CC BY
12
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
«наука. инновации. технологии», № 3, 2018
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
I-
УДК 517.972:519.633
Наац И.Э., Наац В.И., Ярцева Е.П.
Введение:
Материалы и методы исследований:
Результаты исследований и их обсуждение:
Северо-Кавказский федеральный университет, г. Ставрополь, Россия *yartseva_elena@mail.ru
методы аппроксимации функции
обобщенными полиномами в задачах численного анализа, связанных с вычислениями на приближенных данных
исследуются методы представления функций, заданных приближенно, их сингулярными интегралами применительно к задачам аппроксимации и численных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений. В подобной постановке задача относится к классу некорректно поставленных задач и требует для своего решения построения соответствующих регуляризирующих методов и алгоритмов.
рассматриваются вопросы аппроксимации исследуемой функции ^х) обобщенными полиномами и исследуются некоторые важные свойства данного вычислительного процесса. Исследуется вопрос о том, в какой мере члены аппроксимирующих последовательностей, представленных обобщенными полиномами, «наследуют» аналитические свойства аппроксимируемых функций. Исследуется характер и определяются условия сходимости аппроксимирующих последовательностей к исходной функции. Приводятся примеры применения аппарата аппроксимации функции обобщенными полиномами, выводятся расчетные формулы вычислительного алгоритма.
результаты теоретических исследований, полученных в рамках настоящей работы, имеют самостоятельное значение в области вычислительной математики. Практическая значимость результатов состоит в том, что предложенные методы и подходы могут найти применение в прикладных задачах теории приближения функций, задачах прикладного анализа и краевых задачах математической физики, использующих приближенно заданные исходные данные, полученные в ходе физических экспериментов или эмпирические функции.
Ключевые слова: аппроксимация функции, обобщенные полиномы, регуляризирующие алгоритмы, сингулярные интегралы, вычислительный процесс, задачи прикладного анализа.
Naats I.E., North-Caucasian Federal University,
Naats V.I.,
Yartseva E.P. Stavropol, Russia
METHODS OF APPROXIMATION OF FUNCTIONS BY GENERALIZED POLYNOMIALS IN NUMERICAL ANALYSIS PROBLEMS RELATED TO CALCULATIONS ON APPROXIMATE DATA
Introduction:
Materials and methods of research:
Research results and their discussion:
the methods of representation of functions given approximately by their singular integrals in relation to approximation problems and numerical methods for solving boundary value problems for differential equations are Investigated. In such a statement, the problem belongs to the class of ill-posed problems and requires the construction of appropriate regularizing methods and algorithms for its solution.
the questions of approximation of the function under study by generalized polynomials are Considered and some important properties of this computational process are investigated. The question of the extent to which the members of the approximating sequences represented by generalized polynomials "inherit" the analytical properties of the approximated functions is investigated. The nature and conditions of convergence of approximating sequences to the original function are investigated. Examples of application of the function approximation apparatus by generalized polynomials are given, calculation formulas of the computational algorithm are derived.
the results of theoretical studies obtained in the framework of this work are of independent importance in the field of computational mathematics. The practical significance of the results is that the proposed methods and approaches can be used in applied problems of the theory of approximation of functions, problems of applied analysis and boundary value problems of mathematical physics, using approximately given initial data obtained in the course of physical experiments or empirical functions.
Key words: function approximation, generalized polynomials, regularizing algorithms,
singular integrals, computational process, applied analysis problems.
Введение
Представленная работа продолжает исследования авторов по методам представления функций их сингулярными интегралами в теории аппроксимации и численных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений [1—3]. При этом предполагается, что функции заданы приближенно (эмпирические функции) и не являются дифференцируемыми в обычном смысле. В подобной постановке задача относится к классу некорректно поставленных задач и требует для своего решения построения соответствующих регуляризирующих методов и алгоритмов [1]. В работе [1] рассматривались методы построения обобщенных производных суммируемых функций и их частных производных на основе сингулярных интегралов, исследовался вопрос их функциональной зависимости, а также проблема регуляризации сходимости сингулярных интегралов представления функций.
физико-математические науки
Методы аппроксимации функции обобщенными полиномами. Наац И.Э., Наац В.И., Ярцева Е.П.
В данной работе эти исследования продолжаются и развиваются. Основное внимание уделяется вопросам аппроксимации исследуемой функции f(x) обобщенными полиномами и исследованию свойств данного вычислительного процесса. Исследуется вопрос о том, в какой мере члены аппроксимирующих последовательностей, представленных обобщенными полиномами, «наследуют» аналитические свойства аппроксимируемых функций. Исследуется характер и определяются условия сходимости аппроксимирующих последовательностей к исходной функции. Приводятся примеры применения аппарата аппроксимации функции обобщенными полиномами, выводятся расчетные формулы вычислительного алгоритма.
Результаты теоретических исследований, полученных в рамках настоящей работы, имеют самостоятельное значение в области вычислительной математики. Практическая значимость результатов состоит в том, что предложенные методы и подходы могут найти применение в прикладных задачах теории приближения функций, задачах прикладного анализа и краевых задачах математической физики, использующих приближенно заданные исходные данные, полученные в ходе физических экспериментов или эмпирические функции.
Материалы и методы исследований
Постановка задачи. Аппроксимация исследуемой функции f (x) обобщенными полиномами. Приведем предварительно несколько пояснений относительно содержательности решаемых в работе задач, напомнив, прежде всего, что для всякой интегрируемой функции f (x) (f (ЕЕ CE (Q)), определенной на Q = [a,b], могут быть записаны следующие соотношения [1]:
f Kn(x,x')nx')dx' = fn{x,f) = 0Kj\x)
J (1)
lim/B(x,/) = /(x)
. n->00
где Kn(x,xr), n = 1,2,... - некая последовательность ядер интег-
ральных операторов Kn [4].
В соответствии с этим, всякая суммируемая на Q функция f(x) в точке x £= Q может рассматриваться как предел последовательности {(Knf)(x))n=\, при условии, что указанные интегралы существуют. Последнее оговаривается теоремами Лебега в теории сингулярных интегралов [4]. В связи с этим можно говорить о том, что исследуемая функция f(x) представлена последовательностью {(Knf )(x)}"=1 и соответственно писатьf ~ {(Knf )(x)}?=1. Примером подобного представления функции f(x) может служить известный в анализе интеграл Пуассона Pn(x,f), ядром которого является функция
= -л^-гг , п = 1,2,..., (2)
71 П (Х-X) + йГ
где С > 0 - некий параметр.
Ясно, что в прикладных задачах (интерпретация эмпирических данных в рамках теории приближений, решение фундаментальных уравнений сеточными методами и т. п.) исследуемые функции представляются конечномерными векторами / = (/1;...,/т), г = 1, ..., т, ассоциированными с точками {х,} (г = 1, ..., т) в области О. Поэтому члены указанных последовательностей представляются обычно соответствующими интегральными суммами, то есть
т
Ш\х) ~ IX(*,£) • у, ■ щ ■ АДА т ^ <ю (3)
1=0
где у, = /(х,), Д,(х ) = х'м - хг, а)г - квадратурные коэффициенты,
^ - некоторая неопределенная точка элементарного интервала
покрытия [х,+1, х',] = О,'.
т _
В теории приближения функций суммы вида ^Кп^х)-^ принято рассматривать как некие обобщенные полиномы. Таким образом, можно говорить об аппроксимации исследуемой функции /(х) обобщенными полиномами при заданном значении п в каждой точке х£ О. При использовании любого аппарата приближения функций возникает вопрос о том, в какой мере члены аппроксимирующих последовательностей «наследуют» аналитические свойства исследуемых функций /(х). Кроме того, требуется определить условия сходимости аппроксимирующих последовательностей к исходной функции. Также желательно привести примеры применения аппарата аппроксимации функции обобщенными полиномами и вывести соответствующие расчетные формулы вычислительных алгоритмов. Исследованию этих вопросов посвящена данная работа.
Результаты исследований и их обсуждение
Исследование свойств аппроксимации исследуемой функции/(х) обобщенными полиномами. В рассматриваемом случае речь идет о том, какие аналитические свойства (локально и в целом) функции /(х) на О «наследуются» последовательностями {(Кп/)(х)}"=1. Следует обратить внимание на то обстоятельство, что при всяком значении п функции /п (х,/) = (Кп/) (х), определяемые, например, ядрами типа (2), есть непрерывные функции, если /(х) принимает на О конечные значения (| /(х)| < М), в то время как предельный элемент последовательности {/п (х)}™=1 не обязан иметь точку х точкой непрерывности. Это обстоятельство указывает на то, что аналитическое поведение функ-
ций/п (х,/) и /(х) в окрестности х может быть заметно отличным. Основным результатом в наследовании аналитических свойств исходной функции /(х) на О элементами последовательности {/п (х)}™=1 является теорема 1.
Теорема 1. Если функция /(х), определенная на О, принадлежит классу
Липшица LipMa, то функции /п (х,/) = (Кп,/)(х) так же принадлежат этому классу для всех п = 1,2,...
Доказательство. Остановимся кратко на доказательстве этой теоремы, пытаясь одновременно в большей мере расширить свойства аппроксимирующих функций (Кп,/)(х), порождаемых сингулярными интегралами (1). Ясно, что последние наследуются не только от исходной функции /(х), но и в заметной степени от ядер Кп (х,х'). Известно, что функции /(х), принадлежащие функциональному классу LipMa, удовлетворяют условию
|/(*2)-/(*1)|^|*2-*1Г (4)
где |/(х)| < М для всех х £ О и а е (0,1).
Ясно, что подобные функции, интегрируемые на О и интегралы в (1) существуют для всех пар (х, п). Заметим, что ядра интегралов в (1) удовлетворяют двум условиям, а именно Кп (х, х') = Кп (х - х') и Кп (х - х'|) ^ 0 при | х - х' | ^ 0, что нетрудно видеть, например, для ядра (2). Далее полагаем для простоты, что область интегрирования О = [-а, а], где а - любое конечное число, и тогда/п (х,/) определяется интегралом вида
/п(х,Л=]кп(х-х')Пх')сЪс'. (5)
—а
В силу того обстоятельства, что ядро интегрального представления (5) обладает явно выраженным «фокусирующим» свойством, то есть тем, что поведение /п (х,/) зависит лишь от окрестности точки х, то без ограничения общности в (4) будем считать а ^ да. Тогда представление (5) примет вид
/„(*,/) = ]кп(х-х'Жх')<1х'
—00
Заменив переменную интегрирования х' на переменную
t = х - х' получим интеграл
00
/„(*,/) = \кп{Шх-№
—00
и оценим величину \/п (х2, /) - /п (х1, /)|, где х1 и х2 являются произвольными точками на оси абсцисс. Имеем неравенство
-00
С учетом сформированного выше предположения (4) находим \/п (*2 >/)-/„ (*1 >/)| ^ М ■ |(ж2 -г)- - ОГ = -Х^".
В итоге приходим к оценке
|/„ (*2 >/)-/„ (*1 > /)| ^М\Х2~ X, (6)
для всех и и любых пар (хь х2). При построении (6) учтено условие
ао -00
Последнее нетрудно продемонстрировать на примере ядра (2). Действительно
[Кя(г)еЬ = —\
* тт *
лп^^+Л , я-п
с1 с с1г с1 (2
агсШ-;— а
2 - -Ч-. п
1 г-п ■ — агс1л
п с1
= 1
-00
Неравенство (6) завершает доказательство теоремы.
Таким образом, функции последовательности {/„ (х, /) = (К„/)(х)}™=1 сохраняют принадлежность /е Lipма с тем же показателем а. Напомним, что класс Lipма характеризуется парой чисел (М, а), первое из которых определяет область возможных значений функций этого множества, а второе - меру их гладкости. В частности, при а = 1 имеем дело с функциями, дифференцируемыми в общем смысле в каждой точке х (Е О.
Соотношение (6) может быть использовано в прикладных задачах, связанных с построением алгоритмов, реализующих аппроксимирующие возможности последовательностей {(Кп/ )(х)}"=1. Остановимся несколько подробнее на этих вопросах. Предположим, что исследуемая функциональная зависимость представлена достаточно сложными аналитическими выражениями и в вычислениях его целесообразнее заменить на более приемлемые аналоги, каковыми в частности могут быть степенные полиномы, ряды Фурье и так далее. Подобные ситуации возникают и в случае представления функций рядами наблюдений. В подобных задачах необходимо учитывать наличие ошибок, характеризующих степень неопределенности в исходных данных об исследуемой функциональной зависимости двух величин, скажем X и У. В прикладном анализе функций удобно прибегать ктакназьпзаемым ° - приближениям /а (х), удовлетворяющим условиям " а " ", где а > 0 - некий число-
вой коэффициент, а /(х) - исследуемая функция. Если уклонения /(х) от /а (х) поточечно определены в пределах неких ошибок, то разумно ввести ограниче-
ние на меру допустимой близости двух смежных точек х1 и х2, о которых речь шла в доказательстве приведенной выше теоремы. Подобные ограничения естественно связать с введением некоторого дополнительного параметра /л, определив его условием, дополняющим оценку (6), а именно
1шп|х2-х,| > ц . (7)
Ясно, что л > 0 и / ^ 0 только при условии, что а ^ 0. Иными словами требуется ввести зависимость /(а) такую, что /(а) ^ 0 только в том случае, когда а ^ 0. В условиях теоремы 1 и определения (7) подобная зависимость может быть представлена в виде
ц = т]1[о, (0<а<1),
где п > 1 (доверительный коэффициент).
Соотношение (8) эквивалентно ^ = о(^ст), имеющему место для функций класса LipMa. Возможны и иные приложения теоремы в задачах численного анализа, связанных с вычислениями на приближенных данных. В частности, соотношение (8) может быть использовано при выборе шага к в квадратурных формулах для рассмотренных интегралов. В частности при а > 0 для исходных данных наименьший допустимый шаг квадратуры не должен быть меньше /л (а), определяемый (8).
Исследование характера и определение условий
сходимости аппроксимирующих последовательностей
к исходной функции.
Помимо рассматриваемых выше свойств элементов последовательностей {(Кп/)(х)}™=1, связанных с принадлежностью исследуемых функций /(х) классу LipMa, необходимо коснуться и характера ее сходимости к предельному элементу, каковым является /(х). В соответствии с определением (1) эта сходимость является слабой при п ^ да. Вместе с тем, при построении алгоритмов, реализующих изложенную здесь теорию приближения функций, было бы желательным иметь дело с последовательностями, сходящимися к своим пределам в строгом смысле. В связи с этим возникает вопрос: можно ли исходя из слабо сходящихся последовательностей строить процессы аппроксимации, сходящиеся в строгом смысле на основе соответствующих ограничений? Речь идет, прежде всего, о выборе надлежащим образом подходящих функциональных пространств. Рассмотрение этого вопроса начнем с краткого сопоставительного анализа понятий сильной и слабой сходимости аппроксимирующих последовательностей.
Допустим, что некоторая последовательность функций {/п (х)}™=1, принадлежащих множеству Е(О) С С(О) сходится к элементу /0 е Е(о) по норме про-
странства C(Q), то есть имеет место предельное соотношение f-/0||c ^ 0 при n ^ да. Подобную сходимость fn ^f по норме ||^||с принято считать сильной сходимостью. Из строгой сходимости [fn(x)}t=\ к предельному элементу f0 следует сходимость этой последовательности и в смысле Коши, то есть соотношение || fn - fm || ^ 0 при n ^ да и m ^ да само по себе не влечет существование у последовательности {f,(x)}"=1 предельного элемента f0, о котором говорилось выше. Для последующей характеристики слабой сходимости введем несколько обозначений, ассоциируемых с понятием «скалярного произведения» элементов из C(Q) (также сверткой). В частности интеграл в (1) будем писать в виде lim (Kn, f)(x) = f (x), а интеграл (10) - lim (Kn ,l) = 1. Подобная форма записи исходных представлений более наглядно показывает, какой смысл обычно вкладывается в понятие слабой сходимости сингулярных интегралов функций. При построении алгоритмов оперирующих последовательностями указанного типа, желательно тем или иным образом обеспечить их равномерную сходимость в каждой точке x £Е Q. Равномерная сходимость последовательностей Коши, как известно, является гарантией их сходимости к f0 (x) в сильном смысле. Условие равномерной сходимости последовательностей Коши определяется теоремой 2:
Теорема 2. Последовательность {(Knf)(x)}?=1 сходится в смысле Ко-
ши равномерно по x £Е Q при условии, если последовательность {(Knf )(x)}™=1 сходится в строгом смысле, а элемент f принадлежит единичному шару в C(BC ( f,1)).
Не останавливаясь подробно на доказательстве теоремы, заметим, что ее справедливость во многом объясняется следующим неравенством
\MxJ)-M*J)\ = \{Kj\x) - {Kmf\x)\ < \\Кп{х)-Кт{х)\\с- ||/||с
В условии теоремы 2 fe BC (/,1) и значит || f ||с < 1, что необходимо влечет условие
\ШЛ-/.(*,я| *
и теперь остается потребовать сходимости ||Kn (x) - Km (x)||C ^ 0 при n, m ^ 0. Поскольку Kn (x, x) = Kn (r), где r = x - x', то формально требуется обеспечить сходимость интеграла
\\Kn{r)-Km{r)\dr, n,m ^ да. (9)
пг
Примеры применения аппарата аппроксимации функции обобщенными полиномами, вывод расчетных формул вычислительного алгоритма.
Для примера обратимся к ядру (2). В этом случае имеем
\т-п\
\Кп{г)-Кт{г)\ = -
п
т-п
г2 +
2 d2
г -
т-п
/ 2
— Г +
тГ J
72 Л
При больших значениях m и n имеет место оценка
\Кп{г)-Кт(г)\ <-Иг"2, г е Пг = [гх,г2\, л т-п
которая явно указывает на способ регуляризации сходимости интеграла (9). Речь, как и раньше, должна идти об исключении из области интегрирования Qr нуля, то есть точки r = 0. Последнее достигается в вычислениях соответствующих интегралов исключением области |r| > /л, где /л - параметр, который возникает в теории последовательностей типа {(Knf)(x)}„=^ в связи с теоремой 1. Требуемую регуляризацию сходимости интегралов, используемых выше, достаточно просто осуществить при построении их матричных аналогов в квадратурных процессах. Достигается это путем разумного ограничения дискретизации непрерывных величин. Речь идет о соотношении hmin > где параметр /л вводился в связи с необходимостью учета приближенного характера исходных данных в задачах аппроксимации.
Рассмотрим простой пример реализации интегральной суммы (3) в предположении, что в окрестности точек xi (i = 0, m)t с помощью которых осуществляется разбиение области интегрирования Q = [a, b] на элементарные интервалы X, = |x': x'l_1 < x < xj} (l = 1, m), исследуемая функцияf(x) приближается отрезками прямых
V-l
В этой ситуации имеют место следующие приближения
ъ т
Дх) ~ ¡Kn(x,x')<pm(x')dx' ~ £/tG^(x)
*=0
где
Gl"i(x) = M%(x) + Nl%(x), к = \,т,
о(*) = 0, Ухв[а,Ь\
\N%(x) = xlA%(x)-B%(x),
_ Х1 Х1-1
Формулы (10) применимы в случае, если х £ хД В противном случае в подынтегральных выражениях осуществляется замена типа
Кп(х,х')--=КП(М) = С^
Напомним, что в вычислительных задачах теории потенциала обычно полагают Сп,л = 0. Речь идет об отбрасывании точки г = 0 (точек диагонали ядра х = х' ). Предложенный способ регуляризации сходимости указанных интегралов следует считать более «мягким». Конечно, при этом необходимо, так или иначе, указывать и способ оценки неизвестного параметра /л и его содержательный смысл, что и осуществлено выше при выводе соотношения для л (о) в функциональном классе Lipма.
Основной результат проведенных выше исследований
по созданию аппарата приближения функций на основе сингулярного интеграла (1) может быть сформулирован следующим образом: если исследуемая функция/(х) представлена вектором приближенных значений /а = , то восстановление ее непрерывного хода в области определения О, может быть осуществлено эквивалентным суммационным аналогом в виде
т
к=О
Сумма сходится к /(х) в слабом смысле при о ^ да
(/(о) ^ 0), т, п ^ да в каждой точке х для локально суммируемой функции.
Выводы
Рассмотренные методы аппроксимации функций, заданных приближенно обобщенными полиномами, полученные результаты исследования данного вычислительного процесса, определение способа регуляризации сходимости указанных сингулярных интегралов могут найти дальнейшее применение в задачах вычислительной математики, например, в моделях, основанных на дифференциальных уравнениях, и требуют своей дальнейшей апробации в вычислительном эксперименте.
Библиографический список
1. Наац И.Э., Наац В.И., Ярцева Е.П. Построение обобщенных производных для суммируемых функций на основе их сингулярных интегралов и исследование регуляризации их сходимости / Естественные и технические науки в современном мире: сборник научных статей по итогам XII международной научно-практической конференции (г Москва, 10 февраля 2017 г.). М.: Научный журнал «CHRONOS». 2017. С. 54-62.
2. Наац И.Э., Наац В.И., Рыскаленко РА., Ярцева Е.П. Операторы потенциального типа в задачах прикладного анализа / Наука. Инновации. Технологии: Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь, 2017. № 3. С. 42-60.
3. Наац, И.Э., Ярцева Е.П. Методы приближения суммируемых функций на основе интеграла Стилтьеса применительно к задачам прикладного анализа // Наука. Инновации. Технологии: Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь. 2016. №1. С. 33-46.
4. Данфорд, Н. Линейные операторы: общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. 427 с.
References
1. Naats I.E., Naats V.I., Yartseva E.P. Construction of generalized Pro-duction for summable functions on the basis of their singular integrals and following the regularization of their convergence / Natural and technical Sciences in the modern world: collection of scientific articles on the results of the XII international scientific-practical conference (Moscow, February 10, 2017). M.: Scientific journal «CHRONOS». 2017. P. 54-62.
2. Naats I.E., Naats V.I., Ruskalenko R.A., Yartseva E.P. Operators of potential type in problems of applied analysis / Science. Innovations. Technologies: scientific journal of the North Caucasus Federal University. Stavropol, 2017. № 3. P. 42-60.
3. Naats I.E., Yartseva E.P. Methods of approximation of integrable functions based on the Stieltjes integral with respect to problems in applied analysis. / Science. Innovations. Technologies: scientific journal of the North Caucasus Federal University. Stavropol. 2016. №1. P. 33-46.
4. Dunford N. Linear operators: General theory / H. Dunford, J.T. Schwartz. Moscow: publishing House of foreign literature, 1962. 427 p.
Рукопись поступила в редакцию: 25.05.2018, принята к публикации: 26.08.2018
Об авторах
Наац Игорь Эдуардович, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник института повышения квалификации и научно-педагогических кадров Северо-Кавказского федерального университета. Scopus ID , Researcher ID Телефон (8-652) 35-21-10 (1154), naatsie@yandex.ru Наац Виктория Игоревна, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры прикладной математики и математического моделирования Института математики и естественных наук Северо-Кавказского федерального университета. Телефон 8-918-744-82-89, VINaac@yandex.ru Ярцева Елена Павловна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и математического моделирования Института математики и естественных наук Северо-Кавказского федерального университета. Scopus ID 57201409143, Телефон 8-918-759-23-15, yartseva_elena@mail.ru.
About the authors
Igor E. Naats, doctor of physical and mathematical Sciences, Professor, leading researcher of the Institute of training and scientific-pedagogical personnel of the North-Caucasus Federal University. Phone (8-652) 35-21-10 (1154), naatsie@yandex.ru.
Victoria I. Naats, doctor of physico-mathematical Sciences, associate Professor, Professor, Department of applied mathematics and mathematical modeling Institute of mathematics and natural Sciences North-Caucasus Federal University. Scopus ID, Researcher ID Phone 8-918744-82-89, VINaac@yandex.ru.
Elena P. Yartseva, candidate of physico-mathematical Sciences, associate Professor of applied mathematics and mathematical modeling Institute of mathematics and natural Sciences North-Caucasus Federal University. Scopus ID, Researcher ID Phone 8-988-119-68-15, yartse-va_elena@mail.ru.
