CC BY
7
элементарной теории класса бесконтурных рефлексивных графов и элементарной теории класса полугрупп.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Jonson В. Topics in Universal Algebras, Lecture Notes : Nashville Vanderbilt University, 1969-1970. 397 p.
2. Улам С. Нерешенные математические задачи. М, : Наука, 1964. 168 с.
3. Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. М, : Наука, 1967. 376 с,
4, Ершов Ю. Л., Лавров И. А., Таймапов А. Д., Тайцлин М. А. Элементарные теории // Успехи мат наук, 1965, Т. 20, JV2 4, С, 37-108,
УДК 519.7
В. Е. Новиков
СВОЙСТВА РЕШЁТКИ КОНЦЕПТОВ ОДНОЗНАЧНОГО МИНИМАЛЬНОГО КОНТЕКСТА
Поступила в редакцию 80.05.2018 г.
Формальный контекст - это тройка K = (G, {Mi], р), где G — конечное множество объектов, |G| > 2, {Mi] — семейство конечных множеств атрибутов с множеством индексов 1 < i < n, |Mi| > 2, р С G х Mi х • • • х Mn = G x Mn — некото рое (n + 1)-арное отношение.
Концептом по системе атрибутов jk С П в контексте K называется замкнутое подмножество X С G объектов, обладающих общностью значений по набору атрибутов jk- Замкнутое в том смысле, что объектов с этими же значениями указанного набора атрибутов, не вошедших в подмножество X, в контексте K нет.
Будем говорим, что контекст K = (G, {Mi], р) однозначен, если отношение р имеет F-зависимость G ^ Mn [1]. Однозначный контекст моделируется реляционной базой данных, в которой множество объектов является одним из ключей этой базы [2]. Например, если (g, m1,..., mn) £ р, то говорим, что объект g по атрибуту 1 имеет значение ш1? по атрибуТу 2 — значение m2, по системе атрибутов (1, 2) — значение (ш1,ш2), и т.д. Если любой объект по каждому атрибуту имеет точно одно значение, то такой контекст является однозначным. В [3] были представлены следующие результаты.
Теорема 1. Пусть K = (G, {Mi], р)- однозначный контекст,. Тогда, справедливы следующие утверждения :
1) множество концептов контекста К образует полную решётку Ь(К), относительно теоретико-множественного включения;
2) множество собственных концептов по любом,у % С п образует разбиение множества С ^которое обозначаем С/^;
3) если % С % С п, то С/J -подразбиение разбиения С/1 (ОД < <%,); ' ' '
4) если концепт X в решётке концептов Ь(К) не является атомом, то X покрывает не менее двух концептов контекста К;
5) высота решётки концептов Н(Ь(К)) < ш%п{п + 2, |С| + 1} а её ширина /ш(Ь(К)) < |С|.
Свойство 4 в теореме 1 отражает фундаментальное свойство в логике понятий. Оно заключается в том, что если в классе удаётся выделить подкласс по какому-либо атрибуту, то вместе с ним всегда выделяется и другой подкласс (или подклассы), элементы которого имеют другое значение по данному атрибуту. Таким образом, любой класс покрывает не менее чем два подкласса.
В [4] представлен алгоритм минимизации контекста по числу объектов и числу атрибутов с сохранением решётки концептов. Для минимизации контекста К по числу объектов достаточно все атомы решётки Ь(К) сконденсировать до одноэлементных концептов. Пусть контекст К уже минимизирован по числу объектов. Рассмотрим случай, когда |С| =2, С = {$1, $2} и контекст К определяется базой данных заданной табл. 1.
Для значений атрибутов здесь возможны два варианта, либо совпадают, либо различны. Если существует ¿(1 < % < п) такой, что значения атрибута для $1 и $2 различны, то решётка концептов Ь(К) имеет вид, показанный на рис. 1, а. В этом случае минимальный контекст будет определён базой данных заданной табл. 2 с условием, что «а = «2
Рис. 1. Решётки концептов
Если для всех %(1 < % < п) значения атрибута для $1 и $2 совпадают, то решётка концептов имеет вид, показанный на рис. 1, б. Тогда С = {91,92} является атомом в решётке концептов, и контекст К не минимизирован по числу объектов. Минимальный контекст будет опре-
делён базой данных заданной табл. 3. Вырожденный случай |О| = 1 не представляет собой исследовательского интереса, так как база данных из одного объекта с точки зрения концептуального анализа не нуждается в атрибутах, поскольку нет объектов, от которых его можно было бы отличить.
Таблица 1 Таблица 2 Таблица 3
О М1 М2 Мз Мп О М1 О
01 а1 Ь1 С1 01 а1 0
02 Й2 Ь2 С2 ¿2 02 Й2
Рассмотрим случай, когда |О| = 3, О = {01,02,03} и контекст К определяется базой данных, заданной табл. 4. Для значений атрибутов здесь возможны три варианта, либо все три значения равны, либо равны какие-то два значения, либо все три значения различны.
Таблица 4 Таблица 5
О М1 М2 Мз Мп О М1 М2 М3
01 а1 Ь1 С1 01 а1 Ь1 С1
02 «2 Ь2 С2 ¿2 02 а1 Ь2 С2
03 а-3 Ьз сз ¿з 03 «2 Ь1 С2
Отсюда следуют четыре варианта минимального контекста. Первый определён табл. 5, его решётка концептов изображена на рис. 2, а и
О
Рис. 2. Решётки концептов
Второй, третий и четвёртый случаи соответственно определены таблицами 6, 7, 8, их решётки концептов изображены на рис. 2 6, с, с1. Все они подрешётки решётки Ьз, сохраняющие свойство 4 теоремы 1.
Таблица 6 Таблица 7 Таблица 8
С М1 М2 С М1 М2 С М1
91 а1 Ь1 91 а1 Ь1 91 а1
92 а1 Ь2 92 а1 Ь2 92 а2
9з а2 Ь1 9з а2 Ьз 9з аз
Теорема 2. В минимальном однозначном контексте К = (С, {М^}1<1<п,р) число атрибутов не превосходит числа объектов, т.е.
п < |С|.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Новиков В. Е. Функциональные зависимости в формальном контексте // Математика. Механика : еб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 53-55.
2. Мейер Д. Теория реляционных баз данных. М. : Мир, 1987.
3. Новиков В. Е. Решётка концептов в однозначном контексте // Математика. Механика : еб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 53-56.
4. Новиков В. Е. Минимизация однозначного контекста // Компьютерные науки и информационные технологии : материалы Междунар, науч. конф. Саратов : IIII Наука, 2012. С. 233-236.
УДК 519.95
С. И. Поликарпов, И. А. Баланов
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АВТОМАТОВ КОНЕЧНЫМИ РЯДАМИ ФУРЬЕ - УОЛША
Поступила в редакцию 31.05.2018 г.
В статье [5] был рассмотрен метод представления конечного детерминированного автомата Мили в виде композиции простейших автоматов. Это достигается путём разложения геометрического образа исходного автомата в конечный ряд Фурье-Уолша по системе функций Уолша и сопоставления каждой из этих функций автомата, геометрический образ которого совпадает с данной функцией.
В данной работе представлена практическая реализация данного метода на примере конкретного автомата.
Конечным детерминированным автоматом Мили называется совокупность шести объектов
А = (8,Х,У,5,Х,во),
