Представление физической величины в псевдоевклидовой плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рассмотрим последовательность

(

W (S) = Ер

Z+W+1(sk+1)

IF,r

Epeek+ihk+i

■Ep (eek+lhk+W+l(Skehk+1)/ Fk),

WNIt (SNlt) = f (SNl,).

Отсюда

от ^

Wk (Sk) = Qk Z i exP(ßk+i К+i + vk+i*+aky))>

y=o l -от

(Wk+1 (Sk exP(^k+1 + vk+1X + aky))e 2 dx

Xy (T -1)y

x (16)

y!

где

Qk =

exp

ßk+Л+1 + kr1 ß2+1 +X(T -1 )e

ak Pk+1

-v/2n

В результате безарбитражная текущая цена финансового обязательства

У((, 5) = (5) (17)

может быть вычислена с использованием рекуррентных формул (16).

В статье предложен алгоритм вычисления безарбитражной текущей цены финансового обязательства, использующий идею замены процесса Леви дискретным процессом с применением процедуры дискретизации процесса Леви по состоянию. В результате получен рекуррентный алгоритм, в котором на каждом шаге математическое ожидание вычисляется по пуассоновским и нормальным случайным величинам.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bertoin, J. Levy Processes [Текст]/ J. Bertoin. -Cambridge University Press: Cambridge, 1996.

2. Carr, P. Option valuation using the fast Fourier transform [Text] / P. Carr, D. Madan // J. Comput. Finance. -1998. -Vol. 2. -P. 61-73.

3. Jacod, J. Limit Theorems for Stochastic Processes [Text] / J. Jacod, A.N. Shiryaev. -Berlin: Springer, 2002.

4. Zhu, J. Modular Pricing of Options: An Application of Fourier Analysis [Text] / J. Zhu. -Berlin: Springer, 2000.

5. Галиц, Л. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления финансовым риском [Текст] / Л. Галиц. -М.: ТВП, 1998.

6. Кудрявцев, О.Е. Вычисление цен барьерных и американских опционов в моделях Леви [Текст] / О.Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2010. -Т. 17. -Вып. 2. -С. 210-220.

7. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики: Т. 1. Факты. Модели [Текст] / А.Н. Ширяев. -М.: ФАЗИС, 1998.

1

1

УДК 530.14

В.Д. Мазин

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОМ ВЕЛИЧИНЫ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Пути развития теоретической метрологии, указанные в [1], среди которых особо следует отметить построение и обоснование математических моделей, не утратили сегодня актуальность.

Среди подходов к основополагающим категориям измерений особое место занимает геометрический. В «Математической энциклопедии» [2] следующим образом охарактеризована роль геометрии: «Развитие геометрии, ее приложения,

развитие геометрического восприятия абстрактных объектов в различных областях математики и естествознания свидетельствуют о важности геометрии как одного из самых глубоких и плодотворных по идеям и методам средств познания действительности». В [3] подчеркивается огромное эвристическое значение геометрического представления понятий анализа и отмечается, что геометрия «становится все более и более важной

в .. .физике, упрощая математический формализм и углубляя физическое понимание. Это возрождение геометрии оказало влияние не только на специальную и общую теории относительности, очевидно геометрические по своей сути, но и на другие разделы физики, где на авансцену выходит уже не геометрия физического пространства, а геометрия более абстрактных пространств».

В настоящей статье предлагается геометрическое представление фундаментального в метрологии понятия физической величины, органически содержащее степень ее неопределенности.

Постановка задачи. Пусть величина х характеризует объект, у которого она может изменяться от ха до хь. Именно такая ситуация имеет место на практике, поскольку ни один физический параметр в реальных условиях не может быть задан единственным значением. Ему всегда сопутствует некоторый интервал возможного изменения, происходящего либо при переходе от одного экземпляра данного типа к другому, либо вследствие изменения внешних условий, либо из-за погрешности определения значения. Наконец, существуют объекты, которые в принципе описываются лишь вероятностными категориями, как, например, объекты квантовой механики. Фиксированное значение физической величины есть абстракция, которой мы пользуемся весьма часто, но не тогда, когда информация об интервале неопределенности может повлиять на принятие решения.

Интервал неопределенности и среднее значение являются характеристиками разного свойства (показателями положения на числовой оси и рассеяния вокруг этого положения). С другой стороны, физическая величина содержит качественный и количественный аспекты. И та, и другая двойственность наводит на мысль о необходимости такого представления величины, которое включало бы органически эту двойственность.

Задача данного исследования - попытка представления любой физической величины двумерным вектором некоторого абстрактного пространства.

Физическая величина как вектор, характеризующий ее неопределенность. В [4] доказано следующее предложение: расширенное в некотором смысле множество логарифмов физических величин вместе с нулем является векторным пространством. Каждый вектор этого пространства согласно основному уравнению измерений

х = {х}[х], где х - физическая величина, {х} - ее числовое значение, [х] - ее единица, может быть разложен на две составляющие, образующиеся после логарифмирования уравнения (строго говоря, данное простое выражение уравнением, конечно, не является):

1п х = 1п {х} + 1п [х]. (1)

Единицу физической величины х в когерентной системе единиц можно представить как

[ х] = П [ х Г, 1

где п - число единиц [х] других величин, образующих х согласно определенной физической закономерности (определяющему уравнению), а. - показатель степени, в которой [х] входит в формулу [х]. Подставляя в (1), имеем

х = {х}П [ х.. Г,

1

а после логарифмирования

п

1п х = 1п{х} + ^ а. 1п[ х1 ]. (2)

1

Записи (1) и (2) обычно считаются некорректными, ведущими к противоречиям, поскольку принято, что не имеют смысла трансцендентные функции именованных величин, а единицы величин являются как раз таковыми. В частности, общепринято, что число в физической величине содержится лишь в ее первом сомножителе { х}, в то время как второй вводится просто для указания единицы, выражая качественный аспект величины. Следует отметить, что широко используются логарифмические масштабы представления физических величин, однако, при этом фактически логарифмируются числовые значения, а единицы остаются «в уме».

Тем не менее, формальные операции (1) и (2), очевидно, могут быть проведены, и мы покажем, что они не только формальны. Будем различать принципиальную возможность задания координатной системы и методику определения значений координат. Проводя формальное логарифмирование, мы задаем координатную систему. Что же касается значений координат, то здесь возможны различные подходы. Во-первых, следует признать, что, поскольку единица величины может быть различной по размеру, она несет в себе количественное содержание, которое, однако, остается неопределенным, т. к. вся количественная сторона физической величины получается

от ее сравнения с единицей. Но, поскольку оно есть, его можно прологарифмировать. Во-вторых, ниже будет показано, как, используя непреложный факт неопределенности значения величины, можно придать смысл 1п [х]. Наконец, мы можем считать 1п [х] просто символом координаты, знаком направления, а собственно координатой считать а.. _

Если ^хахь = хср, то соответствующие векторы изобразятся так, как показано на рис. 1, где а0 - ось логарифмов числовых значений. Выберем метрику на данной плоскости таким образом, чтобы она отражала факт нахождения х в заданных пределах. Это можно сделать, потребовав, чтобы длины векторов из области определения были вещественными, а за пределами этой области - мнимыми. Соответственно получается 11п ха |= |1п хь | = 0 , т. е. соответствующие векторы оказываются изотропными. Мнимые длины имеют все векторы, располагающиеся слева и справа от изотропных, включая направленные по числовой оси. Последнее соответствует нашему условию, смысл которого ясен: то, что не соответствует действительности, является мнимым. Поскольку абстрактных чисел в природе нет, числовая ось должна быть мнимой. Такая метрика является псевдоевклидовой, т. е.

1п х = . 11п X

- (а0х - ар )2.

Но тогда

|1п х | = аи - а = а - а

ср Ь ср ср а

1п

[X ]| =4

= Л 11п х_.

12 - а2

ср I ср

Подставляя (4) в (5) и учитывая, что

а + а.

а = -

ср

2

получаем:

|1п [х]| = уР~с

(4)

(5)

(6)

(7)

Этот результат имеет принципиальное значение. Он показывает, что норма вектора, представляющего единицу величины, не является раз и навсегда заданной, а представляет среднее геометрическое логарифмов предельных значений данной величины. После несложных преобразований имеем также

|1п х| = \/ (аЬ - а0х )(а0х - аа ) . (8)

В результате данного представления появля-

1пХй

1пх

1пх,

ср

1п[х]

1пха

Рис. 1. Векторное представление физической величины

ются четыре новых сущности. Первая из них норма вектора 1п [х].

Вектор единицы. Норма вектора единицы в общем не равна нулю, т. к. представляет не обычный «логарифм единицы», а логарифм как бы определенного качественного содержания величины, что находится в полном соответствии с тем, что числовое значение и единица выражают соответственно ее количественный и качественный аспекты. Нас не должно смущать то обстоятельство, что логарифмируется «качество»: как видно, для него может быть найдена надлежащая количественная мера - схр^/-аааь . Тем самым приобретается возможность последовательной

математизации множества физических величин.

Будучи выражена вектором псевдоевклидовой плоскости, единица величины обладает, таким образом, двумя измерениями. Одно из них, обычное, с логарифмической координатой нуль, характеризует размер единицы-эталона. Другое также дает размер единицы, но системной, предоставляемой самим диапазоном x, xb.

Полный вектор величины. Другая новая сущность, возникающая в связи с геометрическим представлением величины, - длина ее полного вектора |ln x|. Как следует из (8), при a„ = a , либо a„ = a, lln x\ = 0. Это имеет объ-

Ux a Ux b | |

яснение только при условии, что aUx представляет центр соответствующего вероятностного распределения. В этом случае если центр распределения совпадает с его границей, дисперсия оказывается равной нулю (поскольку нет значений по одну сторону от центра, их нет и по другую), а данное значение - константой. Никакое другое толкование не в состоянии объяснить исключительности с информационной позиции предельных значений aUx. Более того, мы можем определить и разновидность центра распределения величины, представляемую координатой aUx в данной модели. Поскольку числовая ось - «одна на всех», т. е. вдоль нее откладываются значения центров распределения всех характеризующих объект величин, эти центры при векторном сложении величин должны суммироваться алгебраически. Но такому правилу сложения удовлетворяют математические ожидания. Следовательно, aUx есть математическое ожидание логарифмов величины x. Следует заметить, что в каждой отдельной псевдоевклидовой плоскости, характеризующей определенную величину, в качестве координаты aUx может выступать любая из известных характеристик центра вероятностного распределения. При этом если величины перемножаются (или, что то же самое, векторно складываются их логарифмы), должно быть определено правило сложения центров их логарифмических вероятностных распределений. Видимо, это потребует установления разных числовых осей для разных величин. Однако этого вопроса мы здесь касаться не будем.

Заметим, что причина двумерности данного представления физической величины - в принципиальной неопределенности ее значения, ввиду которой средние aUx и |ln [x] оказываются по модулю различными.

В целом длина вектора величины выражает степень ее неопределенности в виде среднего геометрического из двух максимально возможных отклонений логарифмов значений величины от их центра распределения.

Перепишем (8) в виде

ln x =

Inixl. in«

= lin in—,

. {—} К} .

где х = ехр а0—. Если изменение величины в пределах ха - хь достаточно мало (например, вызвано

погрешностью), отношения — и — близки к

Х Ха

единице. Тогда, разлагая логарифмы в ряд Тейлора и ограничиваясь двумя первыми членами разложения, получим:

ln x =

Xb-1

■X-1

V X

Л

Y+Y-

где у+ и у_ - соответственно положительная и отрицательная оценки погрешности. Чаще всего Y+ = у_ = у [5], и тогда

|ln x| = у.

Границы изменения величины xa и xb можно понимать как доверительные, указываемые с определенной вероятностью. Тем самым и вся модель в виде псевдоевклидовой плоскости оказывается вероятностной. При этом приведенное выше толкование смысла a0x теряет в строгости на вероятность P{x < x } или соответственно P{x > xb}.

Угловая характеристика измеримого свойства физического объекта. Третьей сущностью, нуждающейся в осмыслении, оказывается псевдоевклидов угол между вектором единицы и полным вектором величины. Рассмотрим рис. 2. Каждая точка на прямой, совпадающей по направлению с вектором величины x, в т. ч. и такая, которая, соответствует нецелой степени, выражает одно и то же свойство объекта как в качественном, так

In [JC]

In [*r

lnx

Рис. 2. К расширению понятия физической величины

и в количественном отношении. Так, например, электрическое сопротивление, его квадрат, проводимость и т. п. выражают одно и то же свойство проводника, хоть и различным образом. Но тогда вектор 1п х, так же, как и любой, ему коллинеар-ный, например 1п х2, характеризует лишь одно из сечений этого общего свойства. В таком случае должна существовать характеристика, объединяющая все эти сечения. Такой характеристикой, очевидно, является угол, под которым прямая и пересекает некоторое заданное направление, например, направление вектора единицы, изображенное на рис. 2. Угол между этими прямыми является так же, как и величина х, характеристикой объекта в принятой системе единиц, однако более общей и более устойчивой. Речь идет, конечно, не об угле, видимом в изображении, а о псевдоевклидовом угле. Таким образом, мы вынуждены обратиться к углу как к характеристике измеримого свойства физического объекта.

Для упрощения записей обозначим: 1п х = х*;

I . | |[х]*1 1п [х] = [х]*; х*, = ; I—

= a , где e - единич-

ный вектор, направленный вдоль [х]*.

Определим вначале угол 0р между векторами единицы и среднего геометрического. Между этим углом и его видимым изображением Р (см. рис. 1) существует соотношение [6]:

ер = 1ini±M. в 2 1 - tg в

(9)

Но tg в = ас //с, откуда, подставляя (6) и (4), по-

лучаем:

tg В =

а + а.

а + а.

2(аь - acp) аь - аа

Отсюда, подставляя в (9), находим:

1 (

ев = - in

(10)

V а у

т. е. псевдоевклидов угол между векторами единицы и среднего геометрического для данного объекта определяется отношением логарифмов предельных значений величины.

Формула (10) устанавливает степень различия между |[х]*| и /ср и показательна в том смысле, что хср тоже может считаться системной единицей. Если [х] по своему размеру находится вне диапазона изменения величины, а и а оказываются

' а Ь

одного знака, и, как следует из (7), под знаком логарифма оказывается отрицательное число. Такая ситуация отражает факт нахождения внутри угла

0р одного из изотропных направлений ха и хЬ, а такие углы на псевдоевклидовой плоскости не измеряются. При этом, как уже отмечалось, длина вектора единицы оказывается мнимой. Соотнести /ср и |[х]*| в этом случае можно лишь, введя посредством масштабного преобразования |[х] | в область между ха* и хЬ* , либо выведя посредством обратного масштабного преобразования I из этой области. При аа = 0, либо аЬ = 0 0р становится бесконечным, как и положено псевдоевклидову углу, одна сторона которого имеет изотропное направление (в этом случае [х] = ха или [х] = хЬ).

Теперь определим угол 0ф между векторами среднего геометрического и полным вектором величины х, которому в изображении соответствует угол ф. Как явствует из рис. 1,

а. - (аа + аь V2 =

tg Ф =

а - a

U x cp

1

= 2-

2a0x - aa - ab

Тогда, используя (10), находим:

е = lin Oo^zOl .

Ф Л

2 ab - a0 x

Под знаком логарифма в данном случае оказывается простое отношение трех точек - a, a0x, ab, лежащих на одной прямой, - основной аффинный инвариант.

Наконец, угол между вектором единицы и полным вектором величины

е = ев +еФ =1 in

в Ф 2

= - in 2

(

\

а. - a

b 0x J

y ab - a0 x

0 - aa

ab -0y

Здесь под знаком логарифма стоит уже сложное отношение четырех точек прямой - а, аЬ, а0х, 0, представляющее главный проективный инвариант. Замечательно, что последняя формула в точности совпадает с формулой, выражающей длину отрезка 0 - а0х в гиперболической и эллиптической геометриях. Она аналогична формуле Лагерра:

где у - евклидов угол в комплексном евклидовом пространстве; и1 и и2 - две вещественные прямые;

и ]2 - две изотропные мнимые прямые, причем все четыре прямые проходят через одну точку; (]1и1щ) - сложное отношение указанных четырех прямых. В нашем случае сложное отношение

четырех точек, очевидно, равно сложному отно-

* *

шению прямых, на которых лежат векторы ха, хь, х* и [х]*. Из них первые две тоже изотропны. Разница в том, что в формуле Лагерра пара прямых вещественная, а другая пара - мнимая, в нашем же случае все прямые мнимые. Из-за этого множителем в формуле Лагерра служит г вместо единицы.

Физический смысл псевдоевклидовой плоскости. Наконец, требуется выяснение физического смысла всей псевдоевклидовой плоскости, определяемой векторами единицы и числового значения. Каждая ее точка А (рис. 3) характеризует величину одного и того же рода в любой степени, меняющуюся в определенных границах. Мы назовем ее изображающей. Границы ха и хь, а также логарифмический центр распределения а0х в общем меняются от точки к точке. В таком случае смысл их совокупности, образующей псевдоевклидову плоскость, станет ясным, если представить себе возможные причины перехода из одной точки в другую, т. е. движения в этой плоскости. Эти причины математически выражаются параметрами, при изменении которых конец вектора величины описывает некоторые траектории. Можно указать три вида таких параметров: доверительную вероятность, степень величины и внешние факторы. В первом случае, поскольку центр распределения (координата а0х) остается постоянным, а аа и аь меняются, движение точки А будет происходить вдоль вектора [х]*.

Если параметром является степень величины, то а, аъ и а0х изменяются пропорционально. В самом деле, для величины ха а0 = 1п ха = а-1п х.

При положительных а а0 является возрастающей функцией х, и тогда Рх {ха} = Р^ {а • 1п ха} .

Но это означает, что а = а-1п х и изменяется

7 а а

пропорционально а. При а < 0 а0 является убывающей функцией х, вследствие чего

Рх{ха } = Р, {х > ха } = Рао {а • 1п ха }

аа = а-1п ха и также изменяется пропорционально а. Аналогично пропорционально а изменяется также аь. В качестве центра распределения а0х, как известно, могут использоваться:

1) матожидание;

2) среднее арифметическое из Р-процентной и (1 - Р)-процентной квантилей (в частности, медиана распределения);

3) мода.

В первом случае, поскольку М{а-1пх} = = а-М{1п х}, а0х пропорционально меняется с а.

ао А

аь

аох

(1аь

Рис. 3. Движение в плоскости представления физической величины

Это справедливо и во втором случае, поскольку подобно ааи аь меняется каждая квантиль. Введем обозначение 1п х = у. Тогда, согласно [7], можно написать:

Р* (а0х ) = Л Ру I —

а

а

Если Ру ) = таХ^ то Р*>(а0х) = тах Р°».

Но в этом случае а0х - мода. Это сохраняется при любом а, в то время как а0х меняется пропорционально ему. Следовательно, и третий вид центра распределения изменяется пропорционально а. Таким образом, при изменении степени величины пропорционально изменяются обе координаты, а0 и а . Точка А будет двигаться вдоль вектора х*.

Как отмечалось выше, различные степени величины представляют различные сечения измеримого свойства физического объекта, в частности, выражаемого величиной. В связи с этим проведем интересную на наш взгляд аналогию. Запишем выражение ряда Фурье:

1 ™

х(?) = ^ X Л ехрОйю/X

откуда при к = п имеем 1 п .

х(?) = 2X А ехр0'к) =

^ -п

(11)

= о X А ^О'Фк )ехр(1к(й1^).

Теперь запишем функцию связи двух величин в виде степенного многочлена:

у( х)=X Акхк=X Ак ехр(к ■1п х)=

0 0

п

= X Ак ехр(к ■ 1п[х])ехр(к ■ 1п{х}).

(12)

Ряд Фурье представляет спектр. На основании похожести выражений (11) и (12) мы можем говорить о степенном многочлене как о спектре с той разницей, что спектральные составляющие являются не гармоническими, а степенными. При этом роль начальной фазы играет [х]к, роль текущей фазы - текущее значение х. Такой подход тесно увязывается с сущностью, описываемой псевдоевклидовой плоскостью, которая и оказывается на входе измерительного прибора, когда речь идет об измерении какой-либо величины. Прибор подобно фильтру выбирает характеризующие данную сущность величины, что отражается в характере его шкалы у = Дх).

Наконец, параметрами, определяющими положение изображающей точки, могут быть внешние факторы, под которыми мы будем понимать не только влияющие факторы в обычной трактовке, но и координаты места и времени, при которых величина имеет доверительные границы ха и хь. Такая координата, в частности, может иметь смысл параметра процесса (время) или поля (пространственная координата), в котором х характеризует одно из сечений. Если процесс случаен и стационарен, движение точки А будет происходить вдоль вектора [х]*.

Подведем итог. Представление физической величины вектором псевдоевклидовой плоскости означает указание наряду с центром ее вероят-

ностного распределения степени ее неопределенности. Последняя органически входит а описание физической величины и может нести в зависимости от ситуации как апостериорный (погрешность), так и априорный (возможные границы изменения) смысл. Возможность органического и необходимого по сути сочетания центра распределения величины и степени ее неопределенности, по нашему мнению, является доводом в пользу геометрического представления физических величин. Кроме того, предпринятый подход позволяет математически, через псевдоевклидов угол выразить то свойство физического объекта, частным проявлением которого является физическая величина. Тем самым он представляет собой естественное развитие представления величины в виде числовой оси и в целом более полным образом характеризует то же свойство объекта, что и величина. Наконец, вся псевдоевклидова плоскость имеет совершенно определенный физический смысл в зависимости от того, какие параметры вызывают переход из одной точки этой плоскости в другую.

Напрашивается вопрос, каким образом использовать данное представление при описании физических процессов. Иными словами, как применить полученные результаты на практике. Ведь данная статья по самой своей сути не является чисто теоретической.

Что касается непременного представления величины в виде сочетания центра ее распределения и рассеяния вокруг центра, то на первый взгляд ответ ясен. Поскольку такое сочетание описывается двумерным вектором, то эти векторы и должны занять место привычных физических величин в соответствующих уравнениях. Однако это кажется простым и естественным лишь на первый взгляд. Как трансформируются при этом уравнения (в частности, уравнения математической физики), на данном этапе вовсе не ясно.

Неопределенности (погрешности), естественно, и сегодня учитываются при описании физических процессов. Однако «мухи отдельно, котлеты отдельно» - значения величин и неопределенностей этих значений, как правило, оцениваются раздельно. Оценка неопределенностей может, как известно, производиться по предельным значениям, с использованием среднеквадратических значений (стандартных неопределенностей -классический метод), а также недавно появившимся векторно-аналитическим методом [8].

0

Последний, кстати, фактически использует данное представление, поскольку в нем осуществляется векторное сложение расширенных неопределенностей. Метод статистического моделирования (называемый также методом статистических испытаний, методом Монте-Карло) учитывает автоматически как положение на числовой оси, так и рассеяние значений физической величины, т. к. представляет ее случайной совокупностью, но требует для своей реализации резкого увели-

чения вычислительного ресурса.

На вопрос, что практически дает «угловое» представление свойств физических объектов, также ответить сложно. Здесь причина в радикальном расширении понятия «физическая величина».

В целом представляется, что вопрос о практическом использовании приведенных соображений выходит за рамки данной статьи и нуждается в отдельном рассмотрении.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тарбеев, Ю.В. Пути развития фундаментальных исследований в области теоретической метрологии [Текст] / Ю.В. Тарбеев // III Всесоюз. совещ. по теорет. метрологии: тез. докл. -Л., 1986. -С. 4-7.

2. Математическая энциклопедия: В 5 т. [Текст] / -М., 1977. -Т. 1. -1152 с.

3. Шутц, Б. Геометрические методы математической физики [Текст] / Б. Шутц. -М., 1984. -303 с.

4. Мазин, В.Д. Описание свойств физических объектов в кусочно-евклидовых и кусочно-римановых пространствах [Текст] / В.Д. Мазин // Вычисл., измер. и управл. системы. -Л.: Изд-во СПбГТУ, 1993.

5. Новицкий, П.В. Оценка погрешностей резуль-

татов измерений [Текст] / П.В. Новицкий, И.А. Зограф; 2-е изд. перераб. и доп. -Л., 1991. -303 с.

6. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст] / П.К. Рашевский; Изд. 4-е, стер. -М.: УРСС, 2002. -664 с.

7. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Г. Корн, Т. Корн; 5-е изд. -М., 1984. -831 с.

8. Mazin, V. Properties and application technology of a vector-analytical method for an estimation of uncertainty in measurement [Text] / V. Mazin, A. Chepushtanov // Proc. of the 56-th International Scientific Colloquium of the TU Ilmenau. -Ilmenau, 2008.

УДК 681.3.06(075.8)

И.Г. Черноруцкий

ФУНКЦИИ РЕЛАКСАЦИИ ГРАДИЕНТНЫХ МЕТОДОВ

Введено понятие функции релаксации (ФР) для класса матричных градиентных методов, включающего в себя такие классические процедуры, как метод простого градиентного спуска, метод Ньютона, метод Маркуардта-Левенберга. Показано, что ФР является своеобразным «паспортом» метода и полностью определяет его локальные свойства подобно областям устойчивости методов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. ФР является не только средством анализа заданного матричного градиентного метода, но и средством синтеза новых оптимизирующих процедур, обладающих необходимыми свойствами.

Пусть решается задача

J(x) ^ min, x е Rn, J e C2 (Rn).

(1)

Рассмотрим класс матричных градиентных методов вида

= xk - Hk (Ak, hk)J'(xk), hk e R1,

(2)

где Лк = Г(хк), Ик - матричная функция А.. Предполагается, что в некоторой ^"окрестности {х е Я" | ||х-хк|| < ^к} точки X функционал 3(х) достаточно точно аппроксимируется квадратичным функционалом

Дх)=1/2 Ах, х> - <ь., х> + с, (3)

где Лк - симметричная, не обязательно положительно определенная матрица. Без существенного ограничения общности можно считать, что ьк = 0, с. = 0. Действительно, принимая det А.^ 0, х = = х* + 2, где х* = Л~1ьк, получаем представление

Г1(2) = Ах* + 2) = 1/2 (Лк2, 2> + Ск.

(4)