Предельные модели теорий унаров Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 2. С. 10-14.

УДК 510.67 К.А. Байкалова

ПРЕДЕЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ТЕОРИЙ УНАРОВ

Показывается, что число предельных моделей малой теории унара принимает одно из значений: 0, 1, ю или 2ю . Кроме того, приводятся примеры теорий, для которых реализуются эти значения.

Ключевые слова: предельная модель, унар.

Введение

Понятие предельной модели введено в книге [1]. Там же поставлена проблема существования 2-эренфойхтовых теорий в различных классах теорий. В настоящей работе эта проблема решается для теорий унаров. Более того, показано, что число предельных моделей малой теории унара принимает одно из значений: 0, 1, о или 2ю. Тем самым решается проблема Воота [2] о существовании теорий с несчётным и неконтинуальным числом счётных моделей для этого класса теорий. В работе также установлено, что все эти значения реализуются.

Ранее вопросы, связанные с числом моделей теорий унаров, изучались в работах [3-5]. Используемые ниже определения можно найти в [1; 3].

Основной результат

Напомним несколько определений.

Полная элементарная теория Т называется малой, если число полных типов теории Т счетно.

Последовательность моделей (Мп )пею называется элементарной цепью, если Мп ^ Мп+1 для всех п ею.

Модель М малой теории называется предельной, если М не является простой моделью ни над каким кортежем и М = ^ Мп для некоторой

пею

элементарной цепи (Мп )пею простых моделей над некоторыми кортежами.

Унаром называется алгебраическая система с одной одноместной функцией.

Теория унара Т называется ограниченной, если существует такое натуральное N что Т Ь Ух( ^ (х) « (х)) .

п<т< N

Маршрутом длины п в неориентированном графе Г называется любая последовательность вершин а0,а1,...,ап такая, что а1,а1_1 соединены ребром для всех г = 1,2,...,п . В раскрашенном графе вершины одного маршрута могут быть соединены ребрами разных цветов.

Расстоянием между элементами а и Ь графа Г называется длина кратчайшего маршрута от а до Ь в Г, если такой маршрут существует, и расстояние между а и Ь бесконечно в противном случае.

Компонентой связности графа Г называется максимальное подмножество множества вершин, в котором любые два элемента связаны маршрутами.

Диаметром компоненты связности называется наибольшее из расстояний между элементами в этой компоненте связности, если такое существует, и бесконечность в противном случае.

Для ориентированных графов рассматриваются соответствующие неориентированные графы.

© К.А. Байкалова, 2014

Будем использовать следующие результаты.

Теорема (Шишмарев [3]). Теория унара Т о-категорична тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) Т ограничена;

2) если М \= Т , то в М существует лишь конечное число неизоморфных множеств вида у /- (а) .

п<ю

Лемма 1 (Маркус [4]). Пусть Т - теория унара, М \= Т . Тогда если /(а) = Ь и а - неалгебраический элемент над Ь в М, то М \ у /-п (а) ^ М .

п<ю

Лемма 2 (Маркус [4]). Пусть Т - теория унара, М \= Т , С - компонента связности. Тогда следующие словия удовлетворяют (4) ^ (1) - (2) - (3).

1. М ^ М о с.

2. Существует модель N — М , содержащая счетное число копий С.

3. Существует модель N — М , содержащая счетное число компонент связности — С.

4. Существует модель N — М такая, что N и М содержат различное ненулевое число компонент связности — с .

С их помощью доказывается следующая теорема.

Теорема. Если Т - малая теория унара,

то Т имеет 0, 1, о или 2Ш предельных моделей.

Доказательство. Если Т о-категорична, она имеет единственную счетную модель, которая проста, а значит, не является предельной.

Предположим, что Т не о-категорична. Пусть М0 - простая модель теории Т. Так как Т не о-категоричная, то по теореме Шишмарева не выполняется хотя бы одно из условий (1),(2).

Если не выполняется условие (1), то диаметр компонент связности в М0 не ограничен. А значит, существует модель теории Т, содержащая компоненту связности С бесконечного диаметра. Если существует простая над некоторым кортежем Ь = (Ь1,...Ьт) модель М1 \= Т такая, что число компонент, элементарно эквивалентных С, в М1 отлично от числа таких компонент в

М0, то по Лемме 2 (4 ^ 1) М О1 С . Пусть Ь1,...Ьк - все элементы кортежа Ь ,

лежащие в С. Тогда модель М О С проста над кортежем (а1,...ап,Ь1,...Ьк) . Если М содержит конечное число компонент связности, изоморфных С, то Ми М О С неизоморфны. Таким образом можем расширить любую простую над кортежем модель теории Т и получить неизоморфную ей модель, простую над большим кортежем. Неизоморфным компонентам С будут соответствовать различные способы расширения.

Если не выполняется условие (2), все а е М0, для которых множества

У /— (а) не изоморфны, будут реализовы-

п<ю

вать разные главные типы. А значит, в Т существует хотя бы один неглавный 1-тип.

Если в некоторой модели М1 \= Т, простой над кортежем (Ь1,...Ьт), существует реализация Ь неглавного типа, для которой существует I такое, что /1 (Ь) е М , то пусть I - минимальное с таким свойством, положим с = /1 (Ь) . Элемент с не алгебраический над ё = /(с) , так как с не принадлежит М.

Значит, по лемме 1 М < М О(У /(с)) ,

при условии, что /(с) = ё . Если Ь1,.Ьк е У /-1 (с)) , то новая модель будет

проста над (а1,...ап,Ь1,.Ьк).

Если существует реализация Ь'е М1 неглавного типа, для которой не существует такого I, что /' (Ь') е М0 , то Ь' лежит в компоненте связности С, не пересекающейся с М0 . Если количество компонент связности, изоморфных С, в М0 бесконечно, то

М = МОС . Если число таких компонент в М0 конечно, то оно отлично от их количества в М1, а значит, по лемме 2 (4 ^ 1),

М < М О С и М и М О С неизоморфны. Пусть Ь1,...Ьк - все элементы кортежа Ь ,

лежащие в С. Тогда модель М О С проста над кортежем(ах,.ап,Ь1,...Ьк) . Таким образом, можем расширить любую простую над кортежем модель теории Т и получить неизоморфную ей модель, простую над большим кортежем. Неизоморфным ограниченным компонентам С будут соответствовать различные способы расширения, отличные от описанных в первом случае.

Если в некоторой модели теории Т есть компонента связности или множество вида (У 1 (с)) , которое можно и копировать,

и расширять, добавляя к нему новые множества вида (У /~* (с)) , то каждую копию

*<Ю

можем расширять точно так же. Модель, содержащая бесконечно много таких копий, будет предельной. Пусть пк - количество таких копий, к которым прикреплено к множеств вида (У /(с)) . Если для двух

*<ю

предельных моделей хотя бы одно из таких чисел пк будет различаться, эти модели не будут изоморфны. И для любого набора таких чисел пк существует предельная модель

с таким набором. А всего таких наборов 2ю . А значит, и предельных моделей в этом случае будет 2ю .

Далее будем считать, что такая ситуация невозможна. Тогда если Ь е М1 - элемент неглавного типа и существует I такое, что /' (Ь) е М , то существует I такое, что /1 (Ь) е М0. Пусть I - минимальное с таким свойством. Обозначим с = /1 -1(Ь) и й = /(с) . Тогда й е М0, с не алгебраический над й. Пусть М' - модель теории Т, простая над кортежем (а1 ',...ап ') . Так как й еМ0, й еМ'.

Тогда по лемме 1 М' < М'0(У /(с)) . Если

*<ю

эти модели неизоморфны, получаем новый способ расширения. Пусть Ь1,___Ьк - все элементы кортежа Ь , над которым проста модель М1, лежащие в (У /(с)) . Тогда мо-

*<ю

дель М У /_* (с)) проста над кортежем

*<ю

(а/, _ап ',Ь1,_Ьк) . Таким образом, можем расширить любую простую над кортежем модель теории Т и получить неизоморфную ей модель, простую над большим кортежем. Элементам Ь, для которых множества

(У /_* (с)) неизоморфны или элементы с не

*<ю

однотипны, будут соответствовать разные способы расширения.

Пусть М - модель теории Т, простая над некоторым кортежем. Построим для нее последовательность моделей (Мг )к=0. М0 - простая модель теории Т. Пронумеруем все элементы из М \ М0. Пусть построена модель

М1, построим М1+1. Выберем элемент Ь е М \ М1 с наименьшим номером, С -компонента связности из М, содержащая Ь. Если С Р| М1 = 0, полагаем Мм = М1У С .

Иначе найдется п такое, что /п (Ь) е М1. Пусть п - минимальное с таким свойством.

Тогда элемент с = /" 1 не алгебраический над й = /(с) . Если в У /(с) найдется эле-

*<ю

мент неглавного типа, можем расширить М1 до М1 У /_* (с)) . В этом случае пола-

*<ю

гаем Мг+1 = У /_* (с)) . Иначе в множе-

*<ю

стве У /_* (с) все элементы главного типа, а

*<ю

значит, в Мг бесконечно много копий этого множества и М1 У /_* (с)) = М1. В этом

*<ю

случае заменяем М1 на У /_* (с)) и

*<ю

берем следующий элемент. И продолжаем так до тех пор, пока не получим модель Мк = М . Это произойдет за конечное число шагов, так как кортеж, над которым проста новая модель, увеличивается на каждом шаге, а М проста над кортежем.

В каждом из случаев число способов расширения не более чем счётно. А значит, всего их тоже не более чем счётно. Тогда можем их занумеровать. Простой модели М теории Т поставим в соответствие вектор п = (п1,п2,п3,_) , где пг - количество расширений способом с номером г в цепочке моделей, построенной для М. Сумма всех координат этого вектора будет равна к, т. е. длине цепочки. Если двум моделям соответствует один и тот же вектор, они изоморфны. По каждому вектору можно восстановить цепочку расширений, а значит, и модель, которой он соответствует. Таким образом, получили взаимнооднозначное соответствие между простыми моделями теории Т и векторами с конечной суммой координат.

Будем говорить, что вектор т не превосходит вектор п , если для любого г выполняется неравенство т1 < п1 .

Пусть вектор п соответствует модели Мх, а вектор т - модели М2. Если п < т , то М М2 . Если М1 -< М2, то, занумеровав элементы в М2 так, чтоб элементы из М1 получили меньшие номера, получим, что в цепочке для М2 будет М1, а значит, п < т . Таким образом, элементарной цепи соответствует неубывающая последовательность

векторов. Пусть пг() - г-я координата вектора для ]-й модели. Тогда объединению элементарной цепи будет соответствовать вектор с координатами п1 = тах(п\j)) . Если

]<ю

сумма его координат конечна, объединение такой элементарной цепи будет простой моделью. Иначе - предельной. Таким образом, предельным моделям будут соответствовать

векторы с бесконечной суммой координат. Если способ расширения всего один, векторы будут одномерными и единственным вектором, соответствующим предельной модели, будет о. В этом случае предельная модель единственна. Если способов расширения конечное число, большее 1, то подходящих векторов, а значит, и соответствующих им предельных моделей, будет о. Если способов расширения о, таких векторов будет 2т . А значит, и предельных моделей тоже будет 2ет.П

Пример 1. Рассмотрим теорию ТН(< Ъ, s >) , где Э - функция следования. Простой моделью будет < Ъ, 5 >. Имеем единственный способ расширения - добавление неограниченной компоненты связности. Предельная модель будет единственной.

Пример 2. Положим ср(х) = (/2(х) =

= х а 3у(/(у) = х л—/2 (у) = у)) , у/(у) =

= 3х(с(х) л (/(у) = х V /2 (у) = х)) . Рассмотрим теорию унара, заданную следующими предложениями:

1) 3=2 у/ 2( у) = у (существует одно кольцо длины 2);

2) 3! хс(х) (существует один элемент из кольца длины 2, имеющий прообраз вне кольца);

3) Vy^(y) (из любого элемента можно попасть в кольцо длины 2 за один или два шага);

да

4) л 3! у(3х(с(х) л /(у) = х) л 3=п/(7) = у)

п=0

(для каждого натурального п существует один элемент, имеющий п прообразов, из которого можно за один шаг попасть в кольцо длины 2).

Модель этой теории будет состоять из единственной компоненты связности. Эта компонента содержит цикл длины 2, один из элементов которого имеет прообразы с любым конечным числом прообразов. В простых над кортежами моделях он также будет иметь некоторое конечное число прообразов с бесконечным числом прообразов. Единственная предельная модель будет получаться добавлением к простой модели бесконечного числа элементов с бесконечным число прообразов.

Пример 3. Рассмотрим теорию унара, заданную предложениями:

1) 3=2 у/2(у) = у (существует одно кольцо длины 2);

2) 3! хс(х) (существует один элемент из кольца длины 2, имеющий прообраз вне кольца);

3) л 3!у(3х(с(х) л/(у) = х) л3=п/(7) = у)

п=0

(для каждого натурального п существует один элемент, имеющий п прообразов, из которого можно за один шаг попасть в кольцо длины 2);

4) Vy(3x(с(х) л /2 (у) = х л -х = у) ^

^ —13/(7) = у) (не лежащий в кольце длины 2 элемент, из которого можно за два шага попасть в это кольцо, не имеет прообразов);

5) 3у— ц/( у) (найдется элемент, из которого нельзя попасть в кольцо длины 2 за один или два шага);

6) Vy(— у/(у) ^3!7/(7) = у) (элемент, из которого нельзя попасть в кольцо длины 2 за один или два шага, имеет единственный прообраз);

7) л—3/п (7) = 7 (нет колец длины, от-

пф2

личной от 2).

Формулы ф и ц> такие же, как в прошлом примере. Простая модель этой теории будет содержать две компоненты связности. Одна из них будет такой же, как в прошлом примере. И ее можно так же расширять, добавляя элементы с бесконечным числом прообразов. Вторая - компонента связности бесконечного диаметра, в которой каждый элемент имеет единственный прообраз. Второй способ расширения - добавление еще одной такой компоненты связности. Можем строить элементарную цепь, добавив к простой модели конечное число элементов с бесконечным числом прообразов и далее на каждом шаге добавляя новую компоненту связности. Или можем, наоборот, сначала добавить конечное число новых компонент связности, а потом на каждом шаге расширять модель, добавляя элемент с бесконечным числом прообразов. Или можем поочередно расширять обоими способами. Таким образом получаем счётное число предельных моделей.

Пример 4. Рассмотрим теорию унара, заданную предложениями:

да

1) л —3х/п (х) = х (нет колец);

п=1

да

2) л 3х3=пу/(у) = х (для каждого нату-

п=1

рального п найдется элемент, имеющий ровно п прообразов);

3) Vx(3=ky/ (у) = х ^ (3=к/(7) = / (х) л

лVt(/(?) = /(х) ^ 3=к5/(5) = Г))) (для каждого элемента его образ, и каждый его прообраз имеет столько же прообразов, сколько и сам этот элемент).

В модели этой теории в каждой компоненте связности все элементы имеют равное

число прообразов. И для каждого п ею\ {0} в простой модели найдется ровно одна компонента связности, каждый элемент которой имеет ровно п прообразов. По теореме о компактности существует модель, содержащая компоненту связности, каждый элемент которой имеет бесконечно много прообразов. Простые над кортежами модели будут содержать некоторое конечное число компонент каждого вида. Модель, в которой компонент связности хотя бы одного вида бесконечно много, является предельной. Таким образом получили 2ю предельных моделей.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Судоплатов С. В. Проблема Лахлана. Новосибирск : НГТУ, 2009. 336 с.

[2] Vaught R. Denumerable models of complete theories // Infinistic Methods. London : Pergamon, 1961. P. 303-321.

[3] Шишмарев Ю. Е. О категоричных теориях одной функции // Математические заметки. 1972. Т. 11. № 1. С. 89-98.

[4] Marcus L. The number of countable models of a theory of one unary function // Fundamenta Math-ematicae. 1980. Vol. CVIII. № 3. P. 171-181.

[5] Ряскин А. Н. Число моделей полных теорий унаров // Теория моделей и её применения. Новосибирск : Наука. Сибирское отделение, 1988. С. 162-182.