CC BY
10
Вопросы теории пластичности
ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКОГО УДАРНОГО НАГРУЖЕНИЯ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКИХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С УЧЕТОМ БОЛЬШИХ ПРОГИБОВ
А.В. СТАРОВ, кандидат технических наук, доцент
Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет, 400074, Волгоград, ул. Академическая, 1; E-mail: info@vgasu.ru
Рассмотрена постановка задач пластического деформирования идеально пластических пологих оболочек вращения с шарнирным и жестким закреплением края под действием ударной нагрузки большой интенсивности с учетом больших прогибов.
Получена полная система разрешающих уравнений, предложен алгоритм численной реализации задачи на основе дифференциально-разностного метода.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: ударное нагружение, пластичность, оболочка вращения
Вопросы построения системы разрешающих уравнений теории идеально пластических оболочек вращения с учетом больших прогибов рассмотрены в работах [1,2]. Линеаризация гиперповерхности текучести, построенной для оболочек со сплошным однослойным сечением в работе [3] в сочетании с дополнительными гипотезами о характере напряженного состояния позволили свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим задачу динамического воздействия нагрузками большой интенсивности на пологие оболочки вращения с учетом больших прогибов в более общей постановке на основе нелинейного условия пластичности [4].
Постановка задачи. В начальный момент времени к оболочке мгновенно прикладывается внутреннее давление, начальное значение которого превышает несущую способность оболочки. В зависимости от интенсивности, длительности и формы импульса движение оболочки может состоять из фазы нагружения и фазы затухания. Уравнения движения пологой оболочки в рамках теории Кармана имеют вид
д2ы ä2 d2w ä2
4P2
h2p
n2 "^(Pn1) dp
Pß = m2 -^(Pm1) dp
= P(P, t) + - 4
P dP
(
Pn1
dw df — + —
dP dP
P dP
(1)
где используются безразмерные координаты и переменные: ^ = 2м>^, и = 4ир0/h2 - прогиб и перемещение срединной поверхности в радиальном направлении; р = р/р о - радиус проекции произвольной точки; р о - радиус проекции точки на опорном контуре оболочки; пу = N¡12с^, ту = М^с^2 - компоненты мембранных и изгибных силовых факторов; Р = Рро/2 - действующее внутреннее давление; f=Др) - уравнение срединной поверхности в безразмерных координатах; ^ = 2F0/h - стрела подъема оболочки; 2h - толщина оболочки; У = 1, 2 - индексы радиального и окружного направлений;
^ / р0 - безразмерное время; у - масса объема оболочки на единицу площади срединной поверхности; oS - предел текучести материала, принимаемый не зависящим от скорости пластического деформирования. 26
Граничные условия формулируются в зависимости от типа опирания. Шарнирно-неподвижный край:
ГУ
т1(0, t) = т2 (0, t), Q (0, t) = 0, — (0, t) = 0,
др
т1(1,t) = 0, м(1,t) = 0, а(1,t) = 0.
Л
т1(0,t)= т2 (0, t), Q(0, t) = 0, — (0, t)= 0,
ф
(3) (4)
Жесткая заделка:
т1(1, t) = -т, м(1,t) = и(1, t) = 0. Начальные условия: м(р,0) = м(р,0) = 0, а(р,0) = а(р,0) = 0. Учет взаимовлияния мембранных и изгибных силовых факторов осуществляется с помощью поверхности текучести [3]:
2 2 2 2 П - П1П2 + П2 + т1 - т1т2 + = 1. (5)
Выражения для скоростей деформаций и скоростей изменения кривизны
срединной поверхности имеют вид
И2 Г
е1
. =__И__
11 = 1 ' 1
2р0 ар2
да &л> дм д/
— +----
др др др др2 д 2м
2 >
И
2
, е 2 = 2 4ро
д/
а 1
— м> — р р др
1 2 =
И 1 дм 2р2 р др
(6)
Для определения поля перемещений используется ассоциированный закон течения, согласно которому вектор скорости пластической деформации ортогонален к поверхности текучести. Удельная мощность диссипации энергии (отнесенная к единице площади срединной поверхности)
dD = еп + е2П2 + 11 т1 +12т2.
Принимая в качестве пластического потенциала поверхность текучести (5) и составляя условие максимума удельной мощности диссипации энергии, полу-61 = Х(2п1 - П2 ), е2 = ^(2Я2 - П1), 1 11 = А,(2т1 - т2 ), 12 = Х(2т2 - т1). ] Решая систему уравнений относительно ту, п и подставляя в (5), найдем
п = ^ (2б1 + е2 ), П2 = ^ (2е2 + б1),
чаем
3Я
3Я
т1 = 3Х(2ХХ1 +12^ т2 = 3Х(212 +1
где
^ =, (112 +11X12 +12 + е2 + 616 2 + е2
Мощность диссипации энергии в безразмерном виде
D = I (е^1 + е 2П2 +1 т1 +1 т р<3р +
0
>рф
дм др
• т\ р=1
(7)
(8)
(9)
где D =
2D р;°
с,И
_ 4еу р2 2тг.-р0 ,
еу = —, 1 у = —- безразмерные скорость диссипации,
И
2
И
скорости деформаций и скорости измерения кривизны срединной поверхности
соответственно, |дй/др - разрыв в скорости наклона срединной поверхности при р = 1. С учетом (7) выражение (9) принимает вид
2
° = + 2 + ё2 + 11 +1112 +12 рdр +
др
• т\ р=1
(10)
Для определения 12 неизвестных функций т1, Ш2, щ, щ, Q, и, V,
е1, ё2, 11,12, ^ имеем 12 уравнений: три уравнения движения (1), четыре геометрических уравнения (6), четыре физических соотношения, связывающие компоненты напряженного состояния с пластическим механизмом деформирования (7), условие пластичности (5). Уравнение (8) не является независимым и получено из условия пластичности (5) с помощью соотношений (7). Таким образом, количество неизвестных функций совпадает с количеством уравнений и теоретически система имеет решение.
После последовательной подстановки полученных выражений в (1) получим систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно функций перемещения срединной поверхности оболочки с граничными и начальными условиями (2), (3) и (4)
дё 1
д 2и д*2 д 2Ж
т
=^ др, ё 1
др
, р, * К
= 12 к ^, ^, ё 1
дё ;
др'др2' " др
, 11,
д1(
или в общем виде
д 2и д*2
д V
= Ь \и
= Ь2
др др2
дм дл> д2м>
д^ д^ I
V, V,—,—, р, *! др др I
(11)
да д2и _.. _.. _ ..
-,-У V,-,-,-2, р, * к
др др2 др др др2 I
да д2а
2 3 4 дм дм д V д V д V
(12)
, V,
-,р,* \
д*2 " [ ' др' др2 ' ' др ' др ' др2 ' др3 ' др4 |
Учет тангенциального ускорения и наличие в правой части системы (12) четвертых производных по пространственной координате от скорости прогиба требует на основании условия Куранта выполнения соотношения между шагами интегрирования по времени и по радиусу порядка Л*/(Ар)4 < 1, что может оказаться неприемлемым и не гарантирует точность и устойчивость решения.
Пренебрегая тангенциальным ускорением (радиальное перемещение на порядок меньше нормального к срединной поверхности) получим систему уравнений
д д
п2 ~^г(рп1 )= 0 PQ = т2 "^(р^ др др
д2у д*2
=Рр, * )л •др р др
(
рп1
д^ + дf др др
1 _д_ р др
(рQ).
(13)
Гиперповерхность текучести (5) заменим тремя соотношениями
2 ,2 22 ,2 2 2,2 1 т?1 " т1т2 + т2 = т , п " П1П2 + П2 = п , т + п = 1.
На основании ассоциированного закона течения получим
Хх = ^ (2т! " т2 \ X2 = Л (2т2 " т1 ), ¿1 = Л (2П1 " П2 I ¿2 = 12 (2п2 " п! ).}
Решая систему уравнений относительно компонентов напряженного состояния с учетом соотношений (14) будем иметь
(2* 1 + X 2)
'
(2* 2 + Х1 ) _ + ё 2 )
(2ё
£2 + ¿1 )
3^
3А
ЗА,
где
Х1 =Л1 1 + 1 112 + 12 ] '3т2
), ^2=4¡р
22 2 \е1 + е1е 2 + е 2
).
(15)
(16)
Выражения для скоростей деформаций и скоростей изменения кривизны срединной поверхности (6) остаются в прежнем виде.
С учетом (16) формулы (15) принимают окончательный вид
=
П =
т(211 + 1 2 ) и(2б1 + е 2 )
3(&2 +Й1Й 2 + е 2)
т2 =
п2 =
т(21 2 + 11)
3(Х12 + 1112 + 1!)
п(2е 2 +е1) 3(^2 + е^ 2 + е 2)
(17)
Удельная мощность диссипации энергии 2т /3
dD = dDm + dDn, =
12 +1112 +12, dDn =
2п
л/3
е1 +е1е 2 + е
(18)
Составляя условие максимума удельной мощности диссипации энергии, получим
д(сР)) = 0 п
дп ' т
е2 +&1б 2 + е 2
12 +1112 +12
(19)
Мощность диссипации энергии (10) с учетом (19) D = Dm + Dn, Dm = -21}т^12+1112 + 12 pdp +
0
д^ др
• т1р=1=
2
1
Dn = ^=}п,\е2 + е^ +е2 pdp.
(20)
Для определения 15 неизвестных функций т^, т2, П1, П2, Q, и, V, е1, е2, 11,12, п, т, Л-1, X2 имеем 15 уравнений: три уравнения движения (13), четыре геометрических уравнения (6), четыре физических соотношения (15), три условия пластичности (14) и соотношение между п и т (19). Уравнения (16) не являются независимыми и получены с помощью соотношений (14) и (15). Соотношения (17) и (20) после подстановки (19) принимают вид (7) и (10).
Для определения мембранных усилий П1 и П2 необходимо знать поле скоростей радиальных перемещений. Из первого уравнения системы (13) следует
дГ 2е1 +е2 ^ е2 -е1 соотношение р—I —--- I = —-- , где ег- и X согласно (6) и (8).
др ^ X ) X
В результате получим нелинейную краевую задачу, которую необходимо решать на каждом шаге интегрирования по времени системы (13), что может оказаться неприемлемым по затратам машинного времени.
Дальнейшие упрощения связаны с допущением дт/др = 0, дп/др = 0, т.е. в формулах (14) т и п не зависят от пространственной координаты и их можно вынести за знак интеграла в соотношениях (20).
т1 =
т2 =
п2 =
Первое уравнение системы (13) и второе условие пластичности (14) имеют единственное решение П1 = П2 = п .
Подставляя в (9) выражения для изгибающих моментов (15) и скоростей деформаций срединной поверхности (6) найдем
2т
В = Вт + Вп, Вт =^3^12 +1112 +12 рdр
+
1
- , дw дw , , В = п|---рар- п|
0
др др
0
1 (д2/ +1 дГЛ
д№ др
• т1\р=1=
0
др2 р др
• V рар.
(21)
При этом можно показать, что мощность диссипации энергии не зависит от вида кинематически допустимого поля скоростей радиальных перемещений
аи а / \
рп1--1--(рп )а
ар = |—[рща]—р = рп1а 0 = 0.
I ( аи а ^ , I
II п1 — + п2 - р—р = I
01 —р р) 0 Условие максимума дВ/ дп = 0 позволяет получить
1
п т
г дw дw , с
—•—рФ-]
0др др 0
1 (д2/ +1
др2 р др
2
+1112 +12 р—Р
2
+
0
д^ др
^р—Р
• т\ р=1
(22)
Интегрируя (9) по частям можно получить другое выражение для мощности диссипации энергии
1
В = Вт + Вп, Вт = |
0
1 _д_ р др
т2 "^(рт1) др
Вп =-п|
1 ( д2w 1 д^
+—
др2 р др
^р—р- п|
0
^р—р,
Л
1 (д2/ +1 д/
др2 р др
^р—р.
(23)
Условие максимума дВ/ дп = 0 позволяет получить зависимость 11 | V2 ^^ р—р +1V2 (/ )*> р—р
п
т
• 1 _д_ )р др
_0
т2 "^(р'т1) др
(24)
V р—р
где
V2 () =
(д2
д
др
_ +1 2 р др
Л
( ), т1 —
нормированный вектор т1 .
Формулы (22) и (24) эквивалентны. Однако зависимость (24) предпочтительна в задачах динамики, т.к. не содержит производных от скорости прогиба срединной поверхности оболочки, которые могут терпеть разрыв.
Для решения системы дифференциальных уравнений в частных производных (13) наиболее целесообразно использовать дифференциально-разностный метод, выполняя конечно-разностную аппроксимацию по пространственной координате и сводя задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, порядок которой зависит от степени дискретизации по пространственной координате. Полученная система уравнений может быть решена с использова-
нием метода Рунге-Кутта, при этом начальные значения изгибающих моментов и мембранных усилий определяются типом опорного закрепления и характером внешней нагрузки.
Л и т е р а т у р а
1. Старое, А. В. Нестационарное нагружение идеально пластических осесиммет-ричных пологих оболочек с учетом больших прогибов [Текст] / А. В. Старое // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. - Новосибирск : ИТПМ СО АН СССР, 1990. - С. 207-211.
2 . Ерхов, М. И. Динамика жесткопластической пологой оболочки вращения с шар-нирно неподвижным краем с учетом больших прогибов [Текст] / М. И Ерхов, А. В Старое// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. науч. тр. - М. : Изд-во АСВ, 2003. - Вып. 12. - С. 5-11.
3. Ерхов, М. И. Теория идеально пластических тел и конструкций [Текст] / М. И. Ерхов. - М. : Наука, 1978. - 352 с.
4. Старое, А. В. Постановка задач и полная система уравнений динамического на-гружения жесткопластических пологих оболочек вращения [Текст] / А. В. Старое // Надежность и долговечность строительных конструкций и материалов : Материалы III Межд. науч.-техн. конф. - Волгоград, 2003. - С. 58-61.
THE COMPLETE SYSTEM OF EQUATIONS OF DYNAMIC LOADING IDEAL PLASTIC SHALLOW SHELLS OF REVOLUTION WITH TAKING INTO ACCOUNT LARGE DISPLACEMENTS
Starov A.V.
Statement of problems of plastic deformation of ideally plastic shallow shell of revolution with hinged support and rigid fixing of edge under operation of shock loading of the big intensity in view of greater sags is considered.
The complete set of the resolving equations is received, the algorithm of numerical realization of a problem on the basis of a differential-difference method is offered.
KEY WORDS: dynamic loading, plasticity, shell of revolution.
' НЬ НЬ
