CC BY
68
УДК 539.52
ПРЕДЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА ДЛЯ ЗАЩЕМЛЕННОЙ БАЛКИ, НАГРУЖЕННОЙ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛОЙ, НЕСИММЕТРИЧНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ И ОПОРНЫМИ МОМЕНТАМИ
И.А. Монахов1, Ю.К. Басов2
кафедра строительного производства Строительный факультет Московский государственный машиностроительный университет ул. Павла Корчагина, 22, Москва, Россия, 129626
2Кафедра строительных конструкций и сооружений Инженерный факультет Российский университет дружбы народов ул. Орджоникидзе, 3, Москва, Россия, 115419
В статье разработана методика решения задач о малых прогибах балок из идеального жестко-пластического материала при действии несимметрично распределенных нагрузок с учетом предварительного растяжения-сжатия. Разработанная методика применена для исследования напряженно-деформированного состояния однопролетных балок, а также для вычисления предельной нагрузки балок.
Ключевые слова: балка, нелинейность, аналитическое.
В современном строительстве, судостроении, машиностроении, химической промышленности и в других отраслях техники наиболее распространенными видами конструкций являются стержневые, в частности балки. Естественно, что для определения реального поведения стержневых систем (в частности, балок) и ресурсов их прочности необходим учет пластических деформаций.
Расчет конструктивных систем при учете пластических деформаций с помощью модели идеального жесткопластического тела является наиболее простым, с одной стороны, и достаточно приемлемым с точки зрения требований практики проектирования — с другой. Если иметь в виду область малых перемещений конструктивных систем, то это объясняется тем, что несущая способность («предельная нагрузка») идеальных жесткопластических и упругопластических систем оказывается одной и той же.
Дополнительные резервы и более строгая оценка несущей способности конструкций выявляются в результате учета геометрической нелинейности при деформировании их. В настоящее время учет геометрической нелинейности в расчетах конструктивных систем является первоочередной задачей не только с точки зрения развития теории расчета, но и с точки зрения практики проектирования сооружений. Приемлемость решений задач о расчете конструкций в условиях малости
перемещений достаточно неопределенна, с другой стороны, практические данные и свойства деформируемых систем позволяют считать, что большие перемещения являются реально достижимыми. Достаточно указать на конструкции строительных, химических, судо- и машиностроительных объектов. Кроме того, модель жесткопластического тела означает пренебрежение упругими деформациями, т.е. пластические деформации намного превосходят упругие. Поскольку деформациям соответствуют перемещения, то учет больших перемещений жесткопластических систем является уместным.
Однако геометрически нелинейное деформирование конструкций в большинстве случаев неизбежно приводит и к возникновению пластических деформаций. Поэтому особое значение приобретает одновременный учет пластических деформаций и геометрической нелинейности в расчетах конструктивных систем и, конечно, стержневых.
В данной статье рассматриваются малые прогибы. Подобные задачи решались в работах [1—4].
Рассматривается балка с защемленными опорами, под действием ступенчатой нагрузки, краевых моментов и предварительно приложенной продольной силы (рис. 1).
Рис. 1. Балка под распределенной нагрузкой
Уравнения равновесия балки при больших прогибах в безразмерной форме имеет вид
d2 т / , ч d2 w dn
—- + (п ± щ)—- + р = ^ — = 0, dx ах ах
(1)
х 2w р12 М N ,г ,,
где х ==, w =-, р =--, т =--, п =-, N и М — внутренние нормальная
I к 5хЪк Ъ!!Ък 25!!Ък
сила и изгибающий момент, р — поперечная равномерно распределенная нагрузка, W — прогиб, х — продольная координата (начало координат на левой опоре), 2к — высота поперечного сечения, Ъ — ширина поперечного сечения, 21 — пролет балки, 5^ — предел текучести материала. Если N задано, то усилие N является следствием действия р при
имеющихся прогибах, 11 = = , черта над буквами означает размерность величин.
Рассмотрим первый этап деформирования — «малые» прогибы. Пластическое сечение возникает при х = х2, в нем т = 1 - п2.
Выражения для скоростей прогибов имеют вид — прогиб при х = х2):
V = ■
V = ■
х,
(2-х), (х > Х2),
(X < х2).
(2)
Решение задачи разбивается на два случая: х2 < 11 и х2 > 11.
Рассмотрим случай х2 < 11.
Для зоны 0 < х2 < 11 из (1) получаем:
2 ( ;2 / /2 Л
Рх 111 1 Р11 к1р/1 т = + к1 р + р/1 -к1 р/1 -±4- +-^41
х -(1 -п2 )±а,
откуда:
йт йх
(, 1 , , р/2 к1 р12Л
= - рх2 + к1 р + р11 - к1 р11 —+ 1 ^
Х2 = к1 +11 - к111 - + ^
= 0:
(3)
Учитывая возникновение пластического шарнира при х = х2, получаем:
тх=х = 1 - п2 =- р
л-—д-2 ±
( 12 к12 Л к +/ - к1 - ^ + к'А
V 11 11 4 4 у
+
+ р
¡2 к1/12 Л
к, + /, - к,/, —L +
1 1 11 4 4
(1 - п? )±
а,
откуда
р:
2 (1 - п2)
+ а
( / 2 к/ 2 Л к1 + /1 - к1/1 - ^ + М
11 11 4 4
(4)
Рассматривая случай х2 > /1, получаем:
для зоны 0 < х < /1 выражение для изгибающих моментов имеет вид
2(
рх
т = --— +
к р-р2 + кар/1+р/1 -к1 р/1 ^ х-(1-П12 )±
а,
а для зоны 11 < х < 2 —
т = + +
2
^ р-рЦ + 1^ Л
х -(1 -п- )±а +
р112 Р11-
J
откуда
ат ах
(. рг- к1 р1-Л
= -кх рх2 + кх р+
х- V 44 J
= 0, и тогда
I2 12 1 ч ч х2 = 1 —— + —.
2 4А:1 4
(5)
Из условия пластичности вытекает равенство
( 12 и ..12 V
р
т
= 1 -п 2 = -
- + к^
2к
+
- ^-Ца,
откуда получаем выражение для нагрузки:
2к
р =
2 (1 - п2)
+ а
к1 - 12 + М Л2
V
+ к1/12 - к2 ¡1
J
(6)
Таблица 1
к1 = 0 11 = 0,66
Таблица 2
к1 = 0 11 = 1,33
п1 а
-1 -0,5 0 0,5 1
0 6,48 9,72 12,96 16,2 19,44
0,5 3,24 6,48 9,72 12,96 16,2
Таблица 3
к1 = 0,5 11 = 1,61
п1 а
-1 -0,5 0 0,5 1
0 2,98 4,47 5,96 7,45 8,94
0,5 1,49 2,98 4,47 5,96 7,45
Таблица 5 к1 = 0,8 11 = 0,94
п1 а
-1 -0,5 0 0,5 1
0 2,24 3,56 4,49 5,61 6,73
0,5 1,12 2,24 3,36 4,49 5,61
п1 а
-1 -0,5 0 0,5 1
0 2,53 3,80 5,06 6,33 7,59
0,5 1,27 2,53 3,80 5,06 6,33
Таблица 3
к1 = 0,5 11 = 2,0
п1 а
-1 -0,5 0 0,5 1
0 3,56 5,33 7,11 8,89 10,7
0,5 1,78 3,56 5,33 7,11 8,89
Таблица 6 к1 = 1 11 = 1,33
п1 а
-1 -0,5 0 0,5 1
0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
Таблица 7 Таблица 8
к, = 0,8 /, = 1,65 k, = 0,2 /, = 0,42
n1 a
-1 -0,5 0 0,5 1
0 2,55 3,83 5,15 6,38 7,66
0,5 1,28 2,55 3,83 5,15 6,38
n1 a
-1 -0,5 0 0,5 1
0 7,31 10,9 14,6 18,3 21,9
0,5 3,65 7,31 10,9 14,6 18,3
Задавая коэффициент нагрузки к1 от 0 до 1, изгибающий момент а от -1 до 1, значение продольной силы п1 от 0 до 1, расстояние /1 от 0 до 2, получим положение пластического шарнира по формулам (3) и (5), а затем получим значение предельной нагрузки по формулам (4) или (6). Численные результаты расчетов сведены в таблицы 1—8.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Басов Ю.К., Монахов И.А. Аналитическое решение задачи о больших прогибах жестко-пластической защемленной балки под действием локальной распределенной нагрузки, опорных моментов и продольной силы // Вестник РУДН. Серия «Инженерные исследования». — 2012. — № 3. — С. 120—125. [Basov Yu.K., Monakhov I.A. Analiticheskoe reshenie zadachi o bolshih prigibah zhestkoplasticheskoj zashcemlennoj balki pod dejstviem lokalnij raspredelennoj nagruzki, opornyh momentov i prodolnoj sily // Vestnik RYDN. Seriya «In-zhenernye issledovaniya». — 2012. — № 3. — S. 120—125.]
[2] Савченко Л.В., Монахов И.А. Большие прогибы физически нелинейных круглых пластинок // Вестник ИНЖЕКОНА. Серия «Технические науки». — Вып. 8(35). — СПб., 2009. — С. 132—134. [Savchenko L.V., Monakhov I.A. Bolshie progiby fizicheski nelinejnyh kruglyh plastinok // Vestnik INZHEKONA. Seria «Tehnicheskie nauki». — Vyp. 8(35). — SPb., 2009. — S. 132—134.]
[3] Галилеев С.М., Салихова Е.А. Исследование частот собственных колебаний элементов конструкции из стеклопластика, углепластика и графена // Вестник ИНЖЕКОНА. Серия «Технические науки». — Вып. 8. — СПб., 2011. — С.102. [Galileev S.M., Salihova E.A. Issledovanie chastot sobstvennyh kolebaniy elementov konstruktsiy iz stekloplastika, uglep-lastika I grafena // Vestnik INZHEKONA. Seria «Tehnicheskie nauki». — Vyp. 8. — SPb., 2011. — S. 102.]
[4] Ерхов М.И., Монахов А.И. Большие прогибы предварительно напряженной жесткопласти-ческой балки с шарнирными опорами при равномерно распределенной нагрузке и краевых моментах // Вестник отделения строительных наук Российской академии архитектуры и строительных наук. — 1999. — Вып. 2. — С. 151—154. [Erhov M.I., Monakhov A.I. Bolshie progiby predvaritelno napryazhennoj zhestkoplasticheskoj balki s sharnirnymi oporami pri ravnomerno raspredelennoj nagruzke i kraevyh momentah // Vestnik otdeleniya stroitelnyh nauk Rossijskoj akademii arhitektury i stroitelnyh nauk. — 1999. — Vyp. 2. — S. 151—154.].
THE LITTLE DEFLECTIONS OF THE PREVIOUSLY INTENSE IDEAL PLASTIC BEAMS WITH THE REGIONAL MOMENTS
I.A. Monakhov1, U.K. Basov2
'Department of Building production manufacture Building Faculty Moscow State Machine-building University Pavla Korchagina str., 22, Moskow, Russia,129626
2
Department of Bulding Structures and Facilities Enqineering Faculty Peoples' Friendship University of Russia Ordzonikidze str., 3, Moskow, Russia, 115419
In the work up the technique of the decision of problems about the little deflections of beams from ideal hard-plastic material, with various kinds of fastening, for want of action of the asymmetrically distributed loads with allowance for of preliminary stretching-compression is developed. The developed technique is applied for research of the strained-deformed condition of beams, and also for calculation of a deflection of beams with allowance for of geometrical nonlinearity.
Key words: beam, analytic, nonlinearity.
