Большие прогибы жесткопластической защемленной балки, нагруженной продольной силой, несимметрично распределенной нагрузкой и опорными моментами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.52

БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАЩЕМЛЕННОЙ БАЛКИ,

НАГРУЖЕННОЙ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛОЙ, НЕСИММЕТРИЧНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ И ОПОРНЫМИ МОМЕНТАМИ

И.А.Монахов1, Л.В. Савченкова2

!Кафедра строительного производства Строительный факультет 2Кафедра транспортно-технологических машин и систем Факультет автомобилей и тракторов Московский государственный машиностроительный университет ул. Павла Корчагина, 22, Москва, Россия, 129626

В статье разработана методика решения задач о больших прогибах балок из идеального жест-копластического материала при действии несимметрично распределенных нагрузок с учетом предварительного растяжения-сжатия. Разработанная методика применена для исследования напряженно-деформированного состояния однопролетных балок.

Ключевые слова: балка, нелинейность, аналитическое.

Ранее нами были рассмотрены малые прогибы балки. При расчете конструкций с помощью модели жесткопластического тела необходимо учитывать геометрическую нелинейность (большие прогибы) работы конструкции.

Расчет балок и круглых пластинок с учетом геометрической и физической нелинейности рассмотрен в работах [1; 2; 4], а работа [3] посвящена решению аналогичных задач для конструкций из стеклопластика.

Рассмотрим второй этап деформирования — большие прогибы. Решение задач на втором этапе также разбивается на два случая: х2 < /1 и х2 > /1. Рассмотрим случай, когда х2 < l1. В зоне х1 < х < х3 соблюдается условие пластичности: n = const, m = 1 - (n ± n1)2. Если х3 < l1, то при х1 < х < х3 из уравнения равновесия вытекают выражения для прогибов и скоростей прогибов:

w = W,

w = w.

p

0

2 (n ± щ)

Зоны 0 < х < х1 и х3 < х < 2 прогибов в этих зонах равно

(1)

О

х )х.

2'

(П ± П1)

жесткие, откуда распределение скоростей

w.

w.

w = ■

х, w = ■

(2 - х),

где w1 и w3 — прогибы при х = х1 и х = х3.

Условия для слабых разрывов при x = x1 меют вид

[Мх ] + х1 [Мхх ] = 0. [М] + х1 [Мх ] = 0.

а также при х = х3, если поменять индекс «1» на «3». Разрывы при х = х3 равны

йМ йх

-3 I + ^ I. (хз-х2 )--Р-х„ [„ ]= Р

2 - х3 ] [ п ± п1

п ± п1 п ± п1

Ж,

или

Р

2 - х.

п ± п

■(х3 - х2 ) откуда

м = -

Р

Разрывы при х = х1 равны:

[*.х ]=р!

Р

х

п ± п1

(х2 х1 )_

п ± п

Р х

■(х3 х2)(2 х3).

п ± п1

2

К* ] =

Р

п ± п1

или

1 Г = (х2 -х1) ' откуда М =-Рх— (х2 -х1)

[ х1 ] [ п ± п1 ] п ± п1

или, используя выражение (1), получим: м1 = м0

Р

2 (п ± п1)

(х2 - х1 )2, откуда

М =

Р

2 (п ± п1)

( 2 _ 2\ ^х2 х1 ).

Р

Также, используя (1), получим м3 = м0 -

2(п ± п1)

(3 - х2 )2, откуда

Р

(( X 3 + 4х3 - 4х2 ).

0 2 (п ± п1)

Из уравнения равновесия при 0 < х < х1 получаем:

(2)

т

2 Р

=1 -(п±п1) -х)

т

1х=0"

1 -(п ± п1 )2

±а,

откуда

Р = ■

^{1 -(п ± п )2}

+ а

(3)

х

При х3 < х < /1

22

т = -Р— + Рх3х +1 -(п ±п1 )2 =1 -(п ± п1 )2 -Р( - х3 )2. При 11 < х < 2

т = 1 -(п ± п1 )2 -Р{{ -2х(3 +11 (( -1)) + ¡2 (( -1) + х32},

т

х=2

1 -(п±п1 )2 ±а = 1 -(п±п1 )2 -Р{4к1 -4(3 + к111 -¡1) + ¡2(( -1) + х32},

2

откуда

p-

>{l-(n ± n )2}

+ а

4k1 - 4 (x3 + k1l1 -11) +112 (k1 -1) + x Безусловная функция согласно (2) и (4) имеет вид

2 3

(4)

0—-

>{1 -(n ± n1 )2 }

+ а

+ X

4k1 - 4 (x3 + k1l1 -11) +12 (k1 -1) + x32 (2{1 - (n ± n1 )2} + а)( -x32 + 4x3 - 4x2) (n ± n1 ){4 k1 - 4 (x3 + k1l1 -11) + lf (k1 -1) + x32}

Дифференцируя безусловную функцию по х3 и п и приравнивая результаты к нулю, получим выражения для нагрузки:

d0 dn

= -8 (n ±n1 )-

л-

i{1 -(n ± n1 )2}

+ а

(n ± n1)

(x2 x^^ + 4 x3 4 x2) — 0,

откуда X —

d0 2 (n ± n1)

— 2 (n ± n1 ) + Xx22 — 0, = 2 (n ± n1)

(n ± n1) =

2 1 2 к+11 (1 - к)-^ (1 - к)

(2±а)( -x2 +4x3 -4x2)

и

{x^j + x^^ 4 x3 + 4 x2}

Тогда из (4) получаем выражение для нагрузки:

4 (2 + а)

p — - 3 2

x2 + x3 4 x3 + 4 x2

Приравнивая равносильные выражения для w и p (2), (3), (4), получим

l2

x2 — k1 +11 (1 - k1)--L (1 - k1).

(5)

(6)

Если x3 > l1, то при x1 < x < l1 должно соблюдаться условие пластичности: m = 1 - (n ± n1)2, n = const.

Из уравнения равновесия получаем выражение для прогибов и скоростей прогибов:

w — w0 -

p

2 (n ± n1)

(x2 x) ,

(7)

V = ■

Р

2(п ± п1)

(х2 _ х)

2 р

п ± п1

(х2 _ х)2 х2 + 10-

При /1 < х < х3 уравнение равновесия имеет вид

Кр

дх2 (п ± п) лучаем выражение для прогибов и скоростей прогибов:

Р

, откуда по-

и>

р ч {К1х2 + 2х ((1 - х2 - к111 )+ х22 + 112 (К1 - 1 2 (п ± п1) J

) { х2 +2х(( -х2-к1!1 ) + х22 +/12 (к1 — 1)} +—±Р— (-х2) +

(8)

[ 2 (± п)

При 0 < х < хх и х3 < х < 2 (жесткие зоны) выполняются равенства

IV

V = ■

Ж

х,

V,

х, V = ■

2 — х.

(2 — х).

Подставляя и в выражения для (7) и (8), получаем:

при х = х1 ^ 10 =

V =

2 (п ± щ) Р

¡2 _ 2\ ^х2 х1 ),

а при х = х3:

0( ± )4К1Х3 + 4/1 (1 _ К) _ 4х2 + х22 +-2 (К _1) _ £Л2}. 2 (п ± п1) -1

(9)

Рассматривая зону 0 < х < х1 из уравнения равновесия, получаем изгибающие

2 Р 2

моменты: т = 1 _(п ± п1) _ _х) , а из граничного условия получаем выра-

жения для нагрузки:

>{1 _(п ± п )2}

+ а

(10)

Рассматривая зону 3 < < 2, получаем выражение для изгибающего момента: т = 1 _ (п ± п1 )2 _ (_ х3 )2, откуда с учетом граничного условия получаем нагрузку

>{1 _(п ± п1 )2}

+ а

К1 (2 _ х3 )

Используя полученные равносильные выражения для и р, получим:

I2

х2 = К + /1 (1 _ К)_ -4 (1 _ К).

(11)

(12) 145

Безусловная функция в этом случае из (11) и (9) имеет вид:

0=-

>{1 -(п ± П1 )2}

+ а

+

к1 (2 - х3 )

> {1 - (п ± п1 )2} + а {к^ +х2 - к1х32 - 4к1}

к1 (2-х3) (п ± п1)

-Ащ0.

Дифференцируя безусловную функцию по х3 и п и приравнивая производные к нулю, получим выражения для нагрузки:

Р:

»{2 1 - (п ± п1 )2 + а}

к1 (2 - х3 )2

4 (2 + а)

х^ + к1 (2 - х3)

(13)

Далее рассматривается второй случай деформирования балки, когда х2 > \х. В зоне х1 < х < х3 при х1 > /1 из уравнения равновесия и условия пластичности следуют выражения для прогибов и скоростей прогибов:

к1Р / \2

щ="0-2(±п)х2), к1 Р ^ х2 )2 + ((^х2 ^

Щ = Щ,

0

2 (п ± п

Условия для слабых разрывов (при х = х1 и х = х3) дают:

(14)

щ =

к1 рх1

(п ± п)

(( - х1 ), Щ = ( к]Р ) (( - х2 )(2 - х3 ). (п ± п1 )

Подставляя выражения и щ3 в (14) при х = х1 и х = х3, получим:

к1 Р /2 2\_ к1 Р

х2 )= 2 (Р )( 4х

+ 2 - 2

2 + х2 х3

"■>( -1- \(2 ""1 / л. """3 ,""2 ' -"2 -"3 ) (15)

2(п ± п1) ' 2(п ± п1)

Из уравнений равновесия и условия пластичности получаем выражение для изгибающего момента при /1 < х < х1 и 0 < х < /1:

т = 1 -(п ± п1 )2 - (х - х1 )2,

т

= 1 -(п ± п1 )2 - Рг + Р ( + /1 - кА )-Р2 - ( '2'

-(( - /12).

Откуда при соблюдении граничного условия т|х_0 = -

2{2 1 -(п ± п1 )2 + а}

1 -(п ±п1 )2

Р=

к1 х? + /12 (1 - к1 )2

±а получим: (16)

Далее — аналогичные математические выкладки при x3 < x < 2. Получим:

m

= -(n ±n1 )2 --к1Р(x -x3)2 и тогда при

Щ п = "

lx=0

1 -(n ±п1 )2

±а получим

Р = ■

l{l-(n ± П1 )2}

+ а

, ^ (17) К (2 - хз)

Приравнивая равносильные выражения для w0 ир из (15), (16), (17) получим:

12

Х2 =1 - (! - К ) (18)

Составляя и дифференцируя безусловную функцию, получаем:

4 (2 + а)

Р:

k

(2 - x2 )2 +(2 - x3 )2'

(19)

Если x1 < l1 и l1 < x3, то в зонах 0 < x < x1и x3 < x < 2 справедливы выражения:

w = •

w.

x.

w.

x, w = ■

2 - x.

(2 - x).

В зоне x1 < x < x3 верно, что n = const, m = 1 - (n ± n1)2, Q = 0. В зоне l1 < x < x3 из уравнения равновесия получаем:

w = wn —

k1 p

0 2 (n ± щ) а на участке x1 < x < l1:

(x - x2 )2, w = wo -<

) ( _ ,2 )2+ J± ( - „)

2(n ± n1 )l n ±n1

2

w = w,

0

2 Р -x +

„ . -— {х2 - ^1/1 + /1} . {К1х2 - ^ + 1 (20)

2 (я ± я1) я ± п1 2 (я ± п1) J

Из условия слабых разрывов для w (20) получим:

w0 = . Р—г { х2 - х,2 + /1 (1 - к)} = . К1 Р—- (4 х3 - х2 - х2 - 4х2 ). (2 1 ) 0 2 (я ± п1) 12 1 м 2 (я ± п1) 3 3 2 2 '

Из уравнения равновесия, условия пластичности и граничных условий т = = [1 - (я ± п1)2] ± а при х = 0 и х = 2 получаем выражение для изгибающего момента и нагрузки:

2 Р 2

при 0 < х < х1 т = 1 -(я±я1) -~(х1 -х) ,

2 k Р 2

при x3 < x < 2 m = 1 -(n ± n1) —^— (x - x3)

Р = ■

{2 1 -(n ± n1 )2 + а} 2{2 1 -(n ± n1 )2 +а}

^ Р =

x

k1 (2 - x3 )2

(22)

Составляя безусловную функцию и дифференцируя ее, получим выражение:

4 (2 + а)

Р = ~2--(23)

¿1 к]*! + +

В результате получено аналитическое решение поставленной задачи. По полученным аналитическим зависимостям были построены графические зависимости прогиба от нагрузкир для разных значений ¿1, а, к1 (рис. 1—6).

12 3 12 3

Рис. 5 Рис. 6

Разработанная методика решения может быть распространена на другие виды балок и нагрузок. Полученные решения благодаря аналитической форме могут найти непосредственное применение в практике проектирования стержневых конструкций.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Басов Ю.К., Монахов И.А. Аналитическое решение задачи о больших прогибах жестко-пластической защемленной балки под действием локальной распределенной нагрузки, опорных моментов и продольной силы // Вестник РУДН. Серия «Инженерные исследования». — 2012. — № 3. — С. 120—125. [Basov Yu.K., Monakhov I.A. Analiticheskoe re-shenie zadachi o bolshih prigibah zhestkoplasticheskoj zashcemlennoj balki pod dejstviem lokal-nij raspredelennoj nagruzki, opornyh momentov I prodolnoj sily // Vestnik RYDN. Seriya «Inzhenernye issledovaniya». — 2012. — № 3. — S. 120—125].

[2] Савченко Л.В., Монахов И.А. Большие прогибы физически нелинейных круглых пластинок // Вестник ИНЖЕКОНА. Серия «Технические науки». — Вып. 8(35). — СПб., 2009. — С. 132—134. [Savchenko L. V., Monakhov I.A. Bolshie progiby fizicheski nelinejnyh kruglyh plastinok // Vestnik INZHEKONA. Seria «Tehnicheskie nauki». — Vyp. 8(35). — SPb., 2009. — S. 132—134.]

[3] Галилеев С.М., Салихова Е.А. Исследование частот собственных колебаний элементов конструкции из стеклопластика, углепластика и графена // Вестник ИНЖЕКОНА. Серия «Технические науки». — Вып. 8. — СПб., 2011. — С. 102. [Galileev S.M., Salihova E.A. Issledovanie chastot sobstvennyh kolebaniy elementov konstruktsiy iz stekloplastika, ugleplas-tika I grafena // Vestnik INZHEKONA. Seria «Tehnicheskie nauki». — Vyp. 8. — SPb., 2011. — S. 102.]

[4] Ерхов М.И., Монахов А.И. Большие прогибы предварительно напряженной жесткопласти-ческой балки с шарнирными опорами при равномерно распределенной нагрузке и краевых моментах // Вестник отделения строительных наук Российской академии архитектуры и строительных наук. — 1999. — Вып. 2. — С.151—154. [Erhov M.I., Monakhov A.I. Bolshie progiby predvaritelno napryazhennoj zhestkoplasticheskoj balki s sharnirnymi oporami pri ravnomerno raspredelennoj nagruzke I kraevyh momentah // Vestnik otdeleniya stroitelnyh nauk Rossijskoj akademii arhitektury I stroitelnyh nauk. — 1999. — Vyp. 2. — S. 151—154].

THE LARGE DEFLECTIONS OF THE PREVIOUSLY INTENSE IDEAL PLASTIC BEAMS WITH THE REGIONAL MOMENTS

I.A. Monakhov1, L.V. Savchenkova2

'Department of Building production manufacture Faculty Building Moscow State Machine- building University Pavla Korchagina str., 22, Moskow, Russia, 129626

2Department of Transport-technological machines and systems Faculty Automobiles and tractors Moscow State Machine-building University Pavla Korchagina str., 22, Moskow, Russia, 129626

In the work up the technique of the decision of problems about the large deflections of beams from ideal hard-plastic material, with various kinds of fastening, for want of action of the asymmetrically distributed loads with allowance for of preliminary stretching-compression is developed. The developed technique is applied for research of the strained-deformed condition of beams, and also for calculation of a deflection of beams with allowance for of geometrical nonlinearity.

Key words: beam, analytic, nonlinearity.