Наложение псевдоевклидовых метрических свойств на комплексную плоскость Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика. Физика

УДК 514.821

НАЛОЖЕНИЕ ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫХ МЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НА КОМПЛЕКСНУЮ ПЛОСКОСТЬ* А.А. Сазанов

Кафедра «Высшая и прикладная математика», Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова

Представлена профессором Э.М. Карташовым и членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым

Ключевые слова и фразы: главные базисные векторы; главные направления на комплексной псевдоевклидовой плоскости; комплексная плоскость; комплексное псевдоевклидово умножение векторов; пространство Минковского.

Аннотация: Определив на комплексной плоскости операцию комплексного псевдоевклидова умножения векторов, коммутативную и не требующую вещественного неотрицательного значения произведения любого вектора на себя, осуществляется наложение на плоскость псевдоевклидовых метрических свойств, при этом первая компонента комплексного псевдоевклидова произведения векторов отождествляется со скалярным псевдоевклидовым произведением этих векторов, используются обычные формулы аксиоматического определения длин и углов через скалярные произведения векторов. При этом выявляются связи псевдоевклидовых метрических свойств с отношениями комплексной линейной зависимости между векторами плоскости.

После того как Герман Минковский в докладе [1, с. 167-180], сделанном 21 сентября 1908 г., предложил новую, отличную от классической, модель мира для объяснения специальной теории относительности, совершенно неожиданные метрические свойства пространства Минковского, названные впоследствии псев-доевклидовыми, вошли в арсенал средств научного осмысления фундаментальных закономерностей природы. Но до сих пор псевдоевклидовы метрические свойства рассматриваются как принадлежность вещественного пространства. Об отсутствии попыток связать их с линейными свойствами комплексного пространства, в первую очередь одномерного, свидетельствует тот факт, что в литературе не рассматривается операция над векторами комплексного линейного пространства, более простая по формальным свойствам и более удивительная по содержанию, чем общепринятая операция скалярного умножения векторов комплексного пространства и предложенная в статье [2] операция комплексного умножения векторов.

Назовем вводимую ниже операцию комплексным псевдоевклидовым умножением (КПУ) векторов комплексной плоскости, чтобы подчеркнуть ее органическую связь с псевдоевклидовыми метрическими свойствами вещественного двумерного пространства. Главной отличительной особенностью операции КПУ

*

Принято к печати 30.11.2006 г.

будет отсутствие в ее определении четвертой аксиомы, требующей, чтобы квадрат любого вектора был вещественным, притом неотрицательным числом. Нет, конечно, запрета на то, чтобы для некоторых классов векторов такое требование выполнялось, но оно не будет обязательным для всех векторов. В связи с этим отпадает надобность в замене комплексного коэффициента одного из векторных сомножителей сопряженным значением при вынесении за знак произведения векторов, и потому не будет необходимости в переходе к сопряженному значению произведения векторов при обмене их местами. Чтобы отличить столь своеобразную операцию от других операций перемножения векторов, нужно закрепить за ней специальное обозначение. Предлагается обозначать комплексное псевдоевк-

лидово произведение (КПП) векторов а и Ь заключением их в фигурные скобки

[а Ь}. (1)

Подчеркнем также, что операция (1) вводится первоначально для векторов комплексной плоскости, т.е. для одномерного комплексного пространства 5”1. Комплексные числа мы будем понимать и обозначать как упорядоченные пары вещественных чисел, в согласии с символикой, примененной в статьях [2, 3].

Определение 1. Комплексным псевдоевклидовым умножением векторов комплексной плоскости называется операция, которая каждой паре векторов а , Ь этой плоскости ставит в соответствие комплексное число [аЬ}, если для любых векторов а, Ь , с комплексной плоскости и любого комплексного числа 1 выполняются три требования (аксиомы операции)

1*. [а Ь} = [Ь а};

2*. [(X а)Ь}= 1[а Ь}; |> (2)

3*. [(а + Ь)с} = [а с}+[Ьс}.

Прежде всего докажем инвариантность операции КПУ, т.е. независимость комплексного значения {аЬ} от выбора базисного вектора е . Если произвольные

векторы а и Ь комплексной плоскости представлены в виде комплексных линейных комбинаций ненулевого вектора е той же плоскости

а = = (х ; у) е, Ь = м>е = (и ; V) е, (3)

то по отношению к любому другому ненулевому вектору

= (а ; Р) е, Р Ф 0, (4)

в общем случае не параллельному е , они будут иметь другие координаты

а = 2Г е' = (х ' ;у')е', Ь = w'е' = (и' ; V ')е'. (5)

Подставив в (5) выражение (4), запишем

а = (х ' ; у ')(а ; Р) е, Ь = (и' ; V')(а ; Р) е ,

что при сравнении с (3) дает (на основании теоремы единственности разложения вектора по данному базису)

(х ' ; у ')(а ; Р) = (х ; у), (и' ; V ')(а ; Р) = (и ; V),

, / /л _ (х; у) , , ,Л _ (и; V)

(х ; у ) = 7—^, (и ; ) = 7—57. (6)

(а; Р) (а; Р)

КПП векторов (3) равно

[аЬ] = [((х;у)е)((и ; V)е)} = (х ;у)(и ; v)[е е}, (7)

а КПП линейных комбинаций (5) равно

{((x;y')e')((u ; v)e')} - (x' ;y'){u' ; v ')[e' e'}.

(8)

Подставляя в (8) выражения (6) и

[e ’ e ’} -{((a; b)e)((a; b)e)} - (a ; b)(a ; b)[e e},

(9)

получим

- (x ;y)(u ; v)[e e} - {(ze)(we)} - [ab} ,

(10)

что совпадает с (7).

Частным случаем доказанной инвариантности комплексного псевдоевклидо-ва произведения векторов является инвариантность комплексного псевдоевклидо-ва квадрата (КПК) [а а} любого вектора а, и это уже дает возможность наложения некоторых, хотя и непривычных, метрических свойств на комплексную плоскость с помощью операции комплексного псевдоевклидова умножения векторов.

По-видимому, отсутствие интереса к операции КПУ, определенной системой аксиом (2), проистекает от затруднения связать ее с каким-либо геометрическим содержанием. В первую очередь бросается в глаза невозможность определить длину (модуль) любого вектора а универсальной формулой

потому что в общем случае комплексный псевдоевклидов квадрат [а а} вектора

а не является вещественным числом и корень квадратный из него не может быть вещественным числом или хотя бы мнимым, допускающим сравнение с другими числами той же природы посредством знаков > или <, без чего понятие модуля утрачивает смысл. И уж совсем бесперспективно намерение определить угол между векторами выражением

потому что для произвольно взятых векторов (3) значение выражения (12)

будет нечувствительно к различиям в выборе векторов.

Однако ситуация окажется не столь безнадежной, если учесть основной вывод из геометрического смысла операции комплексного умножения векторов, рассмотренной в статье [2]. Там было показано, что главную роль в определении собственно евклидовых метрических свойств комплексной плоскости играет первая компонента комплексного произведения векторов, совпадающая с собственно

(11)

(12)

7[Й a}yj[b b} V [(z e) (z ej]J [(w e) (w e)}

zw [r e}

Iz \yjr} • I w ^[e e}

евклидовым скалярным произведением этих векторов. Вторая же компонента комплексного произведения векторов играет второстепенную роль, уточняя направление отсчета угла между векторными сомножителями. Так и в комплексном псевдоевклидовом произведении векторов первая компонента может играть роль скалярного псевдоевклидова произведения тех же векторов, ответственного за формирование псевдоевклидовых метрических свойств плоскости. Чтобы доказать справедливость этой догадки, потребуется детально рассмотреть взаимодействие отношений комплексной линейной зависимости между векторами плоскости с операцией комплексного псевдоевклидова умножения векторов.

Выяснению геометрического смысла комплексного произведения векторов в статье [2] помогло использование такого базисного вектора е, у которого комплексный квадрат ^ е | е ^ равен положительной единице. Для той операции возможности такого выбора были весьма широки, поскольку специальной аксиомой (четвертой) была гарантирована вещественность и положительность комплексного квадрата любого ненулевого вектора. Но в перечне (2) нет подобной аксиомы и потому нельзя даже утверждать без специального исследования, что на комплексной плоскости найдутся векторы, имеющие вещественное положительное значение комплексного псевдоевклидова квадрата. Выполним такое исследование.

В общем случае для произвольного вектора а, представленного в виде комплексной (не вещественной) линейной комбинации

а = хе = (х ;у)е, у Ф 0 (13)

произвольно взятого базисного вектора е КПК [а а} будет иметь комплексное

значение

[а а} = [((х;у)е)((х;у)е)} = (х ;у)(х ;у)[е е} =

= (х2 - у2 ; 2ху)[е е} = (у ; 5), (14)

не являющееся вещественным

5 Ф 0. (15)

КПК [ее} тоже не будет вещественным числом в общем случае. Комплексное значение [е е} можно найти из (14):

[г е} = (у ; §) = (у ;5)(х2 -у2;-2ху) =

ее (х2 - у2 ; 2ху) (х2 -у2 )2 + 4х2у2

= (у(х2 -у2)+5-2ху ; 5(х2 -у2) -т• 2ху) = ; ^) (16)

(х2 + у2)2 ° ; ".

Из (16) и (14) видно, что значение [ее} может быть вещественным (совпадающим со своим сопряженным значением [ее}*) только при выполнении условия

2 2

х - у _ у

2ху 5

Хотя это условие в общем случае не выполняется, оно, по-видимому, может быть выполнено при специальном выборе на роль базиса комплексной плоскости такого вектора (4), по отношению к которому для компонент штрихованной комплексной координаты вектора а = (х' ;у') в' в равенстве

[а а} = (о ; т) = (х' ; у')(х' ; у')[е' е'} = (х/2 -у/2 ; 2х'у')[?' е'} (17)

(независимость значения [а а} = (у ; 5) от выбора базиса доказана равенством (10)) выполнялось бы равенство

х 2 - у 2 у

=у=т. (18)

2х у 5

Тем самым будет обеспечена вещественность значения КПК вектора е'

[е’ е ’} = [?’ е '}*Ф 0. (19)

Из равенства (17) и условий (15), (19) мы вправе заключить, что

х у Ф 0. (20)

Понятно, что вещественное значение комплексного псевдоевклидова квадрата будут иметь все ненулевые векторы, параллельные вектору е ’. В дальнейшем мы будем рассматривать не отдельные векторы, а классы векторов, параллельных определенному двустороннему направлению на комплексной плоскости. Так, двустороннее направление, которому параллелен вектор (13), характеризуется коэффициентом

х/у = 1, (21)

а двустороннее направление, которому параллелен вектор (4), характеризуется коэффициентом

а/Р = ю. (22)

Поиск какого-нибудь вектора е' , удовлетворяющего условию (19) вещественности комплексного псевдоевклидова квадрата, сведется к нахождению значения коэффициента (22). Пока мы не уточняем, идет ли речь о положительном или

отрицательном значении КПК (19), но ниже такое различие обнаружится и будет

играть важную роль.

Исходными данными для нахождения коэффициента (22), обеспечивающего выполнение условия (19), являются значения коэффициентов (18) и (21), извлекаемые из (13) и (14). Связующим звеном послужит коэффициент

х/у = 1, (23)

определенный по отношению к штрихованному базисному вектору е ' из линейной комбинации (5). Выражение 1 через 1 и ю найдем из выражения (6):

( / . /) = (х; у) = (х; у)(а ; -Р) = (ха + ув ; уа- хР) (24)

(х ; у )/п\ П П ОО . (24)

(а; Р) а2 +р2 а2 + р2

В этих комплексных числах у Ф 0 согласно исходному условию (13), у Ф 0 и Р Ф 0 согласно (20) и (4), поскольку по смыслу рассматриваемой задачи вектор е не параллелен вектору е. Поэтому из (24) следует

1 = х_ = ха+ур = ур(1ю+1) = 1ю+ 1 у' уа-хР уР(ю-1) ю-1 ’

и мы приходим к выражению интересующего нас коэффициента ю через 1 и 1

1 +11

ю ■ и^. (25)

Неизвестный коэффициент 1 выражается через известный коэффициент т (18)

= 1 = х2 - у2 = у2 (г2-1) г2 -1

т 5 2 х у у'2 •2Х' 2Х' ,

что равносильно квадратному уравнению

12 - 2т1 - 1 = 0,

корни которого

1 = т+\/ т2 +1 > 0, 12 = т -V т2 +1 < 0 (26)

всегда вещественны и имеют различные знаки при любых значениях коэффициента д. Подставляя выражения (26) в (25), найдем

1 + X(д + -^т2 +1 ) (1 + X д) + Х^|т2 +1

ю1 =■ _

ц+sjm2 +і - х (ц - х)+^/ц2 +і

(і + хц) - х^ц2 +і

w2 _

(ц - х)

(27)

Легко убедиться, что

w1w2 _-pi -pp2 _-1, (28)

p1 p2

и это говорит о различии коэффициентов и Ю2 (а значит и различии характеризуемых ими направлений). Если первому направлению (с коэффициентом ю)

параллелен вектор в і = (а!; 0!) в, а второму - вектор в 2 = («2 ; Р2) в, то пред-

ставив соотношение (28) в виде

02 = _Р_

Р2 а1

обнаружим, что либо в 2 = (_Рі ; 0і) в, и тогда

г2 = (_Рі ; аі)є = (0 ; 1) (оі ; Рі)в = іві, (29)

либо в 2 = (Рі ; _аі)в, и тогда

в2 = (Рі ; _аі)в = (0 ; -і)(аі ; Рі)в = ігі* (29)

Для упрощения рассуждений будем считать представителем направления, характеризуемого коэффициентом юі, вместо вектора ?і = (аі ; Рі)в = Рі (юі ;і)в вектор

1 = (юі;і) в, (30)

а представителем направления, характеризуемого коэффициентом ю2 , будем считать вектор

i7 = (0 ; 1)(«і ;1)е = (-1; w1)е = w1 (w2 ;l)е =

=ґ: Й7=іТ (-рі; “■ >7 (30)

параллельный вектору (ю2 ;1) е и каждому из векторов (29), (29').

Будет ли комплексный псевдоевклидов квадрат вектора (3°) положительным или отрицательным вещественным числом, зависит от совпадения или различия знаков коэффициента и второй компоненты т комплексного значения КПК

{е е} (см. (16)). Действительно, так как КПК вектора (3°)

[77} = =(юі ;1)(юі;1){е е} = (юі2 -г; Юі)(°; т) =

= ((ю2 - і)о-2ю1т ; (ю2 -1)т + 2ю1о)

есть вещественное число и т Ф ° по смыслу рассматриваемой задачи, то

I 1 \ 2 2ю,о

(о»2 - 1)т+ 2ю1о = ° и значит ю1 -1 =---—.

Подставляя последнее равенство в выражение для { 77}, получим

2ю,

ггг 2WiO 2W ( 2 2\

{ll}=-----------------2w1- ;0 =--1 (о +- ). (31)

+ -

-

В случае различия знаков у чисел о>1 и т комплексный псевдоевклидов квадрат {77} будет положительным (а {/7 • і7 } = іі {77} = іі [77} = -{77} отрицательным),

а при совпадении знаков Ю1 и т КПК {7 7} будет отрицательным.

На двустороннем направлении, параллельном тому вектору (3°), у которого комплексный псевдоевклидов квадрат (31) имеет вещественное положительное значение, выберем вектор

(32)

нормированный к единице, ибо

{е.} - \ = 1. <32')

При желании можно выбрать на роль ео вектор, противоположный вектору (32), удовлетворяющий тому же условию (32') нормированности к единице. После того как выбор вектора ео (одного из двух взаимно противоположных) сделан, назовем этот вектор главным первым базисным вектором псевдоевклидовой комплексной плоскости. При рассмотрении комплексной плоскости как двумерного

1

l

вещественного пространства потребуется второй базисный вектор. На роль второго главного базисного вектора псевдоевклидовой плоскости выберем вектор

і 7о = (° ; 1) 7о = /о. (33)

Комплексный псевдоевклидов квадрат этого вектора равен

{/о /о } = {(і 7о ) (і 7о )} = і2 { 7о 7о } = -1. (34)

На комплексной плоскости с определенной на ней операцией комплексного псевдоевклидова умножения векторов применение к вектору (32) и любому параллельному ему вектору Ь = X 7о (X - вещественное число) привычной формулы

(11)

17о I = ЖёоТ = л/ї = 1, (35)

і ь 1=щ=л/{^ ео ^ 7о} = Vх2 {7о 7о} = 1 х 1 (35)

позволяет дать обычное определение модуля вектора. Но применяя такую же формулу к вектору (33) и любому параллельному ему вектору с = С /о (С - вещественное число), получим мнимое значение модуля вектора

1 /о1 = >/{ /о /о } = л/{і7о • іео} = Vі2 {ео ео } = і = (° ; 1), (36)

і7і = л/і77) = д/{С /о • с /о} = >/с2 {/о /о} = 2 (-1) = і I С I , (36')

что невозможно в пространстве с собственно евклидовыми метрическими свойствами. Потребность в использовании вещественных пространств с псевдоевклидо-выми метрическими свойствами для моделирования физических процессов заставила мириться с рассмотрением векторов, имеющих мнимое значение модуля (длины). Однако появление таких векторов в вещественном пространстве является, строго говоря, логически незаконным компромиссом, поскольку в вещественном пространстве по определению не имеет смысла операция умножения векторов на комплексные невещественные числа. Совсем иная ситуация в пространстве комплексном, где возможность умножения векторов на любые комплексные числа заложена в определении линейных операций над векторами, что непринужденно устраняет оттенок парадоксальности в применении мнимых чисел к выражению геометрических соотношений и характеристик. Поэтому представление о вещественной псевдоевклидовой плоскости, как форме проявления комплексной псевдоевклидовой плоскости, очень важно с точки зрения теории.

Но, как отмечалось выше, применение формулы (11) оказывается геометрически бессмысленным в тех случаях, когда комплексный псевдоевклидов квадрат вектора выражается комплексным невещественным числом. Для операции комплексного умножения векторов такая бессмысленность исключается принятием специальной аксиомы, обеспечивающей вещественное, притом неотрицательное значение комплексного квадрата любого вектора. И хотя именно эта аксиома отброшена в определении 1 операции комплексного псевдоевклидова умножения векторов (см. перечень аксиом (2)), возможность геометрической содержательности операции (1) не утрачена. В статье [2] показано, что метрические свойства, налагаемые на комплексную плоскость операцией комплексного умножения векторов, полностью идентичны метрическим свойствам, налагаемым на веществен-

ное двумерное пространство операцией скалярного умножения векторов, потому что скалярное произведение любых векторов плоскости совпадает с первой компонентой их комплексного произведения.

Аналогичным образом есть возможность интерпретировать первую компоненту комплексного псевдоевклидова произведения векторов как их скалярное псевдоевклидово произведение (С1111). Инвариантность (независимость от выбора базиса) первой компоненты вытекает из инвариантности комплексного псевдо-евклидова произведения векторов, выраженной в равенстве (10), и позволяет принять следующее определение операции.

Определение 2. Скалярным псевдоевклидовым умножением векторов комплексной плоскости называется операция, которая каждой паре векторов а, b этой плоскости ставит в соответствие вещественное число, равное первой компоненте комплексного псевдоевклидова произведения {а b} тех же векторов.

Чтобы подчеркнуть отличие определенной здесь операции от других операций умножения векторов, будем записывать перемножаемые векторы между наклонными параллельными черточками:

/ ab / (37)

- скалярное псевдоевклидово произведение векторов а и b.

Для главных базисных векторов (32) и (33), как и для параллельных одному из них векторов, скалярный псевдоевклидов квадрат СПК совпадает с комплексным псевдоевклидовым квадратом КПК, поскольку в таких случаях вторая компонента КПК равна нулю (см. (31)) и формулы (35) - (36') равносильны формулам

\е0\ = J77T7 = л/1 = 1, (38)

| b | = л/ТЬТУ = 4/ х е • х е0 / = ф2 / е е / = \ x \,

\/o\ = Ф fo fo / = Ф ie0 • ie0 / = Ф2/ eo eo / = i = (0 ; 1), (38')

\c\ = 47CT7 = ф z fo • z fo / = Vz2 / f, f, / = Vz2 (-1) = i \ z \.

Но для векторов всех других направлений, не параллельных одному из главных

базисных векторов, единственной возможностью определения модуля, выражаемого вещественным числом или мнимым, остается формула

\ а \ = ф а а /. (39)

Это, в свою очередь, открывает возможность для определения угла между векторами на комплексной плоскости с псевдоевклидовой метрикой формулой

— ЛГч /аь /

С08(а , b) = -—=-=== . (40)

ф а а /у]/ b b /

Коль скоро именно первая компонента комплексного псевдоевклидова произведения векторов играет решающую роль в формировании псевдоевклидовых метрических свойств, то обращение этой компоненты в ноль надо будет истолковать как аналитическое выражение особенного соотношения между направлениями векторных сомножителей, аналогичное отношению перпендикулярности (ор-

тогональности) в собственно евклидовом пространстве, хотя, как будет показано в дальнейшем, это соотношение имеет иной геометрический смысл, в ознаменование чего векторы а и Ь называют псевдоортогональными, если их скалярное псевдоевклидово произведение равно нулю

/ аЬ / = 0. (41)

Равенства

{г /} = {ео(Ч)} = 1 {ео го} = 1 = (0 ; 1), (42)

/ Г /о / = 0 (42 )

выражают псевдоортогональность векторов ео и / . Содержание равенств (32'), (34), (42') удобно сконцентрировать в матрице Грамма

( - / / - 7 /Л

............. 0 -01 I. (43)

'eo fo

v/fo eo / / fo fo> у

Матрица (43) напоминает условие ортонормированности базиса собственно евклидовой плоскости, выражаемое единичной матрицей. Но так как матрица (43) не является единичной, то характеризуемую ею систему векторов следует назвать псевдоортонормированной.

Благодаря тому, что на роль второго главного базисного вектора / = I е

выбрана простейшая комплексная линейная комбинация I ео первого главного базисного вектора, упорядоченная пара векторов ео, /о имеет правую ориентацию, ибо определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов

е =1 • е +0•/, /=0 • е + 1 •/,

о о */ о 5 л о о I/ о 5

взятых в том же порядке, имеет положительное значение

10

01

= 1. (44)

Это значит, что за положительное направление отсчета углов в комплексной плоскости с псевдоевклидовой метрикой должно приниматься направление кратчайшего поворота от первого базисного вектора ео ко второму базисному вектору /о.

Отметим преимущества правого псевдоортонормированного базиса е о, / ,

составленного из главных базисных векторов. Субъективный произвол в выборе этого базиса сведен до минимума, ибо на комплексной плоскости, на которой определена операция комплексного псевдоевклидова умножения векторов, есть только одно двустороннее направление, обладающее тем свойством, что параллельные ему векторы имеют вещественное положительное значение псевдоевкли-дова квадрата. Т олько этому направлению и может быть параллелен один из двух взаимно противоположных векторов, принимаемый за первый главный базисный вектор (32), удовлетворяющий условию (32') нормированности модуля (35) к вещественной единице. После выбора одного из этих векторов на роль первого

главного базисного вектора ео второй главный базисный вектор / определяется однозначно простейшей комплексной линейной комбинацией (33) /о = іе . Именно к первому главному базисному вектору ео могут быть «привязаны» (причем независимо от выбора на эту роль вектора ео или (- ео)) коэффициенты, однозначно характеризующие все возможные двусторонние направления на комплексной плоскости. Такие коэффициенты (определенные по отношению к ео)

будем называть главными коэффициентами направлений и помечать их нижним индексом 0 (дополнительным, если имеется другой индекс). Так, двустороннее направление, которому принадлежит сам первый главный базисный вектор

ео = (1 ; 0) ео и все параллельные ему векторы X ео = (X ; 0) ео, характеризуется

первым главным коэффициентом

І01 = 10= X/0 = ¥, (45)

а направление, параллельное второму главному базисному вектору /о = (0 ; 1) е

и включающее в себя все линейные комбинации (£ ; 0) /о = (0 ; £) е, характеризуется вторым главным коэффициентом

І02 = = 0/ с = 0. (46)

Для того чтобы на плоскость, рассматриваемую как двумерное вещественное линейное пространство, наложить определенные отношения комплексной линейной зависимости, достаточно определить (указать) выражение любого из двух непараллельных векторов друг через друга в виде комплексной линейной комбинации, как например в (13) а = (х ; у) е. Тогда, как показано в статье [3], можно пользоваться равенствами

(х ; у) ё = хе + у/, / = (0 ; 1) е,

и любой вектор Ь, заданный вещественной линейной комбинацией Ь = ие + у/,

представить в виде комплексной линейной комбинации вектора е (Ь = (и ; у) е ) либо вектора а

г 1 г и г \~ (и;у) -

е = ------а, Ь = (и ; у) е = ----а.

(х ; у) (х ; у)

Таким образом, задание соотношения (13) а = (х ; у) е между непараллельными векторами е и а равносильно определению комплексной линейной зависимости между любыми векторами плоскости, параллельной векторам е и а , т.е. равносильно превращению двумерного вещественного пространства в одномерное комплексное пространство. И так как в условиях тех же отношений комплексной линейной зависимости найдены главные базисные векторы ео и /о , то простейшая комплексная линейная зависимость /о= (0 ; 1) е о между ними в равной мере

достаточна для определения отношений комплексной линейной зависимости между любыми векторами той же плоскости.

Для того чтобы наложить на комплексную плоскость определенные метрические псевдоевклидовы свойства, достаточно задать значение комплексного псев-доевклидова квадрата (14) вектора (13). Действительно, в настоящей статье показано, как через исходные комплексные значения (х ; у) и (у ; 5) могут быть найде-

ны коэффициенты (27), определяющие два единственно возможных двусторонних направления, на которых комплексный квадрат вектора имеет вещественное значение. С помощью коэффициентов (27) могут быть найдены векторы главного псевдоортонормированного базиса ео, /о правой ориентации, а задание ком-

плексного псевдоевклидова квадрата (32') или (34) любого из них достаточно, чтобы определить значение комплексного псевдоевклидова произведения любых векторов комплексной плоскости. Удобней всего использовать для этой цели первый главный базисный вектор ео, имеющий КПК {ео ео } = 1. В самом деле,

для любых векторов а и Ь, заданных комплексными линейными комбинациями вектора ео

а = (хо ; у о) е0, Ь = («о ; О ео, (47)

легко найти следующие произведения

{а а} = (хо ; Уо)(хо; Уо){ео ео} = (хо2 -Уо2;2хоУо), (48)

/ а а / = Хо2 - Уо2, (48')

{Ь Ь} = (Ио ; Уо)(ыо ; Уо) {?о го} = («о2 - V2 ; 2«оУо), (49)

/ ЬЬ / = и2 - у2 , (49)

{а Ь} = (хо ; уо )(ио ; уо) {е0 е0 } = (хоио - уоуо ; хоуо + уоио), (50)

/ а Ь / = хоио - уоуо, (50' )

после чего длины векторов а , Ь и угол между ними определятся формулами (39),

(40). Таким образом, заданием равенств (13) и (14) однозначно определяются как отношения комплексной линейной зависимости между любыми векторами плоскости, так и метрические псевдоевклидовы свойства этой плоскости. Такую плоскость мы будем называть комплексной псевдоевклидовой плоскостью. На комплексной псевдоевклидовой плоскости метрические псевдоевклидовы характеристики векторов связаны с отношениями комплексной линейной зависимости между этими векторами, в отличие от вещественной псевдоевклидовой плоскости, на которой не определена комплексная линейная зависимость между непараллельными векторами.

Список литературы

1. Минковский, Г. Пространство и время / Г. Минковский // Принцип относительности : сб. работ по спец. теории относительности. - Атомиздат, 1973. - 383 с.

2. Сазанов, А.А. Коррекция определения операции скалярного умножения векторов комплексного евклидова пространства / А. А. Сазанов // Сборник трудов XIX международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». - Воронеж, 2006. - Т. 1, секция 1. - 150 с.

3. Сазанов, А. А. Геометрический смысл отношений комплексной линейной зависимости и независимости векторов / А.А. Сазанов // Сборник трудов XIX международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». - Воронеж, 2006. - Т. 1, секция 1. - 150 с.

Superposition of Pseudo-Euclidean Metric Properties upon the Complex Plane

A.A. Sazanov

Department of High and Applied Mathematics,

Lomonosov State Academy of Fine Chemical Technology, Moscow

Key words and phrases: complex plane; complex pseudo-Euclidean multiplication of vectors; main basis vectors; main directions on the complex pseudo-Euclidean plane; the space of Minkowski.

Abstract: Pseudo-Euclidean metrical properties may be superimposed on the complex plane by determining the commutative operation of complex pseudo-Euclidean multiplication of vectors. This operation does not ensure real positive value of the complex pseudo-Euclidean square of vector, but the first component of complex pseudo-Euclidean product of any vectors is identified with the scalar pseudo-Euclidean product of these vectors, that allows to apply the ordinary formulae as axiomatic definitions for length and angle. Thus we reveal that pseudo-Euclidean metrical properties of the plane are bound with the complex linear relations between its vectors.

Superposition der pseudoeuklidischen metrischen Eigenschaften auf den Komplexplan

Zusammenfassung: Nachdem die Operation der komplexen pseudoeuklidischen Multiplikation von Vectoren auf Komplexplan definiert ist, kann man die pseudoeuklidischen metrischen Eigenschaften auf Plan superpositieren. Diese Operation ist kommutativ und erfordert keinen reelen nichtnegativen Wert bei Produkt eines beliebigen Vectors auf sich selbst und die erste Komponente des komplexen pseudoeuklidischen Produkts der Vectoren wird mit dem sklaren pseudoeuklidischen Produkt dieser Vektoren mit Hilfe gewoehnlicher Formeln der axiomatischen Definition fuer die Laenge und den Winkel identifiziert. Dabei werden die Zusammenhaenge der pseudoeuklidischen metrischen Eigenschaften mit den Beziehungen der komplexen linearen Abhaengigkeit unter Vektorplaenen offenbart.

Superposition des proprietes pseudo-euclidiennes metriques sur un plan complexe

Resume: Apres avoir determine sur le plan complexe une operation de multiplication pseudo-euclidiennes, une operation abelienne et celle qui ne demande pas de realite positive du produit de n’importe quel vecteur sur lui-meme, on peut superposer les proprietes pseudo-euclidiennes metriques sur un plan complexe, en identifiant le premier composant du produit complexe pseudo-euclidien des vecteurs avec le produit scalaire pseudo-euclidien de ces vecteurs et en utilisant des formules habituelles de la determination axiomatique des longueurs et des angles a l’aide de la multiplication des vecteurs. Parallelement on peut distinguer les rapports pseudo-euclidiennes metriques avec la dependance lineaire complexe entre les vecteurs de ce plan.