CC BY
48
______ УЧЁНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVII 1986
№ 4
УДК 629.7.015.4
РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НАГРУЗОК НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА СЛУЧАЙНОГО СТАТИКО-ДИНАМИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕННОГО состояния КОНСТРУКЦИЙ
Ч. II. РАСЧЕТ НАГРУЗОК
В. Д. Ильичев, В. А. Клименко
Предложен метод расчета распределенных нагрузок на конструкцию, вызывающих при статическом приложении заданное сложное напряженное состояние в ее расчетных зонах. Приводятся иллюстративные примеры.
В ч. I настоящей работы (см. [1]) рассматривались две экстремальные задачи вида
таха/экв(£)
}
где 2. — случайный нормальный вектор обобщенных перемещений метода заданных форм (МЗФ); 03-экв(£) —линейная или неотрицательная квадратичная функция критерий интенсивности напряженного состояния (НС) /-го конечного элемента; (рг — область определения
г.
В силу нормальности 2 (с усеченным законом распределения плотности вероятности) фг имеет вид гиперэллипсоида:
Кг Р2, (2.2)
здесь Кг — математическое ожидание и ковариационная матрица 2 соответственно, р — заданное при усечении значение параметра семейства гиперэллипсоидов.
Решения (2.1) представляют собой значения Z, соответствующие экстремальным точкам функции Лагранжа, находящимся на границе области <рг*.
Как показано в [1], из числа экстремальных Z как в линейной, так и в квадратичной экстремальных задачах (2.1) можно выделить 2/гаах
* Для неотрицательного квадратичного критерия при этом необходимо проверить, не попадает ли точка Z =0 в область (2.2), т. е. не является ли ноль глобальным минимумом этого критерия.
и zjmn, соответствующие максимальному и минимальному значениям интенсивности НС в /-м элементе
шах — max <3j экв (Z) при Z — Zj max min = niifl Oj экв (Z) При Z = Zj min ^
а также определить размах наибольшего полного цикла изменения интенсивности НС в /-м элементе
== °/ шах <5/ min •
Величины Zj шах и Zjmin в (2.3) определяют соответствующие сложные НС в произвольном конечном элементе, а также распределенные статические нагрузки на летательный аппарат (ЛА) или его под-конструкцию (агрегат), вызывающие эти НС. Действительно, если вектор а содержит все подвекторы компонент сложного НС конечных элементов, а вектор Q — перемещения всех узлов точек схемы МКЭ Л А (или агрегата), то (см. [1])
<3 = HQ = WSZ, (2.4)
F— GQ = GWZ, (2.5)
где Н, G, Ф — матрицы коэффициентов напряжений, жесткости, модальных перемещений схемы свободного ЛА (свободного агрегата) соответственно, a F— вектор распределенных статических узловых нагрузок на ЛА (агрегат).
В некоторых случаях у матриц жесткости проявляется аналогичное дифференциальным конечно-разностным операторам свойство, приводящее к увеличению ошибки МЗФ при вычислении распределенных нагрузок по формуле (2.5). Если это увеличение недопустимо велико, то при расчете нагрузок на ЛА его можно исключить путем замены матрицы [GW] в (2.5) на равную ей и не содержащую указанного дефекта
матрицу AfWQ2, так как справедливо модальное уравнение
GW = МЧЛЙ2,
где М — матрица масс, Q2 — диагональная матрица квадратов собственных частот. Тогда вместо первого соотношения (2.5) получим
F = M4?Q?Z.
Однако при испытаниях в стендовых условиях воспроизводится, как правило, некоторое обобщенное НС, не обязательно строго соответствующее одному из эксплуатационных состояний. Поэтому отделим задачу вычисления распределенных нагрузок от задачи вычисления экстремальных состояний, сформулировав ее как самостоятельную обратную задачу:
вычислить распределенные статические нагрузки, вызывающие при приложении в заданных точках в стендовых условиях сложное напряженное состояние конструкции, близкое к заданному.
Решив экстремальную задачу (2.1) для каждого из группы конеч-аых элементов, входящих в расчетную зону конструкции, определим по условию максимума интенсивности НС соответствующее экстремальное
(2.3)
сложное НС для этих элементов (см. [1]), которое и должно быть воспроизведено в стендовых условиях. Нагрузку, воспроизводящую НС с максимальной интенсивностью в группе элементов, назовем групповой.
Учтем теперь, что в стендовых условиях нагружаются не все степени свободы (?, а часть из них — ф,, и что условия закрепления конструкции таковы, что существует матрица податливости Ь, так что
Если точки приложения сил в стендовых условиях не совпадают с узлами схемы МК.Э, то необходима интерполяция перемещений, связывающая вектор О и вектор перемещений в точках нагружения (}', так что
где Ф — некоторая интерполяционная матрица. В этом случае искомые нагрузки равны
Видно, что упругая энергия и конструкции при нагрузках Т7 и одинакова, т. е.
<? = £>./? и о = й~1
или, отбрасывая нулевой подвектор нагрузки Р =
(2.6)
Выразим через из (26)
•/*1 — Оц Qі — б] Ql
Тогда
Оп = •= Оп — Оі2 (/221 б21 = ХТ Оъ
где
и (см. [2])
Таким образом, из (2.6) следует
= Ф<3',
Г' = О'0' — ФтР,
где
(?' = Фт СФ.
Для определения групповой нагрузки, воспроизводящей заданное сложное НС конструкции, согласно (2.4) и (2.6) имеем соотношение
(2.7)
Так как НС задано во всех конечных элементах расчетной схемы, а не только в элементах расчетной зоны, то соотношение (2.7), как правило, представляет собой переопределенную систему уравнений относительно /> Квазирешение системы (2.7), удовлетворяющее условию наименьших квадратов, достигается псевдоинвертированием матрицы Тогда
здесь индекс ( )• означает псевдоинверсию. Псевдорешение Рг минимизирует квадратичную норму невязки г:
и получается с помощью сингулярного разложения матрицы [НО,]
где столбцы матриц I/ и V1 ортонормированы, а Л—диагональная матрица сингулярных чисел (см. [3]). Тогда
Полученное таким образом решение может и не обеспечивать необходимой точности воспроизведения НС во всех элементах. Тогда потребуем, чтобы НС в наиболее нагруженных элементах воспроизводилось с заданной погрешностью, в то время как во всех остальных элементах допустима большая погрешность. Для этого будем искать решение Ри минимизирующее норму взвешенной невязки:
где а — диагональная матрица весовых коэффициентов. Это соответствует псевдорешению системы
Обозначим допустимую, относительную погрешность воспроизведения НС в нагруженных элементах (множество {Л^}) через у', а допустимую относительную и абсолютную погрешность в остальных элементах (множество {Ы"}) через у" и А г. Значение вектора Р1 будет считаться искомым, если выполняются условия:
\НО,)=1!АУ\
Рх = УЛ-1 £/т о.
аг = «(о — #£>! Рг),
хН01 Р1 = аа.
(2.8)
г*|<тах(ч"К1> Дг),
(2.9)
(2.10)
где Ок — значение компоненты напряжения, гн — значение невязки в к-м уравнении, а
В тех случаях, когда система (2.8) несовместима, т. е. когда решение, полученное для нее с помощью сингулярного разложения, не обеспечивает выполнения условий (2.9) для всего множества {А^}, выделим из системы последовательность совместных подсистем. Решение каждой такой подсистемы соответствует нагрузке, воспроизводщей НС с точностью, определяемой выражением (2.9) только в группе элементов из множества {Л^}, а во всех остальных элементах этого множества напряжения не превосходят заданной величины. Причем решения таковы, что НС каждого элемента из {А^} воспроизводится, по крайней мере, одним решением полученной последовательности.
Для получения последовательности совместных подсистем может быть использована следующая процедура. Вначале получается псевдорешение системы (2.7). Уравнения элементов множества {Л^}, для которых при Л7, удовлетворяется (2.9), вместе с уравнениями элементов множества {Л^"} составляют первую подсистему. Затем ищется псевдорешение системы, состоящей из уравнений для элементов множества {■/V'}, не вошедших в первую подсистему, и уравнений для элементов множества {А^"}. Вторую подсистему составят уравнения элементов множества {А^}, для которых Р2 является решением, и все уравнения множества {А^"}. Так продолжается до тех пор, пока не исчерпается все множество {Л^'}. Заметим, что при вычислении искомой последовательности узловых нагрузок /71, Р2, Рр контролируется выполнение условий (2.10) для Аналогичным образом на основе соот-
ношений (2.4) построена процедура определения последовательности обобщенных перемещений Z:, ..., Zp, также позволяю-
щих вычислить последовательность узловых нагрузок Р1г Р2, ..., Рр.
Описанный метод определения экстремальных нагрузок на основе анализа НС реализован в виде специализированного пакета в программной системе многоуровневого комплексного расчета ЛА на прочность, с помощью которой получены приведенные ниже результаты расчета. В процессе расчетов было установлено, что алгоритмы метода обладают достаточной эффективностью для проведения параметрических исследований полей НС и распределенных нагрузок.
В качестве примера был рассчитан ЛА с крылом малого удлинения (типа самолета ТУ-144), конечноэлементная схема (схема первого уровня) которого изображена на рис. 1 , а. Местное НС и местная нагрузка рассчитывались для агрегата крыла этого ЛА с использованием конечноэлементной схемы второго уровня (рис. 1,6).
Рассматривалось действие на ЛА в полете двух статистических независимых случайных факторов: случайной медленно меняющейся перегрузки пу, вызванной эволюциями ЛА в плоскости тангажа в процессе полета, и динамического воздействия крупномасштабной атмосферной турбулентности с заданным масштабом Ь. Вначале проводилось решение этих двух задач аэроупругости на основе схемы ЛА первого уровня. После того как были рассчитаны вероятностные характеристики Кг, производился расчет экстремальных общих состояний и расчетных зон в конструкции ЛА (см. [1]), распределенных общих или общих групповых нагрузок.
Затем результаты, полученные по схеме уровня I, использовались для нагружения агрегата, представленного схемой уровня II с большей разрешающей способностью, и аналогичные расчеты были проведены для конструкции агрегата.
а—обшивка крыла; б—верхняя обшивка крыла; е—нижняя обшивка крыла
Рис. 2
а—верхняя обшивка отсека, б—нижняя обшивка отсека, в—силовой набор верха отсека, г—силовой набор низа отсека
Рис. 4. Квадратичный критерий, £=700 м
В первой задаче, по существу, имело место квазистатическое пропорциональное пу нагружение ЛА, при котором зоны с наибольшей интенсивностью НС не изменяются с изменением Пу, а квадратичный и линейный критерии интенсивности дают одинаковые результаты. На рис. 2, а, б, в показаны наиболее нагруженные зоны обшивки крыла, верхней и нижней обшивок отсека, а также узловые статические нагрузки, действующие на ЛА и отсек. В результате решения второй задачи были получены величины максимальной интенсивности НС в каждом элементе и выделены наиболее нагруженные зоны в обшивке крыла (рис. 3), в обшивке отсека (рис. 4, а, б) ив силовом наборе отсека (рис. 4, в, г). Динамическое воздействие увеличило максимальные напряжения и изменило расположение зон наибольшего нагружения по сравнению со случаем квазистатического воздействия. Использование линейного критерия в данном случае дает заниженное значение максимальной интенсивности нагружения на 5—30%, а также иную картину распределения зон нагружения в обшивке отсека (рис. 5).
Заметим, что с изменением масштаба турбулентности от /, = 700 м до 150 м существенно изменяются как величины возможных максимальных напряжений, так и расположение зон наибольшего нагружения (см. рис. 3, а и б). Это объясняется изменением спектра внешнего воздействия.
Для полученных НС были рассчитаны воспроизводящие их статические нагрузки. На рис. 3, а показана статическая нагрузка на ЛА,
а—верхняя обшивка отсека, б—нижняя обшивка отсека
Рис. 5. Линейный критерий, 1 = 700 м
воспроизводящая НС с погрешностью 3% в нагруженной зоне и 9% в остальных элементах, а на рис. 4,а, б — нагрузки на верхней и нижней обшивках отсека, воспроизводящие НС с погрешностью 3% в нагруженной зоне и 5% в остальных элементах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ильичев В. Д., К л и м е н к о В. А. Расчет распределенных нагрузок на основе анализа случайного статико-динамического напряженного состояния конструкций. Ч. I. Расчет экстремальных напряженных состояний. — Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. XVII, № 2.
2. И л ь и ч е в В. Д. Матричные методы синтеза динамических и упругих характеристик линейных неконсервативных конструкций. — Ученые записки ЦАГИ, т. VI, № 2, 1975.
3. Форсайт Дж., Малькольм М., М о у л е р К. Машинные методы математических вычислений. — М.: Мир, 1980.
Рукопись поступила 30/УI 1983 г.
