Большие прогибы идеально пластической защемленной и шарнирно-неподвижной балки под действием сочетания нагрузок Текст научной статьи по специальности «Физика»

БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАЩЕМЛЕННОЙ И ШАРНИРНО-НЕПОДВИЖНОЙ БАЛКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СОЧЕТАНИЯ НАГРУЗОК

И.А. Монахов1, Ю.К. Басов2, М.И. Абу Махади2

1 Московский архитектурно-строительный институт Волгоградский проспект, д. 32/11, Москва, Россия, 109316 1 Московская финансово-юридическая академия ул. Введенского, 1, Москва, Россия, 117342 2 Российский университет дружбы народов ул. Орджоникидзе, 3, Москва, Россия, 115419

В статье разработана методика решения задач о больших прогибах балок из идеального жесткопластического материала при действии несимметрично распределенных нагрузок с учетом предварительного растяжения-сжатия. Разработанная методика применена для исследования напряженно-деформированного состояния однопролетных балок, а также для вычисления предельной нагрузки балок. Данная работа является продолжением статьи Монахова И.А., Басова Ю.К. «Аналитическое определение несущей способности балки с одной защемленной и другой шарнирно-неподвижной опорами под действием сочетания нагрузок» (Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. 2015. № 1).

Ключевые слова: балка, нелинейность, аналитическое определение

Зоны 0 < х < х1 и х3 < х < 2 — жесткие, откуда распределение прогибов в этих зонах равно

x 2 — x w = w1—, w = w3-

Лл 2 Xo

(1)

где М1 и М3 — прогибы при х = х1 и х = х3. Скорости прогибов в этих зонах равны

М =<! М X при 0 < х < х1, М' =<

X,

2 — л,

(2 — х) при х3 < х < 2.

(2)

Из условия слабых разрывов получаем уравнение

г \

Р

(п ± щ)

(Л1 — Х2) +

Р

(п ± П1)

Ло —

( \

М1 V х1 У

Р

(п ± П1) 1

х = 0

или

Р

(п ± П1)

(х2 — Л1)Г =

( \

М1 V х1 У

интегрирование которого с учетом начального условия w1 = 0 при х = х1 дает выражение w1:

Wl = 7РЧ(*2 -(3)

(п ± щ)

Для х = х3 можно получить выражение Wз

wз = ± ч (х3 -х2)(2-хз). (4)

(п ± П1)

С помощью (3), (4) из (1) следуют два равносильных выражения

^ = ~,Р± ч (х2 -x12),

2( п ± п1)

Wo = ± ч (4X3 -4x2 -Х32 -Х22). (5)

2( п ± п1)

Можно получить выражения для изгибающих моментов в зонах 0 < х < /1, /1 < х < х1, х3 < х < /2, /2 < х < 2 согласно уравнению равновесия:

т = (рх1 — р/1)х ± а, (0 < х < /1)

рх2 р/2

т = —+рхх1 —^±а, (/1 < х < х1).

Из условия пластичности получим:

т|х=х = 1 - (п ± п1)2 = —х1- - р1-± а, откуда выражение дляр:

2 [1 - (п ± п1)2 + а] х? - /2

Р =-^-; (6)

1 - '1

22

т = + Рхх3 +1 -(п±п1)2 (х3 < х < /2)

т = (рх3 -р/2)х + 1 - (п ± п1)2 + р/2 -рх3/2, (/2 < х < 2). Из условия пластичности получим:

_ II / ч 4- ч 4- л _ 1 „I I Т ».V I 1

1х=2

= -[1 -(п ±п1)2 ]±а = -2 р/2 + 2 рх3 +1 -(п ±п1)2 +-

2 2

Монахов И.А., Басов Ю.К., Абу Махади М.И. Большие прогибы идеально пластической.

Откуда выражение для р:

4[1 - (и ± и,)2 + 2а -

Р = , У2 21. (7)

412 + 4 х3 -12 + х2

Используя полученные равносильные равенства (6) и (7) для р можно получить выражение для х2:

х 2 /2 /2 х2 = + ^ + /2А (8)

2 4 2 2 4

осталось лишь определить значение п в зависимости от р.

Определим значение п из условия максимума р. Это приводит к задаче об условном максимуме функции р, которая приводится к задаче о безусловном максимуме функции ф с помощью множителя Лагранжа (рис. 1). Безусловная функция имеет вид

2 [1 - (и ± и,)2 + «1 [1 - (и ± и,)2 + а](( - х2)

ф = 1 ( 2 ,2)--+ Х-( 2 ,2)( ± )--^ (9)

(( - /12) (( - /12)(и ±

где X — множитель Лагранжа.

Рис. 1. Расчетная схема

Дифференцируя (9) по х1 и и и приравнивая результаты к нулю, можно получить:

Эф X / 2 ,2\ п х 2(и±щ)

— = 2 +-(( - /12 ) = 0, откуда Х =--2—■рГ,

дХ1 и ± и1 х ! Х2 - /12

ди = **豫М-22 -*=«

откуда

(„ ± „1)2 = (1^Х2 ' , , = 4(1 * а)

Х'2 + Х1 2/1

( + Х2 - 2/2 )

(10)

р 10

а = -0,4

= 0,6 /2 = 1,6

\ /1 = 0,8 1 /2 = 1,8

\ /1 = 0,2 /2 = 1 /1 = 1 /2 = 1,8

5

Рис. 2. Зависимость нагрузки р от прогиба при различных /1, 12 и а

Монахов И.А., Басов Ю.К., Абу Махади М.И. Большие прогибы идеально пластической..

a = 0,4

\l1 = 1 l2 = 1,8

\ —-V—— \

\ \ \l1 = 0,2 l2 = 1

\ \l1 = 0,8 l2 = 1,8 \ l1 = 0,6 l2 = 1,6

Рис. 4. Зависимость нагрузки р от прогиба при различных /1, 12 и а

Таким образом, получено аналитическое решение задачи о деформировании балки с одной защемленной и с другой шарнирно-неподвижной опорами под действием локальных распределенных нагрузок, краевых моментов и продольной силы с учетом больших прогибов. Зависимости нагрузки р от прогиба при различных заданных /1, /2, и а показаны на рис. 2—4.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Монахов И.А., Басов Ю.К. Предельная нагрузка для защемленной балки, нагруженной продольной силой, несимметрично распределенной нагрузкой и опорными моментами // Вестник РУДН. Серия: Инженерные исследования. 2014. № 1. С. 136—141.

BIG DEFLECTIONS IDEALLY PLASTIC RESTRAINED AND FIXED BY HINGE BEAM UNDER THE INFLUENCE OF LOAD COMBINATIONS

3

2

w

0

I.A. Monakhov1, Yu.K. Basov2, M.I. Abu Mahadi2

1 Moscow Architecture and Construction Institute Volgogradsky Prospekt, d. 32/11, Moscow, Russia, 109316 Moscow Finance and Law Academy Vvedensky str., d. 1, Moscow, Russia, 117342 2 Peoples' Friendship University of Russia Ordzhonikidze str., 3, Moscow, Russia, 115419

In the article the technique of solving the problems of large deflections of the beams from the ideal rigid-plastic material under the influence of asymmetrically distributed loads, with account of pre-

tension or pre compression. The developed method was applied to the study of stress-strain state of single-span beams, as well as for the calculation of the limit load for the beams. Key words: bar, non-linearity, analytical

REFERENCES

[1] Monahov I.A., Basov Yu.K. Limit load for a clamped beam, loaded longitudinal force asymmetrically distributed load and the supporting moments. Bulletin of Peoples' Friendship University. Series: Engineering Research. 2014. № 1. P. 136—141.