CC BY
56
© 2006 г. В.А. Перепелица, И.В. Кошелев, Ф.Б. Тебуева
ПРЕДПРОГНОЗНЫЙ АНАЛИЗ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВРЕМЕННОГО РЯДА НА БАЗЕ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
Объектом настоящего исследования является региональная экономика строительства. Предмет исследования - временные ряды (ВР) индекса цен на стройматериалы. Цель - выявление предпрогнозных характеристик этих ВР с помощью методов нелинейной динамики для обеспечения надежности дальнейшего их прогнозирования на базе инструментария клеточного автомата [1, 2].
В качестве иллюстративного материала для оценки эффективности использования методов в настоящей работе рассматривается временной ряд помесячных значений индекса цен в строительстве Карачаево-Черкесской Республики (КЧР) за период с февраля 1999 по декабрь 2003 г. Этот ряд
обозначаем через У = <у,>, / = 1,п, п = 12x5 = 60, его графическое изображение дано на рис.1.
300 250 200 150 100 50
Рис. 1. Представление ВР Y индекса цен в строительстве
Оценим вначале возможность применения классических методов прогнозирования [3] ВР У. С этой целью представляем гистограмму эмпирической функции распределения ВР У (рис. 2). Очевиден тот факт, что значение уровней у, рассматриваемого ВР У не подчиняется нормальному закону.
В подтверждение этого наряду с визуализацией гистограммы на рис. 2 приведем вычисленные значения коэффициентов асимметрии А = -0,51 и эксцесса Е = 1,85, которые существенно отличаются от значений этих статистических показателей, присущих нормальному закону (Анорм = 0, Енорм = 3). Таким образом, полученные статистические оценки свидетельствуют не в пользу классических методов прогнозирования экономических ВР, базирующихся на инструментарии эконометрики, который в существенной мере ориентирован на нормальное распределение.
0
ф Ф Ф ООО
о о о о о о
о о о
m >S l
01310110013101000131010001000102010001020131010001000100013140040102010201
6 4 2
1 1
122,7 147,7 172,7 197,7 222,7 247,7 272,7 297,7
Рис. 2. Эмпирическая функция распределения ВР индекса цен в строительстве
С целью выбора адекватной прогнозной модели осуществим предпро-гнозный анализ рассматриваемого ВР с помощью методов нелинейной динамики, в частности, фрактального [4, 5] и фазового анализа [4, 6]. В отличие от предлагаемого Э. Петерсом [7] для реализации фрактального анализа используем алгоритм последовательного Л/Б-анализа, вычислительная схема которого представлена в [8]. На выходе этого алгоритма для рассматриваемого ВР 1 получаем Я-траекторию и Л/Б-траекторию (рис. 3). В них первые 2 точки отсутствуют, так как согласно вычислительной схеме алгоритм Л/Б-анализа не вычисляет координаты этих точек. Графики этих траекторий начинаются с точек номер 3. Определенное количество начальных точек Л/Б-траектории образуют линейный тренд, который на рис. 3 представлен первыми 7 точками. При переходе к восьмой точке Л/Б-траектория меняет тренд (на рис. 3 одно звено нового тренда становится практически горизонтальным). При этом в точке 7 Я-траектория получает отрицательное приращение. Именно такая пара событий (смена тренда в Л/Б-траектории и первое по порядку отрицательное или нулевое приращение в Я-траектории) определяет собой точку, номер которой представляет собой верхнюю оценку потери памяти [4] о начале этого ВР. Для рассматриваемого ВР 1 согласно рис.3 можем утверждать, что глубина памяти [4] о начале этого ВР не превосходит число I = 7 (равна числу I = 7).
Примечание 1. Сформулированное выше определение глубины памяти о начале ряда является нечетким [9] в том смысле, что смена тренда К/Б-траектории проявляется в виде малого отклонения от линии тренда, при этом последующие точки Л/Б-траектории практически возвращаются на первоначальную линию тренда, а последующие точки Я-траектории стабильно находятся в области черного шума [4], так как для каждого из них значение показателя Херста Я > 0,8 [4]. Именно этот факт демонстрирует Л/Б-траектория на рис. 3. В этом случае можно говорить, что глубина памяти рассматриваемого ВР представляет собой величину такого же порядка, как и его длина.
Рис. 3. R/S- и Н-траектории ВР Y индекса цен в строительстве
Если для рассматриваемого ВР выполняются условия примечания 1, то можно ожидать, что в нем отсутствует циклическая (квазициклическая) компонента [3, 7]. Эти ожидания можно проверить, построив фазовый портрет [4, 6] размерности р= 2 Ф2 (Y) = , yi+1)}, i = 1, n -1 для рассматриваемого ВР Y. Действительно, представленный на рис. 4 фазовый портрет для ВР Y демонстрирует отсутствие циклов или квазициклов.
Рис. 4. Фазовый портрет ВР помесячных значений индекса цен в строительстве
Примечание 2. Факт наличия в рассматриваемом ВР долговременной памяти большой глубины, например, глубины того же порядка, что и длина ВР, а также отсутствие в нем циклов или квазициклов свидетельствует о том, что прогнозирование этого ВР с помощью клеточного автомата [2] становится проблематичным.
С целью выявления информативных для прогнозирования характеристик относительно динамики ВР авторами предлагается строить прогнозную модель на базе ВР приращений (рис. 5) значений индексов цен у, яв-
ляющихся элементами исходного ВР У. Для этого нового ВР используем
обозначение и = (и^ , г = 1,2,..., п-1, где иг = у1+1 - уг - приращение /-го
элемента ВР У. Как отмечено в [5] , в реальности достаточно частым является случай, когда тот или иной ВР приращений демонстрирует хаотический характер поведения. При этом Н-траектория этого ВР находится в областях либо белого шума (Н ~ 0,5), либо розового (0,1 < Н < 0,5), в силу чего для такого ВР не представляется возможным использовать какую-либо известную прогнозную модель [2, 10]. Представленный на рис. 6 результат К/8-анализа ВР и демонстрирует глубину памяти (о начале ряда), равную I = 6 при значении показателя Херста Н > 0,86, что послужило первичным основанием ожидать эффективного прогнозирования ВР и на базе клеточ-но-автоматной прогнозной модели [2].
10,00 5,00 0,00 -5,00 -10,00
19
Я,
^ ES
llnllnll
яг
15,00
Рис. 5. Графическое представление ВР и приращений индекса цен в строительстве
Рис. 6. R/S и H-траектории ВР U приращений индекса цен в строительстве
Фрактальный анализ ВР U выявил, что глубина памяти отдельных его отрезков колеблется в пределах от l = 4 до l = 10 и адекватно представляется нечетким множеством (НМ) L(U) = {(l,|(l))}, l = 4,5,...,10, где |(l) -
функция принадлежности элемента I этому множеству [9]. Графическое представление НМ глубины памяти ВР и дано на рис.7.
0,90
0,32
0,64
Т05Г
0,38
0,32
0,13
10
Рис. 7. Представление НМ глубины памяти Ь(и ) = {( /,||(/))} , I = 4,5,...,10
для ВР приращений и
Рассмотренный выше ВР и обладает долговременной памятью при значении показателя Херста Н, близком к единице. Последнее означает, что его квазициклам [8] присуще свойство трендоустойчивости в пределах глубины памяти (срыв с тренда происходит в окрестности исчерпания квазицикла). Например, точки 3,4,...,8 на рис. 6 взаимооднозначно соответствуют точкам первого квазицикла этого ВР. Отчетливо линейный тренд первых 8 точек И/8-траектории означает устойчиво циклический характер траектории соответствующих 8 точек на указанном квазицикле. Н-траектория ВР приращений и находится в области черного шума, точнее в полосе 0,6 < Н < 0,85 . Вывод, полученный в результате реализации алгоритма Л/^-анализа, на предмет наличия в исследуемом ВР и долговременной памяти служит основанием для применения инструментария клеточного автомата.
Для отражения долговременной памяти, присущей рассматриваемому ВР, предлагается сначала перевести все его уровни в положительную область путем добавления к ним одной и той же константы (с = 10) (результат преобразования см. на рис. 8). Далее используем интервальные значения прогнозируемых показателей, для чего весь спектр наблюдаемых на рис. 8 уровней разделяем на 3 альтернативы: низкий, средний, высокий уровни. Если каждому числовому значению элементов рассматриваемого ВР поставить в соответствие одну из этих альтернатив, то получим интервальный ВР или, в другой терминологии, лингвистический временной ряд (ЛВР).
Преобразование ВР в ЛВР означает замену числовых элементов ии
I = 1,п лингвистическими переменными, называемыми термами [9]. Совокупность этих термов принято называть терм-множеством [2,9], которое в настоящей работе обозначаем и = {м }. При этом принимаем, что множество и состоит из трех элементов: м = Н - низкий уровень объёмов инве-
стиций, и = C - средний, и = B - высокий. Заменяя элементы ui ВР приращений соответствующими термами из U, получаем ЛВР
л /л\
U = ( uj , i = 1,2,..., n -1.
Для перевода исходного ВР в лингвистический предлагается использовать метод трендовых коридоров. Для организации работы указанного алгоритма трендовых коридоров используется положительный ВР на рис. 8.
Рис. 8. Положительный ВР и приращения индекса цен
Суть предлагаемого алгоритма трендовых коридоров в том, что сначала весь период наблюдений / = 1,2,..., п разбивается на отрезки, каждый из которых соответствует определенному году и состоит из 12 наблюдений. Далее, для каждого отрезка, используя метод наименьших квадратов [11], строим линейный тренд. Затем, путем параллельного переноса вверх до последнего касания с одним из столбцов строится верхняя огибающая (ВО); таким же путем вниз до касания с последним из столбцов строится нижняя огибающая (НО). Трендовый коридор, образованный ВО и НО, разбивается на 3 равновеликих полосы. Столбцам, верхушки которых оказались в верхней полосе, ставим в соответствие терм В и окрашиваем их в серый цвет; столбцам, верхушки которых оказались в средней полосе, ставим в соответствие терм С и окрашиваем их в белый цвет; остальным столбцам ставим в соответствие терм Н и окрашиваем их в черный цвет. На завершающем этапе работы алгоритма в исходном ВР каждый числовой элемент и/ заменяется на приписанный его столбцу терм и е и . Полученный для конкретного ВР объёмов инвестиций в основной капитал ЛВР представлен на рис.9.
Рис. 9. ЛВР помесячного индекса цен в строительстве по КЧР, февраль 1999 - декабрь 2003 гг.
Валидацию [12] рассматриваемого конкретного ЛВР осуществляем пул _
тем прогнозирования 6 уровней ип-г, г = 1,6 , принадлежащих календарному отрезку последнего полугодия. Для прогнозирования термов ип-г используем клеточно- автоматную прогнозную модель [2].
Прогноз терма un
r = 1,6 представляется в виде нечеткого терм-
множества (НТМ) ип - г = {(( ;Лн )>(С;Н-с )((;л в)}, где значения функции принадлежности ¡л удовлетворяют равенству л н + л с + Л в = 1. В результате применения к полученному ЛВР клеточно-автоматного прогнозирования получен следующий лингвистический (интервальный) прогноз на первый из
л
валидируемых месяцев (июль 2003г.): ип-б ={((;0,09), ((0,27), ((;0,65)}. Из этого НМ можно сделать вывод, что наиболее вероятным является появление высоких значений приращений ВР индекса цен в строительстве и наименее вероятным - средних. Полученный результат соответствует фактическому значению в исходных данных (рис. 9). Результаты прогнозирования приведены в таблице.
Частотный анализ оставшихся 5 месяцев дал следующие прогнозные значения: Н, В, Н, В, С. В итоге из 6 прогнозируемых месяцев был получен точный прогноз для 5 из них. Для перевода лингвистических значений в числовые необходимо применить процедуру дефазификации [13]. В результате валидации числового прогноза относительная погрешность или ошибка прогнозирования не превысила 10 %.
л
При переходе от НМ и п- г к четкому числовому значению возникает необходимость в дополнительной информации, которая способствовала бы получению более надежного прогноза. Она может быть получена из фазо-
вого портрета [4,6] Ф(и) = {(ui,ui+1)}, i = 1,2,...,n - 2 (рис. 10), точнее, из разложения ф(и) на квазициклы Kr, r = 1,10 (рис. 11).
Прогнозируемый месяц l- конфигурация для базы прогноза Переходы 1- конфигурации в состояния Н,С,В Ненормированные значения функции принадлежности Мн , Мс , МВ Сумма ненормированных значений функций принадлежности Прогнозное значение функции принадлежности Прогнозное нечеткое терм-множество Un-r ={н-мн МалйМ
Июль 2003 СНН Н 5/19+0+0=0,26 0,09
С 6/19+2/4+0=,82 3 0,27 и={(Н;0,09),(С;0,27), (В;0,65)}
В 8/19+2/4+1=1,92 0,65
Август 2003 ВСННВ Н 7/18+3/8+1/2+1/2 +1=2,77 0,55
С 8/18+4/8+0+0+0= 0,99 5 0,19 и={(Н;0,55),(С;0,19), (В;0,26)}
В 3/18+1/8+1/2+1/2 +0=1,3 0,26
Сентябрь 2003 ННВН Н 5/20+2/7+1/3+0=0 ,87 0,22
С 6/20+1/7+0+0=0,4 4 4 0,1 и={(Н;0,22),(С;0,10), (В;0,67)}
В 9/20+4/7+2/3+1=2 ,74 0,67
Октябрь 2002 НВНВ Н 8/19+4/9+2/3+1=2 ,53 0,63
С 8/19+4/9+1/3+0=1 ,2 4 0,3 и={(Н;0,63), (С;0,3), (В;0,07}
В 3/19+1/9+0+0=0,2 7 0,07
Ноябрь 2003 ВНВН Н 5/21+2/8+1/4+0=0 ,76 0,19
С 6/21+1/8+0+0=0,4 0 4 0,09 и={(Н;0,19),(С;0,09), (В;0,72)}
В 10/21+5/8+3/4+1= 2,86 0,72
Декабрь 2003 ВНН Н 6/22+0+0=0,27 0,09
С 6/22+2/5+0=1,67 3 0,56 и={(Н;0,09),(С;0,56), (В;0,35)}
В 10/22+3/5+2/2=1, 06 0,35
Рис. 10. Фазовый портрет ВР и приращений значений индекса цен в строительстве
Фактически всякое звено (за редким исключением) у каждого из квазициклов демонстрирует направление вращения по часовой стрелке вокруг центра его габаритного прямоугольника (пунктирное изображение для первого квазицикла К! на рис. 11). Именно этот факт представляет дополнительную информацию для уточнения лингвистического прогноза в случае, когда в разложении фазового портрета на квазициклы последний из них является незавершенным.
Таким образом, основные результаты настоящего исследования состоят в следующем. Во-первых, если рассматриваемый ВР обладает отчетливо выраженным свойством трендоустойчивости и при этом глубина его памяти сравнима с длиной самого ВР, то может оказаться проблематичным использование клеточного автомата для его прогнозирования. Во-вторых, для ВР приращений уровней вышеуказанного трендоустойчивого ВР с большой глубиной памяти может оказаться эффективным и надежным инструментарием прогнозирования именно клеточный автомат. В-третьих, надежность прогнозирования с помощью клеточного автомата можно повысить путем использования в качестве дополнительного инструментария построение фазового портрета ВР и разложение его на квазициклы.
Литература
1. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск, 2001.
2. Перепелица В.А., Касаева М.Д., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Использование инструментария клеточных автоматов для формирования прогнозных нечетких значений урожайности на базе временного ряда // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. № 4. С. 5-11.
3. Сигел Э.Ф. Практическая бизнес-статистика. М., 2002.
4. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М., 2000.
5. Перепелица В.А., Попова Е.В. Математические модели и методы оценки рисков экономических, социальных и аграрных процессов. Ростов н/Д, 2002.
6. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Узденов РХ., Такушинов А.Р. Различие фрактальных свойств временных рядов с наличием и отсутствием долговременной памяти // Новые технологии в управлении, бизнесе и праве: Тр. III междунар. конф. Невинномысск, 2003. С. 184-188.
7. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. М., 2004.
8. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Узденов РХ. Квазициклы временных рядов жилищного строительства. Новые технологии в управлении, бизнесе и праве: Тр. III междун. конф. Невинномысск, 2003. С. 159-163.
9. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень, 2000.
10. Винтизенко И.Г. Детерминированное прогнозирование в экономических системах // Новые технологии в управлении, бизнесе и праве: Тр. III междунар. конф. Невинномысск, 2003. С. 30-37.
11. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ на компьютере. М., 1998.
12. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. М., 1987.
13. ЯрушкинаН.Г. Основы теории нечетких и гибридных систем: Учеб. пособие. М., 2004.
Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия 11 ноября 2005 г.
