CC BY
31
УДК 539.52
МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ БОЛЬШИХ ПРОГИБОВ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ БАЛКИ С ШАРНИРНО НЕПОДВИЖНЫМИ ОПОРАМИ ПРИ ЛОКАЛЬНОЙ НЕРАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКЕ И КРАЕВЫХ МОМЕНТАХ
М.И. Ерхов
Кафедра сопротивления материалов Российский университет дружбы народов 117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, б
В данной работе приводится методика определения больших прогибов жесткопластической предварительно напряженной балки с шарнирно неподвижными опорами при локальной неравномерно распределенной нагрузке и краевых моментах (рис. 1). Получены основные уравнения, из численного решения которых можно определить зависимости между рв» для различных случаев tgS и Ро
Рассматривается балка прямоугольного поперечного сечения из жесткопластического материала с шарнирно неподвижными опорами. Балка нагружена локальной неравномерно
распределенной нагрузкой
на участке /, <х<12, предварительным напряжением ± ІУ, и краевыми
внешними моментами ± ОС (рис. 1), где знаки «+» и «-» соответствуют различным направлениям Ы1 и а. Интенсивность действующей распределенной нагрузки зависит от значений двух независимых параметров: угла 8 и р0 (рис. 1).
21
Рис. 1
Уравнения равновесия балки в безразмерных переменных имеют вид:
с12т . , .(1гч> ^ с1п п
2 + (« ± «,) г 2 +Р = ^ — = О,
(1)
сЬс сЫ сіх
гдех = х//, и' = 2и’/й, р = р12/а^ЬИ2, т = М1сгрк2, п = Ы12<урК N И М - внутренние нормальная сила и изгибающий момент, р - поперечная неравномерно распределенная нагрузка, - прогиб, X ~ продольная координата, 2И - высота поперечного сечения, Ь - ширина поперечного сечения, 21 - пролет балки, <У5 - предел текучести материала. Черта над буквами означает размерность величин. Усилие //, задано, усилие N является следствием действия р при возникающих прогибах. Нагрузка приложена
на участке /, < X <12.
Деформирование осуществляется в два этапа: при «малых» и больших прогибах.
При «малых» прогибах образуется пластическое сечение при х = х2, причем
/, ОС2 < /2; в этом сечении Ш = 1 - П2 . В этом случае м> = О, П — 0, а скорости прогибов равны
W
= {w0 /(2 - х2)}’ (2 - х) при х > х2, w = {w0 / х2 }* при х < х2,
где Н'0 - прогиб при X = Х2, точки означают дифференцирование по времени, за которое принято р.
Из уравнения равновесия (1) можно получить выражения т по зонам: в зоне 0 < х < /,
т = ~(РоА + 1Ь&8/2)х + (р0/2 + /2%<?/2)х - (рь1\ /4 + / 6)х +
+ (^0/2 / 4 + /3 / 6)х ± «,
в зоне 1х<х<1г
т = ~(р0х2 /2 + x*tgS/б) + (/>0/,2 / 4 + /,3/g <!> / 6)х - (^0/2 /4 + /2/g£ / 6)х + + (р0/2 + l2tgS / 2)х - (р0/,2 / 2 + /,3 / 3) ± а,
(2)
в зоне /2 < X <2
т = ~{pf2 / 4 + /2/gJ / 6)х + (р0/,2 / 4 + /?#£ / 6)х + (М2 / 2 + Z3^ / 3) --(p0/2/2 + /,V/3)±a,
где а - значения внешних опорных моментов, причем знак «+» соответствует положительным моментам, знак «-» - отрицательным.
Из условия dmjdx — 0 при х = х2 следует
Y _ А> ± \ А2 + 2^[(Ро/1214 + А3^16)-(М2 >2 + /6) + (р0/2 + /2fg(5/2)] „ч
-tgS
2
Из условия т = \ — п1 при X = х2 следует уравнение
1~«,2 =-(p0xl/2 + xltg5/6) + (p0l?f4 + lftgS/6)x2 -(pQl2 / 4 + l\tg8!6)х2 +
(4)
+ (М + /22^ / 2)х2 - (/70/2 / 2 + / 3) ± а.
Уравнения (3), (4) можно решить численно в двух вариантах:
1) при заданном р0 определяется tgd,
2) при заданном tgd определяется р0.
При значениях р, больших чем согласно (3), (4), в окрестности х2 образуется пластическая зона х, < х < х3 и возникает второй этап деформирования балки. Прогибы отличны от нуля, п Ф 0 . С учетом предварительного растяжения-сжатия внутренняя продольная сила равна п± и,, причем и±п,<1, п< 1 + w,, )И,| < 1.
В зоне х, < х < х3 условие пластичности имеет вид: т = l — (n±nl)2, dm I dx — 0. Из уравнения (1) в этой зоне прогибы равны:
w = w0-------- (х3 + 2х2)----------Ро — (х2 + х2) + х + , (5)
6(п±п]) 2{п±пх) 2(п±пх) (и±и,)
а скорости прогибов равны:
*_,Чб&} (х2+х1>+1та1
, I Ро 1 г г____2- _ Ро ■ . • , Ра ■
1 г \ Г 2 / л. \Л2Л2 / , чл2л2'г/. , ЛЛЛ2Л2'|"(- , ч лл2'
[(«±/1,)] \п±пх) (п±п]) (п^Ц) (п±пі)
(6)
Зоны 0<Х<Х! и х3 < х < 2 - жесткие, откуда в этих зонах
м=м?хх/хх, м?=м?ъ(2-х)1(2-хг), (7)
где м?х и М>г - прогибы при X = X, И X = Х3.
Скорости прогибов в этих зонах равны
ы = | -■| х при 0 < х < х,, м/ = | (2-х) при х3 < х < 2. (8)
При X = х, и X = х3 имеют место слабые разрывы [жД [и^], [н(], где скобки означают разрывы, нижние индексы означают дифференцирование по X. Эти разрывы должны удовлетворять условиям при X = X, [1]:
[^] + х,[^] = 0, И + х,[^] = 0, (9)
а также при х = х3, если индекс «1» поменять на «3».
Разрывы [м?х 1Ы при X = X, согласно (5) - (8) равны
м «г їз*
[в{п±п{)\
2 I Ра 1*0. А I ,.2
2Х| + 'Ч .-----------г Г -^2 +
2 (п±пх)\ [2 (п±пх)
т | 1 х2 + ---■- Х2Х2 + — х2 -1 ИН , (10)
[(Л±л,)/ (п±пх) {П±пх) [х, /
[„„] = --М....бх, - ^ = _Л±^5-.
6(п±пх) 2(и±л,) (и + л,)
Подставляя (10) в первое условие (9) и интегрируя его, получим
м>х =х\ --- х, + ■ х2------——х,-------^ х,21.
[(л±и,) 2 (п±гц) (п±пх) 2 (п±пх) }
Аналогично можно получить
С д,,| -х?+....*л,- х: -Р°- *Д
|2(и±и,) (п±пх) 2{п±пх) («±«,) )
При этом можно получить два равносильных выражения:
И'0 = (х2 -X,3) + - Ро (х2 -х,2).
0 3 (п±пхУ2 х) 2(п ±пх)
2 2_ 2 (11) Ж = {я8 Зх' -х? ~2*2 + Ро (х2 + 4х3 - X2 - 4х2).
0 * 3 {п±пх) 2(#1±л,Г
В зоне 0 < х < /,
т = ~(Ро11 + 1183)х + (Рох\ + у ^в)х + у tgS + \-(п±гц)2 -(р0
откуда при условии /и = ±« для X = 0 следует:
3р0х2 + (2х,3 - /,3 = б[1 - (л ± л, )2 Т а].
При этом при заданном ^<5
_ б[1 ~(п±п])2+ а]-(2х3 -/,3)^
/'о
а при заданном ро
Ро = -Л----------------- 2 -----, (12)
Зх,
„ б[1-(л±л,)2 + а]-3/>0х,2
= 1 2Х3-/3 ' (13)
Значение п можно определить из условия максимума р с учетом имеющейся связи ее с прогибами [2] с помощью безусловной функции Ф по Лагранжу: при заданном tgд
ф = 611 -(п±п1)2 + а\-%6(2Х)3 - /,3) + Л^(х23 -х3) +
Зх2 1 3 (л ± л,)
+ Щ-(п±пх)2+а]-18д(2х1 ~/3)](х2 -х2)1 _^
2(л±л,)3х2 ] °’
а при заданном ро
ф = 6[] - (и ± «О2 + «]“ Зл*12 + Л М1 - (и ± и, )2 + а]-3р0х2 }(х3 - х2) +
2х3 - /3 [ З(2х,3 -/3)(л ± и,)
+ Ро(х1^£)\я
2 (я±щ) / °
В первом случае значения л и Л определяются из уравнений
^ = -24(л ± л, )3 + А {- 2^<5(х3 - х,3 )х2 + оп + (х2 - х2)[- 6(л ± л, )2 - 6 Т 6а - ^5(2х,3 - /3)]}=0,
ЭФ дх,
ч ^ I 'I. V I' - --- О- \-----1 I /1)
= -6х,4#£ -12х, [1 - (л ± л, )2 Т а] + 2tgS • х, (2х,3 - /3) + я| —+
I (« ± «,)
+ 07 ^ 4{-12х,[1-(л±л,)2 +«]+2х,^(2х3 -/,3)-3^(5-х2(х2 -х2)}х,2 -
2(Л ± Л, ^
- [б[1 - (л ± л, )2 + а\- tg5(2х,3 - /,3 )](х2 - х,2 )2х,}/ х,4} = 0.
Во втором случае значения л и Л определяются из уравнений
дФ _ -12(л±л,) + д| (х3 -х,2) [- 12(л ± л,)2]-{б[1 - (л ± л, )2 +а\-Ърйх2}_ дп (2 х3-/,3) 1з(2х3-/,3) (л±л,)2
_ Ро(Х2 *1 ) 1 1 = 0
2 '(й±я,)21 ’
_ ~6ахі(2хі ~А3)~Й1~(»±»і)2+ аг]~Зр0Х2)бХі2 + ___1_____
йх, (2 х,3-/,3)2 [3(л±л,)
[- 6р0х, (х3 - х,2) + 3/?0х3](2х,3 - /,3) - {б[і - (л ± пх )2 + а}-Ър0х2х }(х3 - х2 )6х,2
(2х,3 - 1Х )2 ~ ” +
, /уо(-2х,)|=0 2(и±и,)/
Эти уравнения можно решить численно и определить зависимости между р к м> для различных случаев tgS и р0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ерхов М.И., Кислова Л.В. Большие прогибы жесткопластических круглых пластинок с шарнирным опиранием края .//Исследования по строительной механике и методам расчета. - М.: Госстройиздат, 1981.-c.4-ll.
2. Ерхов М.И., Старое А.В. Деформация жесткопластической круглой пластинки с шарнирно неподвижным краем.// Строительная механика и расчет сооружений. - 1987, №5. -с. 21-27.
TECHNIQUE OF DEFINITION OF THE LARGE DEFLECTIONS OF A PRESTRESSED RIGID-PLASTIC BEAM ON MOTIONLESS HINGE SUPPORTS SUBJECTED TO LOCAL NONUNIFORMLY DISTRIBUTED
LOADS AND EDGE MOMENTS
M.I. Erkhov
Department of Strength of Materials Russian People’s Friendship University Miklukho-Maklaya St., 6, 117198 Moscow
In this work the technique of definition of the large deflections of a prestressed rigid-plastic beam on motionless hinge supports subjected to local nonuniformly distributed loads and edge moments (fig. 1). The basic equations are obtained, from which numerical solution it is possible to define associations between p and w for different cases of tgS and ре.
Михаил Иванович Ерхов родился в 1933 г., окончил в 1955 г. Московский институт инженеров городского строительства Мосгорисполкома. Доктор техн. наук, профессор, член - корреспондент Российской Академии архитектуры и строительных наук, академик Международной Академии наук высшей школы, заслуженный деятель науки Российской Федерации, зав. кафедрой сопротивления материалов РУДН. Автор 120 научных работ, в том числе 2 книги, в области механики деформируемого твердого тела и строительной механики.
M.I. Erkhov (b. 1933) graduated from Moscow Institute of Civil Building Engineers in 1955. DSc(Eng), professor, corresponding member of Architectures and Building Sciences Academy of Russia, academician of the International Higher Education Academy of Sciences, RF Honored Worker of Science of Russia. Author of 120 publications, including 2 books.
