CC BY
16
Серия «Математика»
2010. Т. 3, № 4. С. 114-120
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 510.67
О предельных моделях над типом в классе ы-стабильных теорий *
С. В. Судоплатов
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,
Новосибирский государственный технический университет
Аннотация. Доказывается существование всех возможных значений числа предельных моделей над типом в классе ^-стабильных теорий.
Ключевые слова: предельная модель, ^-стабильная теория.
В работе [3] (см. также, [4, Глава 5]) показано, что любая счётная модель малой теории проста над некоторым кортежом или предельна, т. е. не проста ни над каким кортежом и представляется в виде объединения элементарной цепи простых над кортежами моделей. Там же описаны распределения предельных моделей малых теорий относительно предпорядков Рудин — Кейслера на множествах типов изоморфизма простых моделей над конечными множествами. Основные построения реализаций этих распределений проведены в классе теорий, у которых некоторые типы имеют бесконечный собственный вес и, в частности, такие теории не ш-стабильны.
Известно [7, 9], что для ш-стабильных теорий число попарно неизоморфных счётных моделей исчерпывается следующими значениями: 1, ш, 2Ш. При этом бесконечное число счётных моделей обеспечивается счётными предпорядками Рудин — Кейслера. Вместе с тем неизвестно, существует ли ш-стабильная теория, обладающая свойством I-эренфойхтовости, т. е. имеющая конечное, но большее единицы число предельных моделей.
В связи с указанной проблемой в настоящей работе строятся примеры ш-стабильных теорий, обладающих любым наперёд заданным числом Л Є ши{ш, 2Ш} предельных моделей над некоторым типом (предельная модель М теории Т называется предельной над типом р Є Б (Т),
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 09-01-00336-а, а также Совета по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проект НШ-3669.2010.1.
если М представляется в виде объединения элементарной цепи простых моделей Ма„ над кортежами ап, п Є ш, каждый из которых реализует тип р). Тем самым, доказывается следующая теорема (где через 1Ь(Т, р) обозначается число попарно неизоморфных моделей теории Т, каждая из которых предельна над типом р).
Теорема 1. Для любого кардинала Л Є ш и {ш, 2ш} существует ш-стабильная теория Т с некоторым типом р(ж) Є Б:(Т), собственный вес которого равен 1 и 1Ь(Т, р) = Л.
Мы будем пользоваться без пояснений терминологией из книг [4, 5, 6]. За основу конструкции мы возьмём свободную ориентированную псевдоплоскость с 1-несущественной упорядоченной раскраской, построенную независимо А. Пилаем [8] и автором [2] для реализации свойства несимметричности отношения полуизолированности в классе ш-стабильных теорий. Также будет использоваться ш-стабильная модификация этой конструкции, представленная в [4, Пример 1.2.3] для получения 2ш попарно неизоморфных предельных моделей над типом Ргс>(ж) элементов бесконечного цвета. Наконец, мы воспользуемся описанным в [3, 4] сведением получения заданного числа предельных моделей к построению факторизаций множества числовых последовательностей по системам словарных тождеств.
Напомним несколько понятий из теории стабильности, относящихся к классу простых теорий [1, 10, 11]. Говорят, что формула <^(ж, а) в теории Т копируется над множеством А, если существуют натуральное число т и кортежи ап, п Є ш, для которых выполняются условия:
1) tp(а/A) = tp(a”'/A), п Є ш;
2) множество формул {^>(ж, ап) | п Є ш} т-несовместно, т. е. для любого множества -ш С ш мощности т формула Д <^(ж, ап) не совместна
и£'Ш
в Т.
Кортежи а и Ь называются зависимыми над А, если найдётся формула <^(ж, а) в теории Т, которая копируется над А и удовлетворяет условию |= ^>(Ь, а). Если кортежи а и Ь не являются зависимыми над А, то они называются независимыми над А. Кортежи, зависимые (независимые) над 0, называются просто зависимыми (независимыми). Последовательность кортежей называется независимой, если каждый кортеж этой последовательности независим с любым кортежом, составленным из координат остальных элементов последовательности.
Говорят, что тип р(ж) Є Б(0) имеет собственный вес не меньше Л (Л — некоторый кардинал) и пишут -ш(р) ^ Л, если существует реализация а типа р(ж) и независимая последовательность (йі)і<д реализаций типа р(ж) такая, что кортежи а и а зависимы для любого і < Л. Полагаем -ш(р) ^ Л, если -ш(р) ^ Л и не имеет места -ш(р) ^ ^ для всех ^ > Л.
Напомним [4], что свободной ориентированной псевдоплоскостью называется счётная модель Мо связного бесконтурного ациклического графа (Мо; ф), в котором каждый элемент имеет бесконечное число образов и бесконечное число прообразов.
Обогатим структуру Мо 1-несущественной ф-упорядоченной раскраской Со1 : Мо ^ и и {то} так, чтобы каждый элемент цвета п имел:
1) для любого ^ ^ п (включая то) бесконечное число образов цвета ^ как по отношению ф;
2) для любого т ^ п бесконечное число прообразов цвета т как по отношению ф.
Положим Со1п ^ {а | Со1(а) = п}, п € и.
Теория Т0 ^ ТИ((М0; ф, Со1п))п&ш и-стабильна в силу её Д-бази-руемости (вытекающей в свою очередь из ацикличности структуры), где Д — наименьшее замкнутое относительно подстановок переменных множество формул, имеющих не более двух свободных переменных, содержащее формулу (ж ^ у) и удовлетворяющее следующему условию: если <^(ж, у) € Д, то Ег (^>(ж, г) Л (г, у) Л Со1П2 (г)) € Д, где £1, €
{-1,1}, £2 € {0,1}, ф1(ж,у) = ф(ж,у), ф-1(ж,у) = ф(у,ж), Со1П(г) = Со1п(г), Со1П(г) = —I Со1п(г). При этом счётность числа 1-типов над любым счётным множеством А обеспечивается счётным числом вариантов распределения расстояний от элементов из А до реализаций типов.
Отметим, что I(То, и) = 2Ш. Действительно, для любого элемента а бесконечного цвета количество элементов Ь, для которых |= ф(Ь, а) и Со1(Ь) = то, может варьироваться от 0 до и произвольным образом. Тем самым, имеется континуальное число попарно неизоморфных счётных моделей, содержащих последовательность (ап)пеш элементов бесконечного цвета, связанных условиями |= ф(ап+1,ап), п € и, и имеющих разное число реализаций типов д(ж,ап) ^ р^(ж) и {ф(ж,ап)}, п € и. При этом 1Ь(То,рте) = 1, так как имеется лишь одна возможность для элементарного расширения модели Мап до модели Мап+1 (любые пары вида (Ма„+1,Мап), где |= р^(ап+1) и {ф(ап+1,ап)}, изоморфны) и любая предельная модель над типом представляется в виде объединения элементарной цепи некоторых моделей Мап, где |= ф(ап+1,ап), п € и.
Заменим теперь предикат ф на новые двухместные предикаты фт, т € и, образующие разбиение предиката ф со следующими условиями:
1) для любого элемента а € Мо существует бесконечное число образов каждого цвета ^ ^ Со1(а) по каждому из отношений фт;
2) для любого элемента а € Мо существует бесконечное число прообразов каждого цвета ^ ^ Со1(а) по каждому из отношений фт.
Обозначим полученную структуру через М2ш. Теория Т2^ ^ ТИ(М2ш) снова и-стабильна в силу ацикличности структуры с раскрашенными вершинами и дугами. Однако на этот раз число предельных
моделей над типом pконтинуально (IL(T2^, рте) = ), так как пре-
дельные модели M = и Mttn над рте (где = p^(ara+i) U {Q(an+i, а„)},
n € w) задаются последовательностями (mn)new цветов дуг (an+1,an) € Qmn, n € w, а число таких последовательностей континуально. Из зависимости любых двух реализаций типа рте, лежащих в одной компоненте связности, а также из независимости любых двух реализаций типа рте, лежащих в разных компонентах связности, следует, что не существует двух независимых реализаций этого типа, зависящих от какой-то другой реализации типа рте. Таким образом, собственный вес типа рте равен 1.
Поскольку w-стабильные теории T с IL(T,p) = 0 и w(p) = 1, очевидно, существуют (например, годится теория пустой сигнатуры с единственным 1-типом p), для завершения доказательства теоремы осталось рассмотреть случаи IL(T,p) = Л, где Л € (w \ {0}) U {w}.
Пусть M' — структура сигнатуры (Col^, Rk2))n,fce^ с раскраской Col : M' ^ w U {то}, имеющей бесконечно много элементов каждого цвета, и с двухместными симметричными иррефлексивными отношениями R, k € w, по каждому из которых каждый элемент имеет бесконечно много образов, каждая компонента связности которых состоит из одноцветных элементов, а объединение отношений R образует ациклический граф.
Отметим, что из ацикличности теории T' ^ Th(M') следует её ба-зируемость формулами, описывающими цвета элементов, а также попарную взаимосвязь элементов с помощью кратчайших маршрутов. Из этой базируемости вытекает w-стабильность теории T' и равенство w(p^) = 1. Кроме того, для любых реализаций а', Ъ' типа рте теории T' таких, что Ma/ -< Mb' существует главная формула <^(а',у) с условием |= <^(а', Ъ'). Таким образом, некоторая простая модель над элементом а' совпадает с некоторой простой моделью над элементом Ъ' и предельных над типом рте в теории T' не существует.
Покажем, что для каждого ненулевого кардинала Л € w U {w} некоторое слияние T\ теорий T2^ и T' (определение слияния теорий см. в [4, § 2.6]) образует w-стабильную теорию с условием IL(T^,рте) = Л.
Для построения искомых слияний T\ заметим, что для любых реализаций а, Ъ типа рте теории T2^ таких, что Ma -< Mb и не существует главной формулы <^(а, у) с условием |= <^(а, Ъ), найдётся слово w = n1n2 ... nm алфавита w и реализации а0, а1,..., ат типа рте, для которых выполняется Mao = Ma, Mam = Mb и |= Qrai(а*,а*-1), i = 1,..., m. При этом модель Mb называется w-расширением модели Ma. По определению каждое n1n2 ... пт-расширение Mb модели Ma представляется в виде набора (Ma0, . . . , Mam), где Ma0 = Ma, Mam = Mb и каждая модель Mai является n^-расширением модели Mai-1, i =
1,..., т. Элементарная цепь (М8)8еш называется /-цепью (где / € иш), если М8+1 — /(в)-расширение модели М8 для любого в € и.
Некоторое слияние теорий Т^ и Т' позволяет свести существование изоморфизма объединений /о- и /1-цепей к существованию слов адт,^™ € и<ш, /(ш™) = /(ш™), т € и, удовлетворяющих следующим условиям:
а) последовательность / “подобна” счётной конкатенации слов
^о, ш1, * * *, ш™,..., г = 0,1;
б) любое ш^-расширение является ш^-расширением и наоборот, т € и.
С этой целью рассматривается генерическая конструкция, с помощью которой для любых двух реализаций ао,а1 типа рте, связанных и Л^-маршрутом, для любой модели Ма0 = Ма1 и любой модели
Мь1 и Мь2, где Мь0 — шо-расширение модели Ма0, найдётся элемент 61, связанный с Ьо некоторые и Лк-маршрутом и такой, что некоторая модель Мь1 является ш^-расширением модели Ма0. На основе стандартных рассуждений доказывается насыщенность генерической модели, а также базируемость генерической теории (формулами, описывающими цвета элементов, а также взаимосвязь элементов с помощью кратчайших маршрутов), из которой вытекает её и-стабильность.
Таким образом, проблема построения теорий Тд, как и проблема построения заданного числа предельных моделей над последовательностью типов q (см. [3] и [4]), сводится к проблеме нахождения такой факторизации множества иш отождествлениями слов
и ш™, чтобы результат факторизации содержал ровно Л классов.
Для достижения п € и \ {0} предельных моделей над типом рдо-статочно использовать следующую систему тождеств из доказательства теоремы 5.6.5 [4]:
• п — 1 ^ т, т ^ п,
• поп * * * п^ п8 * * * п8, тах{по,п1, * * * ,п8-1} < п8,
«+1 раз
сводящую все последовательности из иш к п константным последовательностям.
Рассмотрение системы тождеств из доказательства теоремы 5.6.5 [4]:
• поп * * * п^ п8 * * * п8, max{n0,n1, * * * ,п8-1} < п8,
8+1 раз
• поп1 * * * п ^ по(по + 1) * * * (по + в), по + в ^ п8,
• по п1 ***п5 « по(по + 1) *** (по+£) (по + £) *** (по + £), по+£ = п8,
'-------V--------'
«-* раз
£ > 0, в > £,
приводит к построению теории Тш с и предельными моделями над рте, для которой все последовательности из иш сводятся к и константным или диагональной последовательностям.
Как и для теории Т^, в теориях Тп и Тш имеет место равенство ш(р^) = 1. Теорема доказана.
Список литературы
1. Справочная книга по математической логике / под ред. Дж. Барвайса. - М. ; Наука, 1982. - Ч. 1 ; Теория моделей. - 392 с.
2. Судоплатов С. В. О мощных типах в малых теориях / С. В. Судоплатов // Сиб. мат. журн. - 1990. - Т. 31, № 4. - C. 118-128.
3. Судоплатов С. В. Гиперграфы простых моделей и распределения счётных моделей малых теорий / С. В. Судоплатов // Фундаментальная и прикладная математика. - 2009. - Т. 15, № 7. - С. 179-203.
4. Судоплатов С. В. Проблема Лахлана / С. В. Судоплатов. - Новосибирск ; Изд-во НГТУ, 2009. - 33б с.
5. Судоплатов С. В. Дискретная математика ; учебник / С. В. Судоплатов, Е. В. Овчинникова. - Новосибирск ; Изд-во НГТУ, 2010. - 280 с.
6. Судоплатов С. В. Математическая логика и теория алгоритмов ; учебник / С. В. Судоплатов, Е. В. Овчинникова. - Новосибирск ; Изд-во НГТУ, 2010. -25б с.
7. Lachlan A. H. On Шё numbёr of countabte modёls of a countabk supёrstablё thёory / A. H. Lachlan // Proc. Int. Cong. Logic, Mёthodology and Philosophy of Sciёncё. - Amstёrdam ; North-Holland, 1973. - P. 45-5б.
8. Pillay A. A notё on onё-basёd thёoriёs / A. Pillay. - Notre Damё ; Un^re^y of Notre Damё, 1989. - 5 p. - (Preprint).
9. Shelah S. A proof of Vaught’s тощё^иге for w-stabte thёoriёs / S. Shёlah, L. Harrington, M. Makkai // Israal J. Math. - 1984. - Vol. 49, N 1-3. - P. 259-280.
10. Shelah S. Classification thёory and Шё numbёr of non-isomorphic modёls / S. Shёlah. - Amstёrdam ; North-Holland, 1990. - 705 p.
11. Wagner F. O. Simpk thёoriёs / F. O. Wag^r. - Dordrecht ; Boston ; London ; Kluwёr Acadёmic Publishёrs, 2000. - 2б0 p.
S. V. Sudoplatov
On limit models over types in the class of w-stable theories
Abstract. An existence of all possible numbers of limit models over types in the class of w-stable theories is proved.
Keywords: limit model, w-stable theory
Судоплатов Сергей Владимирович, доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптю-га, 4, тел.: (383)3634674; профессор кафедры алгебры и математической логики, Новосибирский государственный технический универси-
тет, 630092, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел. (383)3461166 (sudoplat@math.nsc.ru)
Sudoplatov Sergey, Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, 4, Academician Koptyug Avenue, Novosibirsk, 630090, leading researcher, Phone (383)3634674; Novosibirsk State Technical University, 20, K. Marx Avenue, Novosibirsk, 630092, professor, Phone: (383)3461166 (sudoplat@math.nsc.ru)
