Предельные теоремы для максимумов некоторых зависимых случайных сумм Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Чобан М.М., Додон Н.К. Теория Р-разреженных пространств. Кишинев: Штиинца, 1979.

7. Бузякова Р.З. О расщепляемых пространствах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. № 6. 83-84.

Поступила в редакцию 07.02.2011

УДК 519.2

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ МАКСИМУМОВ НЕКОТОРЫХ ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ СУММ

Т. В. Кузнецова1

Рассматривается семейство экстремумов вида

n

Ymn = max У^ Xij, m,n > 1,

j=i

где случайные величины {Xij}, i ^ 1, j ^ 1, зависимы по столбцам (при одинаковом j) и независимы по строкам (при разных j). Исследуется асимптотика Ymn при m,n — ж. Рассматриваются три частных случая: нормального распределения, распределения Лапласа и «-устойчивого распределения.

Ключевые слова: максимумы, случайные суммы, «-устойчивое распределение, распределение Фреше.

A family of extrema having form

n

Ymn = max У^ Xij, m,n > 1,

j=i

is considered, here the random variables {Xij}, i ^ 1, j ^ 1, are dependent by columns (with identical j) and independent by rows (with different j). The asymptotics of Ymn for m,n — ж is studied. Three particular cases are considered: a normal distribution, a Laplace distribution, and an «-stable distribution.

Key words: maxima, random sums, «-stable distribution, Frechet distribution. Исследуется

предельное поведение Ymn при m, n —> ^o в семействе экстремумов вида

n

Ymn = max V" Xij. (1)

j=1

В работах [1-3] предполагалось, что {Xij}, i ^ 1, j ^ 1, — независимые, одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения F.

В работе [1] получены предельный закон Гумбеля и общий вид линейной нормировки в предположении, что F обладает конечными средним и дисперсией, характеристическая функция ф аналитична в окрестности нуля и для нее выполнено условие lim sup^^^, |ф(ж)| < 1 (верное для любого несингулярного распределения [4]).

В [2] при условии, что распределение F имеет тяжелые хвосты, обладающие свойством субэкспо-ненциальности, в зависимости от характера относительного роста m, n и свойств хвостов F установлены невырожденные законы Фреше и Гумбеля.

Основной результат работы [3] (приводимая далее теорема) получен в предположении, что распределение F обладает нулевой асимметрией, конечными средним и дисперсией (которые для простоты полагаются равными нулю и единице соответственно), характеристическая функция ф аналитична в окрестности нуля.

1 Кузнецова Татьяна Викторовна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Теорема. Пусть Ymn = maxi^i^m^j=i Xij, i,j ^ 1, Xj — независимые случайные величины с 'распределением F, lnm = o(n6/i0), m,n ^ ж. Тогда существуют константы amn и bmn, такие, что

Г Ymnn 1 amn ] г —х т

Р^---<х> ^ ехр{-е },

^ bmn '

и они выражаются следующими формулами:

. i /2 , , .i/o , , , ч1/о ln 4п + ln ln m

bmn = 21n m)~1'2, amn = {2\nm)1'2 - • 21n m)1'2 - ——-——,

12n 2(2 ln m)1/o

где Ф4 — семиинварианта порядка 4 (Ф4 = ¡14 — 3а4 ).

В настоящей работе также исследуется асимптотическое поведение экстремумов вида (1). Однако в отличие от предыдущих исследований предполагается, что случайные величины {Xj}, i ^ 1, j ^ 1, являются зависимыми по столбцам (при одинаковом j) и независимыми по строкам (при разных j).

В качестве одной из моделей зависимости случайных величин часто рассматривается такая модель, в которой каждая величина представляется в виде двух слагаемых, при этом первые слагаемые одинаковы для этих величин, а вторые независимы. Мы хотим иметь возможность регулировать меру зависимости случайных величин с помощью некоторого параметра, однако их частные распределения при этом должны оставаться неизменными. В общем виде обеспечить эти требования и получить для них результаты непросто, поэтому мы рассмотрим три частных случая: нормального распределения, распределения Лапласа и a-устойчивого распределения.

Случай нормального распределения. Пусть Ymn = maxi^i^m Xj=i Xij, где случайные величины (Xij,..., Xmj), 1 ^ j ^ n, имеют постоянную корреляцию p(m). Рассматриваются распределения с р ^ 0. Пусть

Xij = Pi/2 Цj + (1 — P)i/2nij, (2)

,nij независимы и ~ N(0,1). Следовательно, Xij также имеет нормальное распределение с пара-

метрами 0 и 1. Тогда Yj¡=i Xij = pi/2Yj¡=i + (1 — P)i/2 ^n=i nij , { £n=i Xj, i ^ 1, также гауссовские случайные величины.

Утверждение 1. Пусть Ymn = maxi^¿^m Xj=i Xij, {Xij} — случайные величины вида (2), р = p(m). Пусть

ат = ----bm( lnlnm + 1п47г], Ът = (2Inm)"1/2.

bm 2

1. Если последовательность p(m) lnm сходится при m -^ж к конечному числу т, то

Y n—i/o _

Y mn n 1

lim P ÍÍH^L--aJH<x\=H{x)i

L bm J

где Н(ж) = Н3,0(ж) = ехр(—е-х) при т = 0; Н(ж) = Н3,0(ж + т) о Ф(ж(2т)-1/2) при т > 0, Ф(ж) стандартная нормальная функция распределения, а "о " означает свертку распределений. 2. Если р(т) 1пт ^ ж, то справедливо равенство

lim р{Ymnn—i/2 < am(1 — p)i/2 + xpi/2} = Ф(ж).

Доказательство. Пусть £ = n 1/2 ^™=i Cj, Vi = n 1/2 Sn=i Vij, следовательно, независимы и

£j, nij - N(0,1). Тогда

Ymn = n1/2(p1/2C + (1 - p)1/2 max щ)-

Для Ymnn-1/2 = p1/2£ + (1 — p)1/2 max1^i^m ni доказательство утверждения сводится к доказательству теоремы 3.8.1 из [2]. Утверждение доказано.

Случай распределения Лапласа. Рассмотрим распределение Лапласа с плотностью вероятности р( ж) = fe-^l.

Пусть Утп = шах1^т Т-п=1 хч, где

Хч = л/Т^Щ + г ^ 1,3 (3)

0 < в < 1 — коэффициент корреляции случайных величин (Х-,..., Хт-), 1 ^ ] ^ п; п—, С- — независимые случайные величины, распределенные по закону Лапласа с параметром Л; к-независимы между собой;

kj —

1 с вероятностью в, 0 с вероятностью 1 — в.

Лемма. Случайные величины {Xj}, i ^ 1, j ^ 1, также имеют распределение Лапласа с параметром X.

Доказательство. Характеристическая функция распределения Лапласа с параметром X имеет вид <f>(t) = xr^j. Тогда

X2 г X2 т X2

= A' + p-oH" -9) + lto} = = ««•

Лемма доказана.

Положим для простоты дисперсию распределения Лапласа равной единице, что имеет место при Л = \/2. В этом случае получаем г/^ = 3.

Утверждение 2. Пусть Ymn — Xij, {Xij} — случайные величины вида (3), lnm —

o(n6/10),

. 1/2 , , ,1/2 ln m ■ (2ln m)1/2 ln4^ + lnlnm

bmn = 21nm "1/2, ttmn = (21nm) '--^-J----—-

4n 2(2 ln m)1/2

1. Если последовательность в ln m сходится при m к конечному числу т, то

lim Р{ YmnU~1/2 ~ атп < Л = Н{х),

n,m^<x V bmn J

где H(х) — H3,0(x) — exp(—e-x) при т — 0; H(x) — H3;0(x + т) о Ф(х(2т)-1/2) при т > 0, Ф(х) — стандартная нормальная функция распределения, а "о " означает свертку распределений.

2. Если в ln m ^ ж, то справедливо равенство

lim р{Ymnn-1/2 < amn(1 — в)1/2 + хв1/2} — Ф(х). т^ж к J

Доказательство. Так так для рассматриваемого распределения Лапласа = 3, то из теоремы следует

.1/9 , , .1/9 ln m ■ (2ln m)1/2 ln4^ + lnlnm

bmn = 21nm "1/2, (imn = (2Inm) '--^-J----—-

4n 2(2 ln m)1/2

Пусть Yo = (n9)-1/2 ЕП=1 k j, Yi = n-1/2 ^П=1 Чз, 1 < i < m. Тогда

n n

Ymn = У kjij + л/1-в max i У щ I = л/п(л/вУ0 + л/1-6 max Yi). j=1 j=1

По центральной предельной теореме Yo — N(0,1) при n — ж (так как E(kj) = 0, D(kj) = в ); {Yi}, 1 ^ г ^ m, распределены по закону Лапласа с Л = \/2 (с ЕYi = 0, DYj = 1). Рассмотрим

Ymn = Ymnn-l/2 = VdYo + л/Т^О max 1- = VdY0 + л/T^OY^ (4)

где Ym = max1 Yi. Далее

Ymn Q>mn _ j-j it/

7 — Urnn 1 vmm

bmn

где Umn = (20 In m)1/2Yo1 Vmn = (1 — в)1^2 ——^ ^— апг", Umn и Vmn независимы. Покажем, что если последовательность в ln m сходится при m — ж к конечному числу т, то как величина Umn, так и величина Vmn имеют предельные распределения.

Действительно, если т = 0, то Umn — 0. Поэтому справедливо равенство

Нш Р(Гтп < amn + bmnх) — lim P(Vmn < x).

Далее будет доказано, что последний предел равен Нз,о(х). Если 0 < т < ж, то имеет место равенство

lim P(Umn < х) — Ф[х(2т)-1/2].

Поэтому если мы докажем соотношение

P(Vmn < х) — Н3,о(х + т), (5)

то наше утверждение будет верно.

Исследуем распределение величины Vmn. Заметим, что достаточно установить соотношение (5) при 0 < т < ж, так как при т — 0 предельное распределение сводится к Нз,о(х). Из теоремы нам известно, что при n,m — ж справедливо соотношение

P(im < amn + bmnх) — Нззо(х). (6)

Далее имеем

P(Vmn < х) — P(Ym < Amn + -Bmnx), где Amn — (1 в) / amn, Bmn — (1 в) / bmn.

Чтобы получить соотношение (5), достаточно показать, что при n,m —ж справедливы формулы

Amn amn Bmn -, -7--► t и —--► 1.

bmn bmn

Последняя формула следует из предположения, что в ln m — т, так что в — 0. Поэтому требуется доказать только первое соотношение.

Поскольку (1 - в)~1/2 = 1 + \в + 0{в2)

при в — 0, имеем

Amn~amn = ~-в)~1/2 ~ 1] = \}_Q + 0{в 2)1 [2 ln m + o(ln m)] = [1 + o( 1)}в ln ttw т

bmn bmn 2

при n,m — ж. Первая часть утверждения доказана.

Обращаясь к случаю в ln m — ж при m — ж, мы, используя новые нормализующие постоянные,

изучим распределение величины в-1/2 Ymn — amn(1 — в)1/2 . В силу представления (4) она может быть приведена к виду

Yo + (1 — в)1/2в-1/2^ — amn) — Yo + Tmn, где Tmn — 0, что легко следует из соотношения (4), оценки

P(|Tmra| ^ е) < Р(6»"1/2|Г^ - amn\ > е) = p\\Y£~a™\ > е{2в\пт)1'2

bmn

и соотношения в ln m — ж при m — ж. Следовательно,

предельное распределение нормализованной, как указано выше, величины Ymn совпадает с предельным распределением величины Y0, которое является стандартным нормальным распределением. Утверждение доказано.

Случай устойчивого распределения. Определим a-устойчивое распределение через его характеристическую функцию [5, формула 1.2]

i-aa\t\a(l -¿/3sign(i)tan^]> +iut, если а ф 1;

lnФ(г) — { г1 ^ i

I —cr|iN 1 + i/3sign(i)| ln |t| ^ + i/it, если a = 1.

Мы предполагаем, что ц = 0, а = 1, 0 < а < 2, а = 1. Обозначим соответствующую функцию распределения Ga,ß.

Рассмотрим Ymn = maxi^i^m Xj=i Xij, где {Xij}, i ^ 1, j ^ 1, таковы, что

Xij = pi/a j + (1- p)1/aVij, (7)

где 0 < p < 1 и p представляет собой меру зависимости между величинами (Xij,...,Xmj), 1 ^ j ^ n. Параметр p не является коэффициентом корреляции как в случаях нормального распределения и распределения Лапласа, поскольку для случайных величин, не имеющих дисперсии, коэффициент корреляции не определен. Случайные величины £j,щ имеют функцию распределения Gaß. В силу свойств устойчивого распределения [4, гл. 4, §1, теорема 2] {Xij}, i ^ 1, j ^ 1, также имеют функцию распределения

Ga,ß.

Утверждение 3. Пусть Ymn = maxi^i^m^j=i Xij, {Xj} — случайные величины вида (7), bm =

тх1а{Са{\ + ß))l/a, где Са = £г(а) sin

1. Если последовательность m(1 — p) сходится при m — ж к конечному числу т, то

lim Р{Ymnn-i/a < х\ = H(x),

n,m^-<x l J

где H(х) = Gaß(х) при т = 0; H(х) = Hi,a(c(T)-iх) о Gaß(х) при т > 0; Hia(x) = exp(—х-а), х > 0, — распределение Фреше с параметром а, Ga,ß(х) — функция устойчивого распределения, с(т) = тl/a(Ca(1 + ß))i/a.

2. Если m(1 — p) — ж, то справедливо равенство

n m

г Y n-i/a -i

l^\{iTpY,abm<x) = G^)-

Доказательство. Нормирующий коэффициент bmn, необходимый для сходимости Ymn к закону Фреше, можно найти из асимптотики правого хвоста устойчивого распределения. Эта асимптотика известна (см. [5, формула 1.1]):

__1 тггу

F(x)~x~aCa(l + l3), где Са = —Г(а) sin —.

п 2

Находим Ьт из условия тР(Ът) —1, т —оо:

Са(1+/3)Ъ~а = ±,

откуда Ьт = т1/а (Са(1 + в))1/а.

Если Со = п"1/а £П=1 С-', а Пг = п-1/а £П=1 Пг-, то

п

Утп = шах Е Хг- = п1/а (р1/а Со + (1 - р)1/а max пг). '=1

Возьмем Утп = п-1/аУтп, следовательно,

Утп = р1/аСо + (1 - р)1/а шах Пг.

Тогда шаХ1^т = Где имеет распределение Фреше с параметром а.

Пусть т(1 — р) ^ т.

1) Если 0 ^ т < ж, то р ^ 1 (т ^ то), значит,

Утп = р1/аС0 + (1 — Р)1/аЬтСт ^ Со + с(т)(*,

где с(т) = т 1/а(Са(1 + в))1/а.

Таким образом, при т = 0 имеем

lim Р{Ymnu-1/a <x} = Ga,ß(x),

n, m^tt к j

при 0 < т < ж

lim р{Ymnn-1/a <x} = Hha(c(T)-1 x) * Gaß(x). n, m^tt к J

2) Если т = ж, то

Ymn P1/ab + (1- P)1/abmim d „

Следовательно,

(1 - p)1/a bm (1 - p)1/a b„

Y n-1/a

mn

{(1 -npy/4m<x} = GaAx)-

lim P

n,m^tt L(1 — n)1'ab■

Утверждение доказано.

Автор выражает признательность научному руководителю доценту А. В. Лебедеву за поставленные задачи и полезные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лебедев А.В. Предельные теоремы для максимумов независимых случайных сумм // Теория вероятн. и ее при-мен. 1999. 44, № 3. 631-634.

2. Лебедев А.В. Максимумы независимых сумм в случае тяжелых хвостов // Теория вероятн. и ее примен. 2004. 49, № 4. 791-794.

3. Кузнецова Т.В. Уточнение предельной теоремы для максимумов независимых случайных сумм в случае нулевой асимметрии // Теория вероятн. и ее примен. 2010. 55, № 2. 357-362.

4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1984.

5. Borak S, Hardle W, Weron R. Stable distributions // http://sfb649.wiwi.hu-berlin.de/papers/pdf/SFB649DP2005-008.pdf.

Поступила в редакцию 30.03.2011