Методика обработки опытных данных при прогнозировании надежности многофазной насосной станции по критерию «Потеря производительности» Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дедков В.К. МЕТОДИКА ОБРАБОТКИ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ ПРИ ПРОГНОЗИРОВАНИИ НАДЕЖНОСТИ МНОГОФАЗНОЙ НАСОСНОЙ СТАНЦИИ ПО КРИТЕРИЮ «ПОТЕРЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ»

Разработана методика обработки опытных данных и формирования на этой основе математической

модели составляющих комплекса условий й{{^ и испытаний или эксплуатации МФНС. В результате

получена математическая модель закона распределения экстремальных снижений (падений) производительности МФНС, при которых возможна потеря функциональных возможностей системы «узел скважин - МФНС», и рассчитана надежность системы «узел скважин - МФНС» по критерию «потеря производительности».

Для снижения линейных давлений в нефтяных скважинах, продукцией которых является газожидкостная смесь (ГЖС), вместо распространенных в настоящее время дожимных насосных станций с сепарацией и сжиганием ПНГ все большее применение во всем мире находят многофазные насосные станции (МФНС) с использованием многофазных насосов, способных перекачивать ГЖС. Для прогнозирования надежности (вероятности безотказной работы) МФНС необходимо данные непрерывных измерений дебита куста скважин и производительности МФНС представить в виде последовательностей дискретных случайных величин. Методика преобразования непрерывных случайных процессов в дискретные последовательности независимых случайных величин, изложена в работе [1].

Ниже излагаются особенности преобразования непрерывных случайных процессов, описывающих

изменение дебита куста скважин и изменение производительности МФНС отображающих

динамику перекачивания ГСЖ, вытекающие из конкретного характера этих процессов. Реализации непрерывных случайных процессов й(^) и приведены на рис.1.

, (?м/^

I

I

I

----------<-------}--•---------I-----------и— {(сут)

, 365 {н 73 О 4035 1460

Рис. 1. Реализации случайных процессов и х(£)

Начнем с обработки результатов измерений производительности МФНС (м^)). Как видно из рис. 1,

изменение производительности МФНС можно рассматривать в качестве «квазистационарного» случайного процесса. «Квазистационарными» процессами будем называть такие нестационарные процессы, модели которых могут быть представлены комбинацией неслучайных функций и стационарных случайных

процессов.

Чтобы воспользоваться методикой прогнозирования надежности, изложенной в [1], необходимо случайный процесс изменения производительности МФНС представить в форме суммы

центрированного случайного процесса и(£) и неслучайной функции и{/) - математического ожидания

процесса

г?(/) = г7 (/) + м(/) (1)

Полагаем, что функция и(/) может быть выражена зависимостью вида

и (/) = а + Ыа , (2)

где а , Ь , X постоянные, подлежащие определению.

При этом точность аппроксимации функции и{£) аналитическим выражением может быть повышена,

если рассматривать лишь тот участок процесса и(С) , на котором вероятность отказа типа «недостаточная производительности МФНС» может иметь практически отличные от нуля значения, т.е. начиная с момента времени I , которому соответствует величина производительности МФНС равная и=50 0 м3/час. Постоянные Ь и X можно определить по методу наименьших квадратов (МНК), а постоянную а - осреднением значений всех реализаций процесса в момент времени I . Вычисление постоянных Ь и X осуществляется исходя из условия минимума суммы квадратов расхождений между экспериментальными точками и аппроксимирующей их кривой ч

2(у -ы*)2, (3)

/=1

где и - соответственно абсциссы и осредненные ординаты экспериментальных точек;

Ч - количество пар значений соответствующих величин.

Дифференцируя поочередно (3) по Ь и X , приравнивая эти выражения нулю и решая полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим

qr2 - rlCl и I rlC2 “ r2Cl

a = -L-^_——; b = exp 12 21

bi

bi

где bi = qic2 - c!2, C1 = 2 ln y., c2 = 2 (ln yt )2,^ (4)

/=1 /=1

q q

r =2ln x ’ r2 =2(ln x)ln y

1=1 1=1

Воспользовавшись результатами измерений производительности МФНС с помощью формул (4) (при t=tj найдем значения постоянных а , b и a : а = 500 , b = 6,41 , a = 0,64 . Подставляя полученные

значения постоянных в (2), получим

U(t) = 500-6,41-10,64 . (5)

Вычитая затем (5) из соответствующих ординат j-ой реализации Ujif) , получим центрированную реализацию стационарного случайного процесса li-(f), обладающего, как показывает проверка, свойством эргодичности. Полученная реализация ü.(t) может быть подвергнута обработке по изложенной ниже методике, с целью получения закона распределения наименьших некоррелированных значений производительности МФНС M-(f) на интервалах, равных интервалу корреляции исследуемого стационарного центрированного процесса Т = Т .

На рис. 2 приведена автокорреляционная функция процесса, рассчитанная по формуле (6)

Рис. 2. Автокорреляционная функция случайного центрированного процесса изменения производительности МФНС й(У) .

1. Для оценки интервала корреляции ткор центрированного стационарного процесса воспользуемся формулой для вычисления нормированной автокорреляционной функции К^,(т) случайного процесса ЙД0

тТ„

1 ;/ J {n-m){asy

(6)

где Тр - длительность реализации, по которой оценивается ; т - текущее значение времени

сдвига; (р’ц.')2 - оценка дисперсии реализации случайного процесса.

т=—, & - интервал дискретизации реализации случайного процесса при вычислении К

At

mT„

количество точек разбиения реализации длительностью Тр .

Результаты расчета в графической форме приведены на рис. 2. Из этого рисунка видно, что по истечении 3 0-и суток корреляционные связи между двумя произвольными измерениями производительности МФНС становятся несущественными. Принимая в качестве интервала корреляции т отрезок времени от начала отсчета (т =0) до момента первого пересечения автокорреляционной функцией оси времени, получим т = 30 сут.

2. Проверка выборки реализаций наименьших значений производительности МФНС на независимость. Разбиваем реализацию случайного процесса ЙДО на отрезки длительностью Г =30 сут. и определяем

в каждом нечетном интервале наименьшее значение производительности МФНС.

Проверяем полученную выборку из 2 0 значений расходов ГЖС на независимость. Эта проверка является дополнительной. Практически выбор наименьших значений процесса, разделенных интервалом времени т > т уже обеспечивает некоррелированность элементов выборки. Однако стремление к

сокращению рассматриваемой длины реализации Тр (соответственно - продолжительности испытаний) в

n

т

некоторых случаях приводит к необходимости выборки Uj из каждого интервала разбиения реализации

“ДО - равного интервалу корреляции. Практика показывает допустимость подобной операции. При этом

дополнительная проверка независимости наименьших значений производительности не лишена смысла.

Для проверки воспользуемся «критерием серий» [2], основанным на анализе отклонений реализаций от медианы выборки. Методика проверки выборки реализаций случайных величин на независимость изложена в [2].

Гипотеза о стохастической независимости наименьших значений производительностей на каждом из отрезков времени Т = ТКор при уровне значимости 0,05 принимается только в том случае, когда выполняется каждое из неравенств [2]

1(N +1 - 1,96 VN -1

v( N) > x(N) <[3,3(lg N +1)]

(7)

(8)

Для N = 20 систему неравенств (7) можно представить в виде у(N) > 10,0] х^) < 3,0

Сравнивая результаты анализа (8) с данными данных таблицы, приведенной в [2], находим, что у(^ = 14 > 10,2 ; х(^ = 5 < 8,2 . Следовательно, неравенства (8) выполняются, что позволяет принять гипотезу о независимости наименьших значений Производительности МФНС на каждом из нечетных как правдоподобную. Проверка по приведенной методике показывает, что

интервалов

кор '

наибольшие значения в выборке из каждого интервала Т = Ткор также независимы.

4. Определим параметры функции распределения наименьшего значения производительности й на

величина и подчиняется закону экстремальных распределений первого типа. Функция распределения и плотность распределения фц(и) выражаются в форме [3]

^(и) = ехр[-ехр(->>)], (9)

где у - нормированное отклонение от моды, определяемое соотношением у = р(и ~ М) , где Р и М - параметры распределения, подлежащие определению,

Фи («) = ßexp{-ß(u -/л)- exp\-ß(u - /л)]} .

Порядок распределения ß и ^ следующий:

(10)

а) определяем среднее арифметическое и * и среднее квадратическое отклонение наименьшим значениям производительности МФНС по формулам [3]:

N

2 и

зсем N

N

к.

Vїї2 - (и*)2

/ , i / = 1

(11)

N

и* = 34,03 ; sl= 3,79.

б) по таблице 10.5.2 (в [3] стр. располагаемому объему выборки N = 30 :

409) находим вспомогательные значения

Ук = 0,536 ; &n = 1,112 .

yN

отвечающие

з) определяем оценки ß и ^ по формулам

ß=4

s:

/л = и ■

УК

ß

(12)

Подставляя в формулы (12) соответствующие значения, получим ß = 0,294 , ц = 32,2 .

На основе приведенной выше методики обработки опытных данных получены параметры математической модели закона распределения экстремальных снижений (падений) производительности МФНС, при которых возможна потеря функциональных возможностей системы «узел скважин - МФНС» по критерию «потеря производительности».

Литература

1. Дедков В.К. Модели прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ им. А.А.

Дородницына РАН. 2003. 186 с.

2. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1974.

3. Смирнов В.И., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М.: Наука, 1965.

интервале Т=Т . На основании доводов, приведенных выше, принимаем гипотезу о том, что случайная

*

по

а

и

N