Большие прогибы жесткопластической предварительно напряженной балки с шарнирными опорами при распределенной нагрузке и краевом моменте на одной опоре Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.52

БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ЖЕСТКОНЛАСТИЧЕСКОЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ БАЛКИ С ШАРНИРНЫМИ ОПОРАМИ ПРИ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКЕ И КРАЕВОМ МОМЕНТЕ НА ОДНОЙ ОПОРЕ

В рабоче дшю аналитическое решение ншачн о (ют.шнч иршнОпх жсаытпттчсскоН оипкм с шарнирно псподнпжиыми опорами, нигружсшюН рпсмредемеиноП ншрутоП, крпспым момгитм нп о.чной опоре и предвари, [ильным напряжением. Приисдены чаииснмоеш между нтенентюсп.ю поперечно» ишрмкм. крпепмм момепшм, прсдвартхтпым напряжением и прогибами

В некоторых случаях опорные закрепления балок нелыи отнести к полностью шарнирным или защемленным в силу податливости. Однако, к опорам могут быть приложены и внешние изменяющие изгибающие моменты. Следовательно следует рассмотреть балки с внешним опорным моментом.

Рассматривается балка с шарнирно неподвижными опорами, нагруженная равномерно

распределенной нагрузкой р, опорным моментом на правой опоре а и предварительным

растяжением - сжатием . Пролет балки равен 2 I, поперечное сечение прямоуг ольное. Уравнения равновесия при больших прогибах в безразмерном виде имеют вид [ 11

М и внутренние изгибающий момент и нормальная сила, р- поперечная равномерно распределенная нагрузка, ч> - прогиб, х - продольная координата (начало координат на левой опоре), 2 к и Ъ - высота и ширина поперечного сечения, 21 - пролет балки, ах - предел текучести материала. В дальнейшем считается, что безразмерный пролет балки равен 2. Черта над буквами обозначает размерную величину.

Деформирование разбивается на 2 этапа: при «малых» прогибах и при больших прогибах.

При «малых» прогибах образуется пластическое сечение («пластический шарнир») при х — х2 (прогибы равны нулю); в этом сечении т — 1 — п*. Скорость изменения кривизны

к равна нулю (скорость изменения кривизны линейно связана со скоростью прогиба)

откуда скорости прогибов балки равны

М. И. Ерхов, А. И. Монахов

Кафедра Сопротивления материалов Российского университета дружбы народов, /17198 Москва, гл. Мик.пухо-Мак'шн, (1

(1)

N 2<т Ьк

_л_

2а ^ И

где Wq - прогиб при х — х2, точки над буквами и сбоку скобок означают дифференцирование по времени, за которое принято р . Поскольку w ~ О, то п — 0, так как усилие п возникает при отличных от нуля прогибах (значение пх задано с самого начала).

Из уравнения (1) при этом можно получить значение изгибающего момента

рх2 а

т = -~ + рх±—х, (2)

■*- Л*

где учтено, что ш 0 при х0 и ш = :h(X ири х — 2 . Знак «*!■» и «-» перед сс указывает положительное и отрицательное значение внешнего опорного момента а.

Из условий dm/dx ~ 0 при х = х7 и т = 1 --п[ при х = х2 с помощью (2) определяется л;,, а также р

а 2(1 --и,)' ±а± J(2-2nf Та)2-а2

х2 =1*.....■ /'=“----------------------------------------• (3)

/' 2

При значениях /;, превосходящих значение (3), в окрестности х = х2 образуется пластическая зона х] 5jx5jx3 и возникает второй этан деформирования балки (при больших прогибах, которые отличны от нуля, а п ~ const ^ 0). Здесь х, ¿ix2, *3 = хз- Прн действии предварительного рас тяжения - сжатия внутренняя продольная сила равна п±п], где знак «+» соответствует растяжению, а «-» - сжатию, имеют место ограничения

В пластической зоне х] йх^х^ изгибающий момент равен предельному с учетом действия продольной силы я? = 1-(я ± Я,)2, поперечная сила равна нулю, так как

dm/dx — 0 в силу т = const

Из уравнения (1) прогибы и скорости прогибов в этой зоне определяются выражением

W = Wr

1(x-x2)2;w = w0-|-r^--1[ (x-x2)+T-£-rr(x-xi)x2,W 2{п±щ) (n±nl)

где для общности считается, что х2 & 0.

Зоны 0 :£х ^ х, И х3 5* X ^ 2 - жесткие и прогибы в них равны

х 2 — х

X/ = ш — при О^Х <5*,, УУ = т^з ------------при х3 ^х^2, (5)

хх 2-х3

где уу} и м?ъ - прогибы при х = х2 и х = х3 соответственно.

Скорости прогибов в этих зонах согласно (5) равны

м> = |—| х прн О^хЦх,, 3^~-1(2-х)прих3^2. (6)

(7)

В точках сопряжения зон х - Х] и -V = X, имеются слабые разрывы функции прогиба в ск°бках заключены разрывы заключенных п них величин, нижние индексы означают дифференцирование по X. Эти разрывы должны удовлетворить двум условиям [2] при Л' = Я[

КМКМ. [н']-1- .V, [»■, I; О,

а также при Л” = Х-,, если поменять индекс «1» па «3».

Разрывы [м/Л] и[и'ЛЛ. ] при х ~ X, определяются согласно (4) (6)

к]4т }*(*>--*> { -V.. Iй’'Г. к,

[ С/7 ± ] П±Щ ( Л, |

Первое условие (7) с учетом (8) приводит к уравнению

Р

п I- п{

(8)

.Г(х|-х1)+-.й...Л-! -]"'1 Г 7’ -V 0

г Л > / г * -..V, \

п±пх\ " п ±п{ [ Л

или \ —-—(х2 -X, )[ - 1 и 1

» \ Л I / ^

ЧП±П\ \ [х, ]

откуда интегрированием можно получить при начальном условии И', - 0 при х1 = х2

Р*1 („ п±пх

Аналогично получается выражение для ц>

(Л"г ~ *1) №

Щ=-~~{х,-хг)(г-хх). (10)

п±щ

Из (4), (9) и (10) следует два равносильных выражения

щ -х’~4х>) (п) Второе условие (7) при этом удовлетворяется.

В жестких зонах 0^х;£х, и х3 5£х^2 изгибающие моменты согласно (1) равны соответственно

т = 1~(п±/г,)2-£(х,-хУ, т = 1-(п±п,)2 -¿(х-х,)2. (12)

^ 2

С помощью условий т — 0 при х = 0 и т = ±а при х = 2 из (12) следуют два равносильных выражения для р

__ 2|1-(« + «,)•'] _ 2 1-(«±л,)2Та|

Р " ~ > у Р ~ — -------J, (13)

(2-х,)

Значение а*2 ич (9), (10) и (13) определяется выражением

х, - Л', + Л'; - & при х‘ =

4 4 (1 ~ (я ±/?,)*■ +а]

Согласно (2J и |3| чначенис п определяется ич условия максимума р согласно выражению (13) при тором услоини (11). ')то дает чадаму об условном максимуме р при условии (11), которая приводится к чадаче о безусловном максимуме с помощью множителя Лагранжа.

Безусловная функция согласно (13) и (11) имеет нид

2{l~(H*H,y 4;a}t , {l - (и ± и, )Т а} (4х, + * J - 4#2)

ф s: 4 /, XI 4 Я..........h -.....vT7~1---------------(14)

(2 л,) (2-х,) (л±и,)

где Я - множитель Лагранжа.

Дифференцируя Ф но ху и п и приравнивая результаты нулю, получается система уравнений

ЁЛ~ = 2 (п ± п{) + Я (2 - хг )2 = 0, (16)

д riy

= (п ± пх )2 {(2 - х\)+ (2 - )2}- (l Т а)(4х3 + х\ -х] -4х2) = 0.

дп

Решение системы (16) дает

2 (п ± щ )

а = -7Гу* п±".=,

(2-хг) \

(1Тй)[(2-х2)2-(2-х,)2]

(17)

(18)

(2-хг)2+(2-х3)2

Подставляя п но (17) в (13), можно получить

- 4(1 Та)

^ ~ (2 - х2 )2 + (2 - х3 )2

По (18) и (11) можно построить графики р + уу0 при различных а и ЛИТЕРАТУРА

1. Ерхов М. И., Монахов А. И. Большие прогибы предварительно напряженной жесткопластической балки с шарнирными опорами при локальных распределенных нагрузках и краевых моментах. //Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов, вып. 8. - М.: Изд. Ассоциации строительных вузов, 1999. -с. 3-9.

2. Ерхов М. И., Кислова Л. В. Большие прогибы жесткопластической круглых пластинок с шарнирным опиранием края. // Исследования по строительной механике и методам расчета. - М.: Госстройиздат, 1981. -с. 4-11.

3. Ерхов М. И, Старое А .В. Деформирование жесткоиластической круглой пластинки с шарнирно неподвижным краем. // Строит, мех. и расчет сооружений. 1987. - № 5. - с. 21-27.

TUB LAUCK DEFLECTIONS OF Л PRESTRESSED ККЛП-П ЛМК Ш.ЛМ ON HINGE SUPPORTS SUBJECTED TO DISTRIBUTED l,OAI)S AND BOUNDARY MOMENT ON ONE OF THE SUPPORTS

M.I. Erkhov, Л.1. Monakhov

Department of Strength of Materials Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-MaklayaSt., 6, It?lW Moscow, Russia

In this work the analytic .solution of the problem on Ini до ikllcctmns uf пцк! plastic beam on 1ш»до imninvuble supports, subject«! to uniformly distributed loud, boundary moment on one ol the suppntts and pricsttcss in considered. The relation between the intensity of shearing loud, boundnry moment, prcstress and dcllectmn is obtained

Михаил Иванович Ерхов родился в 1933 г., окончил н 1955 г. Московский институт инженеров городского строительства Мосгор-исполкома. Доктор техн. наук, профессор, член корреспондент Российской Академии архитектуры и строительных паук, академик Международной Академии наук высшей школы, часлужеиный деятель науки Российской Федерации, чав. кафедрой Сопротивления материалов РУДН. Автор 115 научных работ, в том числе 2 книги, в области механики деформируемого твердого тела и строительной механики.

M.I. Erkhov (b. 1933) graduated from Moscow Institute of Civil Building Engineers in 1955. DSc(ling), professor, corresponding member of Architectures and Building Sciences Academy of Russia, academician of the International Higher Education Academy of Sciences, RF Honored Worker of Science of Russia. Author of 115 publications, including 2 books.

Алексей Игоревич Монахов родился в 1974 г., окончил в 1997 г. МАИ. Аспирант РУДИ. Автор 3 научных статей.

A.I. Monakhov (b. 1974) graduated from Moscow Institute of Air Plane Design in 1997. Post-graduate of Materials Strength Department of Peoples’ Friendship University of Russia. Author of 3 publications.