Исследование R/S-траектории одного временного ряда страхования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Исследование Я/8-траектории одного временного ряда страхования

Перепелица В.А., Тамбиева Д.А.(1аш{аппе1@ша11.ги)(1), Комиссарова К.А. Карачаево-Черкесская Государственная Технологическая Академия

В работе [1] Э. Петерс обосновывает причины неадекватности господствовавшей многие десятилетия в теории финансов линейной парадигмы. Он рассматривает в качестве альтернативы новейшие математические инструменты - фрактальную геометрию [2], теорию хаоса [3], нечеткую логику [4], нейронные сети [5] и другие, входящие составными частями в новую, нелинейную парадигму и составляющие инструментарий разработчиков интеллектуальных систем [6].

Понятие «эффект памяти» вводится Э. Петерсом как составляющая нелинейной парадигмы. Обосновывая как одну из проблем эконометрического (линейного) взгляда на мир, игнорирование времени или, в лучшем случае, представление его как переменной наравне с другими переменными модели, Э. Петерс предлагает анализировать финансовые ряды с учетом времени или, точнее, «предыстории» прогнозируемого события. «Предыстория» позволяет выявить наличие факта детерминированности исследуемого процесса. Сама процедура выявления «предыстории» («эффекта памяти» или просто «памяти»), осуществляется на базе введенного Х. Херстом [7] в исследовательский инструментарий метода нормированного размаха (Я/Б-анализа).

При моделировании и прогнозировании эволюционирующих процессов и систем статистические данные представляются временными рядами (ВР) числовых значений основного показателя (ВР курса доллара [8], ВР урожайности с/х культур [9], ВР объемов жилищного строительства [10], ВР заболеваний гриппом и ОРЗ [8] и т.д.). В контексте моделирования этих процессов наиболее актуальной задачей является проблема прогнозирования дальнейшего поведения рассматриваемых ВР. А именно, принципиально важным является положительный ответ на вопрос: обладают ли рассматриваемые ВР долговременной памятью [1]. Например, общепризнанным является тот факт, что такой памятью обладают природные ВР [1, 11]. Наличие или отсутствие долговременной памяти в рассматриваемом ВР может быть установлено с помощью алгоритма Я/Б-анализа [1, 10].

В данной работе авторами рассматривается временной ряд движения денежных средств на расчетном счете одного из регионального отделения фонда социального страхования РФ, которое в дальнейшем, для краткости, будем называть РО ФСС РФ, а сам ряд назовем социальным ВР (СВР) и обозначим через Ъ .

250000 200000 150000 100000 50000 0

т-ЮОСОГ^т-ЮОСОГ^т-ЮСЛСОГ^т-ЮСЛ --ГЧ^ГЮГ^ООО) — ГЧ^ГЮСОООО) — гчсо т-т-т-т-т-т-т-ГЧГЧГЧ

Рис.1. Гистограмма СВР

2: , / = 1,2,...,п,

(1)

где 21 - г -ое по порядку наблюдение, т.е. сумма, поступившая на расчетный счет РО ФСС РФ в г- й период, рассматриваемого календарного отрезка времени. На рис. 1 представлена гистограмма исследуемого СВР.

Построенная эмпирическая функция распределения исследуемого СВР (Рис. 2а, 2б) относится к семейству распределений с «тяжелыми хвостами» [8].

Рис.2а. Рис.2б.

Эмпирическая функция распределения СВР В работах [8, 11] обосновываются причины малой информативности статистических показателей как следствие наличия фрактальных свойств во временном поведении рядов, эмпирическая функция распределения которых не соотносится с нормальным распределением. Таким образом, с целью выявления оценок динамики рассматриваемого СВР, отражаемых такими характеристиками, как наличие или отсутствие трендоустойчивости, отсутствие или наличие долговременной памяти, а вместе с ней и наличие квазициклов и др. Авторами проведены R/S-анализ [1, 8, 11] и разложение фазового портрета СВР на квазициклы.

Алгоритм R/S - анализа временных рядов

Приведем описание реализованного авторами в программной среде C++ алгоритма R/S - анализа временных рядов. В представленном СВР Z (1) последовательно выделяем его начальные отрезки ZT = zb z2,... zT, т = 3,4....,n , для каждого из которых вычисляем

_ 1 Т текущее среднее zT =— V zt

Т г=1

Далее для каждого фиксированного ZT, т = 3,4....,n вычисляем накопленное отклонение

t _

для его отрезков длины t: XTt = ^(zt — zT), t = 1,t. После чего вычисляем разность

г=1

между максимальным и минимальным накопленными отклонениями R = R(t) = max(X t) — min(X t), которую принято называть термином "размах R".

1<t<T ' 1<t <Т '

Этот размах нормируется, т.е. представляется в виде дроби R/S , где S = S(t) -стандартное отклонение для отрезка ВР Z Т, 3<т<п.

Показатель Херста Н=Н(т ), характеризующий фрактальную размерность рассматриваемого ВР и соответствующий ему цвет шума, получаем из соотношения R/S=(a *t)h , Н = Н(т). Логарифмируя обе части этого равенства и полагая согласно [1, 2] значение а = 1/2, получаем последовательность декартовых координат (x т,

. Н ш . log(R(T)/ S(т))

у J точек Н- траектории ординаты которых у т= Н(т) =- и

log(T/2)

абсциссы x =т, т =3,4,..n.

Требуемая для фрактального анализа ряда (1) R/S- траектория представляется в логарифмических координатах последовательностью точек, абсциссы которых х T=log(t /2), а ординаты у т= log(R(r )/S(t )). Соединяя отрезком соседние точки (x т,

у т) и (x т + 1, у T + i), т =3,4,...n-1, получаем графическое представление R/S-траектории (Н - траектории) в логарифмических координатах (в обычных декартовых координатах).

Одной из основных фрактальных характеристик ВР является цвет шума [1,12] , который соответствует этому ряду на том или другом временном отрезке. Значения Н > 3/5 определяют собой черный цвет шума. Чем больше значение Н е [3/5,1], тем большая трендоустойчивость присуща соответствующему отрезку ВР. Значения Н в окрестности 0,4<H<0,6 определяют собой нечетко в смысле [13] область белого шума, который соответствует "хаотичному поведению ВР" и, следовательно, наименьшей надежности прогноза. Значения Н в окрестности ~0,3 ±0.1 определяют собой пребывание соответствующего отрезка ВР в области розового шума. Розовый шум говорит о присущем рассматриваемому отрезку ВР свойстве антиперсистентности [1], которое означает, что ВР реверсирует чаще, чем ряд случайный (частый возврат к среднему).

1

0,6 0,5 0,4

0,1 0

Черный шум

"~Б~елы й шум

Розовый шум

Рис.3. Графическое представление цветов шума

Рассматриваемому в настоящей работе ряду, за редким исключением, присущи черный и белый шумы, а также, нестрого говоря, "серый шум", соответствующий области нечеткого разграничения между областями черного и белого шумов.

Относительно наличия долговременной памяти в рассматриваемом ВР (1) не представляется возможным дать положительное или отрицательное заключение в случае, когда его Н-траектория не находится сколь-нибудь продолжительное время в области черного шума, а поведение R/S--траектории носит хаотический характер, начиная с ее начальных точек.

Основанием для утверждения о том, что некоторый ВР обладает долговременной памятью, является выполнение следующих условий [1].

1. Его H-траектория через несколько своих начальных точек оказывается в области черного шума, а для его R/S-траектории указанные точки вхождения в черный шум демонстрируют собой наличие тренда. Глубину этой памяти определяет такой первый по порядку (в области черного шума) номер т =l, для которого выполняется следующее условие: в точке l H-траектория получает отрицательное приращение, а R/S-траектория в этой точке демонстрирует так называемый «срыв с тренда» [1], т.е. резкое изменение тренда предшествующих точек R/S- траектории.

2. Факт наличия долговременной памяти в рассматриваемом ВР можно обосновать также с помощью процедуры перемешивания элементов этого ВР [1]. Если в данном ВР случайным образом перетасовать его элементы и полученный ряд представить на вход алгоритма R/S-анализа, то на выходе

этого алгоритма максимальное значение показателя Херста и Н-траектории окажется явно меньше по сравнению со значениями H для исходного ВР в случае, если этот ВР обладает долговременной памятью. Авторами настоящей работы осуществлен массовый фрактальный анализ, т.е. построены Н- и Я/Б-траектории для данного СВР. На основании полученных результатов можно утверждать, что рассматриваемый СВР состоит из квазициклов (в переводе с греческого «квази»- это «как бы»).

При этом указанные выше точки смены тренда чаще всего представляют собой окончание этих квазициклов.

В качестве иллюстративного примера использования инструментария фрактального анализа ВР рассмотрим на рис. 4 R/S -траекторию и H-траекторию для отрезка Z4 СВР (1), представляющего собой временной ряд ежедневных поступлений денежных средств на расчетный счет РО ФСС РФ: zi, i=4,5,...,n, где п = 248 обозначает собой число, которым

занумеровано 31 декабря 2002-го года.

На основании визуализации представленных на рис.4 траекторий можно сформулировать следующее заключение:

• Точки т =3 и т =4 уже находятся (см. H-траекторию) в области черного шума, затем при переходе с 4-ой точки в 5-ую наблюдается срыв в область белого шума (значение H(5) = 0,52), что позволяет предварительно оценивать глубину памяти в этой окрестности рассматриваемого ВР Z4 числом 4.

• Смена тренда R/S-траектории в точке т =4, сопровождаемая уходом H-траектории в зону белого шума, позволяет оценить глубину долговременной памяти числом 4.

Проведенный численный анализ R/S- и Н-траекторий последовательности отрезков

ZT, т = 3, n исследуемого СВР (последовательным отсечением по одному начальному элементу) привел к следующему результату. Порядка 60% графиков Н-траекторий для этих отрезков демонстрируют «срыв с тренда» уже с 3-ей точки, а также порядка 20% графиков R/S-траекторий демонстрируют «срыв с тренда» с 4-й, или 5-й точки (см. рис 5).

1

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

1- Ю СО СО С\| С\| С\| СО СО

Рис.5. H- и R/S-траектории демонстрируют срыв с тренда в точке 4

1

0,8 0,6 0,4 0,2

Рис.6. Последовательности нечетких (т.е. слабовыраженных) срывов с тренда

Вместе с тем, имеют место графики R/S- и Н-траекторий исследуемого СВР для которых характерна продолжительная последовательность «микросрывов» с тренда на отрезке длиной до 20 и более точек (рис. 6). Такое поведение графиков R/S- и Н-траекторий нельзя однозначно квалифицировать как признак наличия долговременной памяти в исходном СВР. Поэтому полагаем, что данному СВР характерно слабовыраженное наличие долговременной памяти.

Формирование нечеткого множества значений глубины памяти СВР

Оценим результаты проведенного R/S - анализ временных рядов из семейства S(Z) путем формирование нечеткого множества значений глубины памяти для всех ВР этого семейства.

Пусть для каждого из ВР z\, i = 1, nr , r = 1, m в результате его R/S -анализа

построены R/S- траектория и Н- траектория, определяющие собой номер lr- ой точки, в которой произошла смена тренда, т.е. lr - это номер находящейся «выше» зоны белого шума первой по порядку точки, в которой H - траектория получила отрицательное приращение, a R/S-траектория сменила тренд.

Введем следующие обозначения:

Л^-количество всех рядов zri , I = 1, пг из семейства 8(2), у каждого из которых номер точки смены тренда 1Г равен числу I ;

l = min lr; L0 = max lr; m = £ N(l) ; d(l)

Л ^ ... ' __- ... '

1< r <

l = l0

N (l)

m

доля таких рядов в S(Z), у каждого

из которых потеря памяти произошла на глубине l;

0

0

Таблица 1

Глубина/ 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 18 20 47

Количество т 2 4 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1

Доля ё(/) 0,08 0,16 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,12 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04

Значения

функции принадлежности М ( /) 0,45 0,9 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,68 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23

£(2 = {/}-множество значений номеров точек смены тренда в рядах из семейства 8(2);

M(L) = {(/, /(/))}—нечеткое множество (НМ) глубины памяти для начального СВР (1), где л (/) - это значения функции принадлежности «глубины /» нечеткому множеству M(Z). Значения /(/) пропорциональны числам d(/), / G L(Z) и получаются путем нормирования значений долей d(/) так, что /(/) <1 для всякого / G L(S).

В таб.1 представлены значения термов [14] нечеткого множества (НМ), выражающего глубину памяти исследуемого СВР (1). Значения функции принадлежности элементов ) последней строки в таб.1 вычисляются следующим образом. Сначала находим максимальную долю d* = maxd(/) (в таб.1 значение d* =

feL( Z)

0,16) и соответствующую ей глубину /* = (d(/*)) = /*, (в таб.1, значение /* = 4). Далее для каждой глубины /* экспертным путем устанавливается значение функции принадлежности л* = л( /*) (в таб.1 значение л* = л(4) = 0,90). После чего для остальных элементов / G L(Z) соответствующие им значения функции принадлежности

/(/) вычисляются по формуле

*

/( /) = / d(/). d

Следующий этап - формирование нечеткого множества M(Z) осуществляется путем попарного объединения элементов первой и последней строк таблицы вида таб.1. Например, конкретно из таб.1. получаем НМ

M(Z)={(3;0,45),(4;0,9),(5;0,45),(6;0,45),(7;0,45),(8;0,45),(9;0,45),(10;0,68),

(12;0,23),(13;0,23),(14;0,23),(18;0,23),(20;0,23),(47;0,23)}. Для наглядности на рис.7, представлено геометрическое изображение этого НМ.

1 и

0,9--1-|-

0,8---

0,7---pj-

0,6--- -

0,5--- -

0,4--rv —П—п—п—п—гк -

0,3--— — — — — — — -

0,2----—Л—л—п—п—п—гу

0,1--— — — — — — — — — — — — — —

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 18 20 47

Рис.7. Геометрическое представление НМ глубины памяти для СВР (1)

Выводы, вытекающие из результатов выполненных расчетов, состоят в следующем.

1. Глубина памяти конкретного ВР не является фиксированным числом; ее величина меняется вдоль рассматриваемого ВР, т. е. для различных его отрезков она является различной, например, как видно из таб.1., для СВР численное значение глубины памяти колеблется в отрезке натурального ряда 3,4,..47

2. Для численного представления глубины памяти рассматриваемого ВР Ъ наиболее целесообразным является математический аппарат теории нечетких множеств, т.е. оцениваемая глубина представляет собой нечеткое множество

М(Ъ)={(/, /и{ /)}, / е {/0, /°+1,...,Ь0} (2)

где / - численное значение встречающейся глубины памяти, /и(1)- значение функции принадлежности для этой глубины.

Метод разбиения фазового портрета на квазициклы

В арсенале современных методов прогнозирования ВР возрастающее значение приобретает такой подход, как визуализация их фазовых портретов [15, 16], получаемых в интерактивном режиме использования ПЭВМ.

В качестве фазового пространства фр размерности р = 2 для ВР (1) используем

простейший вариант вида ф2 (Ъ) = , zг■+1)}, /=1, 2 ,..., п -1.

Как известно, при построении фазового пространства для конкретного ВР принципиально важным является вопрос о его размерности р. Эта размерность должна быть не менее, чем размерность аттрактора наблюдаемого ряда. В свою очередь размерность аттрактора можно оценить с достаточно приемлемой точностью, если использовать фрактальную размерность. Последняя, как отмечено в [17], вычисляется по формуле С=2-Н. Поскольку для анализируемых в настоящей работе ВР значения Н е (0,1), то получаем оценку С < 2. Таким образом, для целей нашего исследования имеются основания использовать фазовое пространство ф6, (Ъ) размерности р = 2.

Рис. 8. Фазовый портрет исходного СВР (1)

При исследовании СВР достаточно информативным и целесообразным является построение фазовых портретов ВР (1) в фазовом пространстве ф:! (2) размерности р = 2

следующего вида: ф2(2)= , Zj.1)}, ¡=1,2,...,п -1. Такого вида фазовая траектория СВР представлена на рис.8. Эта траектория состоит из 47 квазициклов Ск, к=1,2,..47, шесть из которых представлены на рис.9; размерности Ьк этих квазициклов представлены в таб.2. Для наглядности на рис. 10 дано геометрическое представление в виде гистограммы, отражающей частоту появления квазициклов в СВР.

Таблица 2.

ск Ci С2 Сз С4 С5 Сб С7 Ср Сю

Lk 4 6 6 4 6 5 8 8 5 8

Ск Cii С12 С13 С14 С15 С16 С17 С18 С19 С20

Lk 6 6 7 4 6 5 5 4 3 5

Ск С21 С22 С23 С24 С25 С26 С27 С28 С29 С30

Lk 6 8 6 4 5 5 4 3 4 9

Ск С31 С32 Сзз С34 С35 С36 С37 С38 С39 С40

Lk 5 5 5 3 5 5 3 5 4 6

Ск С41 С42 С43 С44 С45 С46 С47

Lk 4 4 4 7 10 5 4

14 12 10 8 6 4 2 0

I-1 I-1

10

Рис. 10. Геометрическое представление частот появления квазициклов в СВР.

Выявлено, что поведение фазовых портретов характеризуется в 68 % случаев сменой направления траектории, а также длина квазициклов в 70% не совпадает с величинами глубины памяти, полученными в результате R/S - анализа. Из этого сравнения можно заключить, что в рассматриваемом СВР наличие долговременной памяти слабо выражено наряду с другими факторами, такими как циклическая компонента этого СВР. Квазициклы, составляющие эту компоненту относятся к объектам микроэкономики. Важно отметить, что учитываемая в [17,18] циклическая компонента в известных публикациях, относящихся к прогнозированию, рассматриваются только в тех случаях, когда речь идет о макроэкономических прогнозах. Например, цикл жизни товара (длительного пользования), цикл деловой активности фирмы и т.д.

Таким образом, полученные оценки нечеткого числа глубины памяти на базе R/S-анализа и результаты, полученные в процессе применения метода разбиения фазового портрета на квазициклы (рис.9 и 10) допускают содержательную финансово-экономическую интерпретацию. Отметим, что выплаты страховых взносов в РО ФСС РФ страхователями должны производится ежеквартально и строго контролируются налоговыми органами РФ, поэтому остается открытым вопрос: почему ряд, в котором по определению должна присутствовать циклическая компонента, не демонстрирует наличие устойчивого «эффекта памяти», в то время как финансовые ряды котировок ценных бумаг [1], курса доллара [8] такую устойчивость демонстрируют?

Литература.

1. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы,

цены и изменчивость рынка. - М.: Мир, 2000. - 333 с.

2. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. - 260с.

3. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. - М.: Мир, 1988. - 240 с.

4. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и

нечеткие системы: Пер. с полс. И.Д.Рудинского. - М.: Горячая линия - Телеком, 2004.

5. Назаров А.В., Лоскутов А.И. Нейросетевые алгоритмы прогнозирования и оптимизации

систем. СПБ.: Наука и Техника, 2003. - 384 с.

6. Курейчик В.В. Эволюционное моделирование. Учебное пособие по курсам

«Эволюционное моделирование» и «Генетические алгоритмы». Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003. - 76 с.

7. Hurst, H.E. "Long-term Storage of Reservoirs," Transactions of the American Society of Civil Engineers 88, 1991.

8. Перепелица В.А., Попова Е.В. Математическое моделирование экономических и социально-экологических рисков. Ростов-на-Дону: Из-во Ростовского университета, 2001. - 128с.

9. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г., Касаева М.Д. Прогнозная модель урожайности на базе клеточных автоматов и нечетких множеств. //Труды III международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве». НФ ИУБиП г.Невинномыск, 30 мая 2003. - С. 163-167.

10. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Узденов Р.Х. Квазициклы временных рядов объемов жилищного строительства. //Труды III международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве». НФ ИУБиП г.Невинномыск, 30 мая 2003. - С. 159-163.

11. Перепелица В.А., Попова Е.В. Фрактальный анализ поведения природных временных рядов. //Современные аспекты экономики. - 2002 - №9(22) - С.185-200.

12. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. -Ижевск: НИЦ « Регулярная и хаотичная динамика». 2001, - 528с.

13. Прикладные нечеткие системы: Пер. с япон./ К.Асои, Д.Ватада, С.Иваи и др.; под редакцией Т.Тэрано, К.Асаи, М.Сугэно. - М.: Мир, 1993. - 368 с.

14. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2000. - 352 с.

15. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нестационарные структуры, динамический хаос, клеточные автоматы. В сб. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. - М.: Наука, 1996. - С.95-164.

16. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. - М.: Наука, 1987. - 510 с.

17. Сигел, Эндрю. Практическая бизнес-статистика.- М.: Издательский дом «Вильяме», 2002.-1056 с.

18. Перепелица В.А., Зеляковская В. М. и др. Управление рисками и прогнозирование в АПК «Экономика развития региона. Проблемы, поиски, перспективы» Ежедневник Южной секции содействия развитию экономической науки. ООН РА. Вып. 4 -Волгоград: ВолГУ,2003.