CC BY
6
Второй, третий и четвёртый случаи соответственно определены таблицами 6, 7, 8, их решётки концептов изображены на рис. 2 6, с, с1. Все они подрешётки решётки Ь37 сохраняющие свойство 4 теоремы 1.
Таблица 6 Таблица 7 Таблица 8
G Mi M2 G Mi M2 G Mi
9i ai bi 9i ai bi 9i ai
92 ai b2 92 ai b2 92 a2
g3 a2 bi 93 a2 Ьз 93 a3
Теорема 2. В минимальном однозначном контексте K = (G, {Mi}i<i<n,p) число атрибутов не превосходит числа объектов, т.е.
n < |G|.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Новиков В. Е. Функциональные зависимости в формальном контексте // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2008, Вып. 10, С. 53-55.
2. Мейер Д. Теория реляционных баз данных. М. : Мир, 1987.
3. Новиков В. Е. Решётка концептов в однозначном контексте // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2010, Вып. 12, С, 53-56,
4, Новиков В. Е. Минимизация однозначного контекста // Компьютерные науки и информационные технологии : материалы Междунар, науч. конф, Саратов : IIII Наука, 2012. С. 233-236.
УДК 519.95
С. И. Поликарпов, И. А. Баланов
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АВТОМАТОВ КОНЕЧНЫМИ РЯДАМИ ФУРЬЕ - УОЛША
Поступила в редакцию 31.05.2018 г.
В статье [5] был рассмотрен метод представления конечного детерминированного автомата Мили в виде композиции простейших автоматов. Это достигается путём разложения геометрического образа исходного автомата в конечный ряд Фурье-Уолша по системе функций Уолша и сопоставления каждой из этих функций автомата, геометрический образ которого совпадает с данной функцией.
В данной работе представлена практическая реализация данного метода на примере конкретного автомата.
Конечным детерминированным автоматом Мили называется совокупность шести объектов
A = (S,X,Y,ô,X,so),
где 5 - конечное непустое множество состояний, X - конечное непустое множество входных сигналов, У - конечное непустое множество выходных сигналов, йо - начальное состоя ние отображение вида:
6 : 5 х X ^ 5 и Л : 5 х X ^ У,
6 и Л называются функцией переходов и функцией выходов автомата А соответственно.
В.А.Твердохлебов предложил представлять автоматы геометрическими образами в специальных словарных геометриях и исследовал свойства геометрических образов [1, 2]. На содержательном уровне геометрический образ можно считать ломаной линией.
Рассмотрим инициальный автомат Мили А = (5, X, У, 6, Л, йо) с начальным состоянием йо , геометрический образ которого является периодическим с периодом N = 2п (и = 5, например). Обозначим N как первые входные сигналы 0,1, 2 ... 31. Пусть У = {0,1, 2,3,4, 5} и
у(0)= 3; у(1)=3; У(2) = :2; У(3)= 3; У(4)=4; У(5)= 1; у(6)=0;
У(7)= 5; у(8)=1; У(9) = у(10)= = 1; у(11)=5; У(12)= =4; у(13)=0;
У(14)= =5; у(15)=3; У(16)= =4; У(17)= = 1; у(18)=0; У(19)= =4; у(20)=1;
У(21)= =4; у(22)=0; у(23)= =3; У(24)= =2; у(25)=1; У(26)= =3; у(27)=4;
У(28)= =4; у(29)=1; у(30)= =4; У(31)= =4
Функции Уолша можно определить через функции Радемахера. Функция Радемахера i-ro порядка определяется следующим образом:
Ti(x) = (—1)Xi = cosnxj, где x = 0,1 есть i-й разряд двоичного представления переменной x.
Функции Уолша в форме Пэли - это действительные функции, определяемые как произведение степеней функций Радемахера:
pal(p, x) = [ri(x)]Pn[r2(x)]Pn-1... [rn(x)]pi, где p - разрядные коэффициенты в двоичном представлении числа p тогда первые несколько функций будут представлены следующим образом:
pal(0, x) = 1, pal(1, x) = r1 (x), pal(2, x) = r2(x), pal(3, x) = r1 (x)r2(x)
pal(31,x) = r1(x)r2(x)r3(x)r4(x)r5(x).
Поскольку па интервале определения N = 2n в систему функций Уолша входит N ортогональных функций, то она является полной.
(1)
Заменим геометрический образ исходного автомата его разложением в ряд по системе функций Уолша:
N-1
р = °рра1(р,х), (2) р=0
при этом значения суммы ряда в точках 0,1,..., 31 точно совпадают со значениями геометрического образа, а коэффициенты Ср можно подсчитать, используя свойство ортогональности функций Уолша:
1
сР = ~ ^^ра1(р,х)Г(х). (3)
N
х=0
Получим:
С0=2,5; С1 =-0,125; С2=-0,375; Сз=0,875; С4=-0,1875;
Св=-0,1875; Сб=-0,0625; Ст=0,0625; Св=-0,125; Сд=-0,5;
с10=0,625; СП=0,125; С12=0,3125; С1з=0,5625; С14=0,0625;
С1в=-0,0625; С16=0; С1т=0,125; С1в=-0,125; С19=0,125;
С20=-0,0625; С21=-0,3125; С22 =0,06 2 5; С2з=-0,3125; С24=0,25;
С2Б=0,125; С26=0; С27=0; С2в=0,0625; С29 =0,06 25;
сз0=0,0625; Сз1=-0,5625
Каждая базисная функция системы (1) является Апериодической и принимает лишь два значения: 1 или -1, тогда эти функции можно рассматривать как геометрические образы 7р(х) некоторых автоматов. А по этим геометрическим образам однозначно восстанавливаются автоматы А0,..., AN-1, Функции выходов автоматов А0,..., AN-1 определяются формулами:
Хр(в0, х) = ра1(р, х), где р = 0,..., N — 1, (4)
а функции переходов могут быть произвольными. Такие автоматы А0,..., AN—1 с тем же множеством Х,У = { — 1,1} и произвольным множеством состояний и любыми функциями переходов будем называть простейшими.
Так как для этих автоматов У = {—1,1} , то эти автоматы легко строятся, и изучать их свойства гораздо удобнее.
Таким образом, базисные автоматы А0,..., AN—1 получены разложением в ряд Фурье-Уолша геометрического образа у30 исходного автомата и выделением в этом ряде соответствующих этим автоматам компонент.
Композиция простейших автоматов Ао,...,Ду-1 , где элемент ^ определяется равенством
N-1
А^= срра/(р,ж), (5)
р=0
задает автомат, эквивалентный исходному автомату А. Проверим это утверждение:
А(0)= 3; А(1)=3; А(2)= 2; А(3)= 3; А(4)=4; А(5) = А(6)=0;
А(7)= 5; А(8)=1; А(9)= 0; А(10)= = 1; А(11)=5; А(12)= =4; А(13)=0;
А(14)= =5; А(15)=3; А(16)= =4; А(17)= = 1; А(18)=0; А(19)= =4; А(20)=1;
А(21)= =4; А(22)=0; А(23)= =3; А(24)= =2; А(25)=1; А(26)= =3; А(27)=4;
А(28)= =4; А(29)=1; А(30)= =4; А(31)= =4
А теперь сравним значения с исходным автоматом:
У(0)= =3; У(1) = =3; У(2)= =2; У(3)= 3; У(4)=4; У(5) = 1; У(6)= 0;
А(0)= =3; А(1)= =3; А(2)= =2; А(3)= 3; А(4)=4; А(5) = =1; А(6)= 0;
У(7)= =5; У(8) = =1; У(9)= =0; у(10)= =1; у(11)=5; У(12)= =4; У(13)= =0;
А(7)= =5; А(8) = =1; А(9)= =0; А(10)= = 1; А(11)=5; А(12)= =4; А(13)= =0;
У(14)= =5; У(15)= =3; У(16)= =4; У(17) = =1; у(18)=0; У(19)= =4; У(20)= = 1;
А(14> =5; А(15)= =3; А(16)= =4; А(17)= = 1; А(18)=0; А(19)= =4; А(20)= = 1;
У(21) = =4; у(22)= =0; у(23)= =3; У(24)= =2; у(25)=1; У(26)= =3; У(27)= =4;
А(21): =4; А(22> =0; А(23> =3; А(24)= =2; А(25)=1; А(26)= =3; А(27)= =4;
у(28) = =4; у(29)= =1; у(30)= =4; у(31)= =4
А(28) = =4; А(29)= =1; А(30)= =4; А(31)= =4
Таким образом, нам удалось удостовериться в возможности реализации данного метода и достоверности получаемых значений. В геометрическом образе автомата функциональная зависимость представлена как автоматное отображение, то есть отображение с изменяющимся параметром (изменяющимся состоянием). Это позволяет каждую функцию ра/(р, х) преобразовывать в автомат Ар с конкретным множеством состояний. Следовательно, в рассматриваемой композиции все компоненты - автоматы и результат композиции - автомат.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Твердохлебов В. А. Основные свойства геометрических образов автоматов // Проблемы точной механики и управления : сб. науч. тр. ИПТМУ РАН. Саратов, 2004. С. 48.
2. Твердохлебов В. А., Епифанов А. С. Представление автоматных отображений геометрическими структурами. Саратов : Изд. дом «Наука», 2013.
3, Поликарпов С. И. Представление автомата рядом Фурье в задачах диагностирования и управления // Информационные технологии в науке, производстве и социальной сфере : сб. науч. тр. Саратов : Науч. книга, 2005,
4, Поликарпов С. И. Представление конечного автомата рядом по системе функций Уолша // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2015. Вып. 17. С. 45-47.
5, Поликарпов С. И. Представление конечного детерминированного автомата конечным рядом по системе функций Уолша // Актуальные направления научных исследований XXI века : Теория и практика : сб. науч. тр. Воронеж, 2017. 8, ч. 2. С. 143-147.
УДК 512.53
В. Б. Поплавский
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ НДЕМПОТЕНТЫ УПОРЯДОЧЕННЫХ МОНОИДОВ
Поступила в редакцию 29.05.2018 г.
В этой статье рассматриваются свойства множеств левых и правых единиц произвольного элемента частично упорядоченного моноида X, т. е. полугруппы с единицей, на которой задан стабильный относительно полугрупповой операции умножения частичный порядок <.
Определение 1. Пусть существует наибольшее решение уравнения ха = а для некоторого а € X, тогда обозначим его через аЕ. Если суще-
ха = а
аи. Соответственно если для уравнения ах = а существует наибольшее решение, то обозначим его через аь, и если среди решений уравнения ах = а существует наименьшее, то обозначим его через аь-
Теорема 1. Если, аЕ, аЕ, а1, аь существуют, то они являются идемпотентами моноида X.
Доказательство. Из определения 1 следует, что 1 < аЕ. Умножая последнее неравенство на аЕ, получаем аЕ < аЕаЕ.
С другой стороны, (аЕаЕ)а = аЕ(аЕа) = а и, следовательно, из определения 1 следует, что (аЕаЕ) < аЕ. Получаем равенство аЕ = аЕаЕ.
Аналогичным образом можно доказать равенство аь = аьаь, а учитывая, что аЕ < 1 и аь < 1, можно показать и идемпотентность элементов аЕ и аь. ■
Теорема 2. Если, аЕ, аЕ, аь, аь существуют, то выполняются следующие равенства: (аЕ)Е = (аЕ)ь = аЕ, (аь)ь = (аь)Е = аь, (аь)ь = (аЬ)Е = aL, (аЕ)Е = (аЕ)ь = аЕ.
