Предельные кубические кристаллические структуры для икосаэдрической укладки Аммана Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.783

ПРЕДЕЛЬНЫЕ КУБИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ДЛЯ ИКОСАЭДРИЧЕСКОЙ УКЛАДКИ АММАНА

© 2005 г. С. Б. Рошаль, Е.А Козинкина

A transformation of the perfect quasicrystalline order into a perfect (defect-free) crystalline one is considered through a sequence of intermediate structures on an example of icosahedral Amman tiling. Defect-free reconstruction is provided by the linear phason strain and accompanied by a simultaneous linear variation of the shape of the atomic surface. It is shown that the crystalline space-centered cubic structure of AlFeSi alloy is a limiting structure in that a structure is defect when the deformation in excess of the certain limiting value.

Системы, в которых наблюдается квазикристаллическое (КК) состояние, являются в основном металлическими сплавами [1]. В тех же самых системах широко представлены и кристаллические фазы, в том числе и родственные КК, так называемые кристаллические аппроксиманты. При превращении КК в родственную кристаллическую структуру базисные волновые векторы Ь, становятся соразмерными вследствие их неоднородной относительной деформации. При этом амплитуды соответствующих волн плотности приблизительно сохраняются. Превращение КК -кристалл не приводит к появлению новых волн плотности, а лишь немного подправляет волновые векторы существовавших ранее волн плотности, делая их соразмерными друг другу. Поэтому сечение, соответствующее кристаллической фазе в фазовом пространстве [2], должно быть рациональным. В настоящей работе рассматривается превращение КК - кристалл через непрерывную последовательность несоразмерных фаз, соответствующих промежуточным значениям Ь,. Такая модель непрерывного превращения в

сплаве А1Со№ была предложена в [2]. Отличительной чертой модели оказалась топологическая возможность бездефектного механизма перехода, при котором переключение позиций при превращении происходит так, что все структуры, через которые идет процесс превращения, строятся из одних и тех же структурных элементов. В дальнейшем будет показано, что рассматриваемый механизм перехода в конечном итоге приводит к простейшим периодическим структурам (названным предельными), построенным из тех же самых структурных элементов, что и первоначальная укладка. Целью настоящей работы является развитие аналогичной модели для сплавов, структуры которых могут быть интерпретированы на основе икосаэдрической укладки Аммана [3].

Модель фазового перехода для икосаэдрической укладки Аммана

Укладка Аммана (УА) представляет собой так называемую каноническую укладку. Единственная

атомная поверхность (АП), декорирующая 6Б пространство, получается как результат проектирования на так называемое перпендикулярное подпространство одной ячейки простой 6Б кубической решетки. 6Б куб имеет 64 вершины, 32 из которых после проектирования оказываются вершинами триаконтаэдра -правильной фигуры с симметрией икосаэдра, гранями которой являются 30 ромбов [3]. Остальные вершины 6Б куба оказываются внутри триаконтаэдра. УА образуются двумя типами ромбоэдров - толстым и тонким, гранями которых являются одинаковые ромбы с острым углом, равным аг^ [2].

Ниже приведены формулы для проектирования 6Б пространства (1) и (3) соответственно на параллельное (физическое) и перпендикулярное подпространства: 6

,} -

= 1 M

к=1

iknk'

(1)

где у - номер узла 6Б пространства; г/ - его параллельные координаты. Матрица проектирования имеет следующий вид:

(0 1

M" =

0 -1

1 т 0 -1 т 0 1 т

0 -1

(2)

Аналогично перпендикулярные координаты узлов укладки получаются по формуле

± 6

г/ = £Ы^п}к + м,, (3)

к=1

где - компоненты вектора (константы) однородного фазонного сдвига (ОФС); матрица проектирования М^ имеет следующий вид:

M ± =

( 0 -т -т 1

0 т 1 ^ т10

1

0 -т 1 0 т

(4)

В выражениях (1)-(4) т = (л/5 +1)/2 есть золотое среднее. Длина сторон ромбов, являющихся гранями толстого и тонкого ромбоэдров, равна у/т + 2 . Такую же длину имеют и ребра правильного триаконтаэдра,

т

т

0

т

представляющего собой АП идеальной УА. Вершины триаконтаэдра (32 штуки) распадаются на одну 12- и одну 20-кратную позиции группы симметрии ^ . Если группа ^ выбрана в кубической установке (когда оси 2-го порядка группы ^ лежат вдоль осей координат), то координаты одной из точек 12-кратной позиции, формирующей икосаэдр, есть (т, 0, т+1). Соответственно одна из точек 20-кратной позиции, формирующей додекаэдр, есть (0, 1, т+1).

Позиция принадлежит УА, если ее перпендикулярные координаты попадают в пределы АП в форме правильного триаконтаэдра. В 6Б пространстве каждая АП имеет 30 смежных АП. Границы смежных АП (ромбы) в проекции на перпендикулярное пространство совпадают. Смежные АП переводятся друг в друга векторами Vj, принадлежащими одной орбите

из 30 векторов. В фазовом пространстве п1 эти векторы являются целочисленными, а длины их перпендикулярных компонент равны расстоянию между противоположными сторонами (ромбами) АП. В фазовом пространстве ОФС соответствует плоско-параллельному движению гиперплоскости P, определяющей текущую структуру КК. Аналитически данная гиперплоскость P задается равенством нулю выражения (3). Каждая позиция КК порождается точкой пересечения гиперплоскости P с соответствующей АП. В процессе ОФС рассматриваемая точка пересечения попадет на одну из десяти сторон АП. При этом направление последующего перескока позиции однозначно определяется тем из векторов V, перпендикулярная проекция которого переведет данную сторону АП в противолежащую и параллельную ей сторону.

Фазовый переход КК - кристалл, связанный с согласованным изменением базисных векторов обратного пространства Ь i, эквивалентен возникновению линейной зависимости w от пространственных координат К Такие неприводимые линейные зависимости в литературе называются линейными фазонами (ЛФ) [4]. Амплитуда ЛФ определяется величиной искажения векторов Ь i. При достижении ЛФ определенной амплитуды векторы Ь i становятся соразмерными, и фазонно-модулированная структура превращается в периодическую аппрокиманту (ПА).

Здесь мы рассмотрим только ЛФ, ведущий к снижению симметрии типа ^ -> Th . При выделенной величине ЛФ данная деформация будет приводить к образованию ПА с кубической трансляционной симметрией. Данный ЛФ меняет перпендикулярные координаты узлов следующим образом:

r/Х =

Z ( +а k + w, »

(5)

k=1

где а - амплитуда ЛФ.

Основная идея, позволяющая осуществить бездефектную перестройку КК - кристалл, была выдвинута

в [3, 4]. Все превращающиеся друг в друга структуры имеют общий локальный порядок, что характерно для большинства реальных систем, в которых наблюдаются одновременно квазикристаллические и кристаллические фазы. Подход [3, 4] предполагает, что ЛФ деформация сопровождается изменением формы АП. При этом перпендикулярные координаты центров и вершин АП рассматриваются как проекции выделенных по симметрии точек фазового пространства. Так как фазонная деформация изменяет перпендикулярные координаты позиций фазового пространства, то она автоматически ведет и к изменению формы АП. ЛФ приводит к изменению длин и направлений векторов Vj в перпендикулярном пространстве в соответствии с формулой (5) которая одновременно задает и координаты вершин деформированного триаконта-эдра.

Как было показано в [3, 4] локальный порядок при ЛФ сохраняется, пока АП остается выпуклой. Геометрический анализ дает предельные значения а из

— 1 —3

формулы (5). Оказывается, что -т <а <т .

_ 3

В случае а = т АП из деформированного триаконтаэдра становится правильной фигурой с симметрией Oh, состоящей из квадратов и правильных шестиугольников. Вершины полученной фигуры получаются из точки (0,3 - т,2(3 - т)) элементами симметрии куба. При данном значении величины ЛФ

_3

а = т , сечение (5) является рациональным, а структура становится ОЦК с длиной кубических трансляций

а =

2т . В 6Б пространстве кубические трансляции данной структуры имеют вид: ах = =< 0,1,1,0, -1,1 >, ау=< 1,1,0, -1,1,0 >, аг =< 1,0,1,1,0, -1 > . Структура

характеризуется пространственной группой Т^, в

которой полностью заняты позиции: двукратная а) (0,0,0) и 24-кратная §) (0,0.19098,0.30902), и наполовину занята 12-кратная позиция ф (0,0,0.38197). Координаты приведены в долях трансляции а. Фактически позиция ф заполняется таким образом, что заполнение инвариантно только относительно какой-либо

из осей 3-го порядка группы Т^. Варианты такого

заполнения определяются величиной w. Основным мотивом такой структуры является группа из 12 тонких ромбоэдров с общей вершиной и локальной ико-саэдрической симметрией. Центрирующая трансляция ОЦК решетки совпадает с длинной диагональю тонкого ромбоэдра. Полное заполнение позиции ф несовместимо с укладкой, состоящей только из двух типов ромбоэдров.

Аналогичные кубические структуры хорошо известны экспериментально. В качестве примеров можно привести сплавы А1Мп81 и А1Бе81, структуры которых в зависимости от наличия или сорта одного из

компонентов могут иметь либо примитивную, либо ОЦК решетку [6]. В любом случае для кристаллической структуры этих сплавов характерно наличие почти икосаэдрических кластеров, образуемых отдельно атомами марганца (железа) и частью атомов алюминия, центры которых образуют ОЦК решетку. Данные кластеры как раз и соответствуют позиции g). В случае А1Бе81 икосаэдры эквивалентны, и решетка

ОЦК (пр. гр. Т5), а в случае А1Мп81 - неэквивалентны, и решетка простая примитивная (пр. гр. т\ ), причем геометрические различия этих структурных элементов в последнем случае крайне малы и связаны с различным заполнением атомами алюминия некоторых других позиций.

В случае а = -т-1 АП становится кубом. Вершины куба получаются из точки (х,х,х), где х = т2 - т"2, элементы кубической симметрии. При данном значении величины ЛФ а = -т-1 сечение (5) оказывается рациональным, а структура ПА становится простой кубической с длиной трансляций а = 2т. В 6Б пространстве кубические трансляции данной структуры являются векторами: ах =< 0,0,1,0,0,1 > , а у =

=< 0,1,0,0,1,0 > , аг =< 1,0,0,1,0,0 >. Структура характеризуется несимморфной пространственной группой Ть , в которой занята единственная 8-кратная позиция с) (х,х,х), где х=0,191а. Каждый узел структуры является общей вершиной для восьми ромбоэд-

Северо-Кавказский научный центр высшей школы_

ров.

Таким образом, предложенный в [3, 4] бездефектный механизм может быть применен к укладке Аммана, АП в которой являются сопряженными в квазикристаллической фазе и остаются таковыми в процессе фазонной деформации. Рассматриваемый механизм может быть термодинамически выгодным, так как предотвращает образование точечных дефектов. Он гарантирует сохранение локального порядка при превращении. Механизм предсказывает существование предельных периодических кубических структур, при достижении которых фазонная деформация может останавливаться, так как ее дальнейший рост обязательно приведет к образованию дефектов.

Авторы благодарны РФФИ за материальную поддержку в форме гранта 02-02-17871.

Литература

1. Wang N., Chen H., Kuo K.H. // Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 59. P. 1010-1013; Bendersky L. // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 55. P. 1461-1463; Chen H, Li D, Kuo K.H. // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 60. P. 1645-1648.

2. Rochal S.B., Lorman V.L. // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. P. 144-203.

3. Levine D., Steinhardt P.J. // Phys. Rev. B. 1986. Vol. 34. P. 596.

4. Show L.J., Elser V., Henley C.L. // Phys. Rev. B. 1991. Vol. 43. P. 3423.

5. CooperM. // Acta Cryst. 1967. Vol. 23. № 6. Р. 1106-1107.

20 апреля 2005 г.