CC BY
16
УДК 378.1: 519.23
СОДЕРЖАНИЕ ЛАТЕНТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ «УРОВЕНЬ УЧЕБНЫХ ДОСТИЖЕНИЙ ВЫПУСКНИКОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ»
Летова Линара, Омский ГТУ, Омск, Россия E-mail: LetovaLLV@mail.ru
Аннотация. Статья раскрывает содержание латентной величины «Уровень учебных достижений выпускников средней школы по математике» в различных плоскостях и аспектах и делает выводы о целостности и системности этого наполнения. Ключевые слова: латентная величина; уровень учебных достижений.
THE CONTENT OF THE LATENT VALUE OF THE "LEVEL OF ACADEMIC ACHIEVEMENT OF HIGH SCHOOL GRADUATES IN MATHEMATICS"
Letova Linara V., Omsk State Technical University, Omsk, Russia, Email:LetovaLLV@mail.ru
Abstract. Article reveals the latent value of the "level of academic achievement of high school graduates in mathematics" in various planes and dimensions and draws conclusions about the integrity of the content and system. Keywords: latent value; the level of academic achievement.
Характерная особенность социально-экономических систем (образование является социальной системой) состоит в том, что большинство величин в этих областях являются латентными, т.е. непосредственно не измеряемыми. Такие величины определяются набором индикаторов, которые можно непосредственно оценить или измерить. Таким образом, набор индикаторов представляет некий конкретный мысленно созданный образ латентного параметра, в котором отображаются реальные и/или предполагаемые свойства, структурные особенности. Качество модели задается уровнем отражения действительности, выраженном в структурном и содержательном наполнении. В содержании модели необходимо выделить ключевые и адекватные индикаторы, системно и полно отражающие содержание измеряемого признака. В нашем случае измеряемой латентной величиной (ИЛВ) является «Уровень учебных достижений (УУД) выпускников средней школы по математике», индикаторами -контрольные задания (КЗ) единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике. Рассмотрим содержание ИЛВ с помощью наполнения теста ЕГЭ, разработанного федеральным институтом педагогических измерений [1].
Рассмотрим структуру теста ЕГЭ по математике. Структура теста ЕГЭ по математике состоит из двух частей. Определяющим признаком каждой части является тип заданий (табл. 1).
Таблица 1
Структура теста ЕГЭ по математике: общее описание
Часть 1 Часть 2
Уровень сложности Базовый (Б) Повышенный (П) Высокий (В)
КЗ В1-В14 С1-С4 С5-С6
Тип КЗ С кратким ответом С развернутым ответом
Форма ответа В виде целого числа или Полная запись решения с обоснованием
конечной десятичной выполненных действий
дроби
Для лучшей дифференциации испытуемых тест содержит КЗ различной сложности и трудности. Часть 1 состоит из КЗ базового уровня сложности, часть 2 - из КЗ повышенного и высокого уровня сложности. Задания части 2 предназначены для проверки знаний и умений на том уровне требований, который традиционно предъявляется вузами с профильным экзаменом по математике [1]. КЗ высокого уровня сложности предназначены для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов.
Распределение КЗ по содержанию, проверяемым умениям и видам деятельности показано в таблице 2.
Таблица 2
Кодификационная матрица теста ЕГЭ по математике
уровень сложности Алгебра Уравнения и неравенства Функции Начала математического анализа Геометрия Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей ед
проверяемые умения Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни Б В В В12 В2 4 4 20
П 0
В 0
Уметь выполнять действия с геометрическими Б В3,В 6,В9, В11 4 6
фигурами, координатами и векторами П С2,С 4 2
В 0
Уметь решать уравнения и неравенства Б В5 1 4
П С1,С 3 2
В С5 1
Уметь выполнять вычисления и преобразования Б В7 1 1
П 0
В 0
Уметь выполнять действия с функциями Б В8,В1 4 2 2
П 0
В 0
Уметь строить и исследовать простейшие математические модели Б В13 В10 2 3
П 0
В С6 1
Ед 4 5 2 2 6 1
20
Из кодификационной матрицы видно, что тест состоит из 20 КЗ, охватывает 6 элементов по содержанию и 6 видов деятельности (умений). Экзаменационные задания разработаны на основе Федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования [1].
Структура теста по содержанию отражена в таблице 3.
Таблица 3
Структура теста ЕГЭ по математике: проверяемые элементы содержания
раздел подраздел элемент содержания
Целые числа
Степень с натуральным показателем
Дроби, проценты, рациональные числа
Числа, корни и степени Степень с целым показателем
Корень степени п > 1 и его свойства
Степень с рациональным показателем и ее свойства
а ю Свойства степени с действительным показателем
<С Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла
Радианная мера угла
Основы тригонометрии Синус, косинус, тангенс и котангенс числа
Основные тригонометрические тождества
Формулы приведения
Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов
Синус и косинус двойного угла
Логарифмы Логарифм числа
Логарифм произведения, частного, степени
Десятичный и натуральный логарифмы, число е
Преобразования выражений Преобразования выражений, включающих арифметические операции
Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень
Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени
Преобразования тригонометрических выражений
Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования
Модуль (абсолютная величина) числа
Уравнения и неравенства Уравнения Квадратные уравнения
Рациональные уравнения
Иррациональные уравнения
Тригонометрические уравнения
Показательные уравнения
Логарифмические уравнения
Равносильность уравнений, систем уравнений
Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными
Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных
Использование свойств и графиков функций при решении уравнений
Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем
Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений
Неравенства Квадратные неравенства
Рациональные неравенства
Показательные неравенства
Логарифмические неравенства
Системы линейных неравенств
Системы неравенств с одной переменной
Равносильность неравенств, систем неравенств
Использование свойств и графиков функций при решении неравенств
Метод интервалов
Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем
Функции Определение и график функции Функция, область определения функции
Множество значений функции
График функции. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях
Обратная функция. График обратной функции
Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат
Элементарное исследование функций Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания
Четность и нечетность функции
Периодичность функции
Ограниченность функции
Точки экстремума (локального максимума и минимума) функции
Наибольшее и наименьшее значения функции
Основные элементарные функции Линейная функция, ее график
Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, ее график
Квадратичная функция, ее график
Степенная функция с натуральным показателем, ее график
Тригонометрические функции, их графики
Показательная функция, ее график
Логарифмическая функция, ее график
Начала математического анализа Производная Понятие о производной функции, геометрический смысл производной
Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком
Уравнение касательной к графику функции
Производные суммы, разности, произведения, частного
Производные основных элементарных функций
Вторая производная и ее физический смысл
Исследование функций Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах
Первообразная и интеграл Первообразные элементарных функций
Примеры применения интеграла в физике и геометрии
Геометрия Планиметрия Треугольник
Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат
Трапеция
Окружность и круг
Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника
Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника
Правильные многоугольники. Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника
Прямые и плоскости в пространстве Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых
Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства
Параллельность плоскостей, признаки и свойства
Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трех перпендикулярах
Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства
Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур
Многогранники Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма
Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде
Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида
Сечения куба, призмы, пирамиды
Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр)
Тела и поверхности вращения Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка
Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка
Шар и сфера, их сечения
Измерение геометрических величин Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности
Угол между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями
Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми, расстояние между параллельными плоскостями
Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы
Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
Координаты и векторы Декартовы координаты на плоскости и в пространстве
Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы
Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число
Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам
Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей Элементы комбинаторики Поочередный и одновременный выбор
Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона
Элементы статистики Табличное и графическое представление данных
Числовые характеристики рядов данных
Элементы теории вероятностей Вероятности событий
Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач
Структура теста по проверяемым умениям отражена в таблице 4.
Таблица 4
Структура теста ЕГЭ по математике: проверяемые умения
Проверяемые умения
Уметь выполнять вычисления и преобразования Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма
Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования
Проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции
Уметь решать уравнения и неравенства Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы
Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод
Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы
Уметь выполнять действия с функциями Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение свойства функции, находить по графику функции наибольшее и наименьшее значения; строить графики изученных функций
Вычислять производные и первообразные элементарных функций
Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшее и наименьшее значения функции
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей)
Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы
Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами
Уметь строить и исследовать простейшие математические модели Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин
Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения
Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни Анализировать реальные числовые данные; осуществлять практические расчеты по формулам; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах
Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках
Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения
Контрольные задания теста являются измерительными единицами конструкта (теста). В совокупности КЗ теста представляют содержательную модель ИЛВ. Рассмотрим каждое КЗ теста и охарактеризуем его с точки зрения проверяемых знаний и умений (Приложение, табл. 5).
Рассмотрев в различных плоскостях структуры теста ЕГЭ по математике и наполнение КЗ, можно сделать следующие выводы:
1. тест целостно и системно отражает проверяемые элементы содержания и видов деятельности учащихся средней школы по математике,
2. опираясь на данные исследования качества теста ЕГЭ по математике с помощью модели Раша [2], можно утверждать, что
2.1. большинство КЗ обладают хорошей дифференцирующей способностью, т.е. различают испытуемых по УУД [2],
2.2. тест ЕГЭ представляет систему КЗ возрастающей трудности [2],
2.3. тест обладает хорошей дифференцирующей способностью: размах трудностей КЗ составляет 7 логитов (рис. 1), таким образом, в рамках этого широкого диапазона обеспечена высокая точность измерения, индекс сепарабельности равен 0,829 [2],
2.4. мера трудности теста соответствует УУД испытуемых, распределения симметричны (рис. 1),
2.5. представленный набор КЗ обеспечивает высокую точность измерения, индекс сепарабельности равен 0,829 [2].
Рис. 1 Распределение УУД (верхняя диаграмма) и трудностей КЗ (нижняя диаграмма)
на одной линейной шкале логитов Резюмирую вышесказанное, можно утверждать, что рассмотренное содержание теста является качественным с точки зрения структурного наполнения и количественного анализа.
Список литературы
1. Сайт Федерального института педагогических измерений. - URL: http://www.fipi.ru (дата обращения 20.09.2012).
2. Летова Л.В. Исследование качества теста единого государственного экзамена по математике с помощью модели Раша // Управление образованием: теория и практика. 2013. №1(9). - С. 89-99.
Приложение
Таблица 5
КЗ теста ЕГЭ по математике: проверяемые знания, умения, краткая характеристика
КЗ Проверяемые элементы содержания / знания Проверяемые умения Краткая характеристика
раздел подраздел элемент содержания раздел подраздел
В1 Алгебра Числа, корни и степени Целые числа Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни Анализировать реальные числовые данные; осуществлять практические расчеты по формулам; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах Простейшие текстовые задачи
Дроби, проценты, рациональные числа
В2 Функции Определение и график функции Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках Чтение графиков и диаграмм
Элементарное исследование функций
Основные элементарные функции
В3 Геометрия Планиметрия Треугольник Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей) Планиметрия: вычисление длин и площадей
Измерение геометрических величин Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности
В4 Алгебра Преобразования выражений Преобразования выражений, включающих арифметические операции Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, на Выбор оптимального варианта
наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения
В5 Уравнения и неравенства Уравнения Уметь решать уравнения и неравенства Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы Простейшие уравнения
В6 Геометрия Планиметрия Треугольник Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей) Планиметрия: задачи, связанные с углами
Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат
Трапеция
Окружность и круг
Измерение геометрических величин Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
В7 Алгебра Уметь выполнять вычисления и преобразования Вычисления и преобразования
В8 Начала математическо го анализа Производная Уметь выполнять действия с функциями Производная и первообразная
Исследование функций
В9 Геометрия Многогранники Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы Стереометрия
Измерение геометрических величин
В10 Элементы комбинаторики , статистики и теории Элементы теории вероятностей Уметь строить и исследовать простейшие математические модели Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин Начала теории вероятностей
Прямые и Уметь выполнять действия с Решать простейшие Задачи по
В11 Геометрия плоскости в пространстве геометрическими фигурами, координатами и векторами стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы стереометрии
Многогранники
Тела и поверхности вращения
Измерение геометрических величин
В12 Уравнения и неравенства Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения Задачи с прикладным содержанием
В13 Уравнения и неравенства Уметь строить и исследовать простейшие математические модели Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры Текстовые задачи
В14 Начала математическо го анализа Производная Уметь выполнять действия с функциями Вычислять производные и первообразные элементарных функций; Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее и наименьшее значение функций
Исследование функций
С1 Уравнения и неравенства Уметь решать уравнения и неравенства Тригонометрические уравнения
С2 Геометрия Прямые и плоскости в пространстве Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических Углы и расстояния в пространстве
Многогранники величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами
Тела и поверхности вращения
Измерение геометрических величин
Координаты и векторы
С3 Уравнения и неравенства Уметь решать уравнения и неравенства Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы Неравенства и системы неравенств
С4 Геометрия Планиметрия Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей) Многоконфигурацион ная планиметрическая задача
С5 Функции Элементарное исследование функций Уметь решать уравнения и неравенства Уравнения, неравенства, системы с параметром
Основные элементарные функции
С6 Алгебра Уметь строить и исследовать простейшие математические модели Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры; Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения Числа и их свойства
