Несущая способность нагружаемых ослабленных ледяных пластин криволинейной формы переменной толщины Текст научной статьи по специальности «Физика»

Романова Т.П. Несущая способность нагружаемых ослабленных ледяных пластин криволинейной формы переменной толщины // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - № 3. - С. 148-163. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.3.10

Romanova T.P. Load-bearing capacity of ice weakened plates of curvilinear shape with variable thickness. PNRPU Mechanics Bulletin. 2016. No. 3. Рр. 148-163. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.3.10

ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА

№ 3,2016 PNRPU MECHANICS BULLETIN

http ://vestnik.pstu. ru/mechanics/about/inf/

001 10.15593/регш.шесЬ/2016.3.10 УДК 539.4+539.37

НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ НАГРУЖАЕМЫХ ОСЛАБЛЕННЫХ ЛЕДЯНЫХ ПЛАСТИН КРИВОЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

Т.П. Романова

Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, Россия

АННОТАЦИЯ

Разработана методика определения несущей способности ослабленных ледяных нагружаемых площадок, которые моделируются идеальной жесткопластиче-ской пластиной, расположенной на несжимаемом основании. Пластина имеет свободно опертый или защемленный произвольный кусочно-гладкий криволинейный внешний контур. В центральной части пластины расположено произвольное свободное отверстие. Толщина пластины уменьшается при приближении к границе отверстия. На пластину действует нагрузка, локально распределенная около отверстия по области произвольной формы. Приложенная нагрузка является произвольной функцией координат. Учитывается свойство разной сопротивляемости льда при растяжении и сжатии. Решение построено на основе принципа виртуальной работы. В зависимости от геометрических параметров пластины рассмотрены два варианта кинематически допустимого деформирования. В обеих схемах деформирования центральная часть пластины при воздействии нагрузки движется в направлении действия нагрузки, а область около границы вследствие несжимаемости основания движется в противоположном направлении. Введена криволинейная ортогональная система координат, связанная с внешним криволинейным контуром пластины, в которой удобно проводить вычисления двойных интегралов, описывающих решение задачи. Получены аналитические выражения для предельных нагрузок. Определены две интегральные характеристики приложенной нагрузки и показано, что в случае действия на пластину различно распределенных поверхностных нагрузок, у которых эти две характеристики совпадают, пластина будет иметь одинаковые предельные нагрузки. В качестве примера рассмотрена шарнирно опертая и защемленная пластина в форме эллипса с линейной функцией толщины, находящаяся под действием нескольких видов локальных поверхностных нагрузок.

© ПНИПУ

О СТАТЬЕ

Получена: 27 апреля 2016 г. Принята: 25 июля 2016 г. Опубликована: 30 сентября 2016 г.

Ключевые слова:

жесткопластическая модель, криволинейный контур, несжимаемое основание, ледяная пластина, переменная толщина, предельная нагрузка, разносопротивляемый материал

© Романова Татьяна Павловна - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: lab4nemir@gmail.com

Tatiana P. Romanova - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, e-mail: lab4nemir@gmail.com

LOAD-BEARING CAPACITY OF ICE WEAKENED PLATES OF CURVILINEAR SHAPE WITH VARIABLE THICKNESS

T.P. Romanova

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, Russian Federation

ARTICLE INFO ABSTRACT

A method is developed for determining the load-bearing capacity of weakened ice plates, which are modeled by an ideal rigid-plastic plate located on an incompressible foundation. The plate is simply supported or clamped on arbitrary piece-wise smooth curvilinear external contour. The central part of the plate contains a free opening with an arbitrary contour. The thickness of the plate decreases when approaching the boundary of the opening. The plate is subject to a load distributed locally around the opening in the region of an arbitrary shape. The load is an arbitrary function of coordinates. The property of ice with different a resistance in tension and compression is taken into account. The solution is made based on the principle of virtual work. Two variants of kinematically admissible deformations are considered in dependence on the geometric parameters of the plate. In both deformation schemes, the central part of the plate (under loading) moves in the direction of the load; while the area near the external contour (due to the foundation incompressibility) moves in the opposite direction. An orthogonal curvilinear coordinate system associated with curvilinear external contour of the plate is considered. In this system, it is convenient to calculate double integrals describing the solution of the problem. Analytical expressions for the limit loads are obtained. Two integral characteristics of the load are determined; and it is shown that in case the plate is affected by differently distributed surface loads (in which these two characteristics coincide) the plate will have the same limit load. A simply supported and clamped plate shaped as an ellipse with a linear function of thickness under the action of several types of local surface loads is considered as an example. The proposed method allows calculating the load-bearing capacity of weakened curvilinear ice plates on an incompressible foundation and estimating the possibility to increase the load-bearing capacity by increasing the loaded area and by redistributing the load on the area of loading.

© PNRPU

Введение

Вопросы рационального проектирования разнообразных ледовых морских сооружений являются крайне важными на сегодняшний день в связи с растущим геополитическим и экономическим интересом к Арктическому региону. Существенной характеристикой ледяного поля, требующей особого изучения, является анизотропия прочностных свойств морского льда как по площади ледяного поля, так и по толщине [1, 2]. В связи с возможным использованием льда как материала для различных инженерных решений, в качестве опоры или площадки приема транспортных средств и грузов, для безопасности работ на льду особое значение имеет оценка несущей способности ледяного покрова, у которого возможно образование опасных мест, таких как полынья, промоины, проталины и т.п. В таких местах резко снижаются прочностные свойства льда и их границы при моделировании можно считать свободными отверстиями. В настоящее время обязательной составной частью расчетов ответственных ледовых площадок становится учет влияния пластических деформаций льда [3-6]. В связи с этим в предлагаемой работе разработана методика для определения предельной нагрузки ослабленных ледяных нагружаемых площадок, которые моделируются, как и в [7], идеальной жесткопластической пластиной на несжимаемом основании. Пластина имеет свободно опертый или защемленный произвольный кусочно-гладкий внешний контур. В центральной части пластины находится свободное отверстие (полынья). Толщина пластины уменьшается при приближении к границе отвер-

Received: 27 April 2016 Accepted: 25 Jule 2016 Published: 30 September 2016

Keywords: rigid-plastic model, curvilinear contour, incompressible foundation, ice plate, variable thickness, limit load, material with different tensile and compressive ultimate stresses

стия. Пластина находится под действием нагрузки, распределенной по локальной области около отверстия. Учитывается свойство разной сопротивляемости льда при растяжении и сжатии. В литературе жесткопластический анализ такой задачи проведен только в случае отсутствия отверстия и при постоянной толщине. Для свободно опертой круглой пластины без отверстия при осесимметричном нагружении точное идеальное жесткопластическое решение на основе условия пластичности для моментов типа Треска построено в [7], упругое - в [8]. В рамках жесткопластической модели на основе принципа виртуальной работы случай ледяных пластин произвольного контура постоянной толщины, нагружаемых по произвольной области, рассмотрен в работе [9], криволинейных пластин, усиленных жесткой шайбой - в [10]. Предлагаемая работа является развитием методики, разработанной в [9, 10], на случай криволинейных ледяных пластин переменной толщины с отверстием. Упругая бесконечная ледяная пластина с круглым отверстием на упругом основании, переменной толщиной вблизи отверстия рассмотрена в [11]. Динамическое деформирование жесткопластических криволинейных пластин постоянной и переменной толщины под действием равномерно распределенной нагрузки изучалось в [12-14]. В работе [15] проведен жесткопластический осесимметричный анализ плавающей ледяной пластины при условии пластичности Треска под действием локальной ударной нагрузки без учета сопротивления основания. В [16, 17] рассмотрено увеличение несущей способности ледяной плиты, усиленной различными видами геосинтетических материалов, которая моделируется как упругая пластина на упругом основании. Несущая способность ледяных балок в рамках модели упругопластической среды с образованием пластических шарниров оценена в [18] численно с помощью программного комплекса ЬБ-ОУКЛ.

1. Основные предположения и геометрические соотношения

Пусть уравнение контура Ь пластины записано в декартовых координатах (х, у) в параметрической форме

Рис. 1. Криволинейная пластина. Схема деформирования 1 Fig. 1. Curvilinear plate. Deformation scheme 1

Рассмотрим тонкую идеальную жесткопла-стическую пластину с произвольным выпуклым кусочно-гладким свободно опертым или защемленным контуром Ь (рис. 1). Пластина находится на несжимаемом основании. В центральной части пластины находится свободное отверстие с произвольным контуром Ь. Около отверстия расположена двусвязная область 2 р с контурами Ь и Ьз, имеющая переменную толщину. Область 2р нагружена произвольной распределенной нагрузкой Р.

x = *1(ф), У = л(ф) (0 <ф< 2% ). Радиус кривизны контура L за исключением особых точек

, В(ф) = ,/(5x1/ Эф)2 + (dy1 / Эф)2 . (1)

Эф ^ Эф2 ) Эф ^ Эф2

У

Для определенности считаем, что контуры Ц (i = 1...3) симметричны относительно оси х , контур пластины имеет особенности только при y = 0, и геометрические размеры пластины по оси х не меньше, чем по оси y. Также считаем, что нагрузка P распределена симметрично относительно оси х и ее главный момент относительно оси y равен нулю.

Введем криволинейную ортогональную систему координат (V1, V2) (см. рис. 1), связанную с координатами ( х, y ) соотношениями [9, 12]:

х = Х1 (V 2 )-V1yi(V2)/B(v 2) , y = y1(V2) + ^^2)/B(V2), (□)'= ЭД/(2)

Кривые V1 = const находятся на расстоянии V1 от контура Ц внутрь пластины и имеют радиус кривизны Р1 = R(v2) — V1. Прямые V2 = const являются перпендикулярами к контуру L1 (радиус кривизны Р2 = го). Система координат (V1, V2) является левой (см. рис. 1). Элемент площади в координатах (vb v2) равен ds = B(1 — v1 /R)dv1dv2. Уравнение L1 имеет вид V1 = 0 (0 < V2 < 2л ). Для гладкого криволинейного контура L1 справедливо равенство [9]

2f B^V2ldv 2 = 2л. (3)

8 R(V2) 2

Все нормали к контуру L1 , опущенные внутрь пластины на ось х , попадут на линию l (см. рис. 1). Уравнение линии l в координатах (V1, V2) имеет вид V1 = Dc(V2) (0 <V2 <л), где [12]

Dc (V2) = |y1( V2)/х1( V2) B (V2). (4)

Обозначим через Dmin = min Dc (v2) = min (Dc (0), Dc(л)) . В случае гладкого конту-

0<v2<л

ра L1 будет выполняться Dmin > 0. Для кусочно-гладкого контура L1 линия l походит через особые точки контура (которые в силу сделанного предположения расположены при y = 0, то есть при V2 = 0 или V2 = л ) и Dmin = 0.

Границы контуров L^, L3 заданы; в координатах (V1, V2) они имеют вид (см. рис. 1;

0 <р1 <^1 <^2 <p2 <л)

L2: V1 = D2 ( v2 ) , p1 < V2 < Р2 , 2л —p2 <V2 <2л —рЪ

L3 : V1 = D3(v2), < V2 <?2, 2л — ?2 < V2 < 2л — ?1, где D2(p j ) = Dc (p j ), D3(q j ) = Dc (q j ) ( j = 1,2).

В силу симметрии будем рассматривать только половину пластины при 0 <V2 <л. В зависимости от соотношения величин Dmin, D2^), D2(P2), D3(^1), D3(^) линия l расположена внутри контура L2 , пересекает L2 или L3 . Для определенности считаем, что если l пересекает L или L3, то пересекает только в двух местах. Случаи, когда прямая l

пересекает L2 или L3 в одном месте, анализируются аналогично. Обозначим D2m = max(D2(P1),D2(P2)) , D3m = max(D3(q1),D3(q2)). Возможны три варианта для определения области Zp.

A) Dmin > D2m (прямая l находится внутри контура L2 и не пересекает его);

= p1 = 0 = p2 = л

Zp : D3(v2) < V1 < D2(v2) при 0 < V2 < л; (5)

Б) D3m < Dmin < D2m (прямая l пересекает L2 и находится внутри L3); q = 0, P1 > 0,

?2 =л, P2

Zp : D3(V2) < V1 < Dc(V2) при 0 < V2 < Pb P2 <V2 <л, (6)

D3(V2) <V1 < D2(v2) пРи P1 <V2 <P2;

B) Dmin < D3m (прямая l пересекает контуры L2 и L3); q1 < P1 < 0, P2 < q2 < л,

Zp : D3(V2) < V1 < Dc(V2) при q < V2 < P1, P2 < V2 <?2 , (7)

D3(V2) < V1 < D2(v2) пРи P1 < V2 < P2 .

Считаем, что толщина пластины зависит только от координаты V1 и изменяется симметрично относительно срединной поверхности пластины. Причем толщина изменяется только в области Zp, а вне Zp она постоянна. Тогда толщина пластины в области

Zp равна h = h0_/1 (V1), где h - толщина на контуре L3 и вне области Zp; f1(v1) - невоз-

растающая функция, f1|(v v _z = 1 ( S - область всей пластины).

Нагрузка, действующая в области Zp, задана как P = P1 f2(V1, V2), где P1 - константа, f2 (V1, V2) - функция координат, симметричная относительно оси х .

Под действием нагрузки нагруженная часть пластины около отверстия движется вниз в направлении действия нагрузки. Поскольку пластина находится на несжимаемом основании, то часть пластины у внешнего контура движется вверх. В связи с этим, при построении решения, как и в [9, 10], можно считать, что для пластины с произвольным кусочно-гладким контуром в предельном состоянии возможна схема деформирования с образованием пластического шарнира на линии l и ещё одной шарнирной замкнутой кривой - линии ¡1, движущейся поступательно вверх (рис. 1, 2). Поскольку ¡1 движется поступательно, то на ней прогибы пластины равны. Обозначим область пластины между контуром L1 линией l1 и область, ограниченную линией l1 , через Z1 и Z2 соответственно. Области Z1, Z2 являются линейчатыми поверхностями. Обозначим угол поворота вверх плоскости пластины на контуре L1 через а,1 и угол вращения вниз области Z2 вокруг кривой ^ через а2. Считаем, что а1 и а2 не зависят от параметра V2. Так же как в [9, 10, 12], из равенства прогибов на линии ^ следует, что линия ^ расположена на оди-

наковом расстоянии от контура Ь, которое обозначим через Б. По смыслу задачи нагруженная область 2р движется в направлении действия нагрузки и находится внутри контура I1, тогда Б < Б^т . Уравнение линии 1-у в координатах (У1, У2) имеет вид V! = Б. Возможны два случая, когда 0 < Б < Бт^п (рис. 1, схема 1) и Б > Б^п (рис. 2, схема 2). При Б < Б^п линия I полностью находится внутри области 22, и так как Б > 0, то схема 1 допустима только при Бтп > 0, т. е. для гладкого контура Ь1 .

Для материалов, имеющих разные значения предела текучести на растяжение аг и сжатие ас, в том числе для льда, предельный изгибающий момент для пластины толщиной И равен а0И /4, где

а0 = 2агас /(аг + ас) ([3, 19]). С учетом переменной толщины рассматриваемой пластины предельный изгибающий момент в области 2 р равен М0/1 (Vl), а вне 2р - М0, где М0 = а0И<2 /4.

2. Определение предельной нагрузки при схеме 1

Рис. 2. Криволинейная пластина. Схема деформирования 2 Fig. 2. Curvilinear plate. Deformation scheme 2

Рассмотрим подробно схему 1 (см. рис. 1) (Б < Бт1п). Принцип виртуальной работы для рассматриваемой пластины имеет вид [20]

А = N, (8)

A = JJ (P - Q )u*ds,

N = SJ Mm [в*! dlm JJ h

ml lm 4 S

* *

k1 + k 2

ds.

(9) (10)

Здесь А, N - работа внешних и внутренних сил соответственно; Q - сила сопротивления основания; и - прогиб; р - поверхностная плотность материала пластины; т - количество линий разрыва поля перемещений; 1т - линии разрыва поля перемещений, включая контур

пластины; [9]. - разрыв угла поворота плоскости пластины на 1т ; Мт - изгибающий мот

мент на 1т ; Лт - элемент линии 1т ; К1 и К2 - главные кривизны поверхности прогибов пластины. Верхним индексом « * » обозначены кинематически допустимые величины. Кинематически допустимые прогибы в разных областях пластины

^ V1) е Z1:u* =-a*vb

.(V2, v1) е Z2 : u* =-a*D + a2(v1 -D).

(11)

S

Область в рассматриваемом случае определена как

2^. 0 < V! < Б при 0 < < л .

Область для вариантов (5)-(7) определяется как

А) 22. Б < Б2^2) при 0 ;

Б, В) 22. Б <БС (V2) при 0 ^ <РЬ Р2 ^ <л;

Б < ^^ при Р1 < ^ < Р2 .

Прогибы в сечении V2 = Р1 для схемы 1

изображены на рис. 3.

Условие несжимаемости основания имеет

вид

Рис. 3. Прогибы пластины в сечении v 2 = P1 для схемы 1 Fig. 3. Plate deflections in the section v 2 = P1 for scheme 1

JJ u*ds = 0.

S

(13)

Если считать, что сопротивление Q не зависит от координат пластины, выражение (9) с учетом (13) примет вид

A = JJ Pu*ds — Q JJ и ds = P1 JJ /2 (V1, V2 )u*ds ■

P1 JJ /2 (V1, V2) [— а1 D + а2 (V1 — D)] B(1—Rd^dv 2

v R

(14)

= P

—а1 DC1 +а2(С2 — DC1)

C1 = JJ /2(VbV2)B(1 — V1/R)dV1dV2, C2 = JJ /2(V1,V2)V1B(1 — VR)dV1dV2;

7 7

Здесь С, С2 - положительные константы, различные для вариантов (5) - (7) задания области 2р . Величина Ср является полной приложенной нагрузкой.

Работу внутренних сил (10) можно представить в виде суммы работ.

N = 1 Nl,

I=1

где N1 - работа внутренних сил на контуре ^; N2 - внутри области 21; N3 - на контуре ¡1; N4 - внутри области 2^ N5 - на прямой I. На контуре ^ нормальный изгибающий момент равен (1 М0 (^ = 0 при защемлении контура и ^ = 1 при его свободном

опирании), разрыв угла поворота на Ь^ равен и в области 21 кривизны К1 = —2 = 0, к2 = ——— = ——1—. Разрыв угла поворота на ¡1 равен а1 +а2 . Нормальный изгибающий

р1 5v1 R — v

момент на / равен <50~И (Бс)/4, и на /1 он равен М0. В области 22 кривизны 1 5

к2 =■

д2и

1 5и а2 „

к1 = —2 = 0, к 2 =--=--—. Тогда с учетом (3) получим

^2 Р1 ^ Я - v1

я Б

N1 =а*М0(1 -л)|N2 = а*М0||

1 (В

0 0

(ЯV Я

(Я - v1)d v1d v2 = а*М0 яБ

N3 = (а* +а2 )М0| Яя - Б^2 = (а* +а2 И | Bdv2 -яБ

0 Я V 0

Выражение для N4 , N5 можно получить, как в [12, 13], учитывая, что в области 2^ переменная толщина пластины:

N4 =а2 М0 || /З^)—^— В (1 -V- | й Vld V2 = а2 М0 || /l2(Vl) Я VV2; 7 (Я -V1) V Я у 2 Я

Л

Л

N5 = а .2 М0

Р1

Бс

Я

| Л (Б с ^2))В| 1 I dV2 + | /12(Бс Ы)В| 1 I й V

Р2

Бс

Я

Для случая А (5) справедливо, что Р1 = Р2 = 0, и N5 = 0. Полная работа внутренних сил будет определяться как

N = М0 {а* (2 - л) I Вй V2 + а2 [[(Б) + | Вй V2 - я Б ]},

(15)

Р1

I

0

^(Б) = || /12(^) +7 /12(Бс (V 2)) В | 1 -Я | й V 2 + I /12( Б с (V 2)) В | 1-- | й V 2,

Б

Я

Р2

Б

Я

где Б) для различных вариантов (5)-(7) после вычисления интегралов является известной функцией только величины Б .

Подставляя выражения (14), (15) в (8), получим равенство

Р

-а*БС1 + а2 (С2 - БС1)

= М0 ] а* (2 - л)| Вй V 2 +а2

^(Б) + | ВйV 2 -яБ

(16)

Условие несжимаемости основания (13) при учете (11)—(12) имеет выражение:

я Б

11 (-а* >^(1 - ^ / Я)dv1dv2 +1| [- а*Б + а2 (^ - Б)]В(1 - ^ / Я)dv1dv2 = 0,

0 0

которое можно записать в виде

а2 =а1^2( Б ),

(17)

я

0

2

2

2

2

Б

*2( Б) = -

3Б| Вйу2 - 2кБ2 + 6Л В(1 -V! / Л)й\

6 Л (у1 - Б)Е(1 -У1/ Я)йУ1йV2

где ^2( Б) для вариантов (5)-(7) после вычисления интегралов является известной функцией только величины Б.

Подставляя (17) в (16) и учитывая, что а* - произвольный параметр в кинематически допустимом поле прогибов (11), для нагрузки р получим выражение

(2 -л)| Вй У2 + ^(Б)

Р1 = Мо- 0

^(Б) + | Вйу2 -кБ

о

(18)

-Щ + Б)С -Щ)

Видно, что нагрузка Р1 в выражении (18) является функцией только величины Б. Предельную нагрузку Р01 для схемы 1 определим из (18) как

Р01 = т1п Р1. (19)

0< Б < Бт1П

3. Определение предельной нагрузки при схеме 2

Рассмотрим подробно схему 2 (см. рис. 2) Б > Б^п. Так же рассматриваем только половину пластины при 0 <У2 < 2к. При Б > Б^п кривая /1 пересекает линию /, для определенности считаем, что точек пересечения две -К и К с координатами (Б, £1) и (Б, £2) соответственно (в координатах ( У1, У2)). В силу равенства (4) значения £. (г = 1, 2) определяются через величину Б и являются решениями уравнения

|Л(£,)/х; (£. )| В (£.) = Б (0 <£ <к, г = 1,2). (20)

Для схемы 2 кинематически допустимые прогибы в разных областях пластины определяются соотношениями (11), в которых области 21 и 22 определены следующим образом:

^ Г° <у1 <Бс (у2) при 0 <у2 <£ £2 <у2 <К (21)

1 [0 <у1 < Б при £1 <у2 <£2;

2 : Г Б < У1 < Бс (У2) при £1 < У2 < Р1; р2 < У2 < £2;

2 ' [Б < у1 < б2 (у2) при Р1 < у2 < Р2.

Работа внешних сил А (9) для схемы 2 имеет выражение (14), в котором константы С\, С2 вычисляются при варианте (7). Работа внутренних сил (10) при схеме 2 вычисляется аналогично смехе 1. Тогда имеем

к

N1 = а*М0(1 -л) I Ей У2;

0

5, Б

II

0 0

1

(Я -V,) V Я

N2 = а1 М0

я Бс

+ ! I 77Т—~ВI 1 -"ТТ Idv1dv2

52 Б

1

-В[ 1 -Л. Idv1dv2 + I I-В[ 1 -Л Idv1dv

52 0

(я-v,) v я

= а1 М0

51

51 0 В

(я-v,) v я

В

яВ

| - БсйV2 + Б | V2 + I - БсйV

Я

1

Я

Я

52

Б„

N3 = (а*+а2)М0 I В(1 - -)йV2;

51 Я

N4 =а2М0 Ц /Л^Я— В [1 dvldv2 =

2 (Я -v1) V Я у

= а\М0

1 в

5 Я

Бс

I /l2(Vl)dVl

12

В

й V2 +| Я

11 Я

Бс

I /12dvl

Б

52 В

й v2 + I — ^ 2 ¿2 Я

Бс

I /l2dVl

Б

й v2

N5 = а2М0

Б

1 /12(Бс (V2))B [1 - ^ dV2 + я /,2( Б с ^2))В [1 - Б I dV2

0 ^ Я у р2 ^ Я

Для полной работы внутренних сил получим выражение

N = М0 ^ а!

(1 -л) I Вй V2 + Б)

+ а2Б) ,

^(Б) = 5 ВБсйV2 +5/ ВйV2 + я ВБсйV2,

0Я 51 52Я

Б

б)=р - я й ^+ь

51 51

р,

В

Бс

I f[(Vl)dV,

Б

¿2 В й v2 +| Я

р,

й V2 +

В

+12 я

и2 й V,

Б

р,

0

| /12 й V

Б

Бс ^ ? ,2,„ , чБ,

Бс

Я

йV2 + | л (Бс(V2))В[ 1 IdV2 + | /12(Бс^»В! 1 - I^^2.

¿2

Я

(22)

Условие несжимаемости основания (13) для схемы 2 при учете (11), (21) имеет выражение

5 Бс * 52 Б *

| | (-а* )у1В(1 - V, / Я)йv1dV2 + | | (-а* )у1В(1 - V, / Я)йv1dV2 +

00 5, 0

я Бс р, Бс

+ | | (-а* >>^(1 -V, / Я)йVldV2 + | | [-а*Б + а2(v1 - Б)] В(1 -V, / Я)йVldV2 +

52 0 5, б

¿2 Б2

+ I I [-а*Б + а2(v1 - Б)] В(1 -V, / Я)йVldV2 +

р, б

52 Бс

+ I I [-а*Б + а2 (V, - Б)] В(1 -V, / Я)dvldv2 = 0,

¿2 Б

которое можно записать в виде

а2 =а1^5( Б Ь

[£1 Бс / N £2 Б / I к Бс (

Р5 =[// У1ВI 1 -VI I йуф2 + | | У1ВI 1 -VI I йУ1йУ2 + | | У1ВI 1 -VI | йУхйУ2 +

00 1 К1 £1 0 1 К1 £2 0 1 К

+Б

Р1 Бс / I Р2 Б2 / л £2 Бс /

И В ( 1 -У1 I йУ1йУ2 + Л ВI 1 1 йУ1йУ2 + Л ВI 1 -УЛ | йУ1йУ2

£ Б V К1 Р! Б V К1 р2 Б V К

Р1 Бс (I Р2 Б2 /

Л (У1 - Б) В (1 -У.] йУ1йу 2 +| I (У1 - Б)В 11 -У1 ) йухйУ2

£1 Б V Л1 Р; Б V Л

£2 Бс ( У ,

+ | | (У1 - Б)В (1 -У- | йУ1йУ2

Р2 Б V Л

Функции ^з(Б), ^4(Б), ^5(Б), обозначенные в (22), (23), после вычисления в них

интегралов являются известными функциями только величины Б .

Подставляя выражения (22) и (14) при варианте (7) в уравнение (8), получим равенство, из которого при учете (23) и того, что а* - произвольный параметр в кинематически допустимом поле прогибов (11), (21), для нагрузки Р1 при схеме 2 получим выражение

Р = М 0-

(1 - л) I ВйУ2 + Я, (Б) + ¥л (Б) ^ (Б)

0_

-БС1 + *5(Б)(С2 -БС1)

Предельную нагрузку Р02 для схемы 2 вычислим из (24):

Р02 = т1п Р1.

Б >Бтт

(24)

(25)

Если пластина имеет кусочно-гладкий контур ¿1, то Бт1п = 0 и она деформируется по схеме 2, а ее предельная нагрузка Р0 = Р02 . Пластина с гладким контуром ¿1 в общем случае может деформироваться как по схеме 1, так и по схеме 2, поэтому ее предельная нагрузка

Р0 = т1п (Р01, Р02 ), (26)

где Р01, Р02 определены в (19), (25).

Из выражений (14), (18), (24) видно, что функция /2(у17 у2), характеризующая распределение нагрузки по поверхности пластины, входит только в две интегральные константы С1 , С2 . Поэтому если две различно распределенные нагрузки, действующие на геометрически равные пластины, имеют одинаковые интегральные характеристики С1 , С2 , то предельные значения этих нагрузок будут совпадать.

Предлагаемое решение будет также справедливо для пластин переменной толщины без отверстия, на несжимаемом основании, если принять Б2( У2) = Бс (у2) .

4. Численные примеры

В качестве примера рассмотрим эллиптическую пластину с полуосями a и ya, где 0 < y < 1 (рис. 4). Уравнение контура L1 имеет вид x1 = a cos ф, y1 = ya sin ф, поэтому

В(ф) = а^и^ф+у^со^^ф , Я (ф) = В 3(ф )/(у а 2), Дс (ф) = уВ(ф), Ртш =у а . Считаем, что величины Д2, Д3 являются постоянными и

^2 < Ртш = у а . При этом прямая линия I находится внутри контура 12 и реализуется случай А (5) со схемой деформирования 1. Пусть в области 2р толщина пластины задана в виде

линейной функции Н = Н0 (у а -у1) /(у а - Д3), то есть У1(VI) = (уа -^)/(уа - Дз).

Тогда для схемы 1 функции Д), Д2(Д) в (15), (17) имеют вид

Рис. 4. Пластина в форме эллипса Fig. 4. Plate in the shape of an ellipse

F1(D) = -nD + л 2D3 + ya - (ya - D2)3 /(ya - D3)2

/3:

F2 = D

3(2D2 - D)J Bdv2 - л(3d| - D2) 0

/ «D2 - D)2

3 J Bdv2 -л(D + 2D2) 0

С учетом последних выражений равенство (18) примет вид

D) = M0n a0 + a1D + a2D2 + a3D32+ a4D4 .

D\b0 + b1D + b2 D2 j

ao = (2 - л )D| (3Qi - 2D2)Qi, ai = 3Q2 [Q3 - (2 - Л) Qi],

a2 = 3[(2 -л)п2 -Q1Q3 - 2Q2], a3 = (4 + л)П1 + Q3, a4 =-2, b0 = D2 [3(2C2 - C1D2)Q1 + D2(2C1D2 - 3C2)], b1 = -3C2Q1, b2 = C2

Q1 = J Bdv2 / л * a [3(1 + y) - 2^/r ] /4, Q2 = D2 (2Q1 - D2),

(27)

Q3 = Q1 + [ 2 D3 +ya-(ya-D2)3/( ya-D3)2

/3.

я

В выражении 01 для половины длины контура эллипса \ Вй V 2 учтено его прибли-

0

женное значение [21].

Рассмотрим знаменатель выражения (27). Обозначим через Дх минимальный поло-

2

жительный корень уравнения Ь0 + ЬДх + Ь2Дх = 0. Поскольку Ь < 0, то Дх =

= (( - ^¡1 - 4Ь0¡2 )/ (2Ъ2). Из анализа выражения (27) следует, что функция р(Б) имеет единственный минимум на интервале 0 < Б < Бх при Б = Б0 . Предельная нагрузка

Р) = Р1(Б0). (28)

Значение Б0 определяется из условия 5Р / 5 Б|б _ Б = 0 и удовлетворяет уравнению

Б0 (4а4Б0 + 3а3Б0 + 2а2Б0 + а1) (ъ0 + Ъ1Б0 + Ъ2Б^ ) =

= (а0 + а1Б0 + а2 Б^ + а3Б03 + а4 Б0 ) (ъ0 + 2Ъ1Б0 + 3Ъ2 Б0 )

Рассмотрим несколько действующих поверхностных нагрузок, имеющих одинаковую полную нагрузку Р/, равную Р11| В(1 - У1 / Я) йУ^У2 . Тогда

Р/ = РII /2(У1,У2)В(1 -У1/Я)й VУ2 = Р1II В(1 -У1/Я)) 2 = С1Р1,

и у всех этих нагрузок будут одинаковые С1 = Ц В(1 -У1 / Я)йу^У2 . Имеем

1) равномерно распределенную нагрузку /2^1, У2) = 1. Для нее

С2 = Ц В(1 - у1 / Я) У1йУ1йУ 2;

2) синусоидальную нагрузку /2 (у1 , у2) = Ра б1п(у1 / Б3 -1),

Ра = Ц В(1 - у1 / Я)йУ1йУ2 / Ц Б1п(У1 / Б3 -1)В(1 - У1 / Я)¿У^У2;

С2 = Р II (1 - У1/ Б2)В(1 - У1 / Я)УхйУхйУ2.

3) линейную нагрузку /2 (у1 , у2) = р (1 - у1 / Б2 ),

РЪ = Ц В(1 - у1 / Я)йУ1йУ2 / Ц (1 - У1 / Б2)В(1 - У1 / Я)йУ1йУ2 ;

С2 = Р II (1 - V Б2 )В(1 - У1 / Я)У^У^.

Для рассматриваемой эллиптической пластины на рис. 5 приведена зависимость безразмерной полной предельной нагрузки / = ClPо/(6MоSe) от величины 8 = 1

(й^ = Б]- / а, ]' = 2,3, £е = куа - площадь всей эллиптической пластины). Считалось

у = 0,9, й2 = 0,8, й3 < й2 < йт, йт = Бт1п /а = у2 = 0,81. Кривые 1-3 (см. рис. 5) относятся к случаю свободного опирания контура ( л = 1) при действии нагрузок 1)-3) соответственно. Кривые 4-6 (см. рис. 5) изображают решение в случае защемления внешнего контура пластины (л = 0) и нагрузок 1)-3). Во всех рассмотренных примерах реализуется

схема 1, а р определяется из (27)-(29). Для разных значений параметра ^з величина С, равная

площади нагружаемой области, различна. Из рис. 5 видно, что распределение нагрузки по нагружаемой области, даже при одинаковой полной нагрузке, существенно влияет на величину полной предельной нагрузки. Из рассмотренных трех примеров распределения нагрузки наименьшая полная предельная нагрузка будет в случае нагрузки вида 2), когда больше всего нагружена область вблизи отверстия (см. рис. 5, кривые 2, 5).

Заключение

На основе модели идеального жесткопластического материала определена предельная нагрузка для нагружаемых ослабленных ледяных пластин криволинейной формы переменной толщины, расположенных на несжимаемом основании. Произвольный кусочно-гладкий внешний контур пластины свободно оперт или защемлен. В центральной части пластины находится свободное отверстие (полынья). Толщина пластины плавно уменьшается при приближении к границе отверстия. Пластина находится под действием нагрузки, распределенной по локальной области около отверстия. Нагрузка является функцией координат. Учитывается свойство разной сопротивляемости льда при растяжении и сжатии. Решение построено на основе принципа виртуальной работы. Введена криволинейная ортогональная система координат, связанная с внешним контуром пластины и в которой удобно проводить вычисления двойных интегралов, описывающих решение задачи. В зависимости от геометрических параметров пластины рассмотрены две схемы кинематически допустимого деформирования. Получены аналитические выражения для определения предельных нагрузок. Показано, что если две различно распределенные нагрузки, действующие на геометрически равные пластины, имеют одинаковые интегральные характеристики С, С2, то предельные значения этих нагрузок будут совпадать.

В качестве примера рассмотрена эллиптическая пластина с линейно изменяющейся толщиной, находящаяся под действием нескольких типов локальных поверхностных нагрузок. Предлагаемая методика позволяет рассчитать несущую способность ослабленных криволинейных ледяных площадок и оценить степень ее возможного увеличения при увеличении нагружаемой области и при перераспределении нагрузки по области нагру-жения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-01-00102-а).

0-1— —^ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

е

Рис. 5. Безразмерная полная предельная нагрузка f в зависимости от параметра области нагружения s Fig. 5. Dimensionless full limit load f depending on the loading area parameter s

Библиографический список

1. Политько В. А., Кантаржи И.Г. Исследуемые характеристики льда, необходимые для определения ледовых нагрузок // Вестн. Моск. гос. строит. ун-та. - 2015. - № 12. - С. 106-117.

2. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Механика разрушения и проблемы освоения Арктики // Арктика: экология и экономика. - 2015. - № 4 (20). - С. 14-27.

3. Бычковский Н.Н., Гурьянов Ю.А. Ледовые строительные площадки, дороги и переправы. -Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2005. - 260 с.

4. Sodhi D.S. Breakthrough loads of floating ice sheets // J. Cold Reg. Eng. - 1995. - Vol. 9. -No. 1 (4). - P. 4-22.

5. Kerr A.D. The bearing capacity of floating ice plates subjected to static or quasi-static loads. A critical survey // U.S. Army Cold Regions Research and Engineering Laboratory, Hanover, N.H., Research Report 333. - 1975. - 43 p.

6. Langhorne P.J., Stone K.J.L., Smith C.C. The bearing capacity of saline ice sheets: centrifugal modelling // Can. Geotech. J. - 1999. - Vol. 36. - No. 3. - P. 467-481.

7. Hodge P.G., Chang-Kuei Sun. Yield-point load of a circular plate sealing an incompressible fluid // Int. J. Mech. Sci. - 1967. - Vol. 9. - No. 7. - P. 405-414.

8. Керр А. Д. Изгиб круговых пластинок, ограниченных несжимаемою жидкостью // Прикладная механика. Серия Е. Сб. переводов. - 1965. - Vol. 32. - No. 3 - С. 264-266.

9. Немировский Ю.В., Романова Т.П. Несущая способность ледяных пластин произвольного контура, нагружаемых по произвольной области // Тр. 5-го Евраз. симп. по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата. г. Якутск, 1-5 июня 2010 / ИФТПС СО РАН. - Якутск, 2010. - С. 81-91.

10. Немировский Ю.В., Романова Т.П. Несущая способность ледяных пластин криволинейной формы, усиленных жесткой вставкой // Прикладная механика и техническая физика. - 2013. -Т. 54, № 4. - С. 141-149.

11. Коренева Е.Б. Аналитические методы расчета пластин переменной толщины и их практические приложения. - М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2009. - 240 с.

12. Romanova T.P., Nemirovsky Yu.V. Dynamic rigid-plastic deformation of arbitrarily shaped plates // J. Mechanics of Materials and Structures. - 2008. - Vol. 3. - No. 2. - P. 313-334.

13. Немировский Ю.В., Романова Т.П. Динамическое деформирование жесткопластических криволинейных пластин переменной толщины // Прикладная механика и техническая физика. -2007. - Т. 48, № 5. - С. 108-120.

14. Немировский Ю. В., Романова Т. П. Динамика жесткопластической криволинейной пластины переменной толщины с произвольным внутренним отверстием // Прикладная механика. -2010. - Т. 46, № 3. - С. 70-82.

15. Kennedy J.B., Iyengar K.J. Rigid-plastic analysis of floating ice sheets under impact loads // Can. J. Civ. Eng. - 1981. - Vol. 8. - P. 409-415.

16. Якименко О.В., Матвеев С.А., Сиротюк В.В. Исследование напряженного состояния и расчет несущей способности армированной ледяной плиты // Вестн. СибАДИ. 2014. - Вып. 3 (37). -C. 63-67.

17. Якименко О.В., Сиротюк В.В. Армирование ледовых переправ // Криосфера Земли. -2014. - Т. 18, № 1. - С. 88-91.

18. Ли Лян, Шхинек К.Н. Предельная несущая способность ледяных балок // Инженерно-строительный журнал. - 2013. - № 1. - С. 65-74.

19. Yan-bin Wang, Mao-hong Yu, Yun Xiao, Lin-sheng Li. Dynamic plastic response of circular plate based on unified strength theory // Int. J. Impact Engineering. - 2005. - Vol. 31. - No. 1. - p. 25-40.

20. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. - М.: Наука, 1978. - 352 с.

21. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1986. - С. 202.

References

1. Polit'ko V.A., Kantarzhi I.G. Issleduemye kharakteristiki l'da, neobkhodimye dlia opredeleniia ledovykh nagruzok [Studied characteristics of ice needed to determine ice loads]. Vestnik Moskovskogo gos. stroitel'nogo un-ta, 2015, no. 12, pp. 106-117.

2. Gol'dshtein R. V., Osipenko N. M. Mekhanika razrusheniia i problemy osvoeniia Arktiki [Fracture mechanics and the problems of Arctic exploration]. Arktika: ekologiia i ekonomika, 2015, no. 4 (20), pp.14-27.

3. Bychkovskii N. N., Gur'yanov Yu. A. Ledovye stroitel'nye ploshchadki, dorogi i perepravy [Ice construction sites, roads, and crossroads. Saratov], Saratov, Sarat. gos. tekhn. un-t, 2005, 260 p.

4. Sodhi D.S. Breakthrough loads of floating ice sheets. J. Cold Reg. Eng., 1995, vol. 9, no. 1, (4), pp. 4-22.

5. Kerr A.D. The bearing capacity of floating ice plates subjected to static or quasi-static loads. A critical survey. U.S. Army Cold Regions Research and Engineering Laboratory, Hanover, N.H., Research Report 333, 1975, 43 p.

6. Langhorne P.J., Stone K.J.L., Smith C.C. The bearing capacity of saline ice sheets: centrifugal modelling. Can. Geotech. J., 1999, vol. 36, no. 3, pp. 467-481.

7. Hodge P.G., Chang-Kuei Sun. Yield-point load of a circular plate sealing an incompressible fluid. Int. J. Mech. Sci, 1967, vol. 9, no. 7, pp. 405-414.

8. Kerr A.D. Bending of circular plates sealing an incompressible liquid. J. Appl. Mech., 1965, vol. 32, no. 3, pp. 704-706.

9. Nemirovsky Yu.V., Romanova T.P. Nesushchaia sposobnost' ledianykh plastin proizvol'nogo kontura, nagruzhaemykh po proizvol'noi oblasti [Load-bearing capacity of ice plates with an arbitrary contour loaded over an arbitrary domain]. // Tr. 5-go Evraz. simp. poproblemamprochnosti materialov i mashin dlia regionov kholodnogo klimata. Iakutsk, 1-5 iiunia 2010, Iakutsk, IFTPS SO RAN, 2010, pp. 81-91.

10. Nemirovsky Yu.V., Romanova T.P. Load-bearing capacity of curvilinear ice plates reinforced by a rigid insert. Appl. Mech. Tech. Phys, 2013, vol. 54, no. 4, pp. 636-643.

11. Koreneva E.B. Analiticheskie metody rascheta plastin peremennoi tolshchiny i ikh prakticheskie prilozheniia [Analytical methods of calculation of plates of variable thickness and their practical application]. Moscow, Iz-vo Assotsiatsii stroitel'nykh vuzov, 2009, 240 p.

12. Romanova T.P., Nemirovsky Yu.V. Dynamic rigid-plastic deformation of arbitrarily shaped plates. J. Mechanics of Materials and Structures, 2008, vol. 3, no. 2, pp. 313-334.

13. Nemirovsky Yu.V., Romanova T.P. Dynamic deformation of rigid-plastic curvilinear plates of variable thickness. Appl. Mech. Tech. Phys., 2007, vol. 48, no. 5, pp. 712-722.

14. Nemirovsky Yu.V., Romanova T.P. Dynamics of rigid-plastic curvilinear plate of varying thickness with an arbitrary hole. Int. Appl. Mech., 2010, vol. 46, no. 3, pp. 304-314.

15. Kennedy J.B., Iyengar K.J. Rigid-plastic analysis of floating ice sheets under impact loads. Can. J. Civ. Eng., 1981, vol. 8, pp. 409-415.

16. Iakimenko O.V., Matveev S.A., Sirotiuk V.V. Issledovanie napriazhennogo sostoianiia i raschet nesushchei sposobnosti armirovannoi ledianoi plity [Investigation of the stress state and calculation of bearing capacity of reinforced ice plates]. VestnikSibADI, 2014, 3 (37), pp. 63-67.

17. Iakimenko O.V., Sirotiuk V.V. Armirovanie ledovykh pereprav [Reinforcement of ice crossroads]. Kriosfera Zemli, 2014, vol. 18, no. 1, pp. 88-91.

18. Li Lian, Shkhinek K.N. Predel'naia nesushchaia sposobnost' ledianykh balok [Limit bearing capacity of ice beams]. Inzhenerno-stroitel'nyi zhurnal, 2013, no 1, pp. 65-74.

19. Yan-bin Wang, Mao-hong Yu, Yun Xiao, Lin-sheng Li. Dynamic plastic response of circular plate based on unified strength theory. Int. J. Impact Engineering, 2005, vol. 31, no. 1, pp. 25-40.

20. Erkhov M.I. Teoriia ideal'no plasticheskikh tel i konstruktsii [Theory of ideally plastic bodies and structures]. Moscow: Nauka, 1978, 352 p.

21. Bronshtein I.N., Semendyaev K.A. Spravochnik po matematike dlia inzhenerov i uchashchikhsia vtuzov [Reference Book in Mathematics]. Moscow: Nauka, 1986, 202 p.