 — скорость ветра (средняя при Н = Нг)у ак, Ьк — опорный спектр цикла напора ветра, <7г(^ш) — синхронные мгновенные значения напора, ■Яо, <7тах, <7тт — соответственно средний, максимальный и минимальный напор цикла, Од — дисперсия цикла я У).

Аналогичная таблица, составленная для описания измерений пульсаций приземного ветра, упоминавшихся выше, содержала 25 листов по 1200 чисел в каждом.

Стандартные программы, входящие в вычислительный комплекс, кроме алгоритмов, описанных выше, должны включать алгоритмы численной фильтрации процессов, алгоритмы построения эмпирических распределений параметров и статистического оценивания, алгоритмы построения графиков, алгоритмы классификации данных и ряд других алгоритмов [8].

ЛИТЕРАТУРА

1. Архангельский В. Н., Пинус Н. 3. Основные положения для разработки модели турбулентности атмосферы. Труды ЦАГИ, вып. 1342, 1971.

2. Башинский А. В., Райхер В. Л. Использование результатов массовых исследований перегрузок самолетов для определения характеристик атмосферной турбулентности как случайного процесса. Труды ЦАГИ, вып. 1342, 1971.

3. Солодовников В. В. Вычислительная техника в применении к статистическим исследованиям в автоматике. М., „Машиностроение", 1963.

4. Виленкин С. Я. Статистические методы исследования систем автоматического регулирования. М., „Советское Радио", 1967.

5. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. М., „Наука", 1968.

6. Тейлор Д. Нагрузки, действующие на самолет. М., Машиностроение, 1971.

7. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М., Физматгиз, 1963.

8. И л ь и ч е в В. Д. Математическое планирование, анализ и обобщение данных при параметрических исследованиях. Труды ЦАГИ, вып. 995, 1966.

Рукопись поступила 301X1 1972 г.