CC BY
10
«Наука. Инновации. Технологии», № 4, 2018 г.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
01.01.07 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 517.972:519.633
Наац И.Э., Северо-Кавказский федеральный университет, Наац В.И., г. Ставрополь, Россия Ярцева Е.П. *yartseva_elena@mail.ru
разработка численного метода РЕШЕНИЯ оптимизационных задач аппроксимации функции, заданной приближенно, и ее производных на основе вариационного подхода
Введение: представленная работа продолжает исследования авторов по
методам теории приближения функций вещественной переменной, заданных приближенно, на основе их представления интегралами.
Материалы и методы
исследований: в работе исследуются методы представления функций, заданных приближенно, их сингулярными интегралами применительно к задачам аппроксимации, как самих функций, так и их производных. Выполняется постановка задачи «восстановления» функции по приближенным данным, кратко излагаются основные понятия, определения и подходы к её решению. Разрабатывается численный метод решения оптимизационных задач аппроксимации функции по приближенным данным. Осуществляется построение соответствующего вычислительного алгоритма. Рассматривается задача «восстановления» производных исследуемой функции и подходы к её решению.
Результаты исследований
и их обсуждение: возможным приложением подобной теории являются задачи вычислительной математики, связанные с операторами обобщенного дифференцирования суммируемых функций и нахождения так называемых слабых решений для краевых задач математической физики. Практическая значимость результатов состоит в том, что предложенные методы и подходы могут найти применение в прикладных задачах теории приближения функций, задачах прикладного анализа и краевых задачах математической физики, использующих приближенно заданные исходные данные, полученные в ходе физических экспериментов или эмпирические функции.
Ключевые слова:
аппроксимация функции, обобщенные полиномы, регуляризиру-ющие алгоритмы, сингулярные интегралы, вычислительный процесс, задачи прикладного анализа.
Naats I.E. Naats V.I.
Yartseva E.P. North-Caucasus Federal University, Stavropol, Russia
Development of a numerical method for solving optimization problems approximation of the function given approximately and its derivatives based on the variational approach
the presented work continues the authors' research on the methods of the theory of approximation of functions of a real variable, given approximately, on the basis of their representation by integrals.
the paper studies the methods of representation of functions given approximately by their singular integrals in relation to the approximation problems, both the functions themselves and their derivatives. The problem of "recovery" of the function from approximate data is formulated, the basic concepts, definitions and approaches to its solution are briefly described. A numerical method for solving optimization problems of function approximation from approximate data is developed. The construction of the corresponding computational algorithm is carried out. The problem of «recovery» of derivatives of the function under study and approaches to its solution are considered.
a possible application of this theory is the problem of computational mathematics associated with the operators of generalized differentiation of summable functions and finding the so-called weak solutions for boundary value problems of mathematical physics. The practical significance of the results is that the proposed methods and approaches can be used in applied problems of the theory of approximation of functions, problems of applied analysis and boundary value problems of mathematical physics, using approximately given initial data obtained in the course of physical experiments or empirical functions. function approximation, generalized polynomials, regularizing algorithms, singular integrals, computational process, applied analysis problems.
Введение
Представленная работа продолжает исследования авторов по методам теории приближения функций вещественной переменной, заданных приближенно, на основе их представления интегралами [1—3]. В работе исследуются методы представления функций, заданных приближенно, их сингулярными интегралами применительно к задачам аппроксимации, как самих функций, так и их производных. В подобной постановке задача относится к классу некорректно поставленных задач, поскольку, как известно, операция дифференцирования эмпирических функций является некорректной, и требует для своего решения построения соответствующих регуляризирую-щих методов и алгоритмов. Эти вопросы в определенной степени решаются в рамках данной работы.
Introduction:
Materials and methods of research:
Research results and their discussion:
Key words:
В работе последовательно излагаются следующие этапы исследований и соответствующие им результаты: выполняется постановка задачи «восстановления» функции по приближенным данным, кратко излагаются основные понятия, определения и подходы к её решению; разработка численного метода решения оптимизационных задач аппроксимации функции по приближенным данным; построение соответствующего вычислительного алгоритма; рассматривается задача «восстановления» производных исследуемой функции и подходы к её решению.
Результаты теоретических исследований, полученных в рамках настоящей работы, имеют самостоятельное значение в теории приближения функций. Возможным приложением подобной теории являются задачи вычислительной математики, связанные с операторами обобщенного дифференцирования суммируемых функций и нахождения так называемых слабых решений для краевых задач математической физики [4-7]. Практическая значимость результатов состоит в том, что предложенные методы и подходы могут найти применение в прикладных задачах теории приближения функций, задачах прикладного анализа и краевых задачах математической физики, использующих приближенно заданные исходные данные, полученные в ходе физических экспериментов или эмпирические функции.
Материалы и методы исследований
Постановка задачи «восстановления» функции по приближенным данным, основные понятия, определения и подходы к её решению. Прежде чем непосредственно перейти к содержательной части представленной работы, следует привести несколько исходных определений. В частности, функция Д(х), определенная на множестве О (как правило, это отрезок [а, Ь], если не оговорено другое), считается представленной интегралом, если в каждой точке х е О ее можно записать в виде следующего линейного функционала
ъ
/00 ~ ^Кп{х,х')ф{х')(1х' - /{х,ф) (1)
а
заданного на множестве Ф с СЕ(О) («~» - символа эквивалентности). Функционал (1) одновременно рассматривается и как функция переменной х. Считается, что переменные х и х' принимают значения в О, хотя последнее совсем не обязательно. В частности, для приложений определенный интерес могут представлять ситуации, когда х' е О', а х е О при этом О' с О. Подобные примеры важны при решении так называемых задач экстраполяции функций.
Представление функций Д(х) интегралом (1) носит достаточно общий характер и его конкретные приложения всегда основываются на тех или иных частных допущениях. Примером подобных представлений могут служить так
называемые потенциалы в теоретической физике. Поясним смысл символа эквивалентности «~» в формуле (1) в контексте излагаемой ниже теории. Полагаем, прежде всего, что исследуемая функция f(x) (е Q) представлена своим а приближением f (x), определяемым соотношением
где а (а > 0) - некий параметр, характеризующий степень неоп-
ределенности в задании f(x).
Зачастую в прикладном анализе f (x) задается вектором приближенных значений fa(x) = t и первое, что требуется от этих исходных данных - «восстановить» непрерывный график f (х) исследуемой функциональной зависимости величин Y = {y = /(*)} и Х = {л::;сеП}. Символ «~» в дальнейшем означает приближенный характер соответствующих функций и переменных. Упомянутая выше задача «восстановления» функции по приближенным данным в соответствии с представлением (1) в прикладном анализе решается на основе оптимизационной задачи вида
ЫТа{К<р,/„) = Ta(K<p,fa), ^еФс Ф) (2)
где ra(^,/J = ||(^)-/CTWt(n) + «IHll(n) (3)
и а > 0 - так называемый параметр регуляризации. Решение Ф* (тоже ф*а если требуется подчеркнуть его зависимость от параметра регуляризации) определяет далее f(x,<p') = f'(x) в соответствии с (1), то есть непрерывную функцию, аппроксимирующую искомую f(x) в пределах Q. Конечно последнее утверждение имеет место, если
Цк<р%)
-и х)\\ <ш± ,
и выбор а осуществляется в соответствии с соотношением а(а) ^ да при а ^ 0. Основано оно на том, что неравенства ||/ — ХЦ^ ^ и влекут ||/*_/|[^ на основе аксиом метрики, индуцированной указанной нормой. Изложенный выше подход может быть назван методом обобщенной инверсии интегрального оператора К в операторном уравнении Кф = . Заметим, что для выполнения условия (4) важна роль функционала 1Их2 (о) (стабилизатора) в правой части (3) [8].
Результаты исследований и их обсуждение
Разработка численного метода решения оптимизационных задач аппроксимации функции по приближенным данным. Для построения решающих алгоритмов изложенную выше теорию аппроксимации функцийДх) функционалами (интегралами) вида (Кф)(х) (ф е Ф) необходимо дополнить рекомендациями по выбору ядер К(х,х') в представлении (1), а также методами построения множеств Ф, в пределах которых отыскиваются решения вариационной задачи (3). Ответы на указанные вопросы в большей мере раскрывают суть метода и область его возможных приложений в вопросах прикладного анализа.
Что касается выбора ядра К (х, х' ) в представлении (1), то здесь можно сослаться на известную теорему Гильберта-Шмидта [9], в соответствии с которой, если функция Дх) представима с помощью интеграла (1) с симметричным Ь2 ядром К(х,х') и ф(х) еЬ2(П), тоДх) может быть также представлена и рядом Фурье относительно ортонормированной системы собственных функций указанного ядра. Последнее означает, что помимо (1) исследуемая функцияД(х) может быть одновременно представлена в виде
т
/(х)~^акщ(х) (5)
к=0
где ак=\/(х)ик(х)(1х, к = 1, 2, ...
о
Более того, если при этом ^К2(х,х')(Ы = А2(х) < С2,
где С - конечное число, то ряд (5) сходится абсолютно и равномерно для каждой функции Дх) вида ^К(х,х')ф{х')сЬс'. Д(х) е Ь2 (П)). Таким образом, при симметричном Ьа ядре К (х, х' ) функции Дх) (тоже что и Д (х, ф* )), полученные изложенным выше методом по (х), могут быть подвергнуты анализу с использованием разложений типа (5). Предполагается при этом, что ряд (5) «наследует» аналитические свойства функции /(х) в той мере, в какой /а (х) представляет Дх) на П. Разумеется, речь не может при этом идти о характеристике Дх) на основе производных, о чем будет сказано подробнее ниже. Можно заметить, что помимо симметричности ядра К (х, х' ) могут быть приняты и другие подобные предположения. В частности, в случае так называемых ядер потенциального типа имеет место соотношение
Кп{х,х') = Кп{х-х') = Кп(\х-х'\) (6)
При этом Кп(|х - х]) ^ 0 при |х - х'| ^ да, что, без ограничения, общности позволяет распространить интегрирование в (1) на бесконечный интервал (- да, да). Если принять (6), то представление (1) можно рассматривать как свертку в Ь2 (Я1) функций Кп(х, х') и ф (х') по переменной х'. В этом
случае для (1) используется запись (K(x), ф) = (K, ф)(х) = f (x, ф). Основным аппаратом исследования функционалов типа f(x, ф) является Фурье-преобразование в силу равенства (K(x), ф)л = К (x) • (р , где символ «Л» означает указанное преобразование. Таким образом, если принять допущение (6), то функции f(x), представимые интегралом (1), можно относить к функциональному классу в L2(R1), элементы которого имеют сходящиеся ряды Фурье. Заметим, что принятие условия (6) зачастую ведет к появлению у ядра K(x, x') особенностей при x' ^ x (расходимости в нуле). Соответствующие интегралы при вычислениях требуют применения методов регуляризации их сходимости, о чем будет сказано ниже.
Ясно, что свойства функций f(x, ф), порождаемых интегралом (1) на множестве Ф, также зависит помимо ядра K(x, x') от свойств его элементов. Выше предполагалось, что функции ф принадлежат классу L2(Ri), что требовалось для существования решений вариационной задачи для функционала (3). Вместе с тем ясно, что введение большей определенности относительно свойств элементов множества Ф позволяет строить более эффективные решающие алгоритмы в рамках теории минимизации квадратичных функционалов. Примером подобного ограничения в задаче (2) было введение в Ta (tyf) функционала ||ф||/,2(П).
Остановимся подробнее на том, в какой мере последовательности элементов ф из Ф могут влиять на «качество» представления (1). Для всякой последовательности (ф„(х)}™=1 можно определить последовательность \fv(x) = ^K(x,x')(pv{x')dx'^ . Если оператор K, определенный данным интегралом вполне непрерывен, то сходимость {фу}™=1 необходимо влечет сходимость {¿L Правда, последняя, как известно, сходится в слабом смысле и, строго говоря, может и не иметь своего слабого предела. В этой части важной является следующая лемма 1.
Лемма 1: Если последовательность {/v}v=1 сходится сильно (по норме) и sup- норма K(x, x') по переменной x' ограничена сверху единицей всех x, то ^ сходится равномерно.
Доказательство. Доказательство леммы основывается на следующих соотношениях
\{K(pv){x)- {Kcpk){x)\ = \fv(x)- fk(x)\ = \K(x,x')(<pv(x')-<pk(x'))dx' <
ci
< 1ШХ K(x, x') JI <pv (*') - <pk (x')\dx' <\<pv(x)- (pk (x)|A(n) ^ n
Таким образом, | f (x) - fk (x)| ^ 0 в каждой точке x eQ , если
\ф - фк 11^(0) ^ о при V, к ^ да.
Выше речь шла о последовательностях Коши, поскольку в рассматриваемых задачах априори оговаривать существование предельных элементов ф* и f * не представляется возможным. Подобные проблемы предпочтительно рассматривать в процессе построения логической структуры предлагаемых вычислительных методов и алгоритмов. Последнее обуславливается тем обстоятельством, что для конечномерных вариантов соответствующих функциональных пространств понятия сильной и слабой сходимости, в сущности, эквивалентны друг другу, что избавляет от необходимости излишнего теоретизирования при рассмотрении вариационных задач теории аппроксимации. Действительно, в дискретных вариантах, когда ф (х) может быть представлена вектором ф = [ф1,...,фт}, ассоциированным в системой точек [х. }*=1 на отрезке [а, Ь], интеграл (1) может быть заменен интегральной суммой вида
т ¿=0
где Ai (х') = |х'- х'1-1\ и
^ - некая неопределенная точка в пределах элементарного ин-
тервала разбиений, т. е. X < < х,'-1 (. = 1,т). Выбор системы точек }°=1 в пределах области определения функции ДСТ требует соответствующих допущений относительно аналитических свойств этой функции. Только в этом случае удается построить вполне определенный квадратурный процесс и четко определить тот содержательный смысл, который вкладывается в понятие «конечномерный матричный аналог К для данного линейного интегрального оператора К». Известно в силу указанных здесь причин, что построение дискретных аналогов для интегралов неоднозначно. Выбор конкретного способа дискретизации вносит определенность в вычислительные схемы и вместе с ней возможность характеристики аппроксимирующих последовательностей в терминах строгой сходимости.
Построение алгоритма дискретизации задачи (!) для численного решения оптимизационных задач аппроксимации функции f (х) по приближенным данным. Приведем в качестве примера один из возможных вариантов дискретизации исходного представления (1), полагая, что в окрестности узловых точек XI (I = 1, т), исследуемая функция f (х) приближается отрезками прямых
х1
(7)
В условиях этого предположения имеет место следующие приближения
» т
к=О
(8)
где
(¡„¿(х) = мтк(х) + NmMl{x), к = О ,т,
мт,^о(х) = °, Ухе[а,Ь\
МшЛХ~) = ВтЛХ)~Х1-1ЛтЛХ) I = 0,т,
(9а) (9б)
Ат1(х) = —^—]к(х,х')с1х', Х1 Х1-1 1 *1
Вт1(х) =- Г х'-К(х,х')(Ьс'
' Г- — Г- . »
Х1
если х ч [хм, X/].
(9в)
Формулы (9в) применимы в случае, если х Ч [хн, х;], в противном случае в подынтегральных выражениях осуществляется замена типа
К(х,х') = К(х-х'):=Кп(М) = Спм
(10)
Последнее условие касается тех ситуаций, когда ядро К(х, х1) имеет особенности в точках диагонали х = х'. Это может касаться в частности ядра потенциалов Рисса К(х,х') = |х - х'\-в (0 < в < 1). Заметим, что в вычислительных задачах теории потенциала обычно полагают С„,м равным нулю.
Расчетные формулы (7) - (10) (алгоритм) используются далее при решении оптимизационных задач вида
я-я*) и,
если аппроксимируемая функция ^х) представлена непрерывным приближенным аналогом, скажем, (х), и оптимизационных задач вида
тт|ЭД-7|Г , (11)
£>еФт I II /2
если функция Дх) представлена вектором своих значений в не-
ких узлах {л:,- ^ на отрезке [а,Ь].
Введение ограничений на ф (х) и, в частности, предположение (7) делает целесообразным ограничить и множество возможных векторов { $}, образующих в совокупности пространство Фт. Будем в частности полагать, что в качестве Фт выбирается шар в Ят радиуса Я с центром в точке <р0. Соответствующее обозначение записывается в виде В(<ра,1() = \<ре^ :||0>-0>о||; < Задача оптимальной аппроксимации (11) теперь записывается в виде
(12)
Поскольку В (ф0, Я) является выпуклым множеством, то задача минимизации на нем квадратичных функционалов решается однозначно. Последнее обстоятельство позволяет предложить и способ построения минимизирующей последовательности в задаче (12). Определяющей в этом плане может быть лемма 2.
Лемма 2. Если ф1 и ф2 принадлежат В (<р0,К), то вектор (р = а • фх + а • (р 2, где а + в =1 и а,в > 0 также принадлежит этому шару.
Доказательство. Для доказательства леммы 2 достаточно показать, что Ц-|0|| <Я если а,в е В(ф0,Я). Имеем
Следствие из леммы 2.
Важным следствием этой леммы является то, что условие
влечет принадлежность к шару В (%,К) и вектора
ф^ = аф^ ^ + (1 - а)ф^ для любых V > 2.
где
Остается лишь указать способ выбора параметра а, а е (0,1) на каждом V — том шаге линеаризации квадратичных форм.
Задача «восстановления» производных исследуемой функции f (х) при условии, что она представлена своими а при-
ближениями у (х) е СЕ(0). В заключение рассмотрим задачу «восстановления» производных исследуемой функцииУ(х) в рамках изложенного в работе аналитического аппарата, считая, как и выше, что она представлена своими а - приближениями. Поскольку эмпирические функции /а (х) е СЕ(0) и заведомо не дифференцируемы в обычном смысле, то ясно, что речь может идти о производных в «обобщенном» смысле. Смысл этого понятия в контексте излагаемой в работе теории будет пояснен ниже. А пока напомним, что обобщенные производные также как и обычные производные в случае дифференцируемых функций используются для характеристики мер локальной гладкости функциональных зависимостей величин X и У = {у : у У(х), х е X}. Для локально суммируемых функций подобная постановка вполне правомерна, а интегральные представления функций служат адекватным средством их исследования. С учетом последнего обстоятельства, исходным моментом теории дифференцирования функций, представленных интегралом типа (1) , являются условия дифференцирования интегралов от суммируемых функций. Ясно, что речь идет, прежде всего, о выполнении равенства
тегрируемым, то К'х(х, х') уже не обязано быть Ь2 - интегрируемым, даже если удается формально определить эту производную. Это первая трудность, которая возникает при попытке корректного определения производной для фун-кцииу(х,ф) = (Кф)(х) по переменной х еО. Вторая особенность интегралов в (13) состоит в том, что для Ь2 - интегрируемых функций интеграл (Кф)(х) может быть в лучшем случае абсолютно непрерывной функцией, производная
(13)
Поскольку по условию задачи ядро К (х, хг) является Ь2 - ин-
от которой не обязана быть конечной в каждой точке x £ Q. Для адекватного (поточечного) соответствия интегралов в (13) необходима непрерывность соответствующих подынтегральных выражений [9]. В связи с этим заметим, что если функции f(x) известны своими приближениями f (x), то оператор дифференцирования целесообразно определять в виде
M.W- "» ^V'*"" (14)
0<|й|<^ 2.П
где параметр модели ц определяется, как и выше [1], т.е. в соответствии с принципом max |x2 — xj > [Л. В соответствии с этим, производную функции f (х,ф) ==x) будем определять выражением (интегралом)
\(dXk<p%№ =\(d^k\{x,x') ■ (pix')dx' (15)
о n
Оператор (14) можно считать оператором обобщенного дифференцирования для функций f £ Ci(Q). Действительно, в этом случае
fi-> о
Подобные операции предельного перехода в (15), в силу сказанного выше, лишены содержательного смысла, а оператор (15) следует принимать в качестве определения «операции дифференцирования» для f(x,ty), осуществляемой с помощью интеграла. Если исходная функция f(x) представлена f„(x), то в интеграле (15) функцию ф (x) следует заменить на ф*(х) в соответствии с решением задачи «восстановления» функции по приближенным данным.
выводы
Рассмотренные методы аппроксимации функций и их производных, заданных приближенно, полученные результаты исследования данного вычислительного процесса, определение способа регуляризации сходимости указанных сингулярных интегралов могут найти дальнейшее применение в задачах вычислительной математики, например, в моделях, основанных на дифференциальных уравнениях, и требуют своей дальнейшей апробации в вычислительном эксперименте.
Библиографический список
1. Наац И.Э., Наац В.И., Ярцева Е.П. Построение обобщенных производных для суммируемых функций на основе их сингулярных интегралов и исследование регуляризации их сходимости / Естественные и технические науки в современном мире: сборник научных статей по итогам XII международной научно-практической конференции (г Москва, 10 февраля 2017 г.). М.: Научный журнал «CHRONOS». 2017. С. 54-62.
2. Наац И.Э., Наац В.И., Рыскаленко РА., Ярцева Е.П. Операторы потенциального типа в задачах прикладного анализа / Наука. Инновации. Технологии: Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь, 2017. № 3. С. 42-60.
3. Наац, И.Э., Ярцева Е.П. Методы приближения суммируемых функций на основе интеграла Стилтьеса применительно к задачам прикладного анализа / Наука. Инновации. Технологии: Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь. 2016. №1. С. 33-46.
4. Наац И.Э. Метод численного решения краевой задачи для уравнения в частных производных с эмпирическими функциями на основе интегрального уравнения Фредгольма первого рода / И.Э. Наац, В.И. Наац, Р.А. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь. 2016. №3. С. 30-41.
5. Наац, В.И. Вычислительная модель для дифференциального уравнения с эмпирическими функциями на основе интегрального уравнения Фредгольма первого рода / В.И. Наац, И.Э. Наац, Р.А. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь. 2016. №2. С. 37-48.
6. Наац, В.И. Расчетно-аналитические модели для дифференциальных уравнений с приближенными данными на основе представления решения интегралами / В.И. Наац, И.Э. Наац, Р.А. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь. 2014. №4. С. 60-71.
7. Наац, И.Э. Метод решения некорректной задачи для дифференциального уравнения с приближенно заданными функциями на основе представления решения интегральными уравнениями / В.И. Наац, И.Э. Наац, Р.А. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь. 2015. №4. С. 16-31.
8. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М.: Физматлит. 1979. 288 с.
9. Данфорд, Н. Линейные операторы: общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. 427 с.
References
1. Naats I.E., Naats V.I., Yartseva E.P. Construction of generalized derivatives for summable functions on the basis of their singular integrals and research of their convergence regularization / Natural and technical Sciences in the modern world: collection of scientific articles on the results of the XII international scientific - practical conference (Moscow, February 10, 2017). M.: Scientific journal «CHRONOS». 2017. P. 54-62.
2. Naats I.E., Naats V.I., Ruskalenko R.A., Yartseva E.P. Operators of potential type in problems of applied analysis / Science. Innovations. Technologies: scientific journal of the North Caucasus Federal University. Stavropol, 2017. № 3. P. 42-60.
3. Naats I.E., Yartseva E.P. Methods of approximation of integrable functions based on the Stieltjes integral with respect to problems in applied analysis. / Science. Innovations. Technologies: scientific journal of the North Caucasus Federal University. Stavropol. 2016. №1. P. 33-46.
4. Naats I.E. Method for numerical solution of boundary value problems for partial differential equations with the empirical functions on the basis of the integral Fredholm equation of the first kind / I.E. Naats, V.I. Naats, A.R. Ruskalenko // Science. Innovations. Technologies: scientific journal of the North Caucasus Federal University. Stavropol. 2016. №3. P. 30-41.
5. Naats V.I. Computational model for the differential equation with the empirical functions on the basis of the integral Fredholm equation of the first kind / V.I. Naats, I.E. Naats, R.A. Ruskalenko // Science. Innovations. Technologies: scientific journal of the North Caucasus Federal University. Stavropol. 2016. №. 2. P. 37-48.
6. Naats V.I. Calculation and analytical models for differential equations with approximate data on the basis of the submission of the decision integrals / V.I. Naats, I.E. Naats, R.A. Ruskalenko // Science. Innovations. Technologies: scientific journal of the North Caucasus Federal University. Stavropol. 2014. № 4. P. 60-71.
7. Naats I.E. the method of solving the ill-posed problem for a differential equation with approximately given functions based on the representation of the solution of integral equations / V.I. Naats, I.E. Naats, R.A. Ruskalenko // Science. Innovations. Technologies: scientific journal of the North Caucasus Federal University. Stavropol. 2015. №4. P. 16-31.
8. Tikhonov A.N. Methods of solving ill-posed problems / A.N. Tik-honov, V.Y. Arsenin. M.: Fizmatlit. 1979. 288 p.
9. Dunford N. Linear operators: General theory / H. Dunford, J.T. Schwartz. Moscow: publishing House of foreign literature, 1962. 427 p.
об авторах
Наац Игорь Эдуардович, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник института повышения квалификации и научно-педагогических кадров Северо-Кавказского федерального университета. Телефон (8-652) 35-21-10 (1154), naatsie@yandex.ru.
Наац Виктория Игоревна, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры прикладной математики и математического моделирования Института математики и естественных наук Северо-Кавказского федерального университета. Телефон 8-918-744-82-89, VINaac@yandex.ru.
Ярцева Елена Павловна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и математического моделирования Института математики и естественных наук Северо-Кавказского федерального университета. Телефон 8-918-759-23-15, yartseva_elena@mail.ru.
Igor E. Naats, doctor of physical and mathematical Sciences, Professor, leading researcher of the Institute of training and scientific-pedagogical personnel of the North-Caucasus Federal University. Phone (8-652) 35-21-10 (1154), naatsie@yandex.ru.
Victoria I. Naats, doctor of physico-mathematical Sciences, associate Professor, Professor, Department of applied mathematics and mathematical modeling Institute of mathematics and natural Sciences North-Caucasus Federal University. Phone 8-918-744-82-89, VINaac@ yandex.ru.
Elena P. Yartseva, candidate of physico-mathematical Sciences, associate Professor of applied mathematics and mathematical modeling Institute of mathematics and natural Sciences North-Caucasus Federal University. Phone 8-988-119-68-15, yartseva_elena@mail.ru.
