CC BY
54
Романова Т.П. Несущая способность и оптимизация трехслойных железобетонных кольцевых пластин, опертых по внутреннему контуру // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2015. - № 3. - С. 114-132. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.3.09
Romanova T.P. Carrying capacity and optimization of three-layer reinforced concrete annular plate, supported on the internal contour. PNRPU Mechanics Bulletin. 2015. No. 3. Рр. 114-132. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.3.09
ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА № 3, 2015
PNRPU MECHANICS BULLETIN
http://vestnik.pstu.ru/mechanics/about/inf/
DOI: 10.15593/perm.mech/2015.3.09 УДК 539.4+539.37
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ И ОПТИМИЗАЦИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН, ОПЕРТЫХ ПО ВНУТРЕННЕМУ КОНТУРУ
Т.П. Романова
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, Россия
О СТАТЬЕ
АННОТАЦИЯ
Получена: 22 июня 2015 г.
Принята: 19 августа 2015 г. Опубликована: 30 сентября 2015 г.
Ключевые слова:
жесткопластическая модель, железобетон, угловое армирование, трехслойная пластина, внутренняя опора, отверстие,
предельная нагрузка, оптимальное расположение опоры
В рамках модели идеального жесткопластического тела построено точное решение задачи изгиба трехслойных железобетонных кольцевых пластин, имеющих разную структуру углового армирования в верхнем и нижнем слое. Средний слой пластины выполнен из бетона. Пластины шарнирно оперты по круговому контуру, расположенному внутри области пластины. Внешний и внутренний контуры пластин являются свободными. Пластины находятся под действием нагрузки, равномерно распределенной по поверхности. Условие пластичности в плоскости главных моментов, построенное на основе структурной модели композита, имеет вид прямоугольника типа условия Йогансена (Johansen). Учтено, что прочность бетона на растяжение намного меньше, чем на сжатие. Показано, что в зависимости от расположения внутреннего опорного контура возможны четыре схемы предельного деформирования пластины. Для каждой из схем определено условие ее реализации. Определены поля главных моментов и скорости прогибов пластины при различных расположениях опорного контура. Получены простые аналитические выражения для предельной нагрузки. Получены и численно решены алгебраические уравнения, которые определяют оптимальное расположение опорного контура, соответствующее наибольшему значению предельной нагрузки пластины и, следовательно, наименьшей ее повреждаемости при различном армировании. Показано, что оптимальному расположению опоры соответствует образование на ней пластического шарнира. Решена задача по определению оптимальной толщины верхнего слоя пластины, соответствующей наибольшей предельной нагрузке при заданной суммарной толщине армированных слоев. Показано, что расположение опорного контура влияет на оптимальные соотношения толщин верхнего и нижнего слоев. Приведены численные примеры при различных структурах армирования.
© ПНИПУ
© Романова Татьяна Павловна - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: lab4nemir@gmail.com
Tatiana P. Romanova - Ph.D. in Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, e-mail: lab4nemir@gmail.com
114
Романова Т.П. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2015) 114-132
CARRYING CAPACITY AND OPTIMIZATION OF THREE-LAYER REINFORCED CONCRETE ANNULAR PLATE, SUPPORTED ON THE INTERNAL CONTOUR
T.P. Romanova
Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Science, Novosibirsk, Russian Federation
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Received: 22 June 2015 Accepted: 19 August 2015 Published: 30 September 2015
Keywords:
rigid-plastic model, reinforced concrete, corner reinforcement, three-layer plate, internal support, hole, limit load, optimal location of support
Within the model of an ideal rigid-plastic body the exact solution is obtained for the problem of bending of three-layer reinforced concrete annular plates having different angular structure reinforcement at the top and bottom layers. The middle layer of the plate is made of concrete. The plates are hinge supported along the annular contour located within the area of the plate. External and internal contours of the plates are free. The plates are under load uniformly distributed over the surface of the plate. The condition of plasticity for the main moments, based on a structural model of the composite, has the form of a rectangle of type Johansen condition. It is taken into account that the strength of concrete in tension is much less than in compression. It is shown that there are four schemes of limit deformation of the plate, depending on the location of the internal support. The conditions of implementation are defined for all schemes. The main moments and the velocities of the deflections of the plate are defined at different locations of the internal support. The simple analytic expressions are obtained for the limit load. The optimal location of support is determined. The optimal support is a support at which the plate has a maximum limit load. It is shown that the optimal position of the support corresponds to the formation of plastic hinge on it. The problem is solved to determine the optimal thickness of the top layer of the plate corresponding to the maximum limit load for a given total thickness of the reinforced layers. It is shown that the location of the support affects the optimal thickness ratio of the upper and lower layers. Numerical examples are given for different structures of reinforcement.
© PNRPU
Введение
Железобетонные конструкции являются базой современной строительной индустрии. Необходимость оценки несущей способности элементов железобетонных конструкций возникает при проектировании новых и реконструкции существующих строительных объектов. В [1] представлен обзор современных методов расчета прочности железобетонных плит перекрытий, работающих в двух направлениях. В [2] в рамках модели идеального жесткопластического тела с использованием структурных соотношений для композита построено условие пластичности в плоскости главных моментов и получено точное решение динамической задачи по определению предельной нагрузки и остаточных прогибов шарнирно опертой по внешнему контуру круглой трехслойной железобетонной пластины при различных характеристиках углового армирования, с центральной жесткой вставкой, под действием равномерно распределенной по поверхности нагрузки взрывного типа. При этом учитывалось, что прочность бетона при растяжении невелика и составляет от 1/8 до 1/20 (высокие марки) от прочности бетона при сжатии [3]. В связи с тем что в современных конструкциях существует значительная свобода выбора архитектурнопланировочных решений, в том числе и свобода размещения опор [4], в предлагаемой работе основное внимание уделяется вычислению предельных нагрузок трехслойных железобетонных кольцевых пластин при различных характеристиках углового армирования и различном расположении опорного кругового контура внутри области пластины, а также определению его оптимального расположения. В литературе точные решения для жесткопластических армированных пластин, опертых по контуру, расположенному внутри
115
Romanova T.P. /PNRPU Mechanics Bulletin 3 (2015) 114-132
области пластины, не известны. В случае однородного материала в работе [5] методом предельного равновесия определена предельная нагрузка для круглой пластины, опертой на n точек, расположенных симметрично на окружности. В [6] найдено оптимальное расположение дополнительной внутренней круговой опоры для шарнирно опертой, защемленной и свободной на контуре круглой пластины под действием начального импульса при предположении, что на опорном контуре образуется пластический шарнир. В [7, 8] методом предельного равновесия для железобетонных квадратных и прямоугольных плит находится оптимальное размещение колонн, которые рассматриваются как точечные опоры. Вопросы оптимального расположения опор для однородных упругих и упругопластических балок, круглых и прямоугольных пластин рассматриваются в [9-15]. Оптимальное расположение полигональных внутренних опор к однородным жесткопластическим круглым, одно- и двусвязным полигональным пластинам определено в [16, 17] методом предельного равновесия.
1. Условие пластичности и закон пластического течения
Рассмотрим в полярных координатах (r, ф) круглую железобетонную пластину с центральным круглым свободным отверстием с контуром L0, шарнирно опертую по внутреннему круговому контуру L1 , при воздействии нагрузки, равномерно распределенной по поверхности пластины. Внешний контур пластины L свободный (рис. 1). Окружности L0, L1 и L2 - концентрические; их радиусы равны R0, R1 и R (0<R0 <R1 <R^).
Пластина состоит из трех различных слоев. Верхний I1 и нижний I2 слои пластины содержат по толщине
большое количество армированных слоев и связующих их изотропных прослоек, описываемых моделью идеального жесткопластического материала с условием пластичности для бетона типа модифицированного условия Треска для материала, по-разному сопротивляющегося растяжению и сжатию. Считается, что волокна арматуры деформируются, как одномерные элементы, и располагаются в виде двух семейств криволинейных траекторий, симметричных относительно радиуса (угловое армирование), причем армирование в верхнем и нижнем слое различное. Средний слой пластины выполнен из бетона.
Пусть M1, M2 - радиальный и окружной изгибные моменты; m1, m2 - их безразмерные значения; ka0 и а0 - пределы текучести связующего материала (бетона) на растяжение и сжатие (0 < k < 1); s“ - предел текучести материала арматуры в слое I (i = 1,2); р,г- - угол армирования угловых волокон в области Ii; шг- (х), шг-0 - плотность армирования угловых волокон в области I и ее значение при х = х0 ; 51 и 62 - толщины верхнего и нижнего слоев пластины; w - прогиб; t - время; H - толщина пластины; к1,
Рис. 1. Кольцевая армированная пластина, шарнирно опертая по внутреннему круговому контуру L
116
Романова Т.П. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2015) 114-132
1\^2 1 ЛСИЗОЫС LlVUpUvlrl I4.JJ.H..D1
параметры обезразмеривания,
к,
главные скорости кривизны поверхности пластины (безразмерные); о|
.0 0 3
H 0, t
0 з 10
Ид = 2ш, cos2 ц,, ш,2 = 2ш, sin2 ц, (i = 1,2), h = H/H0, ц,0 = Ц,^),
Kj =-/, к2 = —V/х, х = r/R2, х} = Rj /R2 (j = 0,1), v = (H0 /R2)2w, w = w/H0,
(*)' = d(*) / dx, (*) = 5(*) / dt, t = t /10.
Величина безразмерного предела текучести связующего (бетона) s не зависит от координаты х, а величины безразмерных пределов текучести арматуры в верхнем и нижнем слоях s1, s2 в общем случае могут быть функциями от х.
Для возможных вариантов структур углового армирования плотность армирования одного семейства волокон ш, (х) (i = 1,2) определяется следующими соотношениями [18]
(при армировании волокнами постоянного сечения): а) спирали Архимеда
В работе [2] на основе структурной модели армированного слоя с одномерным напряженным состоянием в волокнах и в рамках жесткопластического анализа получено, что условие пластичности в плоскости главных моментов для рассматриваемой трехслойной железобетонной пластины имеет форму восьмиугольника. При разных значениях параметров бетона и арматуры этот восьмиугольник может вырождаться в шестиугольник или четырехугольник. При малых значениях величины k (к < 1/15) восьмиугольник становится практически четырехугольником. Поэтому для простоты анализа для трехслойной круглой пластины можно считать, что условие пластичности в плоскости главных моментов имеет вид прямоугольника ABCD типа условия Йогансена, изображенного на
ш, (х) = ш,0>/хо + ()2 / (W1 + Щ2Ц.), tg^. = (х^ц,0 )/ х0;
(1)
б) логарифмические спирали
И, (х) = ш,0х0 / х, ц, (х) = ц,0 = const;
в) “спицы велоколеса”
(2)
(3)
рис. 2 где:
режим AB : m2 = а2 (х), (к1 = 0, к2 > 0); режим BC : m1 = —а3(х) (к2 = 0, к1 < 0); режим CD : m2 =—а4(х) (к1 = 0, к2 < 0); режим AD : m1 = а1(х) (к2 = 0, к1 >0);
2
2
117
Romanova T.P. /PNRPU Mechanics Bulletin 3 (2015) 114-132
a1 = 2{ksh2 +512(2sq1 -sjOjj)-52(2h-52)(2ksQ2 -s2q21)--\ksh + 51(2sq1 -s1q11)-52(2ksra2 -s2q21 )]2 /[(k +1)s];
a2 = 2 {ksh2 +512(2sq1 - s1q12) -52(2h -52)(2ksQ2 - s2q22)--[ksh + 51(2sq1 -s1q12)-52(2ksra2 -s2ra22 )]2 /[(k +1)s];
a3 = 2{sh2 +512(2ksQ1 -s1q11)-52(2h-52)(2sq2 -s2q21)--[sh + 51(2ksQ1 -s1q11)-52(2sq2 -s2q21 )]2 /[(k +1)s];
a4 = 2{sh2 +512(2ksQ1 -s1q12)-52(2h-52)(2sq2 -s2q22)--[sh + 51(2ksQ1 -s1q12)-52(2sq2 -s2q22)]2 /[(k +1)s].
Рис. 2. Условие пластичности в форме прямоугольника для трехслойной железобетонной пластины
(4)
(5)
(6) (7)
Поскольку пределы текучести арматуры st (i = 1,2 ) намного больше предела текучести связующего s, то aj (х) > 0 ( j = 1 - 4). Считаем, что aj(х) являются гладкими функциями.
2. Определение моментов, предельной нагрузки и скоростей
Уравнения равновесия круглой пластины имеют вид
(xm1)'- m2 = xq, (8)
Cl НГ 1 II 75 (9)
q = qr2/ m0, p = pr2/ m 00,
где Q - перерезывающая сила; P - нагрузка, распределенная по поверхности пластины. В случае расположения опорного контура на внешнем контуре пластины ( х1 = 1) при де-
118
Романова Т.П. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2015) 114-132
формировании на границе отверстия при x = x0 реализуется режим B1, при котором
m2(x0) = a2(x0), m1(x0) = 0 (см. рис. 2). На отрезке хо < x < 1 реализуется пластическое состояние B1 — B2 — B1, при котором, с учетом ассоциированного закона течения, имеем
m2(x) = a2(x), v” = 0, 0 <m1(x) <a1(x), m1(x0) = m1(1) = 0.
Пусть опорная окружность смещена от внешнего контура пластины немного внутрь ее ( x12 < x1 < 1; значение x12 определим ниже). Назовем возникающую при этом схему деформирования схемой 1. Поскольку пластина шарнирно оперта на внутренней опоре, то окружность x = x1 является промежуточным шарниром, на котором справедливо неравенство —a3(x1) < m1(x1) < 0 и перерезывающие силы терпят разрыв. На отрезке x0 < x < x1 реализуется пластическое состояние B1 — B2 — B3, при котором
m2(x) = a2(x), v" = 0, m1(x1) < m1(x) < a1(x), m1(x1) < 0, m1(x0) = 0, (10)
а на отрезке x1 < x < 1 реализуется пластическое состояние B3 — B1, при котором
m2(x) = a2(x), v" = 0, m1(x1) < m1(x) < 0, m1(x1) < 0, m1(\) = 0. (11)
Из уравнения v” = 0 при учете равенства нулю скоростей прогибов пластины на опорном контуре x = x1 получим распределение скоростей прогибов в пластине при схеме 1 (рис. 3, а):
v = v0(x1 — x)/^ — x0) при x0 <x < l,
где v0 - безразмерная скорость прогиба контура свободного отверстия L0.
Рис. 3. Скорости прогибов пластины: а - схема 1; б - схема 2; в - схема 3; г - схема 4
Из (8)-(10) при x0 < x < x1, учитывая, что q(x0) = 0, имеем
x
xq(x) = x0q(x0) — p j ydy = — p(x2 — x0) / 2; (xm) ” = a2(x) — p(x — x0)/ 2
x0
б
г
119
Romanova T.P. /PNRPU Mechanics Bulletin 3 (2015) 114-132
m\(x) = - 1 a2(y)dy - p Xx - x0 ) f1 + 2 —1 • (12)
xx0 6 ^ x J
При x1 < x < 1, учитывая, что на свободном контуре q(1) = 0, из (8), (9), (11) получим
xq(x) = -pj ydy = -p(x2 -1) / 2; (xm1)' = a2(x) - p(x2 -1) / 2 ; 1
1 1
m1(x) =---j a2(y)dy -
xx 6
x2-3 + 21 x
(13)
Из равенства m1(x1 - 0) = m1(x1 + 0) и (12), (13) получим предельную нагрузку p01 для схемы 1:
p01 =
(1 - x0) [3 x1(1 + x0)- 2(1 + x0 + x02) ] x0
j a2(x) dx.
(14)
Подставляя значение p = p01 в (12), (13), получим распределение в пластине радиального момента m1 (x):
m1 (x) = <
1 x
- j a2(y )dy-
xx
x0
11
---j a2(y)dy
xx
(x - x0)2( x + 2 x0) x(1 - x0) [3 x1(1 + x0) - 2(1 + x0
____________(1 - x)2( x + 2)
x(1 - x0) [3 x1(1 + x0) - 2(1 + x0
+x2) ]
1
J a2(x)dx;
x0
x0<x <<,
1
---:—;\a02x)dx; x, < x < 1.
+4)] 22
(15)
Из анализа выражения (15) следует, что m1( x) достигает своего минимального значения при x = x1. При условии m1(x1) = -a3(x1) на опоре образуется пластический шарнир. Откуда следует, что схема 1 реализуется для значений x1 в интервале x12 < x1 < 1, где x12 определяется из уравнения m1(x12) = —a3(x12), которое с учетом (15) при x = x1 = x12 имеет вид
a3( x12) x12
(1 x12) (x12 + 2)
(1 x0) [3 x12(1 + x0) 2(1
) ]
j a2(x)dx = j a2(y)dy.
(16)
x0
x12
При радиусе опорного контура x1 в интервале x0 < x13 < x1 < x12 на контуре L1 образуется пластический шарнир и пластину следует рассматривать как две независимые области: внутри контура L и между контурами L и L2. Значение x13 определим ниже. Деформирование при x0 < x < x1 (внутри контура L1) назовем схемой 2 , а при x1 < x < 1 (между контурами L1 и L2 ) - схемой 3.
При деформировании по схеме 2 будет деформироваться только часть пластины внутри контура L1 как пластина с отверстием, защемленная по контуру L1. На отрезке
x0 < x < x1 (x13 < x1 < x12) реализуется пластическое состояние B1 - B, при котором
m2(x) = a2(x), v" = 0, -a3 (x) < m1(x) < 0, m1 (x1) = -a3 (x1), m1(x0) = 0.
120
Романова Т.П. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2015) 114-132
Из условия v” = 0 скорости прогибов в пластине при схеме 2 (рис. 3, б)
v = a(x1 -x) при x0 < x < x1 (a = const).
Радиальный момент mj(x) определяется выражением (12). Из условия
т\(x1) = —a3(x1) получим предельную нагрузку p02 для схемы 2:
Р02 =■
[a3 (x1)x1 + J a2(x)dx].
(17)
(x1 - x0) (x1 + 2 x0) x0
При деформировании по схеме 3 будет деформироваться только часть пластины между контурами L1 и L2 как пластина, защемленная по внутреннему контуру L1 и свободная на внешнем контуре L2. На контуре L1 образуется пластический шарнир и m2(x1) < 0, т1(x1) < 0. На отрезке x1 < x < 1 реализуется пластическое состояние C - C1, при котором
m2(x) = -a4(x), v" = 0, -a3(x) < m1(x) < 0, m1(x1) = -a3(x1), m1(1) = 0. (18)
Из условия v" = 0 скорости прогибов в пластине при схеме 3 (рис. 3, в)
v = a( x-x1) при x1 < x < 1 ( a = const).
При x1 < x < 1, учитывая, что на свободном контуре q(1) = 0, из (8), (9), (18) получим
xq(x) = -pJ ydy = -p(x2 -1) / 2; (xm1) ' = -a4 (x) - p(x2 -1) / 2, 1
1 1
m\( x) = -J a4( y )dy —
x
22
x2 - 3 + — x
(19)
Из (19) и условия m1(x1) = —a3( x1) получим предельную нагрузку p03 для схемы 3:
p03
6
(1 - x1)2(2+x1)
1
a3 (x1) x1 + J a4 (x)dx
x1
(20)
Из выражений (17), (20) видно, что нагрузка p02 является убывающей функцией по x1, а нагрузка p03 - возрастающая. Поэтому при уменьшении значения x1 от величины x12 сначала реализуется схема 2, а затем схема 3. Из равенства p02( x1m) = p03( x1m) вычисляется значение x1 = x1m, при котором схема 3 переходит в схему 2. С учетом (17), (20) величина x1m определяется из алгебраического уравнения
(1 - x1m )2(2 + x1m )
-vim
a3(x1m )x1m + J a2(x)dx
x0
= (x1m - x0)2(x1m + 2x0)
a3(x1m )x1m + J a4(x)dx
x1m
(21)
121
Romanova T.P. /PNRPU Mechanics Bulletin 3 (2015) 114-132
При деформировании по схеме 4 на отрезке x0 < x < x1 реализуется пластическое состояние C1 — C2 — C1 и при x1 < x < 1 - состояние C1 — C3 (см. рис. 2). Окружность x = x1 является промежуточным шарниром, на котором справедливо неравенство
—a3(xj) < mj(xj) < 0 и перерезывающие силы терпят разрыв. При x0 < x < xj имеем
m2 (x) = -a4 (x), v" = 0, mj (xj) < mj (x) < aj (x), mj (xj) < 0, mj( x0) = 0. (22)
На отрезке xj < x < 1
m2(x) = -a4(x), v" = 0, m1(x1) < m1(x) < 0, m1(x1) < 0, m1(1) = 0. (23)
Из уравнения v" = 0 при учете равенства нулю скоростей прогибов пластины на опорном контуре x = xj получим распределение скоростей прогибов в пластине при схеме 4 (рис. 3, г):
v = v2(x — xj)/(1 — xj) при x0 < x < 1,
где v2 - безразмерная скорость прогиба внешнего контура L2 .
Из (8), (9), (22) при x0 < x < xj, учитывая, что q(x0) = 0, имеем
xq(x) = x0q(x0) — p j ydy = — p(x2 — x^) / 2; (xm ) " = -a4 (x) — p(x2 — x0)/^
x0
mi(x) = — - j a4(y)dy — p(x — x0)2 f1 + 2 —1. (24)
xx0 6 ^ x J
При x1 < x < 1, учитывая, что на свободном контуре q(1) = 0, из (8), (9), (23) получим
xq(x) = —p j ydy = —p(x2 — 1) / 2; (xm1) " = -a4 (x) — p(x2 — 1) / 2, 1
1 1
ml(x) ^ja4(y)dy—^
x x 6
x2 —3 + 21 x
(25)
Из равенства m1( x1 — 0) = m1( x1 + 0) и (24), (25) получим предельную нагрузку p04 для схемы 4:
p04
-------------------------------------— j a4 (x)dx.
(1 — x0) [—3 x1(1 + x0) + 2(1 + x0 + x0 ) ] x0
(26)
Подставляя значение p = p04 в (24), (25), получим распределение в пластине радиального момента m1 (x):
1 x
--j a4( y)dy-
m1 (x) = <
x0
---------[—x) (x + 2x°)-------- J aA(x)dx; x0 < x < x1,
x(l— x0)[3x(l + x0) — 2(1 + x0 + x0 )] x
1 1 ^ (1 — x)2(x + 2)
— j a4 (y)dy +--------------------------------—
xx x(l — x0) [3 x1(l + x0) — 2(1 + x0 + x0) ]
(27)
J a4(x)dx; x^_<x < 1.
122
Романова Т.П. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2015) 114-132
Из анализа выражения (27) следует, что m1( х) достигает своего минимального значения при х = х1, когда m1(х^ = -а3(х^ (при этом на опоре образуется пластический шарнир и схема 4 переходит в схему 3). Откуда следует, что схема 4 реализуется для значений х1 в интервале х0 < х1 < х13, где х13 определяется из уравнения m1 (х13) = — а3 (х13), которое с учетом (27) при х = х1 = х13 имеет вид
а4( X13) X13
(1 х13) (х13 + 2)
(1— х0) [3 х13(1 + х0) — 2(1
X02) ]
J а4(x)dx = = = а4(=)dy.
(28)
х0
х13
При заданном значении опорного радиуса х1 пластина будет деформироваться по схеме, при которой предельная нагрузка минимальна. Предельная нагрузка р0 для рассматриваемой пластины
Р0 = Рo2, Poз, Р04). (29)
Номер i, соответствующий минимальному значению величин p0i, определяет номер схемы деформирования пластины (i = 1 — 4). Таким образом, при х12 < х1 < 1 реализуется схема 1, при х1т < х1 < х12 будет схема 2, при х13 < х1 < х1т - схема 3 и при х0 < х1 < х13-схема 4.
3. Вычисление оптимальной опоры
Оптимальной будем считать такую опору, при которой пластина имеет максимальную предельную нагрузку и, следовательно, минимальную повреждаемость. Из анализа выражений (14), (17), (20), (26) следует, что функции предельных нагрузок р01(х1),
Р02(х1) убывающие по х1, а функции р03(х1), р04(х1) - возрастающие. Так как схема 1 реализуется при х12 < х1 < 1, схема 2 реализуется при х1т < х1 < х12, схема 3 - при х13 < х1 < х1т, и схема 4 - при х0 < х1 < х13, то предельная нагрузка рассматриваемых пластин будет максимальна при переходе схемы 2 в схему 3, то есть при х1 = х1т . Поэтому условие оптимальности опоры имеет вид р02(х1т) = р03(х1т), а равенство (21) является алгебраическим уравнением для вычисления радиуса оптимальной опорной окружности х1 = х1т . Кроме того, видно, что на оптимальной внутренней опоре образуется пластический шарнир.
На рис. 4 изображены значения радиуса оптимальной опоры х1т, полученные численно из (21) методом деления пополам, в зависимости от размера отверстия х0 и различных характеристик армирования железобетонной пластины. Считалось, что к = 1/17, s = 1, s1 = 40, s2 = 50, р,10 =n/6, р,20 =n/5, ш10 = 0,25, ш20 = 0,2, h = 1, 62 = 0,15; арми-
рование обоих слоев по закону (2). Кривые 1-3 соответствуют расчетам при 51 = 0,05, 51 = 0,1 и 51 = 0,2 . Из рисунка видно, что при изменении характеристик армирования изменяется расположение оптимальной опоры.
123
Romanova T.P. /PNRPU Mechanics Bulletin 3 (2015) 114-132
Рис. 4. Радиус оптимальной опоры x1m в зависимости от размера отверстия x0: линия 1 - 5j = 0,05; линия 2 - 5j = 0,1; линия 3 - 5j = 0,2
На рис. 5, 6 изображена безразмерная предельная нагрузка p0, вычисленная по (14), (17), (20), (26), (29) для рассматриваемых слоистых железобетонных пластин, в зависимости от безразмерного радиуса опоры x1. Считалось, что k = 1/17, s = 1, s1 = 40, s2 = 50,
P10 =n/6, P20 = я/5, ©10 = 0,25, ©20 = 0,2, h = 1.
На рис. 5 приведены расчеты при различных размерах отверстия. Было принято: 51 = 0,1, 62 = 0,07; армирование обоих слоев в форме логарифмических спиралей по закону (2). Линия c1c2c3c4c5 изображает p0 при безразмерном параметре отверстия x0 = 0,1. На интервале c1c2 реализуется схема 4, на интервале c2c3 - схема 3, на интервале c3c4 -схема 2, на интервале c4c5 - схема 1. Максимум предельной нагрузки достигается на оптимальной опоре x1 = x1m = 0,715 (в точке c3), p0(x1m) = 19,39; p0(x1m)/ p0(1) = 5,2. Линия e1e2e3e4e5 изображает нагрузку p0 при x0 = 0,15. На интервале e1e2 реализуется схема 4, на интервале e2e3 - схема 3, на интервале e3e4 - схема 2, на интервале e4e5 -схема 1. Максимальное значение предельной нагрузки достигается при x1 = x1m = 0,713 (в точке e3), p0(x1m) = 27,23; p0(x1m)/ p0(1) = 5,96. Линия b1b2b3b4b5 изображает p0 при x0 = 0,2. На интервале b1b2 реализуется схема 4, на интервале b2b3 - схема 3, на интервале b3b4 - схема 2, на интервале b4b5 - схема 1. Максимальное значение предельной нагрузки достигается при x1 = x1m = 0,715 (в точке b2), p0(x1m) = 35,71; p0(x1m )/ p0(1) = 6,74. При увеличении размеров отверстия отношение максимальной предельной нагрузки p0( x1m) к предельной нагрузке p0(1) (в случае шарнирного опирания по внешнему контуру пластины) растет.
124
Романова Т.П. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2015) 114-132
Рис. 5. Предельная нагрузка р0 в зависимости от радиуса опоры х1: линия c1c2c3c4c5 -х0 = 0,1; линия e1e2e3e4e5 - x0 = 0,15; линия blb2b3b4b5 - x0 = 0,2
Рис. 6. Предельная нагрузка p0 в зависимости от радиуса опоры х1 при х0 = 0,1: линия 1: 81 =52 =0,1; армирование обоих слоев по закону (2); линия 2: 51 = 0,1, 52 = 0,05; армирование обоих слоев по закону (2); линия 3: 51 = 0,1, 52 = 0,05, армирование
верхнего слоя I1 по закону (2) и нижнего слоя I2 закону (3)
Для расчетов, приведенных на рис. 6, размер отверстия х0 = 0,1. Линия 1: 51 = 62 = 0,1; армирование обоих слоев по закону (2); радиус оптимальной опоры х1т = 0,728; максимум предельной нагрузки р0 = 20,94. Линия 2: 51 = 0,1, 62 = 0,05; армирование обоих слоев по закону (2); х1т = 0,7; максимум предельной нагрузки р0 = 17,95. Линия 3: параметры, как для кривой 2, но армирование верхнего слоя I1 по закону (2) и нижнего слоя I2 по закону (3); х1т = 0,67; максимум предельной нагрузки р0 = 15,24. Из рисунка видно, что для рассматриваемых параметров армирования при размещении опорного контура около отверстия предельные нагрузки совпадают. Если же опора расположена ближе к внешнему контуру пластины, то предельные нагрузки существенно различаются.
На рис. 7 приведена предельная нагрузка р0 в зависимости от радиуса опоры х1 в случае различного соотношения толщин армированных слоев. Кривая 1 соответствует 51 = 0,05; 62 = 0,1, кривая 2 - 51 = 0,1; 62 = 0,05 . Остальные характеристики слоев одинаковые: к = 1/17 , х0 = 0,1, ^ = 1, s1 = s2 = 40, р10 =р20 =л/6, ш10 = ш20 =0,25, армирование обоих слоев - по закону (2). Из рисунка видно, что при расположении опоры от положения около отверстия и до положения х1 = х1т (для схем 3, 4) нагрузка р0 больше для кривой 2, когда верхний слой толще нижнего. При расположении опоры около внешнего контура пластины (при схеме 1) нагрузка р0 больше для кривой 1, когда верхний слой тоньше нижнего. Оптимальное расположение опорного контура различное для рассматриваемых случаев. Значение х1т для кривой 1 больше, чем для кривой 2 (на рис. 7:
(х1т )1 > (х1т )2). Поскольку максимум предельной нагрузки реализуется на оптимальной
125
Romanova T.P. /PNRPU Mechanics Bulletin 3 (2015) 114-132
опоре при переходе схемы 3 в схему 2, то максимум p0 больше, если верхний слой толще нижнего. Такая закономерность хорошо видна на рис. 7: максимум p0 для кривой 2 больше, чем этот максимум для кривой 1.
Рис. 7. Предельная нагрузка p0 в зависимости от радиуса опоры x\ при различном соотношении толщин армированных слоев: кривая 1 - 5j = 0,05; 52 = 0,1, кривая 2 - 5j = 0,1;
82 = 0,05
С помощью (14), (17) можно вычислить отношение максимальной предельной нагрузки p0( x1m) = p02( x1m) к предельной нагрузке p0(1), когда пластина шарнирно оперта по внешнему контуру, из равенства
x1m
(1 - x0) [3 [m (1 + x0) - 2(1 + x0 + x02 ) ] [a3 (]m ) x1m + j a2 (x) dx ]
p0( x1m ) =________________________________________x_________
P° (1) (x1m - x0 )2 (x1m + 2x0) j a2 (x)dx
x0
где x1m определяется из (21). Как видно из приведенных численных примеров, при различных параметрах армирования отношение нагрузок p0 (x1m ) / p0 (1) может быть больше пяти.
Рассмотренные примеры показывают, что изменение характеристик армирования круглой пластины с отверстием существенно влияет на ее предельную нагрузку. Однако если есть возможность управлять размещением опорного контура, то эффект оптимизации превосходит эффекты, получаемые за счет управления только армированием пластины. Изменяя расположение опорного контура внутри области пластины, можно найти опору, при которой пластина будет наиболее прочной.
4. Оптимизация характеристик армирования пластины
Простые аналитические формулы для предельной нагрузки (14), (17), (20), (26) при различном расположении кругового внутреннего опорного контура позволяют определять оптимальные значения разных характеристик армирования железобетонных пластин с точки зрения максимума предельной нагрузки.
126
Романова Т.П. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2015) 114-132
1. Пусть радиус опорного контура фиксирован и расположен около внешнего контура (например, 0,9 < х1 < 1 при х0 = 0,1). В этом случае пластина деформируется по схеме 1, а предельная нагрузка определяется по формуле (14):
6 1
Р01 =-----р--------------------f\, f = f а?(х)dx.
(1 - хо) [3 x1(1 + хо) - 2(1 + хо + хо) ] х0
При фиксированных значениях х0, х1, задача сводится к определению максимума функции f1.
Например, определим оптимальную толщину верхнего армированного слоя, обеспечивающую максимальное значение предельной нагрузки при заданной суммарной толщине армированных слоев: 51+ 62 =у = const (0 < S1 < у, 0 <62 < у). Поскольку 62 = у — 61, то с учетом (5) f1 является квадратичной функцией от аргумента 61:
f1(61) = «06!2 +а161 + а2,
2___1
s (k +1)
а0 = ———— f (2sQj + 2kso2 — sxo12 — s2o22)[2 scoj + 2kso2 — sxo12 — s2o22 — s(k + 1)]х,
х0
а
1 = 4 f {(h — y)(2ks®2 — s2®22) —
х0
1
s (k +1)
[ksh — y(2ksco2 — s2o22 )](2sco1 + 2ksco2 — s1ro12 — s2o22 )} йх,
а2 =2
1 2 1 f {ksh2 -y(2h — y)(2kso2 — s2o22)-----------[ksh — y(2kso
х0 s (k + 1)
2 s2 ®22
)]21 йх.
Коэффициент а0 не зависит от величины у и всегда меньше нуля, поскольку пределы текучести арматуры s1, s2 намного больше предела текучести связующего s. Коэффициент а1 больше нуля. Функция fj(61) имеет единственный максимум при 61 = —а1 /(2а0). Следовательно, при заданной суммарной толщине армированных слоев максимальная предельная нагрузка при деформировании по схеме 1 рассчитывается так:
Р0
(1 — х0) [3 х1(1 + х0) — 2(1
) ]
ах V 4а 0
ах 2а 0
а
(30)
при этом оптимальные толщины верхнего и нижнего слоев
61 =—а1/(2а0), 62 =у + а1/(2а0). (31)
2. Если опорный контур расположен внутри пластины недалеко от отверстия, то пластина деформируется по схеме 4, а предельная нагрузка определяется по формуле (26).
1
В этом случае задача оптимизации сводится к поиску максимума функции f2 = f а4(х)йх.
х0
127
Romanova T.P. /PNRPU Mechanics Bulletin 3 (2015) 114-132
В случае поиска оптимальной толщины верхнего армированного слоя, обеспечивающей максимальное значение предельной нагрузки при условии 61 + 62 = у, (0 <61 <y, 0 <62 < y )
с учетом (7), получаем, что f2 является квадратичной функцией от аргумента 61:
f2 (61) = PoSi2 + Р161 + P2,
(32)
2
P0 =---------J (2ks®1 + 2s® 2 -s1ra12 - s2®22)[2ks®1 + 2s® 2 - s1ra12 - s2®22 - s(k + 1)]dx,
s(k +1)
x0
1
s(k +1)
p1 = 4 J {(h -y)(2s®2 - s2®22) -
x0
[h-y(2s®2 -s2®22 )](2ksco1 + 2s®2 -s1ro12 -s2®22 )}dx,
1 ( 1 21
P2 =2 J {sh2 -y(2h y)(2s02 -s2®22) 7T^[sh- y(2s®2 -s2®22 )] } dx
x/ s (k +1) ’
Видно, что коэффициент P0 не зависит от величины y. Поскольку пределы текучести арматуры s1, s2 намного больше предела текучести связующего s, то Р0 меньше нуля, а коэффициент Р1 больше нуля.
Тогда, аналогично рассмотренному выше примеру, при заданной суммарной толщине армированных слоев максимальная предельная нагрузка при деформировании по схеме 4 определяется из (26), (32) как
p0
2
(1 - x0) [3 [ + x0) + 2(1 ■
) ]
_PL-_Pl
4P0 2P0
(33)
при этом оптимальные размеры толщины верхнего и нижнего слоя
61 =-р1/(2р0), 62 =y + p1/(2p0). (34)
Если опорный контур расположен так, что выбор схемы предельного деформирования не очевиден, как это было в рассмотренных примерах, то следует решать задачи по определению максимума предельной нагрузки при разных схемах и для полученных оптимальных характеристик проверять, соответствуют ли они выбранной схеме деформирования путем вычисления значений x12, x13 и x1m из (16), (21), (28).
На рис. 8 приведены отношения оптимальных толщин верхнего 61 и нижнего 62 слоев в зависимости от суммарной толщины армированных слоев y, полученные по формулам (31), (34). Считалось, что k = 1/17 , s = 1, s1 = 40, s2 = 50, p10 =л/6, p20 = л/5, ®10 = 0,25, ®20 = 0,2, h = 1, x0 = 0,1. Кривые 1, 3 изображают случай армирования обоих слоев по закону (2), кривые 2, 4 - армирование обоих слоев по закону (3). Кривые 1, 2 изображают при x1 = 0,9 отношение 61/ 62 в случае деформирования по схеме 1, рассмотренном в примере 1. Кривые 3, 4 отображают при x1 = 0,2 отношение 62 / 61 в случае деформирования по схеме 4, рассмотренном в примере 2. Из рисунка видно, что если пла-
128
Романова Т.П. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2015) 114-132
стина шарнирно оперта около внешнего контура (кривые 1, 2; х1 = 0,9), то пластина будет более прочной, если нижний слой толще, чем верхний (81/ 62 < 1). Если же пластина оперта около отверстия (кривые 3, 4; х1 = 0,2), то пластина будет иметь максимальную предельную нагрузку, когда верхний слой толще нижнего (82 / 81 < 1).
Рис. 8. Отношения оптимальных толщин верхнего 51 и нижнего 52 слоев в зависимости от суммарной толщины армированных слоев у = 81 + 52; кривые 1, 2 изображают при х1 = 0,9 отношение 81 / 52 в случае деформирования по схеме 1; кривые 3, 4 отображают при х1 = 0,2 отношение 82 / 8j в случае деформирования по схеме 4; кривые 1, 3 - армирование обоих слоев по закону (2); кривые 2, 4 - армирование обоих слоев по закону (3)
Рис. 9. Максимальная предельная нагрузка р0 в зависимости от суммарной толщины армированных слоев у : кривые 1, 2 - xt = 0,9, деформирование по схеме 1; кривые 3, 4 - xt = 0,2, деформирование по схеме 4; кривые 1, 3 - армирование обоих слоев по закону (2): кривые 2, 4 - армирование
обоих слоев по закону (3)
129
Romanova T.P. /PNRPU Mechanics Bulletin 3 (2015) 114-132
На рис. 9 приведена безразмерная максимальная предельная нагрузка p0, полученная по формулам (30), (33), в зависимости от суммарной толщины армированных слоев у. Для расчетов кривых 1-4 были приняты те же значения характеристик армирования, что и для кривых 1-4 на рис. 8. Из рисунка видно, что максимальная предельная нагрузка p0
при армировании обоих слоев по закону (2) (кривые 1, 3) больше, чем при армировании по закону (3) (кривые 2, 4), при одинаковом значении суммарной толщины слоев у и при соответствующем расположении опорного контура.
Заключение
На основе модели идеального жесткопластического материала построено точное решение задачи по определению главных моментов, скоростей деформаций и предельной нагрузки при изгибе трехслойных железобетонных круглых пластин, имеющих разную структуру углового армирования в верхнем и нижнем слое. Пластины шарнирно оперты по круговому контуру, расположенному внутри области пластины, имеют в центральной части свободное круглое отверстие и находятся под действием равномерно распределенной поверхностной нагрузки. В рамках структурной модели армированного слоя с одномерным напряженным состоянием в волокнах обосновано принятие в расчетах условия пластичности в плоскости главных моментов в виде прямоугольника типа условия Йоган-сена (Johansen). Показано, что в зависимости от расположения опоры пластины могут деформироваться по четырем схемам. При изменении расположения опоры от внешнего контура внутрь пластины сначала реализуется схема в виде конуса, как и для пластины, шарнирно опертой по внешнему контуру. Затем реализуется схема, при которой деформируется в виде конуса только внутренняя часть пластины, защемленная по опорному контуру. При дальнейшем смещении опоры внутрь пластины конусообразно деформируется только внешняя от опорного контура, кольцевая часть пластины, защемленная по опорному контуру. При размещении опорного контура вблизи отверстия или на нем пластина деформируется конусообразно, как и пластина, шарнирно опертая по контуру отверстия. Для всех схем получены условия их реализации, определены поля главных моментов и скорости деформаций. Получены простые аналитические выражения для вычисления предельной нагрузки в зависимости от расположения опоры. Получены и численно решены алгебраические уравнения, которые определяют оптимальное расположение опорного контура, соответствующее наибольшему значению предельной нагрузки пластины, и, следовательно, наименьшей ее повреждаемости при различном армировании. Получено, что на оптимальной внутренней опоре образуется пластический шарнир. Показано, что изменение характеристик углового армирования и расположение внутреннего опорного контура существенно влияет на повреждаемость пластины. Простые аналитические формулы для предельной нагрузки позволяют определять оптимальные значения различных характеристик армирования пластины. Решена задача по определению оптимальной толщины верхнего армированного слоя, обеспечивающей максимальное значение предельной нагрузки при заданной суммарной толщине армированных слоев. При этом показано, что если пластина шарнирно оперта на внешнем контуре или около него, то пластина будет более прочной при условии, что нижний армированный слой толще,
130
Романова Т.П. / Вестник ПНИПУ. Механика 3 (2015) 114-132
чем верхний армированный слой. Если же пластина шарнирно оперта около отверстия, то пластина будет иметь максимальную предельную нагрузку, когда верхний слой толще нижнего.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-01-00102-а). Библиографический список
1. Жукьян П.П. Расчет железобетонных плит, опертых по контуру // Вестник Полоц. ун-та. Серия F. Прикладные науки. Строительство. - 2014. - № 8. - С. 54-58.
2. Немировский Ю.В., Романова Т.П. Расчет динамического деформирования трехслойных железобетонных круглых и кольцевых пластин // Бетон и железобетон. - 2011. - № 6. - С. 26-30.
3. Сахновский К.В. Железобетонные конструкции. - М.: Гос. изд-во лит. по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1959. - 840 с.
4. Дехтярь А.С. Точечное опирание пластин сложного очертания // Строительная механика и расчет сооружений. - 2010. - № 6. - С. 56-59.
5. Yang W.H. How to optimally support a plate // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1981. - Vol. 48. -P.207-209.
6. Оленев Г.М. Оптимальное расположение дополнительных опор к жесткопластическим круглым пластинкам в случае импульсного нагружения // Учен. зап. Тарт. гос. ун-та. - 1983. -Вып. 659. - С. 30-41.
7. Дехтярь А.С. Оптимальное опирание квадратной пластины // Прикладная механика. -1991. - Т. 27, № 6. - С. 107-110.
8. Дехтярь А.С. Оптимальное размещение колонн в зданиях, возводимых методом подъема // Строительная механика и расчет сооружений. - 1989. - № 1. - С. 14-17.
9. Lellep J., Polikarpus J. Optimal design of circular plates with internal supports // WSEAS transactions on mathematics. - 2012. - Vol. 11. - No. 3. - P. 222-232.
10. Wang D. Optimization of support positions to minimize the maximal deflection of structures // Int. J. Solids and Str. - 2004. - Vol. 41. - P. 7445-7458.
11. Wang D. Optimum design of intermediate support for raising fundamental frequency of a beam or column under compressive axial load // J. Eng. Mech. ASCE. - 2014. - Vol. 140. - No. 7. -P. 04014040 (1-8).
12. Wang C.M., Liew K.M., Wang L, Aug K.K. Optimal locations of internal line supports for rectangular plates against buckling // Structural Optimization. - 1992. - No. 4. - P. 199-205.
13. Zhu Jihong, Zhang Weihong. Maximization of structural natural frequency with optimal support layout // Structural Optimization. - 2006. - Vol. 4. - P. 462-469.
14. Lepik U. Optimal design of elastic-plastic beams with additional supports // Structural Optimization. - 1995. - No. 9. - P. 18-24.
15. Mroz Z., Rozvany G.I.N. Optimal design of structures with variable support conditions // J. Optimiz. Theory Appl. - 1975. - Vol. 15. - No. 1 - P. 85-101.
16. Романова Т.П. Оптимальное расположение полигональных внутренних опор к круглым жесткопластическим пластинам // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2014. -№ 3 (36). - С. 94-105. DOI: 10.14498/vsgtu1312
17. Романова Т.П. Оптимальное опирание жесткопластических одно- и двусвязных полигональных пластин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2014. - № 4. - С. 152-177. DOI: 10.15593/perm.mech/2014.4.06
18. Вохмянин И.Т., Немировский Ю.В. Особенности продольно-поперечного изгиба трехслойных кольцевых пластинок с несимметричными структурами армирования // Краевые задачи и математическое моделирование: сб. тр. 8-й Всерос. науч. конф. 1-3 декабря 2006 г., Новокузнецк. - Т. 1; Кем. гос. ун-т. - Новокузнецк, 2006. - C. 25-31.
131
Romanova T.P. /PNRPU Mechanics Bulletin 3 (2015) 114-132
References
1. Zhuk’ian P.P. Raschet zhelezobetonnykh plit, opertykh po konturu [Calculation of reinforced concrete slabs supported on the contour]. Vestnik Polotskogo universiteta. Prikladnye nauki. Stroitel’stvo, 2014, no. 8(F), pp. 54-58.
2. Nemirovsky Yu.V., Romanova T.P. Raschet dinamicheskogo deformirovaniia trekhsloinykh zhelezobetonnykh kruglykh i kol’tsevykh plastin [Calculation of dynamic deformation of three-layer reinforced concrete circular and annular plates]. Beton i zhelezobeton, 2011, no. 6, pp. 26-30.
3. Sakhnovskii K.V. Zhelezobetonnye konstruktsii [Reinforced concrete structures]. Moscow: Gosudarstvennoe izdatelstvo literatury po stroitel’stvu, arkhitekture i stroitel’nym materialam, 1959. 840 p.
4. Dekhtiar’ A.S. Tochechnoe opiranie plastin slozhnogo ochertaniia [Point support plates of complex shape]. Stroitel’naia mekhanika i raschetsooruzhenii, 2010, no. 6, pp. 56-59.
5. Yang W.H. How to optimally support a plate. Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1981, vol. 48, pp.207-209.
6. Olenev G.M. Optimal’noe raspolozhenie dopolnitel’nykh opor k zhestkoplasticheskim kruglym plastinkam v sluchae impul’snogo nagruzheniia [Optimal location of additional supports to rigid-plastic circular plates in case of impulse loading]. Uchenye zapiski Tartusskogo gosudarstvennogo universiteta, 1983 (659), pp. 30-41.
7. Dekhtiar’ A.S. Optimal’noe opiranie kvadratnoi plastiny [Optimal support of square plate]. Prikladnaia mekhanika, 1991, vol. 27, no. 6, pp. 107-110.
8. Dekhtiar’ A.S. Optimal’noe razmeshchenie kolonn v zdaniiakh, vozvodimykh metodom pod’’ema [Optimal placement of columns in buildings constructed by lifting]. Stroitel’naia mekhanika i raschet sooruzheni, 1989, no. 1, pp. 14-17.
9. Lellep J., Polikarpus J. Optimal design of circular plates with internal supports. WSEAS Transactions on Mathematics, 2012, vol. 11, no. 3, pp. 222-232.
10. Wang D. Optimization of support positions to minimize the maximal deflection of structures. Int. J. Solids and Str., 2004, vol. 41, pp. 7445-7458.
11. Wang D. Optimum design of intermediate support for raising fundamental frequency of a beam or column under compressive axial load. J. Eng. Mech. ASCE, 2014, vol. 140, no. 7, pp. 04014040 (1-8).
12. Wang C.M., Liew K.M., Wang L, Aug K.K. Optimal locations of internal line supports for rectangular plates against buckling. Structural Optimization, 1992, no. 4, pp. 199-205.
13. Zhu Jihong, Zhang Weihong. Maximization of structural natural frequency with optimal support layout. Structural Optimization, 2006, vol. 4, pp. 462-469.
14. Lepik U. Optimal design of elastic-plastic beams with additional supports. Structural Optimization, 1995, no. 9, pp. 18-24.
15. Mroz Z., Rozvany G.I.N. Optimal design of structures with variable support conditions. J. Optimiz. Theory Appl, 1975, vol. 15, no. 1, pp. 85-101.
16. Romanova T.P. Optimal’noe raspolozhenie poligonal’nykh vnutrennikh opor k kruglym zhestkoplasticheskim plastinam [Optimal location of polygonal internal supports to circular rigid-plastic plates]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Fiziko-matematicheskie nauki, 2014, no. 3 (36), pp. 94-105. DOI: 10.14498/vsgtu1312.
17. Romanova T.P. Optimal’noe opiranie zhestkoplasticheskikh odno- i dvusviaznykh poligonal’nykh plastin [Optimal support of rigid-plastic singly and doubly connected polygonal plates]. PNRPU Mechanics Bulletin, 2014, no. 4, pp. 152-177. DOI: 10.15593/perm.mech/2014.4.06.
18. Vokhmianin I.T., Nemirovsky Yu.V. Osobennosti prodol’no-poperechnogo izgiba trekhsloinykh kol’tsevykh plastinok s nesimmetrichnymi strukturami armirovaniia. Trudy 8 Vserossiiskoi nauchnoi konferentsii “Kraevye zadachi i matematicheskoe modelirovanie” [Boundary problems and mathematical modeling: Proceedings of 8th Russian sci. conf.]. Vol. 1. Novokuznetsk: Kemerovskii gosudarstvennyi universitet, 2006, pp. 25-31.
132
