CC BY
74
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м VI 197 5 М2
УДК 629.7.015.4:533.6.013.43
МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДИНАМИЧЕСКИХ И УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
В. Д. Ильичев
Предлагается матричный метод решения ряда задач синтеза динамических и упругих характеристик дискретных моделей линейных конструкций. Выявляются взаимосвязи динамических и упругих характеристик с характеристиками напряженного состояния линейной неконсервативной конструкции и ее частей. Рассматриваются задачи синтеза таких характеристик, как матричные частотные характеристики, матрицы динамической жесткости, спектральные матрицы вибрационного состояния.
ДИСКРЕТНАЯ СХЕМА. УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНСТРУКЦИИ В ЦЕЛОМ
Задачи синтеза различных характеристик летательного аппарата в целом из характеристик составляющих его агрегатов, под-конструкций и систем имеют большое прикладное значение как для расчетных, так и для экспериментальных исследований прочности и аэроупругости летательных аппаратов. При таком подходе задача исследования характеристик самолета в целом может быть заменена решением ряда более простых задач. Это разделение будет строгим для линейных и достаточно точным для хорошо линеаризуемых объектов. Различные модификации подконструкций, например, отъемных частей крыла и фюзеляжа, подвески под крыло,, вариации в объектах с изменяемой геометрией и т. д. не требуют полного повторения исследований при использовании методов синтеза. Решение задач синтеза предполагает использование современных ЭЦВМ, поэтому здесь важное значение приобретают матричные методы, позволяющие рассмотреть задачи синтеза в единообразном виде, удобном для программирования.
Следуя методу конечного элемента [1], заменим конструкцию самолета дискретной моделью, смонтированной из большого числа конечных упругих элементов, соединенных между собой в узловых точках (фиг. 1, а). Типы элементов могут быть различными (фиг. 1, б). Узловые точки, каждая из которых может иметь от О
до 6 степеней свободы, являются точками приложения сил упругого внутреннего взаимодействия между элементами в системе конструкции и образуют в пространстве множество точек, которое мы будем называть монтажной решеткой конструкции или решеткой И.
Фиг. 1
Произведем также дискретизацию внешних нагрузок на конструкцию, приложив в узлах решетки II дискретизированные аэродинамические силы и различные силы другой природы, как зависящие от перемещений (следящие за перемещениями), так и не зависящие от них. Инерционные силы дискретизируются путем сосредоточения в узлах II массы элементов конструкции. После дискретизации уравнения движения конструкции заменяются уравнениями движения узловых точек монтажной решетки II, которые запишем в матричном виде
(I)
Дифференциальный оператор Ь в матричных методах аэроупругости (см. [2]) обычно записывается в виде
Ь [3 (*)1 = М$(0 + (0 + ВЦ (0 (2)
и содержит внешние силы, зависящие от перемещений С2(£) и их
производных по времени С}У), ($((). В (1) и (2) <3(0— вектор N возможных перемещений узлов решетки II;
М, 0,'В — матрицы УУХ-М коэффициентов инерционных, диссипативных и статических аэродинамических сил, следящих за перемещениями соответственно;
Р(£) — вектор внешних сил, не зависящих от перемещений, приложенных в узлах II;
в — матрица статической жесткости дискретной модели
конструкции в узлах II;
Уравнение статического равновесия конструкции под действием только неследящих статических сил является частным случаем (1) и имеет вид
<7(2 = 7. (3)
Решение (3) в случае, когда конструкция не является механизмом или свободным телом, т. е. когда |G|t^0, имеет вид
q==G~1F = KF, (4)
где
К = б-1
матрица статической податливости конструкции в узлах решетки II.
Преобразованием Фурье (1) переводится из временной в частотную область и принимает вид уравнений статического равновесия (3) (см. [2]) _ _
G (гм) Q (ао) = F (/со), (5)
где
G (ш) == — ш2 М + i<x>D 4- В G,
a Q(iu>) и F(m) Фурье-преобразования от Q(t) и F(t) соответственно, т. е. векторы спектральных плотностей компонентов Q(t) и F (t). Решение (5) имеет вид
Q(m)= G~'(ia>) F (fa) = K(io)) F (im). (6)
Вследствие аналогии между выражениями (4) и (6) матрицы G(iu>) и K(iu>) можно называть соответственно матрицами динамической жесткости и динамической податливости в узлах решетки II.
Очевидно, что динамическая податливость /C(i<») = [G(M>)]-1 есть так называемая матричная частотная характеристика (МЧХ) конструкции
Ф(ш) = {<pw(/co)), k, /== 1, 2, . . ., N,
так как любой ее элемент ?йг(г<в) по определению МЧХ есть комплексная амплитуда колебаний k-й степени свободы решетки II Jt. е. k-й компоненты Q(0] при единичной гармонической возбуждающей силе в направлении l-й степени свободы (когда все, кроме 1-й компоненты F(t), равны 0). Из этого, в частности, следует, что МЧХ может быть определена экспериментально путем вибрационных испытаний.
Модальная матрица ф или матрица форм собственных колебаний конструкции, как известно, является решением матричного
уравнения, иногда называемого модальным уравнением
G'b=MtyP‘\ (7)
где ф имеет размер NX'*, а ее столбцы — векторы форм собственных колебаний, Р2 — диагональная матрица vXv квадратов частот собственных колебаний (v </V). Известно (см. [2]), что
/ = фт Gf, m = f Mty, (8)
/=тР2;
где т, /—диагональные матрицы vXv обобщенных (модальных) масс и обобщенных жесткостей соответственно.
Если на конструкцию в узлах решетки II действует случайная стационарная нагрузка, то статистической характеристикой вибрационного состояния конструкции в узловых точках может служить матрица спектральных плотностей 5(о>), (Л^><Л0, по главной диагонали которой расположены спектральные плотности дисперсий компонент (3((), а вне главной диагонали — взаимные спектральные плотности. В качестве .$((»)) можно использовать ее статистическую оценку
е — оператор математического ожидания на ансамбле реализации случайного вектора 0.(шп); индексы і и означают комплексное сопряжение с транспонированием и только комплексное сопряжение соответственно. Таким образом, упругими и динамическими матричными характеристиками конструкции являются следующие матрицы:
Однако размеры N'XN д,ля дискретной пространственной расчетной схемы столь велики, что необходимо понижение порядка (редуцирование) этих характеристик. Выделим из множества N степеней свободы узлов монтажной решетки II подмножество п степеней свободы и будем нагружать внешними силами только эти степени свободы, т. е. произведем более укрупненную дискретизацию внешних сил, чем раньше. Это множество назовем нагруженным множеством степеней свободы I или, для краткости, нагруженной решеткой I (только для краткости, так как из числа нескольких степеней свободы каждого узла часть может быть нагружена, а часть нет).
Соответственно множествам I и II', где множество II' —разность II и I, разобьем уравнение (3) на два
здесь индекс II соответствует множеству II', а индекс I — множеству I.
Разрешая второе уравнение относительно <3и и исключая С^ц из первого, получим
5 (<о„) = е [д (гшп) С?" (го)„)],
(9)
где
'п
2тг ~Т ’
(10)
п, — 0, +1> 4^2 . . .
Здесь
л
О, К, </(/<»), Ф(г<»), *$(“„) размера N X М, Ф размера (А^Х *)> диагональные т, Р2, V х
(П)
{/і і (?і + бі и (Зи = /ч; би і (Зі бц и (Зіі — /Мі,
(12)
<3и = — би іОц і С2і —(— Они/7»;
[0\ і — бі и Он и 0\\ і] 0.\ —Р\ — С?і и Сіііі Ль
Второе уравнение (13) можно записать в виде
О10.\ =
где Оі — (?і і — Оі и Он п бц і, Т7! = — 0\ и (7ц и /=■„ .
Если степени свободы II' не нагружены, то ^ц^О, и /^ ==/*!, а
размера Аг~Хп, имеющим сходство с интерполяционными полиномами. Каждый из п векторов-столбцов X имеет нулевые компоненты для всех п степеней свободы решетки I, кроме одной компоненты, равной 1. Поэтому матрицу х(-^Х#) будем называть матрицей интерполяционных форм порядка п. Если |0|^0, то
Очевидно, что имея матрицу статической жесткости б или податливости К можно вычислять интерполяционные матрицы любого порядка п
Причем, как следует из (16), любая интерполяционная форма из группы низшего порядка v<</г разложима по п формам группы более высокого порядка п, если интерполяционные узлы (т. е. степени свободы, для которых компоненты интерполяционных форм нормированы к 0 или 1), группы V входят в число интерполяционных узлов группы п (см. [3]).
Применим теперь для решения уравнения статического равновесия (3) приближенный метод Бубнова — Ритда — Галеркина, используя в качестве координатных функций интерполяционные формы (17). Подставляя (16) в (3) и ортогонализируя невязку к координатным функциям, получим
<3н = /1п <3і,
(15)
где
Хні ®піібпі.
В этом случае вектор <3 можно представить в виде
<2=
(16)
т. е. в виде разложения по столбцам матрицы
(17)
и, как легко убедиться,
(18)
1 < И— 1.
№Ох)<2і = хтР.
(19)
7— Ученые записки ЦАГИ № 2
97
Используя (15) и (14), убеждаемся, что
Хт бх == {л — б?1 I— 0\ п 0\\ I , (20)
. Хт^ = ^1 Опн^п. (21)
Следовательно, подвектор Сй, полученный приближенным способом, совпадает с его точным значением, полученным выше методом исключения см. ((14)), но подвектор <3н будет отличаться от точного решения, если степени свободы II' нагружены. Последнее видно из сравнения первого уравнения (13) и (15), Легко видеть, что точное выражение (13) для <3н получаемся путем прибавления к приближенному выражению (15) вектора Д<3п , являющегося решением уравнений равновесия конструкции, закрепленной в узлах решетки I, под действием нагрузки , т. е.
бпи-Д<3п = /=•„ .
Редуцированная матрица уравнения (19) имеет размер (га X п)
компоненты редуцированного вектора внешней нагрузки прило-
жены только в узлах нагруженной решетки I, редуцированные уравнения статического равновесия имеют вид — откуда О^СГ1^! и, согласно (15), С2н = Х111<31.
Представим столбцы модальной матрицы ф в виде разложений по интерполяционным формам х:
Ф=Х-Я. (22)
где /? —матрицы /г XV (><«), см. [3],
и подставим в уравнение (7). После ортогонализации невязки, т. е. после умножения (7) слева на хт получим редуцированное модальное уравнение относительно Я
(?!■/?= МгДЯ2, (23)
где
, М! = Xх Мх
редуцированная матрица масс, сосредоточенных теперь только в узлах решетки I. Очевидно, что все п форм собственных колебаний конструкции с редуцированными массами представимы точно в виде (22), но, возможно, только часть из N форм конструкции с исходной дискретизацией масс представима в виде (22) с достаточной точностью. Определяя из (23) матрицу /? и частоты собственных колебаний, из (22; получим выражение для форм собственных колебаний <]>
Учитывая (17), получим
^1 = /?— в узлах решетки I,
<|>п = Хн! •# — в остальных узлах решетки II.
Подставляя (16) в (1), после ортогонализации невязки получим редуцированное уравнение движения:
есть редуцированные матрицы, соответствующие матрицам в (1) и (2). Легко убедиться, что кинетическая энергия системы и работа внешних сил после их сосредоточения и сосредоточения масс в узлах решетки I не изменились для всех возможных перемещений, представимых в виде разложения (16).
Аналогично (5) в частотной области из (26) получим
где (йо) = (&о) — МЧХ системы в узлах решетки I, а матрица
динамической жесткости О^/ш) имеет вид ‘
Уравнение (28) можно было бы получить путем исключения (2и (О из системы уравнений вида
описывающих движение узлов решетки II под действием редуцированной нагрузки и с редуцированными массами. Эта система имеет матричную характеристику динамической жесткости б(г<о) и МЧХ Ф (до) вида
По определению МЧХ (гш) == ®1 I (гм). Согласно этим соотноше-
ниям для приближенного определения МЧХ в узлах решетки II достаточно знать МЧХ ФДй») редуцированной системы в узлах решетки I и матрицу статической жесткости б в узлах И.
ОМі) + М0і(*)] = л(0,
(26)
где
Ьх [ о, (0] = М1 <2, (*) + «2, (/) -Ь вх а, (0;
и
(27)
бі (й°) Сі (ї10) = (іш),
откуда
(28)
Ц [<3і (01 + Оі 10і (*) + б, II (2,1 (*) = ^ (і), би і СМО + бий С?іі (0=0>
(29)
(ЗО)
где
бі і (іш) = — со2 -(- бі і,
Ф (гсо)
(31)
Матричная характеристика (9) вибрационного состояния размера Л/'Х.М также может быть заменена характеристикой меньшего размера лХ«
Таким образом, редуцированные матричные характеристики в узлах; решетки I
вместе с матрицей статической жесткости О в узлах II более пригодны для практического использования и позволяют приближенно' восстановить соответствующие полные характеристики конструкции (11). Очевидно, что редуцированное уравнение (26) формально* может быть подвергнуто повторному редуцированию к узлам любой решетки Г, входящей в I, с помощью соответствующей матрицы интерполяционных форм х', вычисляемых из 01 аналогично (15)^ Это будет обосновано, если все формы собственных колебаний, частоты которых находятся в рабочем диапазоне частот, хорошо-аппроксимируются выражением
где есть решение уравнения (х'т х') = (Х/ТЛЇ, х') анало-
гично (23). Сравнивая аппроксимацию (34) с решением уравнения (23) (?1фі = М1фіР2, получим ответ на вопрос о точности этой аппроксимации и допустимости повторного редуцирования.
Синтез характеристик напряженного состояния конструкции самолета
Методы конечного элемента позволяют для каждого элемента рассчитать матричные характеристики На размера (6 X р) (где р— число степеней свободы всех узловых точек конечного элемента). Характеристика На связывает компоненты тензора напряженного-состояния а в расчетной точке элемента с величинами перемещений (Зэ его узловых точек
■й І К)=« №(гЧ) <3і (Ю1,
(32)
так как, согласно (9) и (16), она приводится к виду
Л
О !(/«>), Ф^гш), К 5пК)
(33)
Фі = х' ФІ .
(34)
°э — Нэ
(35)
Каждый столбец Нэ есть фундаментальное состояние в расчетной точке, когда (?э равен соответствующему столбцу единичной матрицы Е (р X р). В общем случае оэ есть линейная комбинация этих р различных состояний. Очевидно, что <3Э есть подвектор <3, но, согласно (16),
(З^х*?1-
Выделим <3Э из (3, тогда
<3э=Хэ <31; (36)
здесь х9 — подматрица х, имеющая размер (р X «)• Подставляя (36) в (35) получим
. = (37)
где [//э Хэ] имеет размер (6 X «)• В задачах динамики при решении уравнений движения вида (26) обычно используют модальные обобщенные координаты г (0, т. е. полагают
. (38)
где ф1 — модальная матрица (25) размера («Х^) и ч<^п. В этом
случае оэ (*) = 6д г (0, где 0э=[//эХэ'М матрица размера (6 X V). Для вычисления матриц вида 6Э не требуется решения уравнения (26), они могут быть вычислены заранее и использованы многократно при анализе напряженного состояния в различных задачах динамики летательного аппарата. .
При этом главную трудность представляет вычисление матриц X, требующее обращения матрицы Сии чрезвычайно большой размерности. Эта трудность может быть преодолена путем последовательного редуцирования матриц жесткости подконструкций (агрегатов) самолета и их сочленений.
Пусть дискретная модель самолета разбита на агрегаты, как показано на фиг. 2, и для каждого агрегата методом конечного
Фиг. 2
элемента рассчитана матрица жесткости в узлах решетки II. Редуцируем эти матрицы преобразованием вида (20), исключив все степени свободы, кроме степеней свободы узлов решетки I, относящихся к данному агрегату, и степеней свободы стыков агрегатов. (Будем для упрощения полагать, что в стыках нет узлов нагруженной решетки I). Расчет напряженного состояния начнем, например, с агрегата А, показанного на фиг. 2. Для этого все остальные агрегаты попарно сочленим в местах их соединения, исключая каждый раз после стыковки степени свободы соответственного стыка. После окончания этого процесса останутся открытыми только стыки А с остальной частью конструкции (В) и соответственно не исключенными только степени свободы решетки I и решетки II, принадлежащие стыку А я В.
Сочленяя А и В, получим матрицу жесткости вида
где G'nn — матрица жесткости стыка при фиксированных узлах L Эта матрица гораздо меньшей размерности, чем Gmi- Редуцируя (39), очевидно, снова получим матрицу Gi
В этом случае вектор (3(р связанный с (З1 матрицей Хор Q^1=X^пQI» (здесь (Зг—решение (26)) содержит только смещения узлов стыка
Таким образом, для А определены кинематические граничные условия — заданы перемещения относящихся к нему узлов нагруженной решетки I и узлов стыка А и В. С помощью матрицы жесткости агрегата А легко получить соотношения, связывающие перемещения всех остальных ненагруженных узлов составляющих А конечных элементов, с и £2н.
Предшествовавший вычислению процесс сочленения агрегатов и редуцирования матриц жесткости дает соотношения, позволяющие последовательно сформировать граничные условия для каждого из агрегатов, составляющих В, и осуществить, таким образом, поагрегатно синтез характеристик напряженного состояния конструкции самолета в целом.
Синтез редуцированных матрицы жесткости и матрицы масс самолета в целом из предварительно редуцированных аналогичных характеристик агрегатов позволяет обойти вычислительные трудности, связанные с большими размерами матриц.
Рассмотренные выше уравнения движения конструкции самолета и характеристики типа (11) изменяются при соединении конструкции с различными подвесками, замене двигателей, установке грузов, антенн и пр. Они изменятся также, если учитывать действие систем автоматического управления. Если эти подвески и системы можно также рассматривать как линейные системы, то их
(39)
А я В.
динамические и упругие характеристики аналогичны тем, которые имеет основная конструкция. Из них путем синтеза можно получить соответствующие характеристики объединенной системы. Далее рассмотрим некоторые задачи такого рода. Заменим присоединяемые агрегаты их дискретными моделями и будем производить сочленение в узлах решетки I или II, полагая, что никакое другое взаимодействие между сочлененными системами А и В, кроме как через эти узлы, не имеет места. Схема сочленения А я В, вместе
Полное расчленение И еполное расчленение
с обозначениями множеств сочленяемых и несочленяемых узлов, условно показана на фиг. 3, а. Если такое взаимодействие, например, аэродинамическое, через среду все-таки существует, то будем рассматривать такую систему как не полностью расчленяемую (фиг. 3, б).
СИНТЕЗ МАТРИЧНЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК (МЧХ)
И МАТРИЦ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЖЕСТКОСТИ
Выразим матричную частотную характеристику конструкции Ф (г'ш) через МЧХ составляющих ее подконструкций А и В, Фл (ш) и Фв (ш), связывающих, как и Ф (гсо), комплексные векторы амплитуд нагрузки Р(іш) и перемещений С[(ш):
Фиг. 3
(2 (г’ш) Ф (гш) Р (г'св);
(^а (ш) = Фа (м>) Ра (і®); С}в (г'«) = Фв (*'“>) Рв (*«)).
(40)
Разобьем эти матричные соотношения на блоки с индексами 1, 2, 3, соответствующими множествам узлов Аи А2, В2, В3 (см. фиг. 3 а)
В сочлененной из А и В конструкции к соединенным узлам А2 и В2 приложены равные и противоположно направленные силы внутреннего взаимодействия. Обозначим вектор комплексных амплитуд этих сил в узлах А2 через Яд (йо). Если к узлам сочленения расчлененной конструкции приложить силы взаимодействия: Яа к узлам Аг и — Яа , к узлам В2, то под действием этих сил узлы А2 и В2 получат взаимные смещения ^
Qя = 2 — Яяв 2 = Фд 22 'На — ®В 22 (— Яа) = (®Л 22 + Фв 22 ) • /?л •
Расположим подвекторы перемещений и нагрузок в узлах расчлененной конструкции в следующей последовательности.
(2-4 1, (2а 2, С1в 3, Qв 2 , Q^?, ] Га 1, Ра2, Рвз, Рв2, Яа , I
тогда матричную частотную характеристику расчлененной конструкции, т. е. ее матричную динамическую податливость, связывающую эти подвекторы, можно составить из уже введенных блоков
(Зл 1 Фл 11 ФА 12 0 0 ®Л 12
<3л 2 ® Л 21 ® Л 22 0 0 Фл 22
СЗв з = 0 0 Фвзз Фв 32 — Фв 32
0.В2 0 0 Фв 23 Фв 22 Фв 22
0* , Фл 21 Фл 22 Фв23 — Фв 22 Фд 22 + Фв 22
Ра і Ра 2 Рв з Рв г Яа
(44)
Эта матрица податливости вырождена, так как по определению ее последняя строчка и последний столбец есть разности вторых и четвертых строки и столбца соответственно. Если отнести всю внешнюю нагрузку на узлы сочленения сочлененной конструкции в узлы А2 расчлененной, то Рв 2 = 0 и смещения „ненагру-женных" координат 0_Вч можно исключить из рассмотрения, вычеркнуть четвертый столбец и четвертую строку матрицы податливости и подвекторы 1$в 2 и Рв 2 в соотношении (44).
Теперь запишем это соотношение в виде .
где обозначено
1 \ / <3-4 1
ф^ = 1фд21фЛ22 о ]; ? = | РА2 I; 0^=1 Од2 15 <46>
^ВЗ/ \Qfl3
ф А 12
Ф^л = | Фд 22 | ; Ф#р =(Ф/1 2Ь Ф/1 22;-------Фв 23); Фад=Ф/1 22 +Фв 22 • (47)
— ®В 32
Произведем сочленение конструкции, потребовав нулевых взаимных смещений <3# узлов Л2 и В2. Тогда (45) примет вид
Ф/?/?/7-)- Ф/?/?/?л== <3? ;
! (48)
Ф/?/= Р + Ф«л Ка = 0 .
Отсюда определяются силы взаимодействия Л и В в сочлененной конструкции
Яа — — Фад Ф/?/7 Р ■ (49)
Из первого уравнения (49)
(Ф/?р — Фрл ■ Ф/й? • Фд/г) Р = С}р , (50)
где
Ф(гш) = [Ф^ — Фря 'Фм-Фдр ] (51)
очевидно и есть искомая частотная характеристика сочлененной конструкции. Аналогичным методом можно получить матричную частотную характеристику конструкции, если таковая известная для не полностью расчлененной конструкции. Схематически неполное расчленение показано на фиг. 3, б. Расположим множества узлов не полностью расчлененной системы и векторы смещений и нагрузок в соответствующей фиг. 3, б последовательности
<3л1 <За2 с?вз <Зя |
Тм РА2 Рв 3 Лд г
взаимное смещение узлов А2 и В2 под действием сил взаимодействия в этом случае равно
Я# — *3д2 <3в2 = ®Д22 Я + Фл2В2 (----/?)— [Фв22 (— /?) + ®В2Д2 ] =
— (Фд22 + Фв22 — ®Л2В2— Фв2Дг] Я- (53)
105
Аналогичное (44) соотношение примет вид
Фл2Г“Фв2Л1 Ф Л22 Ф-Є2 А2 Фд2ЯЗ Фв23 ®Л22 + ®В22 Фй2Л2—Фл2Я2_ \Иа
Разбив матрицу податливости (54), как показано, на блоки и введя такие же, как в (45), обозначения блоков, приводим задачу к предыдущей с тем отличием, что матрица Фрр не будет иметь нулевых блоков.
Матрица динамической жесткости конструкции 0(і<») складывается из матриц динамической жесткости подконструкции бл(й») и Ов (і®) совершенно аналогично сложению матриц статической жесткости (см. [1], [4])
разбиты на блоки, соответствующие множествам степеней свободы (см. фиг. 3), а нулевые блоки соответствуют степеням свободы, принадлежащим только отчлененной части. Можно показать, что комплексные амплитуды Яа(Щ сил взаимодействия Л и Б в узлах стыка выражаются следующим образом
где Т7(/со) — комплексные амплитуды внешних сил, приложенных к конструкции в узлах множеств {1}, {2}, {3}
а <2 (/<■>) = О-1 (ш)Р(ш) — вектор комплексных амплитуд перемещений сочлененной конструкции.
О А 12
Ол 22 -|- Ов 22
Ов 32
где матрицы
/?л (т) = =—ГА (їш) + О а (г'10) • 0~г [Ы) Т7 (т) з=
5= (ш) — Ов (і“>) О-1 (ш) Р (гш),
СИНТЕЗ МАТРИЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВИБРАЦИОННОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИИ
Задачу синтеза характеристики вибрационного состояния конструкции АВ, состоящей из подконструкций А и В, сформулируем следующим образом.
Требуется определить матричную характеристику вибрацион-
Л
ного состояния 5лв(№) конструкции АВ в узлах сочленения, если
Л '
заданы (ш) — аналогичная характеристика в сочленяемых узлах для А, Фл22(гш); Фв22(г«>) — матричные частотные характеристики отдельно Л и В в сочленяемых узлах, и известно, что вызывающие вибрацию силы действуют только на подконструкцию А (В, например, может быть подвеской или отделяемым агрегатом для А). Будем также для упрощения считать, что Л и В полностью расчленены, т. е. другой связи между А я В, кроме как через узлы сочленения, не существует*.
Запишем условия совместности перемещений узлов стыка А и В ‘
С^Л г(Йо) + ®Д 22 Я (Йо) = <3лв (Й»)',
. - . - . (55)
— Фв 22 (Й») Я (Йо) = (Злв (Йо). ]
Здесь /?(йо) — комплексные амплитуды сил взаимодействия А и В; (2лг(йо); <3лв (йо) — комплексные амплитуды колебаний узлов стыка в Л и АВ соответственно.
Исключая из соотношениа (55) /?(йо), получим
(Злв (г’1") = \Е + Фд 22 (Йо) Фв 22 (^с0)]_1 Qд 2 (Йо) — ®ДВ (Йо) Ф (Йо) С^А 2 (1ш)= = Фв 22 (Йо) [Фл 22 (Йо) + Фв 22 (г10)]-1 Qд 2 Уш), (56)
где Флв (й«) = [Ф^ (йо) + 22 (йо)]-\ согласно (51), есть матричная
частотная характеристика конструкции АВ в узлах сочленения. Соотношение (56) связывает также и Фурье-спектры процессов С1ав(£) и 0,ач{{). Умножая для этого случая (56) на комплексно сопряженное и транспонированное соотношение, после осреднения полученного выражения на ансамбле Фурье-спектров, согласно (9), полу-
А
чим искомую связь между матричными характеристиками 5лв(“) л
и 5д (со) вибрационного состояния стыковочных узлов конструкций Л и АВ в виде
£лв («О) = фдв (йо) • ф^22 (йо) • 5л (со) • [Ф ^ (/а»)]-• [ФДв (*■>)]*. (57)
Аналогично может быть произведен синтез характеристик вибрационного состояния стыковочных узлов конструкции АВ, если заданы характеристика вибрационного состояния тех же узлов
* В противном случае мы имели бы дело с рассмотренным выше синтезом частотных характеристик и характеристик вибрационного состояния для не полностью расчлененных А и В.
конструкции АС и соответствующие частотные характеристики конструкций А, В, С. Такая задача возникает, например, при замене подвески В на подвеску С, прикрепляемую в тех же узлах к А.
Условия совместности перемещений, аналогичные (55), в этом случае имеют вид
<3л 2 + Фд 22 /?в 2 = Яав ; Я А 2 + ®Л 22 Яс 2 = С^4С ! — Фв 22 Яв 2 = С1аВ \
— Фс 22 Ис 2 == О.АС -
Исключая силы взаимодействия А а В (Яв2), А и С (Лег), получим
С?Л 2 — Фл 22 Фд 22 О.АВ = >
<ЗЛ2---Фл 22 Фс 22 QлC = <3-4С •
Откуда следует искомое соотношение
(Зав(1<*>) = [Я + Фд 22 (/») Фв22(г'“)]-1 [£ + Фл 22 (Йо) Фс22 (*“)] (?АС (Й*5), (58)
А А
из которого можно получить, аналогичную (57), связь Зле (<°) и («>)*.
* Индексы в (4.1) и далее сокращены следующим образом: АН—А\А 1; А12~А\А2; В23-В2ВЗ и т. д.
ЛИТЕРАТУРА
1. Розин И. Л. Основы метода конечных элементов в теории упругости. Учебное пособие. Ленинградский Политехнический ин-т им. М. И. Калинина, 1972.
2. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. М., .Наука*, 1964.
3. Ильичев В. Д., Назаров В. В. Результаты прецизионных частотных испытаний как исходные данные для различных исследований прочности летательных аппаратов. Труды ЦАГИ, вып. 1562, 1974.
4. Пржеминицкий Д. С. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур. Ракетная техника и космонавтика (русский перевод) т. I, № 1, 1963.
Рукопись поступила 811 1974 г.
