Представление функций и их производных интегралами Вольтерра в численных методах решения дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

75/2011 Г*

Вестник Ставропольского государственного университета ¡ff^j

МНТЕМНТПКН

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ ИНТЕГРАЛАМИ ВОЛЬТЕРРА В ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

И. Э. Наац, В. И. Наац

THE REPRESENTATION OF FUNCTIONS AND THEIR DERIVATIVES BY VOLTE RRA INTEGRALS IN DIFFERENTIAL EQUATIONS CALCULUS OF APPROXIMATIONS

Naats I. E., Naats V. I.

The paper develops the approach consisting in constructing second-type integral Volterra equation being the equivalent of the initial differential equation, whose numerical solution is carried out by iteration methods.

Key words: differential equation, second-type integral Volterra equation, generalized derivation operator, iteration computing circuit.

В работе осуществляется развитие подхода, заключающегося в построении эквивалентного исходному дифференциальному уравнению интегрального уравнения Воль-терра второго рода, численное решение которого осуществляется далее итерационными методами.

Нлючевые слова: дифференциальное уравнение, интегральное уравнение Воль-терра второго рода, оператор обобщенного дифференцирования, итерационная вычислительная схема.

При численном решении дифференциальных уравнений вида

u '(t ) = F (t, u ),

(1)

где г е [г0, Т ], и (г0) задано и функционал ¥(г, и) непрерывен и ограничен на множестве возможных решений и ^ С, возникает проблема устойчивости приближенных решений и (г) при наличии ошибок в исходных данных. В этих случаях альтернативным подходом к построению решающего алгоритма является замена исходного функционального уравнения неким приближенным близким к решающему. Например, для уравнения (1) подобным аналогом может служить уравнение

и' (г) + а ■ и (г) = ¥ (г, и), (2)

где параметр модели а > 0 - достаточно малое число. Подобный прием вполне оправдан, если правая часть в (1) представлена своим так называемым О -приближением ¥О (г, и) . Разумеется в рамках этого подхода

требуется указывать способ выбора значений а с учетом ожидаемой величины погрешности О. Для уравнения (2) вычислительный алгоритм следует строить на основе интегрального уравнения Вольтерра второго рода вида

t -1 '

T-t,

u(t) = } e T-t0 Fs (t', u (t'))dt' + u(t0) • e

T-to

УДК 519.5

(3)

t-t

0

-a

Подробно данный подход к решению прикладных задач для уравнений параболического типа

Г t — Г' ü

изложен в монографии [2]. Наличие в уравнении (3) множителя expi — a--f оказывает

l T — to J

стабилизирующее действие на сходимость последовательности приближенных решений U«(S)(t)} при a(s0 (s ® О). Последнее обстоятельство особенно важно при решении

прогнозных задач с использованием в соответствующих моделях эмпирических данных.

В пределах настоящей работы осуществляется дальнейшее развитие данного подхода, заключающегося в построении эквивалентного исходному дифференциальному уравнению интегрального уравнения Вольтерра второго рода, численное решение которого осуществляется далее итерационными методами. Конкретно речь идет о построении операторов обобщенного дифференцирования на основе представления искомых функций и их производных интегралами с последующим переходом к интегральным уравнениям Вольтерра. Ранее подобные вопросы излагались в работах авторов и касались приложений интегральных уравнений Фредгольма для краевых задач.

В целях большей ясности излагаемого далее материала приведем некоторые пояснения, касающиеся, прежде всего представления функций и их производных интегралами в прикладном анализе. Допустим, что рассматривается некая интегрируемая функция f (х) , определенная на

W = [а, b] (f (х) е С^ (W)). Тогда имеют место следующие соотношения

b

J Kn (х, X )f (x')dx' = fn (х) = (Knf Хх),

а

lim fn (х) = f (х), (4)

где {Kn (х, х' )} надлежащим образом выбранная последовательность функций ((х, х' )eWx W ), (n = 1, 2,..). Не останавливаясь подробно на содержании этих соотношений и характере сходимости fn(х) ® f (х) при n ® ¥ [1], укажем лишь на то, что ядра интегральных операторов Kn в (4) удовлетворяют условиям

b

lim JKn(х,х' d' = 1 "хeW (5а)

n а

Kn (х, х') > 0 ("(х, х ' )eWxW ' ), (5б)

Kn (х, х ') = Kn (х — х ') = Kn (|х — х '|) ® О

при |х — х'| ® ¥ . (5в)

Ясно, что {(Knf )(х)} ® f (х) в слабом смысле в каждой точке х eW. В соответствии с этим считается, что исследуемая функция f (х) представляется аппроксимационной последовательностью {(Knf )(х)} или просто интегралом (4) при условии (5). С практической точки зрения подобные представления имеют особый интерес для тех ситуаций, когда f (х) представлена

своим S -приближением f (х), вектором приближенных значений fs размерности m либо

приближенным уравнением, о чем говорилось выше. В пределах настоящего исследования в большей мере нас интересуют подобные представления функций интегралами Вольтерра, в которых исходные соотношения (4) имеют вид

t

J En (t, t' )• и (t )dt' = Un (t) = (Enu )(t),

75/2011

Вестник Ставропольского государственного университета

lim ип(t) = u(t) , (t' £ t), t e [t0,T].

(6)

Подобный вариант интегральных представлений функций может быть использован в так называемых нестационарных моделях, о чем будет сказано ниже.

Примером соответствующих ядер интегрального оператора Еп могут быть функции вида

En (t, t' ) = ^ d

En (t ', t ) = ^ d

t—t'

d при t' < t.

t —t n--

d

(7а)

при t < t '. (7б)

В этих выражениях d - некий параметр (й > 0). Не касаясь подробно роли этого параметра в модели (7), далее полагаем d = Т — to, если нет специальной оговорки на сей счет. Не трудно видеть, что Еп(^,t') при п = 1, 2,... удовлетворяет условиям (5) для Vи(^ е ). Действи-

тельно

J En (t,t ' )dt ' = 1 — е

® 1

(8)

при п ® ¥ Vt е Wt = \}0, Т]. Также просто проверяются и остальные требования в (5). Более

t0

важно показать справедливость основного предельного соотношения, а именно,

lim un (t) = lim (Enu Xt) = и (t),

(9)

Vt е Wt = Т], когда Еп (^, t') определяется выражением (7). Ниже вместе с обозначением (Епи)(/) будем также использовать запись ип , и), подчеркивая то обстоятельство, что (Епи)(/) является линейным функционалом на и ^ С^(О). При доказательстве соотношения (9) ограничимся частным случаем функций и(;) , а именно, будем полагать, что и^) > 0 всюду

на Qt = Т]. С учетом того, что } Еп (^ t')dt ' £ 1 всюду на (п, t) как это следует из (8), можно

считать справедливым следующее неравенство

\un (t, и)—и(t)| £

un (t, и )— u(t) • J En (t, t' )dt '

(10)

Тогда для доказательства (10) необходимо доказать, что правая часть (10) при п ® ¥ может быть сколь угодно малой. В связи с этим построим оценку следующего интеграла

J En (t, t' )• [и (t') — u(t )]dt '

(11)

В предположении, что и ^) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а, т. е. неравенству

') — и^)| £ М • ^ — t'\а . (12)

Используя (12) имеем

\ип (t, и )—и (t)| £ M • J

Kn•t — t'

t—t

d

dt .

(13)

t—t

0

n

T —t0

t

0

t

0

0

0

n

е

t

0

Если допустить, что а = 1 и воспользоваться формулой 11 • ва1—? = еа • (а? -1/а2 ), то неравенство (13) приведется к виду

\ип (?, и )-и (? )| < М • — х п

х^1 -ехр|-п• -+ . (14)

Ясно, что для всех ? е Т] и — = Т - правая часть равномерно стремится к нулю при

п ® ¥, что и доказывает предельное соотношение (9) при тех предположениях, которые допускались выше в целях упрощения доказательства. Нетрудно показать, что результат справедлив для всех а из интервала [0,1] и для любых интегрируемых функций и(?) , не обязательно положительных [3]. Заметим, что при доказательстве справедливости соотношения (9) одновременно было доказано важное аналитическое свойство членов аппроксимационной последовательности {(Епи)(?)}, а именно, если и(?) принадлежит классу Ь1рма, то функции (Епи)(?) также принадлежат этому же функциональному классу. В этом смысле можно говорить о том, что аппроксимирующие функции (Епи)(?) в рамках излагаемой теории «наследуют» некоторые свойства исследуемой функции и(?) . В данном случае речь идет о свойстве «принадлежать классу Ырм а ». Следует заметить, что подобной особенностью не обладают другие аппараты приближения, используемые в конструктивной теории функций. Это относится, например, к приближению функций интерполяционными полиномами. Помимо сохранения принадлежности классу Ь1рма интегралы (Епи)(?) наследуют еще и ряд других аналитических (структурных) свойств исходной функции [2], но эти вопросы выходят за рамки настоящей работы.

Для того чтобы более наглядно представить свойства отображений (представлений функций интегралами) Еп : и ® ип, п = 1,2,... приведем два простых примера. В первом случае положим им (?) = С , где С - некоторая константа. Речь идет о функции, сохраняющей в области своего определения константу. Положим, что основной интервал W = [0,l] и им (о+)= С, им (о-) = 0, им (1 + 0) = 0, им (1 - 0) = С. В соответствии с (6) имеем

Un (t, uM ) = (E„um \t) = jn • e-n -tCdt' = C • (l - e"nt) (0 < t < l). (15а)

0

Ясно, что lim un (t, uM )= lim C (l - e~nt )= C . В качестве второго примера возьмем (t) = C • t, где t e [0,l]. Аналогично получим

U„ (t, uM ) = (EnuM )(t) = jn • e"n (t-t,) • C • t'dt'= C • t - C (l - e-nt) (0 < t < l). (15б)

UM

С,

п

Предел ип (?, им ) при п ® ¥ дает С • ? т. е. им (?) для всех ? из указанного интервала. Исходя из приведенных примеров, можно указать на некоторые особенности поведения функций ип (?, им ), входящих в аппроксимационную последовательность {(Епим )(?)}. Ясно, что для

всех ? е [0,1] имеет место неравенство ип (?, им )< им (?), т. е. последовательность {ип (?, им )} для всех ? достигает своего предела снизу. Вторая особенность состоит в том, что ее сходимость равномерная и погрешность имеет порядок 0| — ]. Можно заметить, что указанные

I п 0

75/2011

Вестник Ставропольского государственного университета

свойства {(Enu )(t)} справедливы и в более общих случаях. В частности не трудно показать справедливость неравенства

max|(Enu)(t)| < max|u(t)|, "u e CS[t0, T]. (16)

t t

Приложение изложенного выше аппарата аппроксимации функции к задачам численного решения дифференциальных уравнений требует построения аналогичных аппроксимационных последовательностей для производных этих уравнений. Если в точке t е [to,T] исследуемая функция u(t) имеет ограниченную производную, то по аналогии с (6) можно писать

(Enu')(()=|En ((, t ' )u '(t ' —' = (u ' )n ((),

10

lim(u')n(t) = u'(t), t' < t, t е [t0,T]. (17)

n®¥

Если En (t, t') = П expj - n • -—— I, t' < t, то (En (t, t'))t = -(En (t, t'))t , и тогда, применяя к

— I — I

интегралу в (17) формулу интегрирования по частям, можно придти к следующему выражению

J En (t, t')u'(t')dt' = \(En (t, t'))t'u (t')dt' +y n (t, u), (18)

-0 10

где обозначено

yn (t, u)=[En (t, t')u(t')]| t:=t0 . (19)

Если функция (En (t, t'))t интегрируема по t' для всех пар (t, n), то имеет место следующее предельное соотношение

(u ')n (()= \(En t'))t'u(t ')t' +y n (t, u)® u '(t) (20)

t0

при n ® ¥ для всякой дифференцируемой в точке t функции u(t) . Выражение (20) определяет некий оператор Dn : u ® (u')n , который в силу того, что lim(u')n (t) = u'(t), можно считать оператором «дифференцирования» исходной функции u(t) . Это обстоятельство далее будем обозначать символом (¿~nu )(t)® (Du)(t) при n ® ¥ в каждой точке t е [t0, T]. Следует заметить, что оператор Dn согласно (20) формально определен для любой интегрируемой функции u(t), и потому его следует считать, строго говоря, «оператором дифференцирования» в обобщенном смысле. Имеется в виду, что, если u(t) дифференцируема на [t0, T], то при n ® ¥

Dn в пределе эквивалентен оператору обычного дифференцирования D = — . Для того чтобы

dt

составить некоторое представление о возможном соответствии (Du)(t) и (¿~nu)(t) при n ® ¥ вновь обратимся к примерам, о которых выше уже шла речь. Для вычисления интегралов в (20)

требуются гарантии дифференцируемости ядра (En (t, t'))t по переменной t' для всех пар

(t, n), t е [t0, T]. Для функции En (t, t'), которая используется в данной работе, в качестве простейшей модели возьмем

(En(t,t'))t =-|d| expi-n

t -1' d

(2l)

?' < ? . Эта функция интегрируема по ? при всех (?, п), включая и случай п ® ¥ . При ?' = ?

(на диагонали ядра) значения (Еп (?, ?')) ? при п ® ¥ не определены, и при вычислении интегралов (20) требуется вводить соответствующие допущения в квадратуры.

В качестве иллюстрации применения формулы обобщенного дифференцирования найдем

(рпим)(?) для случая им (?) = с • ? , ? е (0,1). Вначале вычислим интеграл в (20). Имеем

n

j-у expj-n

t -1'] ,,, d -\ct dt = c • t---

d I n

f

n

, - d (t - * 0 ) l - e d

-(n T-

n

, - d (t-t 0) l - e d •

n(t -10 ) +1

d

= c •

V

nt nt0

0

n

......0 d(t-(0 )

l--+ —e d

dd

-e

n

(t-10 )

d

Далее вычисляем значение второго слагаемого в (20), а именно

У n (t, u ) = -7-d

n

, ч -d(t-t0 )

ct-u(t0)• e a

(22)

(23)

(24)

В рассматриваемом примере и(?00) = 0, и полагая — = 1, окончательно найдем

~ (рпим )(?) = ((РЕп )м )(?) ■+ Уп (?, и) = с • (1 - е-п?). Ясно, что при п ® ¥ (Рпим )?) ® с для V? е (0,1) т. е. к значению (Рпим )(?) = с . Таким образом, формула «дифференцирования» (20) действительно определяет некий способ приближенного вычисления «производной» для функции и(?) посредством операции интегрирования. Кстати, уместно заметить, что в случае функции дифференцируемой, каковой является им (?) = с • ? , представляется возможным вычислить непосредственно интеграл (Еп (Ри))(?). Действительно,

t -1

(En(Du))(()= jn• e~n d cdt' =

t0 d

c •

l - e

n —t d

(25)

Если учесть, что Dn ® D при больших n, то сопоставляя (24) и (25), можно считать справедливым следующее предельное равенство

lim ((DE„ )u )(t) = lim (EnDu)(t), (26)

т. е. оператор D коммутирует с оператором En . Этот результат носит общий характер (не зависящий от выбора ядра En (x, x') в исходных интегральных представлениях функции и ее

производной) и может быть строго доказан. Остается заметить, что формула дифференцирования (20) эффективна в той ситуации, когда исследуемая функция представлена вектором своих приближенных значений us размерности m, и существование ее производной выступает как некое априорное предположение и не более того. Формула (20) позволяет «конструировать» производную u (t) , оперируя последовательностями конечных интегральных сумм. Подобные вопросы возникают всякий раз при попытке интерпретировать данные вычислительных экспериментов в терминах производных численным путем решений.

2

2

75/2011

Вестник Ставропольского государственного университета

Теперь обратимся к случаю, когда исследуемая функция и(1') является решением некого функционального уравнения, скажем (1). В этой ситуации удобно несколько видоизменить аналитический аппарат теории интегральных представлений функций, заменяя последовательности {(Епи )}, сходящейся к и (?) при п ® ¥, некоторыми параметрическими семействами

функций вида {(£%и)}. Этот подход может быть осуществлен путем введения параметра

t = —, меняющегося в пределах интервала (ü,l),

что позволяет рассматривать задачи опти-

п

мального приближения указанной функции и (?) функциями указанного семейства. В частности, если и(1) представлена О -приближением иа (^) при ^ е [¿0, Т], то возникает возможность оптимальной оценки параметра % при заданном О . Речь идет об алгоритме решения оптимизационной задачи типа

тп \(е% их*)— ио()|, (27)

% е(0,1) иеи

который для заданного иО (^) определяет пару (и ,% ). В подобной формулировке имеем при й = Т — ^

Ет (t, t') = — e ^ (28а)

t • T

и

(ET (t, t '))' t =- -T Et (t, t '). t • i

Формулу дифференцирования (20) можно переписать следующим образом

(Dt u ) = -L:

J Et (t, t' )• u (t' )dt' + u (t) - u (t0) • e

t -10 t •T

(28б)

(29)

t e (0,l). Не составляет труда показать, что оператор Dt, есть непрерывная функция параметра t. Поскольку при t ® 0 Dt ® D, заменив D на Dt в исходном уравнении (Du)(t) = F (t, u) на (Dt u )t) = F (t, u ), т. е. интегральному уравнению Вольтерра второго рода

1 t • • ' '0

u(t) =-Je tTu(t')dt' + t • T • F(t,u) + u(t0) • e tT . (30)

t • Tf„

Таким образом, найти функцию и(1:), удовлетворяющую исходному уравнению (1) при заданном начальном условии и (задача Коши) в рамках изложенной выше теории, означает построить последовательность приближенных решений и% (^) интегрального уравнения (30), сходящегося к и (?) при % ® 0. В силу указанных выше особенностей решения и% (^) являются

слабыми (обобщенными) решениями исходной задачи в связи с чем в их обозначении используется символ «волнистая линия». С вычислительной точки зрения интегральные уравнения Вольтерра второго рода при весьма общих ограничениях следует считать вполне стандартной задачей, не представляющей особых трудностей в построении решающего алгоритма и соответствующего программного обеспечения. Последнее связано с тем, что интегральное уравнение вида

и(?) = Я • | K (?, у )и (у)—у + р (?)

?0

при всяком ограниченном и непрерывном ядре К(?, у) может быть решено методом последовательных приближений по схеме

и()(?) = 1 • |К (?, у)и-1)( у)—у + р(?), (31)

?0

V = 1,2,... в котором начальным приближением может быть и(0)(?) = р(?) . Для интегрального

? - у

уравнения (30) ядром которого является функция К (?, у) = е 1 (я = (т • Т) 1), числить так называемое итерированное ядро, т. е. найти явно функцию

Кт (?, у) = К-1(?, у')К(у', у)—у',

не трудно вы-

(32)

т = 1,2,... В этом случае итерационный процесс (31) сводится к вычислению интеграла

и)(?) = р (?) + | Я

V

I

т=1

I Кт у)

р (у )—у,

где

- ^ (? - )т-1

Кт(?,у) = е тТ .

(т -1)!

(33)

(34)

Формула (34) доказывается по индукции. В тех случаях, когда р(?) зависит от и(?) в вычислительной схеме вместо р(?) фигурирует р(?, и1)) . Ясно, что для сходимости последователь-

ностей

приближенных решений {и)(?)} необходима непрерывность и ограниченность

частных

производных р(?,и) по соответствующим переменным (условия Коши). Технику построения итерационной схемы (31) и анализ ее сходимости для уравнения (30) проиллюстрируем ниже. В соответствии с (31) имеем

1 ? ?-?' / \ - ?-?0 и)() = — • |е~т Т ¥и(п-1)(?'))?' + т • Т • ¥и(п-1)(?))+ и(?0) • е~^. Т • Т ? 0

Используя разностные соотношения, выражение (35) можно представить в виде

? ?-?'

(Д(пп-1)и)() = —• |е"^ •(Д(п-1п-2¥)?'—' + т • Т • (Д"-1п-2¥)?).

т • Т ?0

Для сходимости схемы (36) при V ® ¥ необходимо обеспечить выполнение условия

|(Д(П п-1)и )? )<|(Д(П-1,п - 2)и )?)

для всех значений V и ? е [?0, Т]. По условию задачи считаем, что существует такое м , что для всех V и ? выполняется неравенство

|(Д(П'-1)и)(?) <м|(Д^^-2)и)?), (38)

(35)

(36)

(37)

где м = тах

ди

. По условию Коши подобная постоянная для уравнения (1) существует. Яс-

но, что для сходимости (36) необходимо выполнить условие Т • Т • м < 1. Что касается инте-

0

75/2011

_Вестник Ставропольского государственного университета [ЩЁ^

грального члена, то соответствующая сходимость {к^)} обеспечивается условием (34). Интересно сопоставить полученное ограничение на константу М с тем, что требуется выполнить для сходимости итерационной схемы

и)( ) = | Е (¡Г, и—+ и(Г0 )

( 0

непосредственно следующей из структуры уравнения (1). Здесь требуется условие Т • М < 1 для выполнения неравенства (38). Ясно, что предлагаемая схема (35) менее жестка на ограничения по сходимости вычислительного процесса, связанного с построением последовательных приближений решений исходного дифференциального уравнения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. - М.: Иностранной литературы, 1962.

2. Наац В. И., Наац И. Э. Математические модели и численные методы в задачах экологического мониторинга атмосферы. - М.: Физматлит, 2010.

3. Эдварс Р. Ряды Фурье в современном изложении. - М.: Мир, 1985.

Об авторах

Наац Игорь Эдуардович, ГОУ ВПО «Ставропольский государственный университет», доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - математическое моделирование, численные методы, математическая физика.

Наац Виктория Игоревна, ГОУ ВПО «Ставропольский государственный университет», доктор физико-математических наук, доцент, заведующая кафедрой математического анализа. Сфера научных интересов - математическое моделирование, численные методы, комплексы программ. VINaac@yandex.ru