Большие прогибы жесткопластической предварительно напряженной круглой пластинки с шарнирным опиранием при распределенной нагрузке и краевых моментах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.52

БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ С ШАРНИРНЫМ ОПИРАНИЕМ ПРИ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКЕ И КРАЕВЫХ МОМЕНТАХ

М. И. Ерхов, Вуйя Коку Эммануэль

Кафедра сопротивления материалов Российского университета дружбы народов ,

Россия, 117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

В работе дано аналитическое решение задачи о больших прогибах круглой жесткопластической пластинки с шарнирным опиранием при распределенной нагрузке, краевых моментах и предварительном напряжении. Проведены зависимости между интенсивностью поперечной нагрузки , краевыми моментами, предварительным напряжением и прогибами.

Рассматривается круглая пластинка постоянного сечения из жесткопластического материала с шарнирным опиранием. Пластинка нагружена равномерно распределенной нагрузкой, краевыми моментами и предварительным растяжением-сжатием. Поскольку жесткопластический материал предполагает, что пластические деформации немного превосходят упругие, которыми пренебрегают , целесообразен учет больших перемещений, поскольку деформациям соответствуют перемещения.

Уравнения равновесия пластинки в безразмерной форме имеют вид

с1 с$

— (гДи/ ±п))-(п2 ±п) = 0 ; —~-{гт,)+ т7 ~()г - О, аг аг

1 с1 / \ / _\£/2С0 / _\1 (1(й

-—№)-{п1±п)—-{п2±п)-—-р = 0. г аг аг г аг

где введены следующие безразмерные переменные

._ ¥ . _2® п- Рг<> ■ м

1 Ы и ' I - ’ 1 7 '

га п а хп а хп 2пах

м, м,

п. =----, т, =-

(1)

2ках ’ ' стчк2 ’

г - радиальная координата, /V, и М1 - нормальные внутренние силы и изгибающие

моменты; 1=1 и 2 индексы радиального и кольцевого направлений; со -прогиб; сгл-предел текучести; 2/г - высота поперечного сечения; () -поперечная сила . Предварительное

равномерное растяжение - сжатие обозначается чертой над буквой п - ——— , оно

2Иач

одинаково в радиальном и кольцевом направлениях и является заданным. Усилие уУ, является следствием действия нагрузки р при отличных от нуля прогибах.

Черта над буквами обозначает размерную величину. Граничные условия выражаются следующим образом:

т1 = т2, п, = п2 при г - 0; (2)

, (Ь = 0 , О) = 0 , при г - 1.

Деформирование пластинки разбивается на два этапа: при "малых" прогибах и при "больших”.

Этап "малых" прогибов

В дальнейшем используется гиперповерхность текучести [ 1]

т2 - т,т2 + т] + п] - п,п2 +п] = к2 , 0,75 < к2 < 1,09. (3)

Пересечением гиперповерхности текучести (2) плоскостями пt +п=п2 +п =

= п ± п = const является эллипс текучести, т/ — т1т2 + т2 — к* —(п + и)",

аппроксимация которого представляет собой шестиугольник, вписанный [1] в эллипс. Пользуясь участком гиперповерхности текучести

т2 =yjk2 ~{n±rtf , по ассоциированному закону течения

I и Ш /.

= 0, (4)

й2со

где к] - скорость изменения кривизны в радиальном направлении, точки над буквами

означают дифференцирование , за которое принято р .

С учетом (2) из (4) следует выражение скорости прогиба , откуда следует выражение прогиба

<Ь=сЬ0(/-г), (0 = та(]-г) , (5)

где "0» соответствует центру пластинки.

Из уравнений равновесия (1) следует выражение /и,

РГ~ + {п±пУ Г 6 v ^

Поскольку от, = ±а , при г = 1, из (6) можно получить

Рг / —\ г

т, = т,--------+ [п±п jcow —. (6)

6 2

р = б( ijk2 ~{п±пУ + а ] + 3{п ± п)

К ■ (V

с!р

Условие максимума р по п т.е — = 0 согласно (7) приводит к выражениям

с!п

/ со ,,к 2 к I—-—г

(и±п) = -==, т2 =-===, р = ЗЦ4 + щ +6а . (8)

т]4 + щ ^4 + (о о

Подставляя (8) в (6 ) , можно получить выражение для радиального момента ГП ,

2к / г~ “_ ч г2 со“ к т, =~г=г-\ кл]4 + ы;, +2а ) _+_—£===/■. (9)

л/^ + с°о “ 2у14 + (1У0

Момент от, достигает максимума при выполнении условия

dmi (, Г, Г--> \

— -\kj4 + con + .2сс J г + -

dr v " " ' 2^4 + cog

откуда координата max т/ равна

к(з)'п

гтах =...........; ..........-................т— • (Ю)

2к(4 + (о2п)+ 4а-^4 + (Од Подставляя (10) в выражение радиального момента и получаем 1 бк2 {4 + о)д 32ak-J 4 + o)2j + со 4()к

2к

тахт,

8^4 + cow 4 + С0д + 2 а. у 4 + со

откуда следует, что в окрестности Г — 0 при СО > 0 и при |0с| < / нарушается

условие пластичности, т.е. ffl j > Ш2 • Таким образом, в случае "малых" прогибов они равны нулю:

со= 0, р - бк + ба .

Этап "больших" прогибов

При значении нагрузки р>бк + 6а СО Ф 0 образуются две зоны пластического деформирования: центральная и пограничная .

В центральной зоне 0 < г < г,: п = п, ~п2 = const, п = const,

т, - т? =т

В этой зоне по второму уравнению (1) перерезывающая сила (7-0. При этом из

третьего уравнения (1) и условия 0)| г_р — 0)^ , следует выражение для прогиба, из которого можно получить скорость прогиба:

рг~

(0<г<г) ,

4(п±п)

(11) (0< r<rt) .

С > Л

Рг~

4{п ± о)

В зоне г, <г< 1, примыкающей к центральной , т7 = -\[к2 —{п ± и)" .

По ассоциированному закону течения (4), граничным условиям (2) и условию сопряжения при г = г, можно найти скорости прогиба в этой зоне

где СО / -скорость прогиба при г —г,. Из (12) следует, что прогибы в этой зоне выражаются формулой

(1~г)

"'С<-п)’

(г, <Г<1),

(13)

где СО I - прогиб при Г = Г].

Тогда скорость прогиба и первая производная от скорости прогиба по радиусу равны

СО =

СО

{1-г)

Ч) «К -

СО,

(14)

При переходе через границу раздела зон Г/ должны удовлетворяться условия для слабых разрывов [2]:

[сЬг]+^[со„.] = 6>, [ю]+г/[шг] = 0, (15)

где скобки означают разрыв заключенной в них величины , нижние буквенные индексы -дифференцирование по Г . Согласно (11) , (12), (13), (14) разрывы [шг] и [со^] при

г = г1 равны

к]

/ л

рг

г=П

ц>у рг I г 1_ р

(7-г/)1 \2{п±п)) =Г’’ С°,т 2(п±п)

Представляя (16) в первое условие (15) , можно получить уравнение

\l-rj

+

2(п±п)) 1 2{п±п)

рг,

0

или

(16)

со.

(17)

Здесь точка сбоку скобки означает дифференцирование по времени.

Интегрируя (17) при начальном условии со, =00о-0 для г, -0, можно определить

значение СО,

СО, =

ргДУ-г,)

2{п ±п)

Из ( 11) и (18) следует выражение для радиального прогиба :

(18)

СО,

РГ

4{п±п)

(19)

Можно показать [2], что второе условие (15) удовлетворяется. Значение ш равно

I------V = ?• - {} — г) . В зоне г<г<1 согласно (1) значение Q равно

{1 -Г/) 2(п ±п)

СО = СО/

С?г = ~г{г-г,),

отсюда

з

рг рг.г рг:

т,=т2~£— + - —Ц (20)

б 4 12г

где использовано условие т, = т7 при г = г,.

На опоре значение т1 = ±а при г = 1, поэтому из (20) следует

+ а = АЧ«±«)г^+^-^.™гд.

' 6 4 12

12(т]к2 -(п± п)2 +а

р — -—Ь-------------—-------------------------р I ^

+ ■

Согласно [3] значение п определяется из условия максимума р по (21) с учетом (19). Получающаяся задача об условном максимуме р приводится к задаче о безусловном максимуме с помощью множителя Лагранжа.

Безусловная функция имеет вид

п{ лД2 - (п± п)2 + а! 3г1 (2-гЯ л]к2 ~{п± пУ +а!

ф =-------------__------------+ д---------—----------- --------------дЮй ?

(7 - г,) (2 + г,) (и ± п\1 -г,) (2 + г,)

где А - неопределенный множитель Лагранжа.

Решая систему уравнений:

ЗФ

= 0 = -12{п ± п ) - (2 - г,)

к2 + ад/к2 - (п ± п)2

бп (п±п)2

= 0,

можно получить

з{-1 + г2У,(2-г^к2 + ал[к2 -(n±nf

(л±”)

Таким образом, получено аналитическое решение рассматриваемой задачи. Для к2 =0 решение можно считать точным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. - М.: Наука, 1978. -353 с.

2. Ерхов М.И., Кислова Л.В. Большие прогибы жесткопластических круглых пластинок с шарнирным опиранием края.// Исследования по строительной механике и методам расчета. - М.: Госстройиздат, 1981. — С. 4-11.

3. Ерхов М.И., Старое А.В. Деформирование жесткопластической круглой пластинки с шарнирно неподвижным краем. // Строит, мех., и расчет сооружений - 1987 - №5. - С. 21-27.

THE LARGE DEFLECTIONS OF A RIGID -PLASTIC PRESTRESSED ROUND PLATE WITH HINGE SUPPORT, SUBJECT TO DISTRIBUTED LOADS AND BOUNDARY MOMENTS.

Erkhov М. I., Wouya Kokou Emmanuel

Department of Strength of materials Peoples' Friendship University of Russia Mikluko-Maklaya si., 6, 117198 Moscow, Russia

In this work, the analytical solution of the problem about large deflections of rigid-plastic round plate with hinge

support, subject to distributed load, boundary moments and prestress is given. The relation between the magnitude of

shearing force, boundary moments, prestress and deflections are determined.

Ерхов Михаил Иванович родился в 1933г., окончил Московский институт инженеров городского строительства Мосгорисполкома. Доктор технических наук, профессор, член -корреспондент Российской Академии архитектуры и строительных наук, академик Международной Академии наук высшей школы, заслуженный деятель науки Российской Федерации, зав. кафедрой сопротивления материалов РУДН. Автор 115 научных работ, в том числе 2 книги, в области механики деформируемого твердого тела и строительной механики.

Erkhov М. I. (Ь. 1933) graduated from Moscow Institute of Civil Building Engineers in 1955. D.Sc. (Eng.), professor, associate member of the Russian Academy of Architecture and Building Sciences, Academician of the International Academy of Higher Education, Honored Worker of Science of the Russian Federation. Author of more than 115 publications, including two books.

Вуйя Коку Эммануэль родился в 1961г., окончил в 1997 г. РУДН. Аспирант РУДН. Автор трех научных статей.

й

Wouya Kokou Emmanuel (b. 1961) graduated in 1997 from Peoples’ Friendship University of Russia. Post-graduate in the Department of Strength of Materials of the Russian Peoples’ Friendship University. Author of3 publications.