CC BY
31
Дедков В.К.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ «НАГРУЗКИ» ЗАКОНОМ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА
Работа выполнена по гранту 08—8-00086-а
В задачах косвенного прогнозирования надежности технических объектов находит широкое применение выражение свертки законов распределения случайных величин. В данной статье дано преобразование закона экстремальных распределений первого рода по типу «свертки».
Процесс, получаемый из некоторого стационарного случайного процесса с непрерывным временем по правилу «некоррелированных максимумов» [1], представляет собой дискретную последовательность корот-
ких импульсов, некоррелированных и независимых.
Такой процесс называется полностью некоррелированным или чисто случайным процессом а _
<ъорй(т)> = <й1, и2,..., У'.,...,йп>=и<„> (1)
т^Л + ткор)
где й{ =< 81Дрй\т) >у, [/' = 1(1)/7]
Функция распределения многомерного, случайного вектора, являющаяся адекватным описанием случайного процесса нагружения, может быть представлена следующим выражением:
Ри<„>(и<”>) = ^“1 - П ^ мг).......(«„-1 ^ ип-1) П (м„ < ип)\.
Принимая во внимание, что наибольшие значения стационарного случайного процесса, преобразованные по методу «некоррелированных максимумов», независимы, а границы множеств соответствующих событий А1,А2,...,Ап неизменны во времени, функцию распределения можно представить в следующем виде:
ри<п>(и<п>)=ир(йп^«). (2)
Поскольку наибольшие некоррелированные значения стационарного случайного процесса, образующие последовательность событий А = (Uj < 11) для любого j -го события, распределены по одному и тому же закону, то выражение (2) принимает следующий вид:
ри<п>Ф<п>) = Ши)Г =Fu<n>{u) , (3)
где й<п> =< sup(w1?w2,...,wn) > - случайная величина, представляющая собой наибольшее значение из по-
следовательности n независимых одинаково распределенных случайных величин (являющихся наибольшими значениями процесса на интервалах времени ткор ).
Поскольку
d
ui - < sup й{т) > ,
Ji +ткор)
то, соответственно, наибольшее значение из последовательности n случайных величин записывается в следующем виде:
"0) = SUP[ <SUP "(r)>J 1>'=1(1)«Ь ti=ti-i +Ткор r (4)
Ч ’Ч +^кор )
где й^ - это по-прежнему наибольшее значение случайного процесса на интервале времени, равном п периодам корреляции.
В последнем случае случайный вектор U является вырожденным, т.е. может рассматриваться как точка в одномерном пространстве со случайной координатой и •
Рассмотрим некоторые особенности закона распределения наибольшего значения й случайного ста-
ционарного процесса на произвольном отрезке времени, равном интервалу корреляции
« = SUp и(т) .
TE(tJ+TKop)
Деление случайного процесса на «участки», в пределах каждого из которых случайная переменная и проходит (в статистическом смысле) все фазы своего изменения, благодаря чему ее наибольшее значение имеет «свободу выбора», по сути дела позволяет представить стационарный, случайный процесс в форме так называемых «сезонных» подпроцессов [3,4].
Изучение подобных процессов производится на основе применения к ним законов распределения крайних членов выборки или законов экстремальных распределений.
Так, например, при расчете гидротехнических сооружений принимают во внимание не текущие уровни расхода воды в реках, а максимальные расходы в году, которые варьируют из года в год.
При проектировании некоторых сооружений приходится учитывать максимальные значения силы ветра и его скорости, максимальные (или минимальные) значения температуры, электрических напряжений, механических нагрузок и т.д.
Применение теории экстремальных распределений ко многим природным и техническим явлениям широко освещено в литературе [2,3,4].
Найдено, например, что порывы ветра, встречаемые самолетом в полете, подчиняются закону экстремальных распределений. Этому же закону подчиняются распределения наибольших значений «ударных ускорений» при вибрациях и вариации температур [3]. Показано, в частности, что использование других законов распределения, например, нормального для описания наибольших величин вибраций при больших последовательностях (совокупностях) воздействий приводит к опасной недооценке нагрузок [3].
Таким образом, наибольшие (наименьшие) значения функций, описывающих «сезонные» процессы, подчиняются закону экстремальных распределений. Этот вывод в значительной мере является результатом многочисленных экспериментальных наблюдений, нежели результатом теории. Действительно, законы экстремальных распределений называют также «распределениями для крайних членов последовательности независимых величин» [2].
В порядке приближения полагают, что наблюдаемые «сезонные» максимумы или минимумы являются членами достаточно обширной последовательности независимых величин, следующих одному и тому же закону
n
распределения. Однако, случайные максимумы или минимумы рассматриваемой величины й в пределах одного «сезонного» изменения (одного интервала корреляции ТКор ) лишь приближенно могут считаться независимыми.
Тем не менее, опыт показывает, что закономерность, отвечающая одному из возможных законов экстремальных распределений, осуществляется довольно точно. Это позволяет путем надлежащей обработки экспериментальных данных и проверки сходимости эмпирического распределения с теоретическим, определять вероятности, с которыми «сезонные» максимумы (минимумы) превосходят то или иное предельное значение.
На основании изложенного, в дальнейшем в качестве «теоретического» распределения «амплитуд» случайных сигналов, образующих последовательность независимых нагружений, будем принимать закон экстремальных распределений.
В зависимости от особенностей физического процесса, образующего вариационный ряд независимых максимальных (минимальных) значений и. исследуемой случайной величины, различают три типа экстремальных распределений [4].
Так, закон распределения «третьего типа» характерен для случаев, когда случайные величины рассматриваемой последовательности имеют границы, т.е. каждая величина может принимать значения ограниченные некоторой областью (а,Ь) Ие(с1,Ь) .
Как правило, наибольшие (наименьшие) значения нагрузки могут отклоняться от своего наиболее вероятного значения на сколь угодно большую величину, хотя вероятность подобного отклонения может быть сколь угодно малой.
Распределению наибольших значений, образованных подобными процессами, соответствует экстремальное
распределение «первого типа», функция распределения которого имеет вид Fu (и) = ехр{-ехр[-/?(м —//)]}, (5)
где /3 и л - параметры распределения.
Подставляя выражение (5) в формулу (3), определяющую общую закономерность распределения
FTj (U^-S) случайного п мерного вектора ТТ , получим
U<n> <п> ^ <n>
Fu<n> (U<">^ = expi-wexpt-A« -М)]} ' (6)
или после некоторых преобразований
F- (и) = ехр{-ехр[-Дм -№л))]}, (7)
Н(п) у
ln п
где: Л( п) = л+ — .
Из выражений (7) и (6) следует, что функция распределения экстремальных значений обладает свойством «самовоспроизведения» при преобразованиях типа «свертки», которое заключается в том, что параметр в не зависит от объема n выборки экстремумов, каждый из которых распределен по закону (5). Причем, параметр «свертки» л (п) отличается от соответствующего параметра л (соответствующего одному
нагружению) сдвигом на величину равную ln п / 3 . Форма распределения при этом остается неизменной.
Рассмотренная модель преобразования закона экстремальных распределений, позволяет выразить непрерывный случайный процесс нагрузки, действующей на объект, последовательностью функций распределения экстремальных (наибольших) независимых случайных величин.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дедков В.К. Модели прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ им. Дородницына РАН. 2003. -188 с.
2. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. М.: Мир. 1967.
3. Дунин- Барковский И.В., Смирнов Н.В. Теория вероятностей и математическая статистика в технике (общая часть). М.: Гостехиздат. 1955.
4. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир. 1974.
