CC BY
13
Проблемы теории пластичности
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКИХ
ЗАЩЕМЛЕННЫХ ПО КОНТУРУ КРУГЛЫХ ПЛАСТИНОК ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКИ
А.В. СТАРОВ, кандидат технических наук, доцент.
Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет.
Рассмотрена задача пластического деформирования круглых пластин с жестким защемлением края под действием осесимметричной нагрузки с учетом больших прогибов. Используется модель идеально пластического тела, поверхность текучести для оболочек со сплошным однослойным сечением, кинематические условия совместности. Получено аналитическое решение в параметрическом виде.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: круглая пластинка, идеально пластическое тело, кинематические условия совместности, большие прогибы.
В настоящей статье методика решения квазистатических задач деформирования жесткопластических защемленных по контуру круглых пластинок под действием равномерно распределенной нагрузки [1, 3] обобщается на воздействие распределенной по любому закону осесимметричной нагрузки.
Уравнения равновесия в полярной системе координат записываются в следующем безразмерном виде:
П2 - d (РП1 )= 0 m2 {Pmi )-p = 0 dp dp
1 d ( n) 1 d ( ——(pQ)----- /
P dP
P dP
pn
dw
dP
\
- P = 0,
(1)
где р = р/ро - радиус-вектор произвольном точки срединнои поверхности; Ро - радиус пластинки; mi = Мг/и 2 , = N¡12стsh - изгибающие моменты и мембранные силы; м = - прогиб; и = 4и р^h2 - радиальное перемещение;
2h - толщина пластинки; Q = Qp0| и^2 - поперечная сила; Р = Рр0 /и^2 -параметр нагрузки; - предел текучести материала; i = 1,2 - индексы, соответствующие радиальному и окружному направлениям. Горизонтальная черта указывает на размерность соответствующей величины.
Граничные условия:
т1 (о) = т2 (0), Q(0)= 0, дм(0)/др = 0,
т1 (1) = 0, м(1) = м(1) = 0, и(1) = &(1) = 0.
Скорости деформаций и скорости изменения кривизны срединной поверхности соответственно равны:
& h2 д& ддм дм & h2 &
8 =----1---- * 8 =-• — *
1 4р0 дР дР дР 2 4р0 р
&
h =■
h д w
2 &
2Po dp2
&
h =
h
1 ddw
2po2 P dP
Будем использовать поверхность текучести для оболочек со сплошным однослойным сечением, построенную на основе условия пластичности Мизеса [2], полагая k = 1
2 2 2 2 2 «1 - + т2 + «1 - П1П2 + П2 = k .
(2)
Принимая, что распределение нормальных сил не зависит от радиуса пластинки, то есть «1 = «2 = п, получим эллипс текучести
т2 - »1»2 + т2 = k2 - «2 = т2 , (3)
который может быть линеаризован путем использования кусочно-линейного условия пластичности
^ " (4)
(5)
2 2
т - т2 < т, |тг- < т, т = л1 k - п ,
или аналогичного по форме условия пластичности Треска
|т1 - т^ < т, т < 1; «1 - < п , < п , п < 1.
Линеаризация позволяет получить решения соответствующих задач в замкнутой форме, однако приводит к разделению срединной поверхности на ряд пластических зон, на границах которых должны выполняться кинематические условия совместности для слабых разрывов, подробно описанных в [2]:
дW & "д2 ы' =0, Г& &!
+ р др2
др - -
&
+ Р\
ды др
= 0,
(6)
где р1 - радиус границы раздела зон, точка - дифференцирование по неубывающему параметру нагрузки, квадратные скобки - разрыв соответствующей величины.
Предположим, что пластинка находится в трех пластических режимах: п1 = п2 = п (0 < р < 1), т1 = т2 = т (0 < р < р1), 0 < т1 < т2 = т (р1 < р < р2), т2 - т1 = т (р2 < р < 1).
Пусть пластинка загружена произвольной по радиусу осесимметричной нагрузкой, представленной гладкой функцией Р = Р(р). Полагая, что в центральной части пластинки реализуется пластический режим п1 = п2 = п , т1 = т2 = т из уравнений равновесия (1) находим распределение прогибов
р 1 ' Р Г—Г—(0<Р<Р1).
3 п 3 п
ы = - | — | —
'п
0 ' 0
(7)
&
На основании ассоциированного закона течения в зоне р1 < р < р2 ^ = 0, следовательно, функция распределение прогибов линейная. В зоне
р2 < р < 1 + = 0, отсюда следует, что функция распределение прогибов натуральный логарифм.
Условия непрерывности прогибов и углов наклона срединной поверхности при р = р2 и ы = 0 при р = 1 позволяют получить
р2 - р2 1П р2 - р)
^ =
w = W^
(р2 - р21п р2 - р1 )
^ (р2 < р < 1), 1П р2
р1 < р < р2 ^
где Wl и w2 - характерные прогибы на границах раздела пластических зон. 10
Определим разрывы соответствующих величин согласно (7) и (8)
дж др
ж
„р2 " р21п р2 " р1 ^
" || — | ¡¿Л
р=р1
д2 ж
2
др
р=р1
= ~Г Г| — ¡¿Л-— . рх{ V п ) п
(9)
Подставляя равенства (9) в первое условие совместности (6), получим
& А,
ж
_р2 - р21п р2 - р1
- "Г [—] ¡¿Л + р2 Г Г—¡Л - &1 — = 0.
р1 0 V п ) р1 0 V п ) п
Последнее уравнение после преобразований можно представить в виде
Ж
{р2 - р2 1п р2 - р1 ^
— Г— ¡¡Г .
•> п
р1 0 п
(10)
Интегрируя (10) с учетом начального условия для квазистатической задачи = 0 при р1 = 0, получаем
(р 2 - р 21п р 2 - р1 ) р Р
р1 0
Из (11) и (7) при р = Р1 следует зависимость
(р 2 - р 2 1п р 2 - р ) } — , 71 Л Р
Г — ¡¡¿Л
п
Ж =
1
I Г— Г 1 г —
I — ¡¡¿Л + I — I — ¡¡¿¡¿Л
•I п 1 л Л п
¡п
0 ' 0
Из (11) и (8) при р = р 2 получаем ...... р 21п р 2
р 2 1п р 2 Г —
(р 2 - р 2 1п р 2 - р1 )
1
Г—¡¡¿л .
п
0
(11)
(12)
(13)
Проверим выполнение второго условия совместности (6)
& & ?1 Л ( —
0 Л с ^ п
—1[ — | ¡¿¡¿Л -
ж,
&
+ р1
ж,
(р 2 - р 2 1п р 2 - р1 )] р1
р 2 - р 2 1пр 2 - Р1 )
& р^ Р\'
-^ Г[ —| ¡¿Л = 0
р , •> I п
(р 2 - р 2 1п р 2 - р1 ) +
&
Ж
р 2 - р2 1п р2 - р1 )+{Л |( ~ ] ¡¿¡¿Л . (14)
„р 2 - р 2 1п Р 2 - р1 ^
0 Л 0
Подставив в (14) соотношение (11) и продифференцировав (12) по времени, получим тождественные выражения.
Распределение поперечных сил и изгибающих моментов можно найти, интегрируя (1) с учетом (8), (11) и граничных условий т1 = т2, Q = 0 при р = р1
1 р 1 р
Q + — Г —¡¿Л--Г — ¡¿Л = 0,
Г). * Г) *
А
т, = т 2 +
Р „
\ р 1 р Л
---—|! —цйц--! ! —¡¿¡¿Л.
2 р1 2 р ) о р Ц
р
(15)
=
Учитывая граничное условие т1 = 0 при р = р2, получаем значение нагрузки, как функцию параметров Р1, Р2 :
ГГР-С-С---1— (р22 - р12 ^Р-сС-= т . (16)
р2 р1 0 2р1р2 0
Распределение поперечных сил и изгибающих моментов в зоне р2 < р < 1можно найти, интегрируя (1) с учетом (8), (13) и условий непрерывности Q и т1 при р = р2
р1 1 р Q + ГР-С- - — ГР-С- = 0,
рр 0
(
т + J
Р-
р ^ р 1 -• Гр-С- • 1п —— Г — ГР-С-С-.
3 р ^
У р р2--0
(17)
V р1 0
Условие т1 = -т при р = 1 даёт зависимости между р1 и р2
р2 - 1 л
X =
— [2 Г pпdпdп^—-1— (р2 - р2 )Г р2 р10 2рр2 0
(1 - 1п р2 )-
1 л -
(18)
Г- Гр-С-С- - р21п р2 ГР-С- = 0. - р1 0
р2-0
Зависимость п = п(р1, Р2) можно получить из условия максимума безусловной функции, образованной из уравнений (12),(16) и (18)
ф = | — (2-р-С-С--—^-р -р2)|1 Р-С-
I Р 2 Ц 2р1р2 0
- т > +
+ Я1-
р2 - р21п р2 - р1 ) р Р. * р11 - Р
(19)
р1
с Р г 1 г Р
Г — -С- + Г — Г — -
•I п 3 п 3 п
- > + X,
- п
0 ' 0
где А,г- - неопределенные множители Лагранжа.
Проверим выполнение условия пластичности. В соответствии с (14)
дт.
дР 2р1р
1 Р1 1 р п 1 Р
— (р2 + Р2 )г рпсп + — ц рцсцсц--г рцсц
Р1 0
л2 Р1 0 Р П ~ Р
д т Р1 Г^ 2 + .2
Р3 0
дР2
дт11 =0 др |р=р1 0,
ГРпСп - — ЦРцСцСц + — ГРпСп - Р.
Р1 0
Р2 0
д т,
др2
р=р1
1 Р1
-2- ГРпСп - Р(Р1).
Р12о
(20)
(21)
Из выражения (21) видно, что, при Р = Р1 имеем экстремум. Для уточнения его вида необходим анализ второй производной. В окрестности р ^ 1 имеем
дт,
др
р=1
=т-
А
Г р-С- + Г Р-С- .
0 р1 0
(22)
Последнее соотношение можно представить в виде
дт
д
р=1
= т
1 р р
1-
Гр-С- —2 ГР-С-
0 р1 0
— Г ГpпdПdП-^г-[— р22 - р1) ГРпdп
2 0 2 1 2 0
А 0 г-^2 0
Раскрывая неопределенность 0/0 при р1 ^ р2 ^ 1 по правилу Лопиталя, получаем:
дт1
д
(
р=1,А ^ р 2
=т
1-
2
2
1
< 0, то есть, экстремума в окрестности
Р ^ 1 нет при любом законе распределения нагрузки;
дт1
др
р=1,р ^0
=т
1-
1 р2-
— Г Гр-С-С-
р 2 0 0
, необходим дополнительный анализ.
Полагая, что Р = Р0 • у(р ), где Р0 - максимальная интенсивность нагрузки, приводим выражения (12), (16), (18) к виду
Р • У = т, У = —
Г2 «0
Р0 7 7 р2 - р2 1п р2 - р1
=-• 2, 2 =-
п р1
1 1Л
1 р2 - 11 р
— Г J^(п)пdпdп - 2 р р (р2 - р12)Г
г-1 А 1 -
У-С- +Г1 jw|dпdп ,
11 4 Р 1п Р Р1
X = 0, X = У (1 - 1п Р2 )-
Р1 0
Р2 ^ 0
(24)
(25)
(26)
Зависимость п = п(р1, Р2) получим из условия максимума безусловной функции, образованной из уравнений (24), (25) и (26), которая предстанет в
компактном виде
Ф = (Р0 • У - т)+ Я1(Р0Цп - ) + Л2 • X,
(27)
где Я1 и А2 — неопределенные множители Лагранжа. Составляя систему уравнений дФ/дп = 0, дФ/др 1 = 0, дФ/др2 = 0 и исключая \ и Л2, получим искомую функцию мембранного усилия п = п(р 1, р2) :
Г дУ дX дУ дX Л
2
т
др 1 др 2 др 2 др 1 У ( дг дX дг дX Л
(28)
Найдем соответствующие п
д 1 д 2 д 2 д 1 роизводные для вычисления выражения (28):
дУ
др 1
22
1
2 12 2
\w(П)ПdП-W( р1 )• р1
(29)
2
п
дР 2
р
дт-др
1 р2 П 1 / 1
т |- --2 (р2 + Р2 )|у^п + — , (30)
1 2р-р2 0 р2 0
Р=Р2
д2
р
р- о
Р 2 - Р 2 1ПР 2 - Р-
дР -
Р-
Р-
\у¥п-У(Р-Р-2
д2 дР2
1П Р2 /УЛ^Л,
Р-
дХ д—
= (- - 1пр 2)+ Р 21пР 2
дР- дР-дХ д—
дР2 дР2
60 50 40 30 20 10 0
Р- I о
(- - 1п Р2 )- — + — (уг)с1л- - +1п Р2 (улЛ Р2 Р2 0 Р- 0
Р-
\у¥п-у(р- )р-2
(3-)
(32)
(33)
(34)
Рис. О. Графики зависимости нагрузка-прогиб в центре пластинки для нагрузок Р = Р0 -ра, а = 0,0.5Д,2
р
^0
Рис. -.2.Графики зависимости нагрузка-прогиб в центре пластинки для нагрузок Р = Р0(- -ра), а = 0.5Д,2,да На рис. - представлены графики зависимости нагрузка-прогиб в центре пластинки для нагрузок различного очертания.
На рис. 2 представлены эпюры прогибов срединной поверхности круглой пластинки при ^0 = 2 8 и эпюры радиального изгибающего момента при ^0 = 0 ^ 8 для равномерно распределенной нагрузки [-]. -4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
р
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
w
Рис. 2.1. Эпюры прогибов срединной поверхности круглой пластинки при Wq = 2 8 для нагрузок P = P0 • ра, а = 0 Р
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1
1,5
m1
Рис. 2.2. Эпюры радиального изгибающего момента при Wq = 0 8
для нагрузок P = P0 • ра, а = 0 Л и т е р а т у р а
1. Ерхов, М. И. Большие прогибы круглых жесткопластических защемленных по контуру пластинок [Текст] / М. И. Ерхов, А. В. Старое //Исследования по строительной механике и надежности конструкций : сб. тр. ЦНИИСК им. Кучеренко. - М. : Госстрой-издат, 1986. - С. 27-39.
2. Ерхов, М. И. Теория идеально-пластических тел и конструкций [Текст] / М. И. Ерхов. - М. : Наука, 1978. - 352 с.
3. Ерхов, М. И. Большие прогибы идеально пластических круглых пластинок при осесимметричной нагрузке [Текст] / М. И Ерхов, А. В Старов // Геометрическое моделирование и начертательная геометрия : тез. докл. Уральской науч.-техн. конф. -Пермь,1988. - С. 71-73.
LARGE DISPLACEMENTS OF RIGID-AND-PLASTIC ROUND PLATES RIGIDLY FIXED ALONG THE CONTOUR AND SUBJECTED TO AXYSIMMETRIC LOADING
Starov A.V.
The problem of a plastic deforming of a circular plate with rigid pinching edge under act of axisymmetric loading in view of greater bending flexures is observed. The model of ideally plastic body, surface of flow for shells with continuous single-layer cross-section, the kinematic conditions of jointness is used. The analytical solution in a parametric aspect is gained.
KEY WORDS: round plate, rigid-and-plastic body, large displacements, kinematic conditions
