CC BY
7
УДК 519.725
DOI: 10.17586/0021-3454-2022-65-1-28-35
ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫЕ ПАРЫ ГМВ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ПЕРИОДОМ N=1023 ДЛЯ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ЦИФРОВОЙ ИНФОРМАЦИИ
В. Г. Стародубцев1'2*, Е. Ю. Подолина1, А. Х. Келоглян1
1 Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, Санкт-Петербург, Россия,
vgstarod@mail. ru 2Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия
Аннотация. На основе алгоритма формирования предпочтительных пар (I III) последовательностей Гордона — Миллса — Велча (ГМВП) получен полный перечень ПП ГМВП с периодом N=1023, обладающих пятиуровневой периодической взаимно корреляционной функцией и различными значениями эквивалентной линейной сложности, выступающей в качестве показателя структурной скрытности псевдослучайных последовательностей. Особенность формирования ГМВП с периодом N=1023 заключается в том, что для каждой базисной М-последовательности (МП) можно синтезировать по пять ГМВП, тогда как для периодов N=63, N=255, N=511 для каждой МП можно построить только по одной ГМВП. В поле GF(210) существует 60 примитивных полиномов, с каждым из которых можно сформировать по десять ПП МП. Структурная скрытность ГМВП с периодом N=1023 в 2, 4, 8 раз превышает аналогичную характеристику МП, что определяет предпочтительность применения ГМВП в системах передачи цифровой информации, к которым предъявляются повышенные требования по помехозащищенности, конфиденциальности и скрытности.
Ключевые слова: конечные поля, примитивные полиномы, М-последовательности, ГМВ-последова-тельности, предпочтительные пары, корреляционная функция, структурная скрытность
Ссылка для цитирования: Стародубцев В. Г., Подолина Е. Ю., Келоглян А. Х. Предпочтительные пары ГМВ-последовательностей с периодом N=1023 для систем передачи цифровой информации // Изв. вузов. Приборостроение. 2022. Т. 65, № 1. С. 28—35. DOI: 10.17586/0021-3454-2022-65-1-28-35.
PREFERRED PAIRS OF GMW SEQUENCES WITH PERIOD N=1023 FOR DIGITAL INFORMATION TRANSMISSION SYSTEMS
V. G. Starodubtsev1,2*, E. Yu. Podolina1, A. K. Keloglyan1
1A. F. Mozhaisky Military Space Academy, St. Petersburg, Russia, *vgstarod@mail.ru 2ITMO University, St. Petersburg, Russia
Abstract. Based on an algorithm for the formation of preferred pairs (PP) of Gordon — Mills — Welch (GMWP) sequences, a complete list is obtained of PP GMWP with a period N=1023, which have a five-level periodic cross-correlation function and different values of equivalent linear complexity, which acts as an indicator of structural secrecy pseudo-random sequences. The peculiarity of HMWR formation with period N=1023 is that for each basic M-sequences (MS), five HMWRs can be synthesized, while for periods N=63, N=255, N=511, only one HMWR can be constructed for each MS. There are 60 primitive polynomials in the GF(210) field, each of which can form ten PP MS. Structural secrecy of the GMWP with a period N=1023 is 2, 4, 8 times higher than the similar characteristic of the MS, which determines the preference for the use of the GMWP in digital information transmission systems, which are subject to increased requirements for noise immunity, confidentiality and secrecy.
Keywords: finite fields, primitive polynomials, M-sequences, GMW-sequences, preferred pairs, correlation function, structural secrecy
For citation: Starodubtsev V. G., Podolina E. Yu., Keloglyan A. K. Preferred pairs of GMW sequences with period N=1023 for digital information transmission systems. Journal of Instrument Engineering. 2022. Vol. 65, N 1. P. 28—35 (in Russian). DOI: 10.17586/0021-3454-2022-65-1-28-35.
© Стародубцев В. Г., Подолина Е. Ю., Келоглян А. Х., 2022 ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2022. Т. 65, № 1 JOURNAL OF INSTRUMENT ENGINEERING. 2022. VOL. 65, N 1
В современных системах передачи цифровой информации (СПЦИ), включающих в том числе системы передачи измерительной информации космических средств, широкое применение получили сигналы с расширенным спектром (СРС), которые формируются на основе псевдослучайных последовательностей (ПСП) с заданными корреляционными и структурными свойствами. В качестве псевдослучайных используются М-последовательности (МП), а также последовательности Голда и Касами, которые формируются на основе предпочтительных пар (ПП) МП [1—4].
Спутниковые каналы связи являются наиболее уязвимыми в плане применения вероятным противником преднамеренных узкополосных, широкополосных и имитационных помех, что может привести к существенному снижению помехозащищенности СПЦИ. Под помехозащищенностью понимается устойчивость по отношению к естественным помехам и скрытность, включающая энергетическую, структурную и информационную составляющие [3]. В частности, структурная скрытность определяется возможностью и требуемым временем выявления структуры ПСП, на основе которой формируется СРС, а также возможностью внесения имитационной помехи.
В условиях радиоэлектронного противодействия используемые в настоящее время СРС, формируемые на основе М-последовательностей и их ПП, обеспечивают требуемую помехозащищенность по отношению как к узкополосным, так и к широкополосным преднамеренным помехам. Однако по отношению к имитационным помехам, вносимым противником после вскрытия структуры полезного сигнала, основанного на МП или производных последовательностях, требуемая помехозащищенность не всегда может быть обеспечена [2, 4—6].
Вопросам определения последовательностей с требуемыми взаимно корреляционными свойствами и высокой структурной скрытностью посвящено множество публикаций [7—11]. Новый класс последовательностей с малыми уровнями периодической взаимно корреляционной функции (ПВКФ) предложен в работе [7]. В [8] проведен анализ последовательностей с локально оптимальными корреляционными свойствами, а в [9] — анализ двоичных последовательностей с высокой структурной скрытностью.
В [10, 11] разработан алгоритм формирования ПП ГМВ-последовательностей (ГМВП) и получены проверочные полиномы для периодов N=63, N=255 и N=511. Показано, что ПП ГМВП формируются на основе ПП МП и характеризуются более высокой эквивалентной линейной сложностью (ЭЛС).
Предпочтительность применения ГМВП определяется тем, что данные последовательности, так же как и МП, имеют двухуровневую периодическую автокорреляционную функцию (ПАКФ), но обладают более высокой структурной скрытностью. Для вскрытия структуры ПСП, т.е. определения ее проверочного полинома, в соответствии с алгоритмом Берлекэмпа — Месси необходимо число символов анализируемой последовательности, равное удвоенной степени проверочного полинома [2, 12]. Тогда выигрыш в структурной скрытности может быть определен как отношение ЭЛС или степеней проверочных полиномов сравниваемых последовательностей.
Применению ПП ГМВП в СПЦИ препятствует отсутствие проверочных полиномов для их формирования для периодов N> 511.
Цель настоящей статьи — определение проверочных полиномов предпочтительных пар ГМВП для периода N=1023. При проведении исследований использован математический аппарат теории конечных полей, линейной алгебры и корреляционного анализа.
Предпочтительной парой называются две МП с периодом N = 2^-1, модуль максимального значения ПВКФ которых не превышает
р(Р) = 1+2[^ +2)/2], (1)
где [х] — целая часть вещественного числа х [2, 11].
Данные свойства ПВКФ могут наследоваться в производных системах сигналов, например в множествах последовательностей Голда и Касами.
Формирование МП производится в соответствии с примитивными проверочными полиномами ^¿(х), где индекс „г" (здесь и далее) соответствует минимальному показателю степени
£
корней данного полинома степени £ в конечном поле GF(2 ). Устройство формирования МП реализуется на основе регистров сдвига с линейными обратными связями [3, 4].
ГМВП формируются на основе М-последовательностей с аналогичным периодом путем их матричного представления и замены столбцов матрицы, которые также являются МП, но с более коротким периодом [2, 13].
Для формирования ПП ГМВП необходимо определить пары последовательностей, ПВКФ которых удовлетворяет (1). При выполнении данного условия такие пары ГМВП также можно называть предпочтительными.
ГМВП формируются над полями с двойным расширением GF(2£) = GF[(2m)n], в которых степень расширения поля £ = тп — составное число. Символы ГМВП с периодом N = 2тп-1 определяются выражением [2, 6, 13]
¿г = *т1[(*тп,т («')Г ], 1 * г < 2т - 1, (г, 2т - 1) = 1, (2)
где й"„,у(-) — след элемента, принадлежащего полю GF(2M), в поле GF(2v); а е GF(2mn) — примитивный элемент; г — натуральное число, взаимно простое с порядком мультипликативной группы поля GF(2m), равным 2т - 1.
Алгоритм формирования ГМВП с периодом N = 2тп-1 = 2£-1 основан на использовании
МП с аналогичным периодом и проверочным полиномом ^мп(х) степени £. Одним из корней
£
базисной МП является примитивный элемент а, принадлежащий расширенному полю GF(2 ). Проверочный полином формируемой ГМВП кг(х) может быть представлен в виде произведения двух и более неприводимых полиномов-сомножителей Исг(х) степени £, корни которых являются фиксированными степенями корней полинома Амп(х), т.е. степенями примитивного элемента а и его р-сопряженных элементов. Число полиномов-сомножителей определяет ЭЛС ГМВП и для заданного периода зависит только от значений параметров т, п и г.
ЭЛС двоичных ГМВП определяется выражением [2, 6]
¡£ = тп8(г), (3)
где g(г) — количество единиц в двоичном представлении числа г в (2).
Для периодов N = 31, N = 63, N = 127, N = 511, N = 1023 ПВКФ ПП МП является трехуровневой и принимает следующие ненормированные значения в соответствии с (1):
{-р(£), -1, р(£) -2}. (4)
£
Для каждого примитивного полинома Иг(х) в поле GF(2 ) количество ПП равно их числу для полинома И1(х). Для периода N = 1023 для каждого примитивного полинома можно сформировать по десять ПП МП [13].
Особенность формирования ГМВП с периодом N=1023 заключается в том, что для каждой базисной МП можно синтезировать по пять ГМВП, тогда как для периодов N=63, N=255 для каждой МП можно построить только по одной ГМВП. Это определяется тем, что в под-полях GF(2£/2) при £ = 6, £ = 8 существует по два примитивных полинома, а при £ = 10 в подполе GF(25) имеется уже 6 примитивных полиномов. Один полином может быть использован для формирования МП с периодом N=1023, а пять полиномов — для формирования пяти ГМВП.
В зависимости от значения параметра г в выражении (2) и функции g(r) в (3) можно выделить пять типов ГМВП, которые характеризуются различными значениями ЭЛС:
— 1-й тип: г = 3Ш = 000112, g(r) = 2, £ = 20;
— 2-й тип: г = 5ю = 001012, g(r) = 2, ¡£2 = 20;
— 3-й тип: г = 7ю = 001112, g(r) = 3, ¡£3 = 40;
— 4-й тип: г = 11ю = 010112, g(r) = 3, ¡£4 = 40;
— 5-й тип: г = 15ю = 011112, g(r) = 4, ¡£5 = 80.
В соответствии с алгоритмом, разработанным в [10, 11], определим 1111 ГМВП для каждого из пяти типов. Первые два шага алгоритма являются общими для всех типов ГМВП.
Шаг 1. Выбор конечного поля GF(210) с неприводимым полиномом _Дх) = И1(х) = =х10+х3+1, для которого существуют ГМВП с периодом ^210-1=1023.
Шаг 2. Выбор неприводимых полиномов в поле GF(210), выбор производится в соответствии с табл. 1 [14].
Таблица 1
г а в И,{х) Полином к,(х) х10+...+1 Период корней г а в к(х) Полином к(х) х10+...+1 Период корней г а в к,(х) Полином к,(х) х10+...+1 Период корней
а1 10000001001 1023 77 10100001011 93 183 11100001111 341
а3 10000001111 341 79 10011100111 1023 187 11010000101 93
5 10100001101 1023 83 11110010011 1023 189 10001100011 341
7 11111111001 1023 85 10111000111 1023 191 11110110001 1023
9 10010101111 341 87 10011001001 341 205 10010001011 1023
11 10000110101 93 89 10011010111 1023 207 11100110101 341
13 10001101111 1023 91 11010110101 1023 213 10110011011 341
15 10110101011 341 93 11111111111 11 215 10110100001 1023
17 11101001101 1023 95 10001100101 1023 219 10110111001 341
19 10111111011 1023 99 110111 31 221 11101011001 1023
21 11111101011 341 101 10000101101 1023 223 11000100101 1023
23 10000011011 1023 103 11101111101 1023 231 111011 31
25 10100100011 1023 105 11110000111 341 235 11001001111 1023
27 11101111011 341 107 11001111001 1023 237 11111000101 341
29 10100110001 1023 109 10000100111 1023 239 10101010111 1023
31 11000100011 33 111 10001010011 341 245 10011000101 1023
33 111101 31 115 10111110111 1023 247 11001000011 1023
35 11000010011 1023 117 10010011001 341 251 11011111101 1023
37 11101100011 1023 119 11001011011 1023 253 10101100001 93
39 10001000111 341 121 11010100111 93 255 11110000001 341
41 10111100101 1023 123 11100010001 341 341 111 3
43 10100011001 1023 125 11011000001 1023 343 11100011101 1023
45 11000110001 341 127 10011111111 1023 347 10101000011 1023
47 11001111111 1023 147 10011101101 341 351 11010111111 341
49 11101010101 1023 149 11000010101 1023 363 100101 31
51 10101100111 341 151 11100100001 1023 367 10100111101 1023
53 10110001111 1023 155 10010101001 33 375 10000011101 341
55 11100101011 93 157 10101101011 1023 379 11000110111 1023
57 11001010001 341 159 11011110111 341 383 10110000101 1023
59 11100111001 1023 165 101001 31 439 11100010111 1023
61 11111110011 1023 167 10011110011 1023 447 11110101001 341
63 11010101101 341 171 11011001101 341 479 10110010111 1023
69 10111000001 341 173 11011011111 1023 495 101111 31
71 11011010011 1023 175 11110001101 1023 511 10010000001 1023
73 11101000111 1023 179 11010001001 1023
75 10100011111 341 181 11111011011 1023
Шаг 3. Вычисление ПВКФ ГМВП первого и второго типов с ЭЛС к = 20. Формирование ГМВП с периодом N=1023 выполняется на основе базисных МП [13]. Всего в поле GF(210) существует 60 примитивных полиномов десятой степени. Для каждой базисной МП можно сформировать по пять ГМВП с различными значениями ЭЛС. Проверочные полиномы пяти типов ГМВП определяются следующими выражениями [13, 14]:
Й1г1(х) = Й3(х)Ап(х); ¿2г1(х) = ^5(х)^9(х); Й3г1(х) = ^?(х)^19(х)^25(х)^69(х); Й4г1(х) = Ап(х)Й13(х)Й21(х)А73(х);
h5гl(x) = hl5(x)h2з(x)h27(x)h29(x)h77(x)h85(x)h89(x)hl47(x),
где первая слева цифра индекса обозначает принадлежность к одному из пяти типов ГМВП, а третья цифра соответствует индексу примитивного полинома (минимальному показателю степени его корней), с помощью которого образуется базисная МП при формировании ГМВП. Например, если для базисной МП используется примитивный полином h49(x) = х10+х9+х8+х6+х4+х2+1 (см. табл. 1), то полином для ГМВП четвертого типа имеет вид
h4г49(x) = hll.49(x)hlз.49(x)h2l.49(x)h7з.49(x) = h55(x)h25l(x)hз(x)hl27(x).
В табл. 2, 3 показаны отдельные результаты вычисления ПВКФ, т.е. значений функции ^(т) и количества п этих значений, для ГМВП с проверочными полиномами h1г1(x)=h3(x)h17(x) и ^г^)^^)^^), образованными на основе МП с полиномом h1(x), и ГМВП, образованными на основе МП с другими 59 примитивными полиномами hi(x).
_Таблица 2
Тип Индекс i в Минимум ПВКФ Максимум ПВКФ Число
ПВКФ h1r,(x) Rmin(T) n Rmax(T) n уровней
1 5, 205 -97 1 79 10 12
2 13, 79 -97 10 111 10 20
3 17, 181 -73 10 95 5 19
4 25, 41 -97 1 79 10 12
5 49, 107 -97 1 79 20 11
6 511 -85 10 143 1 34
7 43, 119 -73 20 87 20 20
8 223, 367 -65 70 63 86 5
Таблица 3
Тип Индекс i в Минимум ПВКФ Максимум ПВКФ Число
ПВКФ h2ri(x) Rmin(T) n Rmax(T) n уровней
1 5, 205 -73 20 143 1 20
2 13, 79 -97 11 95 10 13
3 17, 181 -97 1 79 10 11
4 25, 41 -121 2 143 1 19
5 49, 107 -89 10 143 1 19
6 511 -77 20 95 5 34
7 43, 119 -65 50 63 86 5
8 223, 367 -65 70 63 86 5
В соответствии с табл. 2 условию (1) для предпочтительных пар удовлетворяют только две пары ГМВП первого типа с проверочными полиномами h1r1(x)—h1r223(x) и hiri(x)—h1r367(x). ПВКФ данных ПП ГМВП (рис. 1) принимает пять значений, лежащих в интервале от -65 до +63:
R(t) е {-65(70), -33(200), -1(467), 31(200), 6з(86)}.
Reo ПВКФ ГМВП: h , (x) и h, fx)
1 г11 у 1 г?72ч у
Рис. 1
В соответствии с табл. 3 при ^г^)^^)^^) условию (1) удовлетворяют четыре пары с
проверочными полиномами h2гl(x)-h2г4з(x), h2гl(x)-h2г119(x), h2гl(x)-h2г22з(x), h2гl(x)—h2г367(x).
ПВКФ ПП ГМВП двух первых пар принимает пять значений, лежащих в интервале от -65 до +63:
ад е {-65(50), -33(260), -1(407), 31(220), 63(86)}.
ПВКФ 1111 ГМВП двух вторых пар также принимает пять значений, лежащих в интервале от -65 до +63, но с другим распределением числа значений:
ад е {-65(70), -33(200), -1(467), 31(200), 63(86)}.
Шаг 4. Вычисление ПВКФ ГМВП третьего и четвертого типов с ЭЛС к = 40.
Данные ГМВП имеют проверочные полиномы ^зг1(х) = И7(х)И19(х)И25(х)И69(х) и Й4г1(х) = Йп(х)Й13(х)Й21(х)Й7э(х).
В результате вычисления ПВКФ пар ГМВП третьего типа получены две предпочтительные пары с полиномами А3г1(х)—Л3г17(х) и А3г1(х)—Азг181(х). ПВКФ данных ПП ГМВП (рис. 2) принимает пять значений, лежащих в интервале от -65 до +63:
Я(т) е {-65(70), -33(210), -1(437), 31(230), 63(76)}.
ПВКФ ГМВП: й3г1(х) и й3гП(х)
-70
Рис. 2
В результате вычисления ПВКФ пар ГМВП четвертого типа также получены две предпочтительные пары с полиномами ^4г1(х)—^4г5(х) и ^4г1(х)—^4г205(х). ПВКФ данных ПП ГМВП также принимает пять значений, лежащих в интервале от -65 до +63:
ад е {-65(80), -33(200), -1(407), 31(280), 63(56)}.
Отметим, что ПВКФ предпочтительных пар ГМВП четырех типов являются пятиуровневыми. Отличие заключается в распределении числа значений каждого уровня.
Шаг 5. Вычисление ПВКФ ГМВП пятого типа с ЭЛС ¡з = 80.
В результате вычислений ПВКФ пар ГМВП пятого типа с полиномом ^5г1 (х)=И 15(х)И23(х)И27(х)И29(х)И77(х)И85(х)И89(х)И 147(х) условию (1) соответствуют три пары с проверочными полиномами й5г1(х)—^5г25(х), й5г1(х)—^5г41(х) и й5г1(х)—й5г511(х). Однако ПВКФ данных пар не являются пятиуровневыми. Две первые пары имеют 17 значений корреляционной функции в интервале от -65 до +63, при этом значения от минимального до максимального изменяются через 8 единиц. Третья пара характеризуется 32 уровнями в интервале от -61 до +63, которые изменяются через 4 единицы. Тем не менее данные пары ГМВП также могут быть отнесены к предпочтительным парам именно в силу удовлетворения условию (1).
Вид 32-уровневой ПВКФ предпочтительной пары ГМВП пятого типа с полиномами й5г1(х) - й5г511(х) приведен на рис. 3.
Я(г)
ПВКФ ГМВП: Ъ,х (х) и й5 511(х)
5г1 4 у 5г511 4 у
-70
Рис. 3
Таким образом, определены проверочные полиномы для предпочтительных пар ГМВП всех пяти типов с периодом N = 1023. Для каждого из 60 примитивных полиномов в конечном поле GF(2) может быть сформировано по две предпочтительные пары ГМВП первого, третьего и четвертого типов и по четыре 1111 ГМВП второго типа, обладающие пятиуровневой ПВКФ, удовлетворяющей условию (1). Кроме того, для каждого примитивного полинома может быть сформировано три предпочтительные пары ГМВП пятого типа с многоуровневой ПВКФ, но также удовлетворяющей условию (1).
ПП ГМВП первого и второго типов имеют ЭЛС lS = 20, ПП ГМВП третьего и четвертого типов — ЭЛС lS = 40, ПП ГМВП пятого типа — ЭЛС lS = 80, тогда как ПП МП имеют ЭЛС Is = 10. Применение ПП ГМВП позволяет обеспечить выигрыш в структурной скрытности по сравнению с ПП МП. При этом интервал времени, необходимый средствам радиоэлектронного противодействия для вскрытия структуры сигнала и внесения имитационной помехи, увеличивается в 2, 4 или 8 раз.
Полученные результаты могут быть использованы при формировании СРС в СПЦИ, к которым предъявляются повышенные требования по конфиденциальности и помехозащищенности. Также на основе ПП ГМВП возможно формирование производных множеств последовательностей с удовлетворительными корреляционными и структурными свойствами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. М.: Техносфера, 2005. 592 с.
2. Golomb S. W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Cryptography and Radar. Cambridge Univ. Press, 2005. 438 p.
3. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения. М.: Техносфера, 2007. 488 с.
4. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: Пер. с англ. М.: Вильямс, 2003. 1104 с.
5. CDMA: прошлое, настоящее, будущее / Под ред. Л. Е. Варакина и Ю. С. Шинакова. М.: МАС, 2003. 608 с.
6. Chung H. B., No J. S. Linear span of extended sequences and cascaded GMW sequences // IEEE Trans. on Information Theory. 1999. Vol. 45, N 6. P. 2060—2065.
7. Tang X. H., Pingzhi Z. F. A class of pseudonoise sequences over GF(p) with low correlation zone // IEEE Trans. on Information Theory. 2001. Vol. 47, N 4. P. 1644—1649.
8. Popovic M. B. Optimum Sets of Interference-Free Sequences with Zero Autocorrelation Zones // IEEE Trans. on Information Theory. 2018. Vol. 64, N 4. P. 2876—2882.
9. Rizomiliotis P., Kalouptsidis N. Results on the nonlinear span of binary sequences // IEEE Trans. on Information Theory. 2005. Vol. IT-51. P. 1555—1563.
10. Стародубцев В. Г., Осадчая Я. В. Предпочтительные пары ГМВ-последовательностей для систем передачи цифровой информации // Изв. вузов. Приборостроение. 2019. Т. 62, № 7. С. 610—620.
11. Стародубцев В. Г. Формирование предпочтительных пар ГМВ-последовательностей с периодом N=511 для систем передачи цифровой информации // Изв. вузов. Приборостроение. 2021. Т. 64, № 1. С. 32—39.
12. No J. S. Generalization of GMW sequences and No sequences // IEEE Trans. on Information Theory. 1996. Vol. 42, N 1. Р. 260—262.
13. Стародубцев В. Г., Попов А. М. Последовательности Гордона — Миллса — Велча с периодом N=1023 // Изв. вузов. Приборостроение. 2017. Т. 60, № 4. С. 318—330.
14. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки / Пер. с англ.; Под ред. Р. Л. Добрушина и С. И. Самойленко. М.: Мир, 1976. 594 с.
Сведения об авторах
Виктор Геннадьевич Стародубцев — канд. техн. наук, доцент; ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра технологий и средств автоматизации обработки и анализа информации космических средств; Университет ИТМО, E-mail: vgstarod@mail.ru Екатерина Юрьевна Подолина — ВКА им. А. Ф. Можайского; слушатель; E-mail: vka@mil.ru Артем Хоренович Келоглян — ВКА им. А. Ф. Можайского; слушатель; E-mail: vka@mil.ru
Поступила в редакцию 25.06.2021; одобрена после рецензирования 09.07.2021; принята к публикации 02.12.2021.
REFERENCES
1. Vishnevskij V.M., Lyahov A.I., Portnoj S.L., Shahnovich I.V. Shirokopolosnye besprovodnye seti peredachi informacii (Broadband Wireless Data Transmission Network), Moscow, 2005, 592 p. (in Russ.)
2. Golomb S.W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Cryptography and Radar, Cambridge University Press, 2005, 438 p.
3. Ipatov V.P. Spread Spectrum and CDMA. Principles and Applications, NY, John Wiley and Sons Ltd., 2005, 488 p.
4. Sklar B. Digital Communications: Fundamentals and Applications, Prentice Hall, 2001, 1079 p.
5. Varakin L.E. and Shinakov Yu.S., ed., CDMA: proshloe, nastoyashchee, budushchee (CDMA: Past, Present, Future), Moscow, 2003. 608 p. (in Russ.)
6. Chung H.B., No J.S. IEEE Transactions on Information Theory, 1999, no. 6(45), pp. 2060-2065.
7. Tang X.H., Pingzhi Z.F. IEEE Transactions on Information Theory, 2001, no. 4(47), pp. 1644-1649.
8. Popovic B. M. IEEE Transactions on Information Theory, 2018, no. 4(64), pp. 2876-2882.
9. Rizomiliotis P., Kalouptsidis N. IEEE Transactions on Information Theory, 2005, vol. IT-51, pp. 1555-1563.
10. Starodubtsev V.G., Osadchaya Ya.V. Journal of Instrument Engineering, 2019, no. 7(62), pp. 610-620. (in Russ.)
11. Starodubtsev V.G. Journal of Instrument Engineering, 2021, no. 1(64), pp. 32-39. (in Russ.)
12. No Jong-Seon. IEEE Transactions on Information Theory, 1996, no. 1(42), pp. 260-262.
13. Starodubtsev V.G., Popov A.M. Journal of Instrument Engineering, 2017, no. 4(60), pp. 318-330. (in Russ.)
14. Peterson W.W., Weldon E.J. Error-correcting Codes, The MIT PRESS, Cambridge, Massachusetts and London, England, 1972, 588 p.
Data on authors
Victor G. Starodubtsev — PhD, Associate Professor; A. F. Mozhaisky Military Space Academy, Depart-
ment of Technologies and Automation Means for processing and Analysis of Space Facilities Information; ITMO University, E-mail: vgstarod@mail.ru
Ekaterina Yu. Podolina — Student; A. F. Mozhaisky Military Space Academy; E-mail: vka@mil.ru
Artem K. Keloglyan — Student; A. F. Mozhaisky i Military Space Academy; E-mail: vka@mil.ru
Received 25.06.2021; approved after reviewing 09.07.2021; accepted for publication 02.12.2021.
