Фрактальный и фазовый анализ временного ряда объемов жилищного строительства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Литература

1. В поисках новой теории / Под ред. А.Г. Грязновой и Н.Н. Думной. М., 2004.

2. Институциональная экономика / Под ред. А.А. Аузана. М., 2005.

3. Основные показатели охраны окружающей среды: Ст. бюллетень. М., 2005.

Институт экономики, права

и естественных специальностей, г. Краснодар 22 апреля 2005 г.

© 2005 г. Н.Х. Кятов

ФРАКТАЛЬНЫЙ И ФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННОГО РЯДА ОБЪЕМОВ ЖИЛИЩНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

В настоящей работе осуществляется предпрогнозный анализ временного ряда (ВР)

2: I = 1, 2, ..., п, (1)

помесячных объемов жилищного строительства по Карачаево-Черкесской Республике за период с января 1998 г. по май 2004 г. (число наблюдений п = 77), гистограмма которого представлена на рис. 1.

22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Рис. 1. Гистограмма объема жилищного строительства

Алгоритм получения предпрогнозной информации состоит из следующих этапов: статистического, фрактального и фазового анализа.

Статистический анализ. Реализация первого этапа заключается в расчете ряда статистических показателей [1]: СКО, коэффициентов вариации (V), асимметрии (А), эксцесса (Е) (табл. 1).

Их анализ показал, что исследуемый ВР не подчиняется нормальному закону распределения (коэффициент асимметрии А не равен 0, а коэффициент эксцесса Е не равен 3).

Таблица 1

Математическое ожидание 5,78

Дисперсия 20,26

Стандартное отклонение 4,5

Размах 19,3

Коэффициент вариации (V) 0,77

Коэффициент асимметрии (А) 1,32

Коэффициент эксцесса (Е) 0,23

Гистограмма эмпирической функции распределения не соответствует колоколообразной форме, характерной для нормального закона. Также важно отметить, что для распределения данного ВР характерен тяжелый хвост - 65 %.

Несоответствие исследуемого ВР нормальному закону делает не адекватным применение классических методов прогнозирования, так как не выполняется условие независимости уровней наблюдения.

Моделирование таких рядов потребовало использование и развитие новых инструментальных и математических подходов, в частности методов фрактального анализа.

Фрактальный анализ ВР. На втором этапе с помощью алгоритма К/8-анализа [2] осуществляется моделирование временного ряда помесячных объемов жилищного строительства [3] на предмет обнаружения долговременной памяти и вместе с тем оценка ее глубины.

Одной из основных фрактальных характеристик ВР является цвет шума [2], который соответствует этому ряду на том или другом временном отрезке. Значения Н > 2/3 определяют собой черный цвет шума. Чем больше значение Н е [2/3,1], тем большая трендоустойчивость присуща соответствующему отрезку ВР. Значения Н в окрестности ~ 0,5 ± 0,1 определяют собой область белого шума, который соответствует «хаотичному поведению ВР» и, следовательно, наименьшей надежности прогноза. Значения Н в окрестности ~ 0,3 ± 0,1 определяют собой пребывание соответствующего отрезка ВР в области розового шума. Розовый шум говорит о присущем рассматриваемому отрезку ВР свойстве антиперсистентности, которое означает, что ВР реверсирует чаще, чем ряд случайный (частый возврат к среднему). Рассматриваемому ряду, за редким исключением, присущи черный и белый шумы, а также, нестрого говоря, «серый шум», соответствующий области нечеткого разграничения между областями черного и белого шумов.

Относительно наличия долговременной памяти в рассматриваемом ВР представляется возможным дать положительное заключение, если его Н-траектория демонстрирует устойчивый «вход» в зону черного шума, а поведение ЛЛ-траектории характеризуется трендоустойчивостью, начиная с ее начальных точек. Основанием для утверждения того, что ВР (1) обладает долговременной памятью, является выполнение следующих условий:

1. Его Н-траектория через несколько своих начальных точек оказывается в области черного шума, а для его Л/Х-траектории указанные точки вхождения в черный шум демонстрируют собой наличие тренда. Глубину этой памяти определяет такой номер т = I, для которого выполняется следующее условие: в точке I Я-траектория получает отрицательное приращение, а Л/Х-траектория в этой точке демонстрирует так называемый «срыв с тренда», т.е. резкое изменение тренда предшествующих точек Л/Х-траектории.

2. Факт наличия долговременной памяти в рассматриваемом ВР можно обосновать также с помощью процедуры перемешивания элементов этого ряда. Если в данном ВР случайным образом перетасовать его элементы и полученный ряд представить на вход алгоритма Л/Х-анализа, то на выходе этого алгоритма максимальное значение показателя Херста и Я-траектории окажется явно меньше по сравнению со значениями Н для исходного ВР в случае, если этот ВР обладает долговременной памятью.

С целью получения информации о свойствах ВР осуществлен массовый фрактальный анализ, т.е. построены Н- и Л/Х-траектории. На основании полученных результатов можно утверждать, что рассматриваемые ВР состоят из ряда квазициклов. При этом указанные выше точки смены тренда чаще всего представляют собой окончание этих квазициклов.

Рис. 2. R/S и Н - траектории отрезка Z18

В качестве иллюстративного примера использования инструментария фрактального анализа ВР рассмотрим на рис. 2 R/S и Я-траектории для отрезка Z18. На основании визуализации представленных траекторий можно сформулировать следующее заключение:

- Н-траектория отрезка Zi8 на протяжении первых 7 точек показывает устойчивый рост в область черного шума (значение Н(т) = 0,8 для т = 7), что говорит о наличии долговременной памяти в отрезке Z18 рассматриваемого ВР;

- смена тренда R/S-траектории в точке 7, сопровождаемая уходом Н-траектории в пограничную зону серого и белого шума, позволяет оценить глубину долговременной памяти числом 7.

Важнейший вывод, вытекающий из установленного факта наличия долговременной памяти во временном ряде объемов жилищного строительства, состоит в том, что появляются основания для разработки системы среднесрочного прогноза. Алгоритм оценки глубины долговременной памяти и представления ее в виде нечеткого множества также состоит из нескольких этапов:

Этап 1. Формирование на базе временного ряда (1) семейства

S(Z) = {z^i = 1,2,...,nr; r = 1,2,...,m}, состоящего из m частичных временных рядов, где индексом i занумерованы элементы r-го частичного ряда,

r — 1

получаемого из (r - 1)-го ВР путем удаления его первого элемента Z1 . Здесь m определяется как наибольшее значение индекса r такое, что ряд zrm, i = 1, 2, ..., nm еще имеет точку смены тренда в его R/S-траектории. Исходный ВР также принадлежит семейству S(Z), в котором ему присвоено значение индекса r = 1.

Этап 2. Осуществляется R/S-анализ временных рядов из семейства S(Z) и формирование нечеткого множества значений глубины памяти для всех ВР этого семейства [4].

Пусть для каждого из временных рядов zr, i = 1, nr r = 1, m в результате его R/S-анализа построены R/S и ^-траектории. На этих траекториях выявлены номера /г-ых точек, в которых произошли смена тренда, т.е. lr - это номера находящихся «выше» зоны белого шума первых по порядку точек, в которых Я-траектории получили отрицательные приращения, а R/S-траектории сменили тренд.

Введем следующие обозначения: N(l) - количество всех рядов

zi, i = 1, nr из семейства S(Z), которых номер точки смены тренда lr равен числу l; d(l) = N(l)/m - доля таких рядов в S(Z), у каждого из которых потеря памяти произошла на глубине l; L(Z) = {l} - множество значений номеров точек смены тренда в рядах из семейства S(Z); M(L) = = {(l, ¡(l))} -нечеткое множество (НМ) глубины памяти для начального ВР (1), ¡(l) -это значения функции принадлежности «глубины l» нечеткому множеству M(Z). Значения ¡(l) пропорциональны числам d(l), l е L(Z) и получаются путем нормирования значений долей d(l) так, что ¡(l) < 1 для всякого l е L(Z). Результат работы этапа 2 для ВР (1) объемов жилищного строительства представлены в табл. 2.

Этап 3. Формирование НМ для семейства M(Z) осуществляется путем попарного объединения элементов первой и последней строк табл. 2. Например, из таблицы получаем НМ

M(Z) = {(4;0.43),(5;0,95),(6;0,26),(7;0.95),(8;0.69), (9;0.52),(10;0.60),(11;0.52),(14;0.17),(15;0.09), (19;0.09), (2)

(20;0.09),(21;0.09), (22;0.17)}.

Таблица 2

Глубинаl Количество N(l) Доля d(l) НМ W))

4 5 0,08 0,43

5 11 0,17 0,95

6 3 0,05 0,26

7 11 0,17 0,95

8 8 0,12 0,69

9 6 0,09 0,52

10 7 0,11 0,60

11 6 0,09 0,52

14 2 0,03 0,17

15 1 0,02 0,09

19 1 0,02 0,09

20 1 0,02 0,09

21 1 0,02 0,09

22 2 0,03 0,17

Для наглядности на рис. 3 представлено геометрическое изображение этого нечеткого множества.

о

о -

о

о

л

а

ппп

п

4 5 6 7 8 9 10 11 14 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Рис. 3. Геометрическое представление НМглубины памяти

Выводы, вытекающие из результатов выполненных расчетов, состоят в следующем:

1. Глубина памяти не является фиксированным числом. Ее величина меняется вдоль рассматриваемого ВР, т.е. для различных его отрезков она является различной, например, как видно из табл. 2, численное значение глубины памяти колеблется в отрезке натурального ряда 4, 5, ..., 22. Однако свыше 90 % ВР из £(.?) имеют значение глубины памяти 4 < I < 11, при этом самыми распространенными являются длины 5 и 7.

2. Для численного представления глубины памяти наиболее целесообразным является математический аппарат теории нечетких множеств, т.е. оцениваемая глубина представляет собой нечеткое множество Ы(7.) = = {(/, ¡(1))}, I е {I0, 1° + 1, ..., £°}, где I - численное значение встречающейся глубины памяти, ¡1(1) - значение функции принадлежности для этой глубины, и 1° = 4.

о

Вычисляя с помощью операции дефазификации центр тяжести с0 этого НМ, получаем с0 = 8,7 или, округляя до ближайшего целого получаем типичное значение глубины памяти Ь°(Т?) = 9.

Фазовый анализ ВР. Следует отметить достаточно высокую методическую и вычислительную сложность реализации метрических тестов, в том числе и фрактальный анализ. По этой причине они до настоящего времени не находили достаточно должного применения в реальном экономико-математическом моделировании. Судя по ряду публикаций можно говорить

0 наметившейся тенденции использования так называемых графических тестов в процессе моделирования социально-экономических ВР методами нелинейной динамики. Можно упомянуть графический тест хаоса, предложенный Гилмором [5, 6]. Этот тест выявляет неустойчивые квазипериодические периоды, заключенные в странном аттракторе. Для обнаружения таких орбит в рассматриваемом ВР наиболее удобным по своей реализации нам представляется подход, который можно называть термином «разложение фазового портрета на квазициклы».

Для ВР (1) рассматривается последовательность его отрезков (х,, х, + 1, ..., х, + М_ 1), I = 1, 2, ..., п -М + 1, называемых М-историями [5]. Здесь число М представляет собой размерность фазового портрета, который определяется в виде множества ФМХ) = {(х,, xi + 1, ..., xi + М_ 1)},

1 = 1, 2, ..., п -М + 1.

В настоящей работе мы ограничимся фазовым портретом размерности М = 2, в частности для ВР (1) он определяется выражением

Ф2(Х) = {(х,, х+1)}, I = 1, 2, ..., п - 1. (2)

В целях визуализации на рис. 4 дано графическое представление фазового портрета (2).

24 21 18 15 12 9 6 3 0

0 3 6 9 12 15 18 21 24

Рис. 4. Фазовый портрет ВР помесячных объемов жилищного строительства

После разложения фазового портрета (2) получены 12 квазициклов (на рис. 5 - 4 характерных квазицикла). Для наглядности на рис.6 представлена гистограмма частот длин квазициклов.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-

\

1 \

" 4

А 4

\ т 4

VJ \

/"Ч

■ \

\

ч \

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 3 6 9 12 15

Рис. 5. Разложение фазового портрета на квазициклы

10 9 8 7 6 5 4

3 42 "I-1 0

5 6 7 8 Номер квазицикла

10 11 12

Рис. 6. Гистограмма частот длин квазициклов ФП

Для всякого ВР процесс получения представляемой его фазовым портретом предпрогнозной информации можно разделить на 3 этапа [7]. На первом этапе разложением фазового портрета этого ВР на квазициклы получается такая предпрогнозная информация как длина квазицикла, направления вращения звеньев и т.д. На втором - предпрогнозная информация, представляемая траекторией дрейфа центров квазициклов (рис. 7).

5

4

3

8

2

0

0

9

Рис. 7. Траектория дрейфа квазициклов ВР

На третьем этапе получаем предпрогнозную информацию, представляемую траекторией эволюции размеров габаритных прямоугольников квазициклов, а также фазовым портретом этой траектории. На рис. 8 видим траекторию дрейфа размеров габаритных прямоугольников квазициклов фазового портрета.

Анализ фазовых портретов квазициклов показал, что их длина колеблется в пределах от 4 до 9 месяцев, при этом среднее значение длины квазицикла равно 6 месяцам. Существует самоподобие фазовых портретов и вращение звеньев квазициклов происходит в целом по часовой стрелке. Этот факт может служить дополнительной информацией при прогнозировании ВР. Эволюция размеров габаритных прямоугольников фазовых портретов квазициклов носит циклический характер.

Рис. 8. Траектория дрейфа размеров габаритных прямоугольников квазициклов

Результаты проведенного предпрогнозного анализа дают основание для примененная клеточно-автоматной прогнозной модели [4] для осуществления краткосрочного прогнозирования динамики исследуемого временного ряда объемов индивидуального жилищного строительства.

Литература

1. Сигел Э. Ф. Практическая бизнес-статистика. М., 2002.

2. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М., 2000.

3. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Узденов Р.Х. Квазициклы временных рядов жилищного строительства / Новые технологии в управлении, бизнесе и праве (Невинномысск, 30 мая 2003 г.): Тр. III Междунар. конф. Невинномысск, 2003. С. 159-163.

4. Перепелица В.А., Касаева М.Д., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Использование инструментария клеточных автоматов для формирования прогнозных нечетких значений урожайности на базе временного ряда // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ростов н/Д, 2003. № 4. С. 5-11.

5. Сергеева Л.Н. Моделирование поведения экономических систем методами нелинейной динамики (теории хаоса). Запорожье, 2002.

6. Gilmore C.G. A new test for chaos // Journal of economic behavior and organization. 1993. № 22. P. 209-237.

7. Кятов Н.Х. Предпрогнозный анализ инвестиций в основной капитал на базе фазовых портретов // Научная мысль Кавказа. Приложение. Ростов н/Д, 2005. № 11.

Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия 2 сентября 2005 г.

© 2005 г. А. Ходарев, В. Осипова

РАЗРАБОТКА И ВНЕДРЕНИЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНЧЕСКОГО УЧЕТА И ДИСТАНЦИОННОГО КОНТРОЛЯ НА ПРЕДПРИЯТИИ

ЖКХ (НА ПРИМЕРЕ УПРАВЛЯЮЩЕЙ КОМПАНИИ ООО «МЕЖРЕГИОНАЛЬНАЯ КОММУНАЛЬНАЯ КОМПАНИЯ»)

ООО «Райчихинская Коммунальная Компания» (ООО «РКК») находится на территории Амурской области. Предприятие создано в 2004 г. с целью инвестирования средств частного капитала в сектор коммунального хозяйства в рамках реализации реформы ЖКХ в России. ООО «РКК» входит в группу компаний «Русский уголь» и управляется ООО «МежРегиональная коммунальная компания» (ООО «МРКК»). Предметом деятельности ООО «РКК» является реализация коммунальных услуг населению и предприятиям.

ООО «РКК» имеет ряд особенностей, которые необходимо было учесть при внедрении системы управленческого учета. Во-первых, это особенности, связанные с деятельностью предприятий ЖКХ в регионах. Такие предприятия имеют довольно длительный цикл финансирования оказанных услуг, поскольку оплата поступает не сразу, а с задержкой (иногда на несколько месяцев) [1]. Остановка оказания коммунальных услуг потребителю (тем более физическим лицам) в случае нарушения условий и сроков оплаты практически невозможна. Производственный цикл, особенно в зимний отопительный период, требует больших затрат, реально возмещаемых на протяжении следующих двух-трех кварталов.