Представление экспериментальных функций в определяющих соотношениях термовязкопластичности на основе анализа инвариантных свойств Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЯХ ТЕРМОВЯЗКОПЛАСТИЧНОСТИ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ИНВАРИАНТНЫХ СВОЙСТВ

Э.А. Леонова (Москва) Abstract

The constitutive relations for theoretical investigation of the problems of thermoviscoplasticity, creep, superplasticity are presented in the paper. The stress and strain rate tensors are assumed to be proportional each other. Scalar properties of the material are described by the functions, which were obtained from the analysis of invariance of differential equations. The method of calculation ofparameters and functions on the base of experimental data is recommended. It is demonstrated, that experimental data can be presented in the obtained form.

Термомеханические процессы для широкого класса реальных сред и внешних воздействий описываются системой уравнений, замкнутой тензорно линейными определяющими соотношениями с экспериментально определяемыми скалярными функциями, связывающими инварианты тензоров напряжений, скоростей деформаций и температуру [ 1 - 3 ].

В предлагаемой работе задача восстановления функций по данным опыта рассматривается с позиций выявления возможностей и направлений совершенствования базового эксперимента, упрощения и повышения точности решений математических задач за счет использования инвариантности физических законов Изучается возможность адекватного представления опытных данных функциями [ 4 ], связанными с инвариантными свойствами замкнутой системы уравнений. Предложенный на основе специфики этих функций способ обработки экспериментальных данных включает определение диапазона адекватного описания и алгоритмы вычислений свободных параметров без конкретизации аппроксимирующей функции. Ее конкретизация может быть использована в дальнейшем как для уточнения аппроксимации, так и для упрощения математических задач Разработаны два дополняющих друг друга варианта реализации способа, основанные на разных свойствах функций. Вариант 1 [ 5 ] на основе специфики геометрического образа дает области допустимой вариации свободных параметров, определяемые точностью исходных экспериментальных данных. Вариант 2, излагаемый ниже, включающий статистический анализ, дает значения параметров и оценки точности в соответствии с выбранным критерием адекватности.

Класс скалярных функций для определяющих соотношений

Неизотермические без массовых сил течения однородной изотропной несжимаемой среды с вязкими и пластическими свойствами описываются [ I - 3 J замкнутой системой уравнений

р у = - Ур + V ■ Б , t = V■(f(T)VT)+kajVj , У-у = 0.

5-ст;/\^У, V - ёе{\7 , = ф(vJ ,т), > 0 , Ф > 0 .

где 8 и V - девиаторы напряжений и скоростей деформаций, р - давление,

aj a„ v'

'J

' им

ІЗ /2

интенсивности напряжений и скоростей

деформаций Уравнение притока тепла преобразовано за счет выбора Т и в уравнение с приведенным коэффициентом теплопроводности ДТ) .

Класс {ф} функций Ф, , обеспечивающих расширение возможностей упрощений системы и ее квазистатического и бездиссипативного приближений [ 4 ], приведен в таблице I.

Таблица 1

Ф, f Фі

Ф0 = Ч’(Т)\у f = f (T)

Ф1 = TyT(vjT'"P) f - г' Фі - vl’^Tvf)

Ф2 = e^vje-^) f = eaT Ф2 " vj Ч'(т + mln vj)

Ф3 =TtT(vj -ріпт) f = Tlx Ф3 - env> T(Temv')

Ф4 = e^fvj - рт) c aT г - e Ф4 = envj t(t + mvj)

Ф5 =ylnT + 4'(vJT'p) f = Ta Ф5 = nlnvj +4/(Tvjm)

Ф6=уТ + ^е-рТ) f = eaT Фб = nlnvj + Ч^(т + mln vj

Ф7 - у InT + ^(vj -ріпТ) f = const Ф7 = nvj + 4/(Te'Wj)

Ф8=ут + ^(у;-рт) f = const Ф^ = nv j + 4*(t + inv j)

В таблице 1 функции Г и Ф эквивалентны функциям 1'' и Ф'

Г-^ЬТ + Ьо) , Ф'- а^1ф(а!У; + а0 ,ЬТ + Ьо)+а00 ,где Ь0 , Ь , ак -произвольные константы, к зависит от выбранного приближения системы и геометрии течения. Функция ЧЧг) - произвольная функция одного аргумента, а , Р , у (или а , т , п ) - экспериментально определяемые константы, независимые или линейно связанные в зависимости от приближения системы.

Геометрические свойства

В евклидовом пространстве Т , \'} , с репером е, , е, е^6у каждая

из функций Ф^ е{Ф} задает двухпараметрическое семейство поверхностей с

общими свойствами.

Утверждение 1. Каждая из поверхностей тт^ может быть непрерывным деформированием без искажения координатной сети на ней преобразована в любую другую поверхность 7Г; .

В качестве доказательства приводим (таблица 2) явный вид взаимно однозначных преобразований 9 = 9(Т) , = , переводящих все

поверхности п к в поверхность к,

к: 8=у9 + ср(\у- р»), 8 — nW + ф(9 + ГП\у) , (1 )

Таблица 2

ф, \у 9 5 ф(2)

Фи 1п Vj Т 1пО| 1пТ(2)

Фі 1пул 1пТ 1п<^ ІпЧ^ехр г)

Ф9 ІПУ; Т lnaJ ІпЧ^ехр г)

ф ^ V} 1пТ !пст; 1пТ(г)

ф4 V} т 1пс^ 1пЛР(г)

ф5 1п V) 1пТ а] ^(ехрг)

Фб 1пу: Т Ч^ехрг)

фу 1пТ Ч»(2)

ф8 Т Ч'(г)

Утверждение 2. Группой автоморфизмов множества исследуемых

поверхностей б — является группа аффинных преобразований пространства

9 , \У , 5 .

Поверхность я - цилиндрическая поверхность, образованная параллельным переносом произвольной кривой в направлении

Я = + Р 4- у ё^ , Я- ^ 0 ' Я = Ш + ^2 ^ 1 (2)

к - е2 ^ О ; шр = -1, пр - у .

Замечание. В пространстве Т , VJ , поверхность = ф(vJ ,т), за исключением частных случаев, как Ф8 , не есть цилиндрическая.

Зависимость (I) з=!>(\у, 9,р,у) - общее решение уравнения

8»+Р>№=у- (3)

Свойства тс к обусловили возможность анализа соответствия данным опыта одновременно всех функций е{Ф} и получения алгоритмов вычисления

параметров у, (3 ; Ш , П независимо от

Свойства опытных данных

Исходная информация об анализируемой реальной зависимости а] =ф(у],т) может быть задана в виде а) эмпирической функции, в) серии кривых а; = ,

Т = const или CTj =aj(T) , Vj “const , с) серии кривых с полосой разброса, d) множеством точек, е) множеством точек с допусками. Пусть, например,

jvj ,Т-*;сгУ| или jaj.T-'.vjj i = l,n ;j-l,m (4)

результаты измерений aj (или vj ) при независимо варьируемых v'[ , 'Г1 ;

vf 1 < vj < vj+1 , TJ_1 < T> < T,+1 (аналогично при а1) , Т1 ), прошедшие

предварительную статистическую обработку: исключение систематической ошибки, проверку на приемлемость по критерию оценки резко отличающихся значений, проверку однородности выборок, оценку точности индивидуальных показателей.

Опубликованные данные показывают, что для многих материалов ctj lj < о j1

ij-1 ij CTj >CTj

(0j+lj-‘jj)(vj-vj'1)^(ff] -Oj lj)(vJ+1 VJ) (5)

Изучение возможности адекватного представления данных опыта функциями

Фк е{ф} базируется на свойствах (1) - (3), (5). В [ 5 ] эта задача решается геометрически сведением к поиску' параметрического вектора (2). При решении задачи с применением статистических методов [ 6 ] будут также использоваться свойства (1) - (3), (5) и специфика данных инженерного эксперимента.

В статистической практике исследование зависимостей по результатам наблюдений сводится к поиску наилучшей, в смысле выбранного критерия, аппроксимирующей функции из заранее выбранного исследователем класса (линейные, полиномы, и т.п.) обычно за счет подбора по данным опыта значений параметров. При этом возникают вопросы: 1) влияние точности измерений, 2) степень

точности восстановления зависимости по данным ограниченного числа наблюдений, 3) математическая структура модели, 4) выбор критерия качества аппроксимации и в соответствии с ним наилучшая ее реализация, 5) алгоритм обработки данных, 6) оценки точности. Для проверки различных гипотез о структуре модели разработаны статистические критерии, основанные на поиске компромисса между сложностью модели и точностью, на поиске модели, наиболее устойчивой к варьированию состава выборочных данных; на сравнении критериев адекватности и исследовании статистических свойств оценок. Для определения же структуры модели теоретическая основа, дающая строгие стандартные методы, отсутствует.

Для выяснения возможности и точности описания данных (4) функциями Ф1 , выбирая для поиска наилучшей аппроксимации класс {Ф} (1), используя его

свойства (2), (3), (5), можно сохранить произвол в ф(х) .

По данным (4) и таблице 2 введем для каждой точки V, , Г ' величины

у^=(5Ч+1-5,-<)(9^1-Э^)"1 ; (6)

х’ЧхМ] . УЧб[уУ,У2

ХІ

для оценки на плоскости хоу анализируемой зависимости у - у - рх

Перенумеруем точки х1-’ = -(х[* +хг) , для определенности в

порядке возрастания хч , включая точки совпадения,- и рассмотрим совокупность |хк;Ук| , к = 1,М; N ■= пт где, возможно, ^ \ = 1,к - количество точек у^

при )-м фиксированном значении аргумента х-* (или в нм интервале группирования

- 0 ч

по X со средней точкой х; ).

Для оценки степени тесноты связи по выборочному значению коэффициента корреляции г , |г|<1 , значение которого |г■ (= 1 соответствует наличию

анализируемой функциональной связи, имеем

N ^ , N , N

1

Г =------------

^?,ХкУ1 у=^?,Ук- <7)

3-х = ^ Х(хк - х)2 , ^ Х(Ук - у)2 ■

к = 1 1 к=1

Отсутствие корреляционной связи в (6) можно проверить по критерию

!?|>-2 (I-?2) 1/2 <10,05(М-2) , (8)

где 1ооз(м-2) - 5% -я точка распределения Стьюдента с N-2 степенями

свободы. При выполнении (8) связь отсутствует.

Доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью Р= 1 -а находится истинное значение Г , вычисляется по доверительному интервалу [>. , величины М Ъ в виде

1 1 + Г л , ч—1/9 ^ \ — 1

Z = —ln-—~ = агсЛг; /12 = агсЙ1г + иа/2(м-з) ^ г(к - !) .

а.

где иа/2 - 100^% -я точка стандартного (0,1) нормального распределения

< г < й&2 ■

■у

Свойства зависимости (1) позволяют воспользоваться критерием Ш

N. . . ,

1 = ^=1

По заданному достаточно малому значению а находится 100а% -я точка V,* распределения р(к-2,М-к) При \¥2 < у2 представление (1) в

рассматриваемом диапазоне , 9 не противоречит экспериментальным данным,

2 2

при XV > у(Х представление (1) неприемлемо.

Значения параметров

Наилучшая аппроксимация в двухпараметрическом семействе э 3; Р, у)

найдется как решение оптимизационной задачи

5 = а^тшА^), (9)

где А N (з) - критерий адекватности, функционал, характеризующий качество

аппроксимации функцией 8 из класса {з} Свойства (1), (3) - (6) позволяют свести решение экстремальной задачи к определению по (6) наилучших значений параметров Р , У . Выбирая за критерий адекватности МНК-функционал, дающий, как известно, состоятельные, несмещенные, эффективные оценки, получим ДЛЯ Р , у систему двух линейных алгебраических уравнений.

Условие минимизации А^(р,у) —» тт :

11у

1 к

А^Рл) = “—-У>Г2(хкХУк у + Р^к)2, (10)

™ к-1

дает оценки Р , у параметров Р , у как решение системы

аК)(хЬ- ,хы)р + а11(хь...>хы)у + Ь1(х1,...,хы;у1,...,ум)=0, (11)

N NN

аю=2ЬГ2(хкМ+!. аП "= '2ьГ2(хк)хк. Ь, = Еьг2(хк)х1кук , 1 = 0,1, к-1 к=1 к=1

Р - (а«1ь1 “ Ь()а11)А 1 , у = {аюЬ0 - аооЬ^А ’, А - аооа11 “ аюао|

Условие А^(т, п)-> тт:

111, П

1 н

Аы(т-П)= КГ~Е1122(Ук)(хк -п-тук)2 (12)

приводит к оценкам

т-(апЬо-ао^^А'1 , п - (а10Ь0 - а(ЮЬ1)А_1, (13)

где а)0 , а^ , Ь( , А вычисляются по (11) при формальной замене х<->у ;

К [ (х) , Ь2(у) - функции, задающие зависимости условной дисперсии

результирующего показателя от аргумента.

При нормальной минимизации AN(p,y)-> min параметры р , у имеют вид

N

dl

-2

1к У к

Р--

2f

k=J

(14)

S0 = (Sx^Sy)/SxSy

где коэффициент корреляции и выборочные дисперсии Sx , Sv вычисляются 110 (7), если h, = const , в общем случае по формулам

N 'Г

VU1 к=1

— V h '2х, V, - хи;'йЛ , ^л1кхкУк х У

У

N

Eh

Vu2 к=1

~2x,v, -x<2M20

2k кУ к x У

1/2

X

, hlk2^h[2(xk) ,h2^h22(yk),

'(i,=i 2XV У(,)=тЬш2Ук.<1і=Ьгк2'і = і:

a' S. -1 1 k = l

N

k=J

с!»,| 5Х2(п-у“’)

1 к=1 1 к=1

Степень точности удовлетворения условий тр = -1 И пР - у определяется значениями р , у , т , п , вычисленными по (11), (13), (14), и степень близости к нулю острого угла 5 , отсчитываемого от у = у - рх , к х = п + ту , в

положительном направлении <5 > О

1ё5«(1-г)2йА/фх+8')

дадут дополнительную информацию о соответствии (1) и (4).

Оценки точности

Анализ точности восстановления истинных зависимостей аппроксимаций по выборочным данным состоит в определении предельных величин погрешностей, за которые с заданной доверительной вероятностью не выходит ошибка при замене истинного значения его статической оценкой. Их получение опирается на результаты статистического исследования выборочного распределения относительно истинных значений оцениваемых величин; для отношения отклонения выборочного значения от истинного к характеристикам дисперсии принимается распределение Стьюдеита. В применении к нашему случаю для оценки точности соответствия (1) и (4) существенны доверительные интервалы, в которых при заданных 14, Р с вероятностью, не меньшей, чем Р , будут находиться значения изучаемых характеристик и доверительная область для истинной зависимости

Доверительные интервалы для параметров [РьРг] , [*ЬУ2]:

Р],2 - р + 5р,и(р) > 912 - 9° + 5р,1^(у°) ; |р~р| - 8р ^(р) ;

о

V — У

ІііЬн2(х?-х)2

.і=1

-1/2

§р^(т0) - 11~Р (к ~2)5

1/2

к 1,

, Б

N -2

ЕЕьГі2(уіГ-у+Рх^

і = и=1

Доверительный интервал [У V ^ У 2 ] Для условного среднего

фиксированном значении аргумента

у'и ^у(х)+5р^(усР(х)) ; уср(х)-у(х)<бр>ы(уср(х)) і

11 / 2

при

(х~х)'

, у = у - Рх

Доверительный интервал [уьУз] Для индивидуальных значений при фиксированном значении аргумента

У 1,2 (х) ~ у(х) + 3р ^ (у(х)); | у(х) - у(х) | < 5Р ы (у(х)),

5р,к(у(х)) - 11_ р (N - 2)5

Ьг +

1/2

Ч

Доверительная область х1<х<х2 , Уі(х) < у < у2(х) для истинной

зависимости, в которой она находится с доверительной вероятностью Р , строится после вычисления величины X и определению по ней и заданной Р

затабу лированной величины и(РД) в виде [7]

о 1/2

У1;2(х) = у(х) + ии„2(РД)

лД7

К =

/2

1 - 1 + -

(х, -х)(х2-хГ)Г (X, х)

2л-!/2

1 +

1 +

(Х2 -х):

, л -1/2

1/2

Примеры расчета

Изложенным способом проведена обработка экспериментальных данных [ 8 ] для ряда металлов и сплавов в температурно-скоростном диапазоне горячей обработки

давлением Примеры результатов расчета по данным |у^ ,Т^а^| , N-20 для

Т1:900,1000,1100,1200°С ; у^ 10-1 102 1 / с приведены в таблице 3, Расчеты

показывают, что для вероятности ошибки 1 — Р = 0,01 и степени свободы N-2-18

(табличные значения г* =0,561 , I* — 1,734 ) сдвиговое сопротивление стали 4X13 в данном температурно-скоростном диапазоне может быть представлено любой из

функций Ф; , I = 1,4 , а стали 12ХНЗА - не любой. Сдвиговое сопротивление сплава ХН75МБТЮ может быть представлено любой из функций \ ~ 1,4

Таблица 3

Марка Параметры и Значение параметров и критериев

сплава критерии Фі ф2 Ф ^ Ф4

Сталь 4X13 є - 20% Р У ? ? 37,92 -0,15 0,88 -10,1 7,56 0,22 0,63 -3,51 0,02 0,00 0,81 -7,69 14,02 -0,61 0,73 -5,78

Сталь 12ХНЗА є = 40% Р У г 1 2,34 -6,88 0,14 -0,68 0,00 0,14 0,13 -0,66 0,00 0,14 0,07 -0,35 0,23 -0,56 0,06 -0,33

Сплав ХН75МБТ . Ю є - 40% Р У г ? 38,13 -0,64 0,92 -12,53 7,98 0,25 0,63 -4,43 0,02 0,00 0,86 -9,10 23,96 -0,51 0,76 -6,41

Библиографический список

1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды,- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. - 300 с.

2 Ильюшин А А. Пластичность. - М.: Изд-во АН СССР, 1963 - 271 с

3 Ильюшин А.А. Некоторые вопросы теории пластического течения. // Изв. АН СССР, ОТН - 1958. № 2. - С 64 -86.

4 Леонова Э.А. Инвариантные свойства уравнений термовязкопластичности с неполной информацией о свойствах среды // Упругость и неупругость. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993. С. 55 - 87,

5. Леонова Э.А., Кадимов М.Д. Об аналитическом представлении свойств материала для задач термовязкопластичности. // Упругость и неупругость. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. - С. 171-178.

6 Айвазян С А , Енюков И С., Мешалкин Л.Д Прикладная статистика. - М.: Финансы и статистика. 1985. - 487 с.

7 Большее Л.Н., Смирнов Н В. Таблицы математической статистики - М.: Наука, 1983 .-416 с.

8, Третъяков А.В., Зюзин В.И, Механические свойства металлов и сплавов при обработке давлением. - М.: Металлургия, 1973. - 224 с.