Изотропные направления и псевдоортонормированные базисы на комплексной псевдоевклидовой плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.821

ИЗОТРОПНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И ПСЕВДООРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ*

А.А. Сазанов

Кафедра «Высшая и прикладная математика», Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова

Представлена профессором Э.М. Карташовым и членом редколлегии профессором Г.М. Куликовым

Ключевые слова и фразы: главные базисные векторы; главные коэффициенты направлений; изотропные векторы; комплексная псевдоевклидова плоскость; псевдоортогональные векторы; псевдоортонормированные базисы.

Аннотация: Метрические характеристики изотропных векторов и псевдо-ортонормированных базисов на псевдоевклидовой плоскости рассматриваются в связи с отношениями комплексной линейной зависимости между векторами. Выявлены линейные признаки инвариантности изотропных направлений и симметричности псевдоортогональных двусторонних направлений по отношению к разделяющему их изотропному направлению. Получены выражения координат вектора относительно произвольного правого псевдоортонормированного базиса через компоненты комплексной координаты этого вектора относительно главного первого базисного вектора комплексной псевдоевклидовой плоскости.

В этой статье продолжается развитие описанных в работе [1] основных представлений о связи псевдоевклидовых метрических свойств, наложенных на комплексную плоскость, с ее линейными свойствами.

Как показывают формулы (48), (48') в конце статьи [1]

{ аа } = (хо ; Уо)(хо; Уо){ е0 во} = (хо2-у2 ; 2хо у) , (1)

/ а а / = Хо2-Уо2, (1')

для обращения в нуль скалярного псевдоевклидова произведения вектора на са-

мого себя достаточно, чтобы вектор принадлежал двустороннему направлению, характеризуемому главным коэффициентом, равным единице

^03 = х о/Уо = 1 (2)

либо отрицательной единице

*

Принято к печати 30.11.2006 г.

^04 = x„/ У0 = -1. (3)

Это изотропные двусторонние направления. В качестве главного вектора на направлении (2) выберем вектор

do = (1 ; 1) ?, (4)

и вычислим его комплексный и скалярный псевдоевклидовы квадраты

{do do} = (1 ; 1)(1 ; 1){ e0 e0} = (0 ; 2), (5)

Ido dol = 0, (5')

а в качестве главного вектора на направлении (3) выберем вектор

ido = (0 ; 1)do = (1 ; 1)e0 = (-1 ; 1)e0, (6)

{(id0)(id0)} = (-1 ; 1) (-1 ; 1){ eo eo} = (0 ; -2), (7)

l( ido)(ido )l = 0. (7')

Равенства (5'), (7') означают, что каждый из изотропных векторов псевдоортого-

нален к самому себе.

Перейдем к выяснению геометрических условий взаимной псевдоортогональности неизотропных векторов. Для векторов

a = (x о ; у о) eo, b = (u о ; Vо) eo, (8)

запишем их комплексное псевдоевклидово произведение

{ a b } = (x о ; у о)^ о ; Vо){ eo eo} = (x о u о - у о vо ; x о vо + у о u о) (9)

и представим его в виде

{ a b } = Уо Vо (1 o a l o b - 1; l o a + l o b ), (9')

где

1 o a = x QJ yo и 1 o b = u o/Vo (10)

являются главными коэффициентами направлений векторов а и b . Обращение в ноль первой компоненты

1o a 1 o b - 1 = 0 « 1 o b = 1/Л. o a , (11)

возможное только при взаимной обратности коэффициентов (10), является необходимым и достаточным условием псевдоортогональности векторов a и b . Значит для таких векторов должно выполняться равенство

1 b = u o/Vo = У o/xo. (11')

Так как далее нас будут интересовать псевдоортонормированные базисы e , f , отличные от главного базиса eo, f = i eo, то к вектору

е (а о ; Р о) ео (12)

предъявим требование вещественной единичности

/е г / = а2- Р02 = 1, |г | = л/ / г г / = 1, (13)

а в качестве псевдоортогонального к нему вектора выберем в согласии с (11) вектор

1 = (Р о ; а о)г0 , (14)

удовлетворяющий условию мнимой единичности

/ 1 1 / = во2- а 0 = - (а 0 - во2) = - 1 , 1Л = V/ 11 / = = '■ (15)

Условиям мнимой единичности и псевдоортогональности к вектору (12) удовлетворяет также противоположный вектору (14) вектор

-1 = ( - Р о ; - а о )го , (16)

но мы отдадим предпочтение вектору (14) потому, что он в сочетании с вектором

(12) образует упорядоченную пару е , 1 правой ориентации. Действительно,

определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, взятых в том же порядке, имеет положительное значение при условии (13)

= а 0 - во = 1 , (17)

а это является признаком правой ориентации базиса е , 1 и означает, что направление кратчайшего поворота от е к 1 должно приниматься за положительное. Подчеркнем, что условиям псевдоортогональности (11) и правой ориентации (17) удовлетворяют главные базисные векторы ео = (1 ; 0 )ео и 1о = ( 0 ; 1 )ео, направления которых характеризуются главными коэффициентами

1 о 1 = 1/ 0 = ¥ для ео и 1 о 2 = 0 / 1 = 0 = 1 / 101 для 1о

(см. в статье [1] формулы (45), (46), а также (42), (42'), (43)).

Теперь желательно обратиться к графическим иллюстрациям. Но по причинам, которые выясняются в модели мира Минковского, мы не имеем возможности воспринимать зрительно псевдоевклидовы метрические соотношения в их собственной форме, а рисунки, используемые для иллюстраций, мы можем выполнять только на плоскостях с собственно евклидовыми метрическими свойствами. Поэтому придется мириться с некоторым искажением истинных метрических характеристик векторов или условностями при отображении псевдоевклидовой плоскости на собственно евклидову плоскость рисунка. Однако существуют строгие закономерности построения таких условных изображений. Г лавная из них та, что линейные свойства псевдоевклидовой комплексной плоскости ничем не отличаются от линейных свойств комплексной плоскости с собственно евклидовой метрикой, потому что тот или иной тип метрических свойств налагается на одно и то же комплексное линейное одномерное пространство. Иначе говоря, совпадение

линейных свойств у псевдоевклидовой и собственно евклидовой плоскостей обусловлено тем, что линейные операции над векторами (сложение векторов и умножение вектора на число, вещественное или комплексное) определены в любом пространстве независимо от того, какие метрические свойства налагаются на линейное пространство, взятое в качестве основы. Линейными свойствами являются принадлежность (или непринадлежность) точек к определенной прямой, параллельность или непараллельность прямых, отношение линейных длин параллельных отрезков, ориентация (положительная или отрицательная) кратчайшего поворота от первого вектора в упорядоченной их паре ко второму. Это позволяет изобразить непараллельные прямые псевдоевклидовой плоскости, в частности ее главные координатные оси ОХо и ОУо , имеющие направления главных базисных векторов ео и 1о = I ео соответственно, в виде непараллельных прямых на собственно евклидовой плоскости рисунка. Условностью же изображения метрических свойств будет то, что длины на оси ОУо (в частности, длина ее орта 1) должны выражаться мнимыми числами, чего не бывает на собственно евклидовой плоскости. Условностью (весьма полезной) будет и то, что вектор 1о мы изобразим отрезком не только какой-нибудь вещественной длины, но именно с длиной, равной единице, как у вектора ео. Хотя псевдоортогональность векторов ео и 1о = /' ео,

выраженная в статье [1] равенствами (42), (42'), имеет на псевдоевклидовой плоскости иное геометрическое содержание, чем на плоскости собственно евклидовой, факт простейшей комплексной линейной зависимости 1о = /' ео между ними делает закономерным изображение этих векторов на собственно евклидовой плоскости рисунка как образующих прямой угол п/ 2 , потому что на комплексной плоскости с собственно евклидовой метрикой любые векторы, связанные чисто мнимой линейной зависимостью, образуют прямой угол (как показано в статье [2]).

Наконец, прямые, определенные уравнениями

у = х , у = —х (18)

относительно главной псевдоортонормированной правой системы координат ОХоУо = О, е , 1 , параллельные соответственно изотропным векторам (4) и (6),

являются на собственно евклидовой плоскости рисунка образами изотропных направлений (2) и (3) псевдоевклидовой комплексной плоскости. Каждая прямая, параллельная одной из прямых (18) в плоскости рисунка, будет также образом соответствующего изотропного направления псевдоевклидовой плоскости. На собственно евклидовой плоскости рисунка образы (18) изотропных направлений, указываемых векторами (4) и (6), должны образовывать прямой угол п/ 2 , потому что векторы йо и I йо связаны простейшей комплексной линейной зависимостью. Однако на самой псевдоевклидовой комплексной плоскости, которой реально принадлежат эти векторы, они не являются псевдоортогональными, так как

{й0 (130)} = (1 ; 1) ?(-1 ; 1) ?о = (1 ; 1)( -1 ; 1){ Г го> = (-2 ; 0), (19)

/ й0 (Гй0)/ = -2 Ф 0. (19')

С учетом сказанного об условиях построения отображения псевдоевклидо-вой плоскости на собственно евклидову плоскость изобразим главную псевдоор-

тонормированную систему координат ОХоУо = О, е 0, /0 на рис. 1. Изотропные

прямые (18) разбивают псевдоевклидову плоскость на четыре сектора, определяемых неравенствами

Принадлежность неизотропного вектора к одному из этих секторов определяется не значениями координат точки приложения вектора, а соотношением между его координатами, удовлетворяющим одной из четырех систем неравенств, указанных в (20), (20'). У векторов, принадлежащих правому и левому секторам, значения модулей выражаются вещественными числами, а у векторов верхнего и нижнего секторов - мнимыми.

Если совместить точки начала векторов г и / с точкой О полюса, то условие (13) определит геометрическое место точек, указываемых концом вектора е , которые удалены от точки О на одно и то же расстояние (в псевдоевклидовом смысле), равное вещественной единице. Это геометрическое место точек определяется уравнением

при любых удовлетворяющих ему значениях а о и р о , рассматриваемых как переменные (ао - координата по оси ОХо , т.е. абсцисса, ро - координата по оси ОУ0 , ордината). Тогда графиком, соответствующим уравнению (21), на собственно евклидовой плоскости рисунка служат ветви гиперболы, принадлежащие правому и

левому секторам. В отличие от вектора е (12), у вектора / (14) первой компонентой комплексной координаты (абсциссой) является р о , а второй (ординатой) -а о . Поэтому условие (15)

х2 - У 2 > 0 , {X:

X2 - У2 < 0, { У

х > 0 - правый сектор, х < 0 - левый сектор,

у > 0 - верхний сектор, у < 0 - нижний сектор.

(20')

(20)

(21)

2 2

в o- a o = -1

= 1 ,

(22)

Рис. 1

с алгебраической точки зрения равносильное уравнению (21), выражает иное геометрическое содержание, определяя на собственно евклидовой плоскости рисунка ветви гиперболы, принадлежащие верхнему и нижнему секторам.

Возникает вопрос: как правильней назвать кривые (21) и (22), рассматриваемые в качестве геометрического места точек на псевдоевклидовой плоскости? По главному метрическому свойству - одинаковой удаленности всех точек одной ветви от точки полюса О - эти кривые родственны собственно евклидовой окружности. Но по форме своей они выглядят как ветви гипербол. На собственно евклидовой окружности, определенной уравнением а 2 + Р2 = 1, нет точек, координаты которых по абсолютной величине превосходили бы радиус (единицу). На кривых же (21) и (22) подобный запрет отсутствует. К тому же, собственно евклидова окружность - замкнутая непрерывная кривая, а совокупность уравнений (21) и (22) определяет кривую, претерпевающую разрывы на изотропных (18), на которых любые точки удалены от точки О на метрическое расстояние, равное нулю (в противоречии с (13) и (15)). Отдавая предпочтение главному метрическому свойству незамкнутых бесконечных дуг, определенных на псевдоевклидовой плоскости уравнениями (21) и (22), лучше назвать это геометрическое место точек псевдоевклидовой окружностью. В пользу такого решения есть еще очень важный аргумент, который обнаружится при рассмотрении углов на псевдоевклидовой плоскости. Совокупность дуг (21), (22) может быть определена одним уравнением

(х2 - у2)2 = 1, (23)

которое мы назовем общим уравнением единичной псевдоевклидовой окружности.

Легко видеть, почему векторы (12) и (14), удовлетворяющие условию псевдоортогональности (11), (11), принадлежат секторам различного смысла (20) и (20'). В правом и левом секторах (20) модули всех принадлежащих им векторов выражаются вещественными числами в силу общего этим векторам условия

х 2 - у 2 > 0. Поэтому если бы вектор (14) / = ( р о ; а о ) ео принадлежал тому же

сектору, что и вектор е = (а о ; Р о) ео, т.е. правому, либо противоположному

(левому), то компоненты комплексных координат векторов е и / должны были бы подчиняться взаимно исключающим неравенствам

|а о1 > 1Р о| и |Р о| > |ао|,

что абсурдно. По аналогичной причине псевдоортогональные векторы не могут принадлежать секторам (20') одинакового смысла х 2 - у 2 < 0, т.е. верхнему и нижнему, либо одному из них. Для рассмотрения дальнейших задач будет удобно

выбирать вещественно единичный вектор (12) е = (а о ; Р о ) ео в одном секторе с первым главным базисным вектором ео, т.е. выполнять условия

2 2 а о > 0, а о - Р0 = 1.

Тогда псевдоортогональный ке вектор (14) /= (Р 0 ; а 0) ео будет принадлежать

верхнему сектору, где его ордината а 0 положительна. Итак, на роль правого псев-доортонормированного базиса псевдоевклидовой комплексной плоскости, рассматриваемой как двумерное псевдоевклидово пространство, мы будем выбирать любые векторы, удовлетворяющие системе условий

г 2 2

е = (а о ; Р о) ео, / = (Р о ; а о ) ео, а о - во = 1 , а о > 0. (24)

Это более детализированное определение интересующих нас базисов, чем просто условие псевдоортонормированности

/е e/ /е ] / ^ = ( 1 0 ^ .?5. /]-е/ /]]/) ^ 0 -1) ■ ( )

Построение на рис. 1 образов OK и OL псевдоортогональных векторов по их координатам OKо = OLo = ао и KоK = L оL = Р о выявило симметричность ориентации этих образов относительно разделяющего их образа изотропной прямой у = x, параллельной вектору d (4). Однако при рассмотрении тригонометрии

на псевдоевклидовой плоскости будет выяснено, что численное значение угла между изотропным вектором и любым неизотропным не определено, будучи бесконечно большим, и это не позволяет сказать, что на псевдоевклидовой плоскости

гЛ г

направленный угол ( f , do) противоположен (равен по абсолютной величине и

О -

Л

противоположен по знаку) направленному углу ( е , dо) ■ Правда, такая противо-

Л Л

положность свойственна углам (eo , е) и ( fo, f ), но это, так сказать, косвен-

ный, или вторичный, метрический признак симметричности направлений е и f относительно изотропного направления dо. Тем более ценна возможность выявить отмеченную симметричность на уровне линейных соотношений между комплексными координатами псевдоортогональных векторов е и f по отношению к разделяющему их изотропному направлению йо ■

Из равенства (4) получим выражение

е = d = (1; -1) й (26)

o (1;1) o 2 o

и подставим его в (12) и (14):

г Р , г (аo; Po)(1;-1) г (аo + вo ; - ^ + Po) г

е = (а o ; Рo) eo =------й o = -------------й o, (27)

22

г (Р а , г (в0;аo)(l;-1) г ^ + вo; ^-Po) г (28)

f = (Р о ; а о) eo = ----йo =---------------йo ■ (28)

22

Сопряженность комплексных координат векторов е и f относительно do выявленная в (27), (28), равносильна взаимной противоположности коэффициентов направлений е и f , определенных по отношению к вектору й() как базису комплексной плоскости:

а + в а + в

1 й е = 1 df = = -1 й е. (29)

- ^ + в o аo - в 0

Взаимная противоположность коэффициентов (29) является наиболее выразительным линейным признаком симметричности направлений е и f относитель-

но йо. Заметим, что направление вектора (16) симметрично направлению е относительно изотропного направления у = - х, характеризуемого главным коэффициентом (3), равно как и направления векторов (14) и ( - е ) симметричны по отношению к у = - х.

Но роль изотропного направления йо как оси симметрии псевдоортогональ-

ных направлений е и / в любом правом псевдоортонормированном базисе (24) таит в себе еще ряд замечательных подробностей, к выявлению которых мы сейчас приступим. Весьма существенно то обстоятельство, что только векторы главного псевдоортонормированного правого базиса ео, /0 связаны простейшей комплексной линейной зависимостью

/0 = (0 ; 1) г 0 = 1е0. (30)

Во всех остальных псевдоортонормированных правых базисах (24) комплексная линейная зависимость между их векторами отличается от простейшей зависимости типа (30). Из равенств (12) и (14) при условии (13) находим

1

(ao;вo)

(31)

г (в ; а ) (2а в ; а2 - в2) (2а в ; 1)

/ = (Р о ; а о) е = (во; о) е = ( 0 в °; °2 в о) е = ( 2°в °2 ) е . (32)

(а0;в°) а2 + в2 а2 + в2

Вектор же

іе = (0 ; 1) е = (0 ; 1)(а о ; Р о) е° = ( - Р о ; а о )е0 (33)

не является псевдоортогональным к вектору е , поскольку в общем случае (если

е * е °)

о 2

{ е (іе)} = і{ ее } = (0 ; 1)(а о ; Р о) (а о ; Р о){?° е°} = ( -2 а ° Р ° ; а° - в°),

/е (іе)/ = -2 а ° Р ° * 0.

Но на плоскости с собственно евклидовыми метрическими свойствами векторы е и іе , связанные простейшей комплексной зависимостью, образуют прямой угол п / 2, что и отразилось на рис. 1 просто в силу построения этих векторов по их координатам.

Исходя из выражения произвольного вектора а через главные базисные векторы

а = (х о ; у о) е° = х о е° + у о ( і е°) = х о е° + Уо /°, (34)

перейдем к представлению этого же вектора а в виде комплексной линейной комбинации вектора е из любого псевдоортонормированного правого базиса (24)

а = (р ; q)е = р е + q ( іе ), (35)

eo =

где р и q определяются посредством выражения (31)

( х ; у ) (ха + у В ; - х В + у а )

— __ / \ — ' О О ./ о «О ’ О «О •^0 0'' — _ / ч —

а - (х о ; у о) еО - ------е - ---------------------------------е - (р ; q)e

(aolPo)

Xoao + yo P o

a2 + P2

oo

a2 + P2

oo

q

- Xo P o + yoao

a2 + P2

oo

(Зб)

Переход от главного базиса ео, /о = I ео к базису е , 1в производится с помощью матрицы А, составленной из координатных столбцов векторов (12) и (33)

( е ІЄ ) — ( ?o /o)A — ( /o /o)

ao - P o

Po o

(З7)

а переход от базиса е0, /о = I ео к произвольному псевдоортонормированному правому базису (24) е , / - с помощью матрицы В

(е/)—(е, /o)B—(?o /o)і ao ao

oo

(З8)

г ~* г ~* _1

Выразив из (38) базис еО, /О через е , / с помощью обратной матрицы В (с учетом условия (13))

(еО /о) - <е/>В- - (е? ^ (^ -£ )- (е/ (-£ -а

подставим это выражение в (37)

(е іе) — (е / )

— ( е /)

Это значит, что

s о 1 P o s o

1 P o s о J V P o

f І - 2 ao P o ^

v 0 2 o2 + p2 J

2

— ( е / )

o2 - P o2 - 2 o P 0

Л

22 o2 + P 2

oJ

— (- - 2 ao p o- + (ao + Po)/) . (З9)

2 2 -

іе — - 2aoPoе +(ao + .o)/,

(З9')

и подстановка выражения (39') в (35) позволяет найти разложение вектора а по псевдоортонормированному правому базису е , /

а = ре + д(- 2 а о Р о е + (а2 + Ро2)/) = (р- 2 а о Р од) г + д(а2 + РО^/ . (40)

Введя для координат вектора а относительно правого псевдоортонормированно-го базиса (24) е , / обозначения X и у , выпишем их выражения из (40)

2 2

X — p - 2 ao p oq , y — q(ao+ po).

(40 ')

o

a

o

После внесения в (40') равенств (36) получим выражения координат х и у вектора

а = х е + у / (41)

через координаты х о , у о этого вектора а относительно главного базиса ео, / (см. (34))

xa + у P — x P + у a

— o o У o г o п, Л о o г o So o

X = -------;-----;---- - о a o p o--------------------

22 o2 + Po2

22 2o + Po2

3o

o2 + P o2

oo

(X 1

^ao + P o V yo у

— 2 o Po

Y

ao — ^ P.

V yo у

(42)

— xo p o + yoao 2

o Г o s o o 2 n 2

2o + Po2

(ao + po) = уо

x 1

ao — — P o . Уo У

(42')

Выражения (42), (42') довольно громоздки, но, во-первых, с их помощью будет получен весьма ценный и простой по форме результат, а во вторых, когда мы пользуемся произвольными ортонормированными базисами (24), то, как правило, не имеем надобности прибегать к выражениям (42), (42'), а сами по себе значения координат х, у в разложении (41) вектора по базису е , / вполне удобны для вычислений псевдоевклидовых скалярных произведений любых векторов благодаря условиям (25) псевдоортонормированности этого базиса.

Для произвольно взятого вектора а отношение его координат х/ у не равно отношению хо / уо координат этого же вектора относительно главного базиса

e0, /о

У a2 + p2

oo

a + P

oo

— о a p

oo

3o

(43)

Но для векторов, характеризуемых главными коэффициентами (2) и (3) изотропных направлений

1 о 4 = x „/ 3o = -1,

отношение (43) оказывается равным соответствующему главному коэффициенту.

2 2

Действительно, из (43) с учетом условия (13) ао — Ро = 1 имеем:

для 1 о 3 = 1

г

2 п 2 у o2 + P 2

ao + P o

Л

oo

o — Po

oo

— 2ao p o

X

o

1

o

X

o

P

ao —

o

і

{ (ao + Po)0

22 o2 + Po2

o

для 1 о 4 = -1

2 о 2 ao — P o

X

у

— 0ao P o

((ao + p

22 a0 + P о

ao + p o) — 0a<

Po)

= 1; (44)

22 o2 + P 2

— a + P

oo

22 o2 + P 2

o V ao + P с

л

— 0ao p o

o

22 a — P

oo

— 2 o Po

X— (— (^ — P o)2 — 0ao P o) = -1.

22 o2 + Po2

(45)

В строгом смысле слова отношение х / у координат вектора, определенных относительно произвольного псевдоортонормированного правого базиса (24), не является коэффициентом направления вектора, поскольку числа х и у не являются компонентами комплексной координаты вектора относительно вектора е псевдоортонормированного базиса е , / . Это прямо следует из неравенства

а = х е + у / Ф (х ; у ) е ,

обусловленного тем, что

/ = (Р о ; а о) е о Ф ( -Р о ; а о) ео = іе

(4б)

(4б')

(см. (14) и (33)). Однако для главного базиса ео, /о= 1ео справедливы равенства (34) о о о

а = (х о ; у о) ео = х о ео + У о ( ‘ ео ) = х о ео + Уо /о .

Это обстоятельство открывает путь для наложения на двумерное вещественное линейное пространство К 2 отношений комплексной линейной зависимости между векторами и, вместе с тем, псевдоевклидовых метрических свойств наиболее простым способом. Выбрав произвольно в К2 любую пару непараллельных векторов е , /, подчиним их метрическим условиям (25) псевдоортонормиро-ванности, определяя операцию скалярного псевдоевклидова умножения векторов системой аксиом, подобной (2) из статьи [1]

і. 13 b I = I b а I;

=!= _

0 . I(Ха) b I = Х Iа bI;

3 *. I( з + b) c I = I3 c I + Ibc I.

(47)

Т ак будет получено вещественное двумерное пространство с псевдоевклидовыми метрическими свойствами. В нем найдется бесконечное множество других псев-

доортонормированных базисов е ' , / ' , отличных от е , / . Действительно, выбрав вектор

е' = а е + в /,

удовлетворяющий условию нормированности к вещественной единице

і

і

а в остальном направленный произвольно, получим на основании этого вектор

/' = ( е + а / , имеющий модуль, равный мнимой единице

I/'| = V в2 -(2 = =I

_ /

и псевдоортогональный к вектору е

/ е' /' / = а а - ва=о.

Если затем на векторы одного из псевдоортонормированных базисов е', /' на— / _ /

ложить простейшую комплексную линейную зависимость / = 1е , то тем самым этот базис будет выбран на роль главного базиса ео, /о = / ео и все векторы псев-

доевклидовой плоскости окажутся связанными между собой определенными комплексными линейными зависимостями, т. е. вещественное двумерное псевдоевк-лидово пространство превратится в комплексную псевдоевклидову плоскость. Благодаря равенствам (44), (45) не возникнет противоречие между произволом в выборе псевдоортонормированного базиса и инвариантностью изотропных направлений на псевдоевклидовой плоскости.

Равенство нулю модуля (длины) любого изотропного вектора, не являющегося нулевым, вызывает сильное недоумение при первом знакомстве с такими объектами. И если этот факт не получает ясного истолкования, то он воспринимается как чисто формальный плод математического фокусничества, вынуждающий видеть в псевдоевклидовых метрических свойствах пространства и в предложенной Германом Минковским модели мира всего лишь искусственное ухищрение, которому ничего не соответствует в материальной реальности природы. Впрочем, загадочность изотропных представлялась лишь крайним выражением загадочности мнимых чисел и их существенного участия в геометрии пространства Мин-ковского.

В действительности же подобные недоумения обусловлены только привычной убежденностью в том, что мировое пространство не может быть иным, чем его образ, доступный восприятиям наших органов чувств - трехмерное вещественное собственно евклидовое пространство. В связи с этим игнорируется даже тот хорошо известный в линейной алгебре факт, что есть два различных способа определения длин векторов. Один способ основан на линейной операции умножения вектора на вещественное число и применим только к параллельным векторам. В линейном соотношении

Ь = ОВ = (^ ; 0) ОА = (^ ; 0) а = ^ а

абсолютная величина числа ^ показывает, сколько раз отрезок ОА уложится на

параллельном ему отрезке ОВ . Отношение длин параллельных отрезков является линейным свойством и потому не зависит от того, какие метрические свойства

наложены на плоскость. Если векторы ОА и ОВ, исходящие из точки О, параллельны одному и тому же изотропному направлению, то, например, при ^ = 3 расстояние точки В от точки О в три раза больше расстояния точки А от точки О, а расстояние между точками А и В в два раза больше расстояния между О и А. Это

привычное соотношение длин уместно назвать линейным определением длины. Определение же длины вектора как корня квадратного из скалярного квадрата вектора основано на другой операции векторной алгебры и может быть названо метрическим определением длины. Метрическое определение длины применимо, в отличие от линейного, как к параллельным, так и к непараллельным векторам. Для любых параллельных между собой векторов линейное и метрическое определения длин дают один и тот же результат. Действительно, если Ь = ц а, то линейные длины | а | лин и | Ь | лин векторов связаны равенством

IЬ I лин = |ц|| а I лин (48)

и операции собственно евклидова и псевдоевклидова умножений векторов дают такое же соотношение для метрических длин | а | метр и | Ь | метр тех же векторов

| Ь | метр = V / ЬЬ / = 7 /(п а )(п а)/ = ^ ц2 / а а / =

= |ц| ^ /а а / = |ц|| а | метр. (49)

Равенство (49) остается в силе и для параллельных изотропных векторов, ибо у них / а а / = 0, /Ь Ь / = 0, и потому

7 /ЬЬ / = 0 = |ц|0 = 0 = Щд//аа/ . (49 ')

Однако при этом линейная и метрическая длина у изотропного вектора оказываются различными. Т ак, линейные длины изотропных векторов ОВ и АВ по отношению к вектору ОА в приведенном выше примере равны соответственно 3 и 2, а

метрические длины векторов ОА , ОВ и АВ одинаковы в своем равенстве нулю. Противоречия здесь нет, поскольку определения линейных и метрических длин различны, основаны на различных операциях.

Чувство удивления перед последствиями этого факта обусловлено тем, что в наблюдаемом нами трехмерном собственно евклидовом пространстве нет изотропных векторов. Их неожиданные для нас свойства, кажущиеся нереальными и противоестественными, прекрасно вписываются в систему логических закономерностей псевдоевклидовых метрических отношений. И в чисто линейных соотношениях изотропные векторы не имеют никаких недостатков или привилегий перед другими векторами. Коль скоро в понятие изотропного вектора включено его отличие от нулевого вектора, то любой изотропный вектор может быть выбран в качестве базисного вектора комплексной плоскости, рассматриваемой как одномерное комплексное пространство. Больше того, два непараллельных изотропных вектора, например, йо и I йо могут выступить в роли базиса псевдоевк-

лидовой плоскости, рассматриваемой как вещественное двумерное пространство. Вот только базис, удовлетворяющий условиям псевдоортонормированности (25), нельзя построить из изотропных векторов. Во-первых, потому, что метрический модуль изотропного вектора не может равняться единице (будучи равным нулю). Во-вторых, непараллельные изотропные векторы не удовлетворяют условию псевдоортогональности, ибо

{й0 (Гй0)} = (1 ; 1)(-1 ; 1){ Г ?о) = (-2 ; 0), (50)

/й0 (1й0)/ = -2 Ф 0. (50')

В-третьих, условию псевдоортогональности удовлетворяют параллельные изотропные векторы (см. (5') и (7')), но параллельные векторы линейно зависимы в вещественном отношении и потому из них не может быть образован базис двумерного вещественного пространства.

Кроме отмеченных здесь признаков, так сказать, теоретической реальности изотропных векторов в смысле их органичной включенности в логику закономерностей линейных и метрических отношений, в самой природе изотропные векторные величины существуют и играют очень важную роль. При исследовании распространения, поглощения и излучения квантов (фотонов) электромагнитных (световых) сигналов выясняется, что их динамические характеристики (например, так называемый 4-вектор импульса) обладают всеми признаками изотропных векторов с характерным различием линейных и метрических модулей. Фотоны различаются в линейном отношении своей частотой (наблюдаемыми импульсом и энергией), как показывают спектральные приборы, а в метрическом отношении модули 4-импульсов любых фотонов равны нулю, что проявляется в общеизвестном факте равенства нулю массы покоя всех фотонов. Таким образом, нереальные на взгляд непосвященных свойства изотропных векторов лежат в основе важнейших физических явлений, ответственных за формирование у нас зрительного образа окружающего мира.

Список литературы

1. Сазанов, А. А. Наложение псевдоевклидовых метрических свойств на комплексную плоскость / А. А. Сазанов // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 2007. - Т. 13, №1А. - С. 146-158.

2. Сазанов, А.А. Коррекция определения операции скалярного умножения векторов комплексного евклидова пространства / А.А. Сазанов // Сборник трудов XIX международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». - Воронеж, 2006. - Т. 1, секция 1. - С. 37-42.

Isotropic Directions and Pseudo-Orthonormalized Bases on Complex Pseudo-Euclidian Plane

A.A. Sazanov

Department «High and Applied Mathematics»,

Moscow State Academy of Fine Chemical Technology after M. V. Lomonosov

Key words and phrases: isotropic vectors; main basis vectors; main coefficients of directions; pseudo-orthogonal vectors; pseudo-orthonormalized bases.

Abstract: Metrical characteristics of isotropic vectors and pseudoorthonormalized bases on the pseudo-Euclidian plane are considered in connection with complex linear relations with complex linear relations between vectors. Invariability of isotropic directions as well as symmetry of pseudo-orthogonal two-way directions related to

isotropic direction separating them are revealed. Deterministic dependence of vector’s coordinates related to arbitrary pseudo-orthonormalized right basis upon the complex coordinate of the same vector in relation to the first main basis vector of the complex pseudo-Euclidian plane is obtained.

Isotropenrichtungen und pseudoorthonormierte Basen auf dem komplexen pseudoeuklidischen Plan

Zusammenfassung: Die metrischen Charakteristiken der isotropen Vektoren und der pseudoorthonormierten Basen auf dem pseudoeuklidischen Plan werden im Zusammenhang mit den Beziehungen der komplexen linearen Abhaengigkiet behandelt. Es sind die linearen Eigenschaften der Invarianz der isotropen Richtungen sowie die Symmetre der pseudoorthogonalen beidersietigen Richtungen in bezug auf die sie abgrenzenden isotropen Richtungen offenbart. Es sind die Formeln der Vektorkoordinaten in bezug auf willkuerliche rechtseitige pseudoorthonormierte Basis durch die Komponenten der komplexen Koordinate dieses Vektors bezueglich den ersten Hauptbasisvektor des komplexen pseudoeuklidischen Planes erhalten.

Directions isotropiques et les bases pseudo-orthonormales sur le plan complexe pseudo-euclidien

Resume: Les caractheristiques metriques des vecteurs isotropiques sont examinees par rapport aux relations de la dependance lineaire complexe entre les vecteurs. On a mis en evidence les indices d’invariance des directions isotropiques et de symetrie des directions bilaterales pseudo-orthonormales par rapport a la direction isotropique qui les divise. On a obtenu les valeurs des coordonnes du vecteur par rapport a la base droite orthonormale a travers les composants de la coordonnee complexe de ce vecteur par rapport au premier vecteur basique du plan pseudo-euclidien.