CC BY
32
УДК 519.688
ПРЕДЕЛ СУММЫ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ СТЕПЕНЕЙ
ПОЛИНОМОВ
© Ю. Ю. Матвеева
Ключевые слова: полином в рациональной степени, предел суммы полиномов в рациональной степени.
Рассматривается задача вычисления предела суммы положительных рациональных степеней полиномов. Результат формулируется в виде теоремы. Применение теоремы представляет интерес для систем символьных вычислений, в тех случаях, когда выражения содержат сумму полиномов в рациональных степенях.
Определение 1. Пусть даны полиномы в К[х]: Pi(x) = +
... 4- «гдх + ск^о, «г.гч Ф 0, г = 1 ,..:,к. Пусть X -рациональное число, di = Х/щ,
i = 1,..., к, с, € {1, — 1} . Сумму полиномов в рациональных степенях
f = j2°ipfi(x) a)
г=1
будем называть однородной суммой степени А.
Теорема 1. Пусть / есть однородная сумма степени X, заданная формулой (1). Введем обозначения для сумм
к к
Ф = ^ °iaЙч> ^(S) = Е ^ai,n7laV*<—S G N-i=l i=l
Здесь aiit = 0, если t<0 или моном со степенью t отсутствует в полиноме РДх).
1. Если ф Ф 0; то Ига. / - +оо • sign(0).
ж—юо
2. Если ф = 0 и Х = 1, то lim / — ф( 1).
ж—юз
3. Если ф = 0 и А < 1, то lim / = 0.
Ж—ЮО
4. Если ф = 0 и X > 1, то обозначим через mi степень следующего после щ ненулевого монома в полиноме РАх), г = 1,..., к, ц = min {щ — rrii} . Тогда
i=l,...,fc
если ц > X, то lim / = 0;
ж—юо
если [1 — Л, то Нт / = ф(ц)',
х—>оо
если [1 < А и ф(ц) ф 0, то Пт / = +оо • $щп(ф(ц)), но если ф(ц) = 0, то требуется
Х—¥00
дальнейшее исследование.
Доказательство.
Рассмотрим предел для однородной суммы / степени А .
к
Ит / = Ит V а(Р^х)У* = Ит У] с* + а^х.хп^х + ... + аг^Л* .
ж->оо ж-*оо £' х-юо ' 4 ’ 1 ’ '
г=1 г=1
Сделаем замену ж = -. Получим
сг~ ;
у J *■ ^
Так как х —> оо, то у —>■ 0. Тогда Нт /(х) = Нт /(у).
х—юс у—¥ О
Знаменатель каждого слагаемого в /(у) равен уп^ = ух . Тогда
к
2 сг (аг,гц + ОЧ,гц-1У + . . . + ОЧ$уП1)'1,
Ит / = Ит ---------------------------------------------------------------------. (3)
г=1
у-»0" у—>0
При у —»■ 0, числитель (3) стремится к сумме коэффициентов старших мономов, т.е. к ф = ^2 (ка^., а знаменатель — к 0.
г=1
1. Если ф > 0, то Ит / = Ч-оо.
у—>0
2. Если ф < 0, то Пт / = —оо .
у->о
Если 0 = 0, ТО В пределе (3) получим неопределенность Л . В этом случае применим правило Лопиталя.
Ит/=
у—ИГ
1-тп £?,1 + аг,п,-1У + ■ • • + ОЧ,оуП*)<и 1 (аг,п<-1 + 2сЦ,щ-2У + • ■ ■ + Ща^ру71' *)
у-¥ о АуА-1
3. Если А = 1, то
к
{“й * =
г=1
ц—
Ит —-— V Сг^(аг№ + с*г,п4-1 У + • • • + а^0уп^~1 («г,т-1 + 2Ос^щ-2У + • • • + «гО^ОУ”'” ) =
II—А ‘ ^
4. Если 0 < А < 1, то — А + 1 > 0. Тогда получим для* Ит^о / выражение:
-А+1
у->о А .
г=1
5. Пусть А > 1. При у -> 0 знаменатель (4) стремится к 0, числитель стремится к числу
к
Р = ^ 1 сЛа{'щ аг,щ-1' (^)
1=1
Если /? > 0 , ТО Ит / = +00 .
!/-> О
Если /3 < 0, то Ит / = —оо .
у—* 0
Пусть /3 = 0. Обозначим через = пип {;' : ф 0} , г = 1к.
Тогда
Ит 1(у) = Ит ^=1 + ■ • • + оч,оУПгУг 1(а»,гц-д<-1(Дг + 1)?Л + • ■ • + сщ,ощуп*~1)
у->0 у—>о д ул_1
Пусть в = тш {«г} • Вынесем в числителе функции /(у) общий множитель и
г=1,...,А:
сократим дробь. Получим
Й ? = Й ^ + ... + а{>0уп<)^-1(а1>П4_3<_1(5< + 1)у8‘-* + ... + а^тцу"*"1-).
з—А+1
г=1
Если Р*(х) = 0!г)П^хп* + а^пцх"4 + ... + с*гдх + «<,(,, где а<>П4 / 0 и а<1ПЦ Ф 0, то
РД1/у) = ^4^ и аЫ = а<,п< + а^чУП*“^ + ---+а<дУП‘_1 + а*,оУп<-
Тогда ^-(у) = а<>т<(гц - т{)уп*-т<-1 + ... + а*д(п* - 1)уп<~2 + аздтцу"*-1 и = щ - пц - 1.
Следовательно, /X = ШШ в* + 1 = й + 1 И 5 — А + 1 = р — А.
1=1 ,...,&
Тогда
^_Д /с
И™ / = 1™ ^д~ 53^(0Ч,п4 + - ■ .+аг,0УП<)^“1(«г,п<-^-1(5г + 1)у^_' + . • -+<*г,0(6) г=1
Если [I > А, то Ит / = 0.
у—*0
_ /с
Если ц = А, то у^-А = 1. Тогда Ит / = £ с^а<>гц*_1аьП4_в_1 •
»->° 2=1
Если ц < X, то ум_А будет в знаменателе. Тогда обозначим через
к
7 = ^ ^ ^с1{Оц П{ * *—1(5 "Ь 1)- (7)
г=1
При 7 > 0 предел равен Ит / = +оо, при 7 < 0 предел равен Ит / = — оо. В случае, если
У-И) у-у о
7 = 0, необходимо дальнейшее исследование, так как снова получаем неопределенность вида Ц. Поэтому нужно применить правило Лопиталя к сумме (6).
Теорема 2. Пусть fj(x) = сцР^\х) есть однородная сумма степени
г=1
тп
Х^, при этом X] > А_7-+1 для всех j = 1 ,...,т и 5(х) = ^2 Тогда, если каждый
,•=1
771
из пределов р,- = Ит /, (х) конечный, то Ит 5 = ^ р^-. Если среди пределов р^ есть
X—ЮО Х~>00 у — 1
бесконечные, и р1 — это бесконечный предел с наименьшим номером, то Ит 5 = р{.
Доказательство.
Первое утверждение теоремы очевидно. Докажем второе.
Не уменьшая общности, будем считать, что все однородные суммы бесконечные, и докажем, что в этом случае предел равен .
Рассмотрим предел суммы S(x)
т 77i kj
Urn S(x) = lim У: fj(x) = lim V] с^Р^(х).
X-УОО x-+oa*—‘' J x-+oa J 3% v '
j=1 j=1 1=1
Сделаем замену переменных, обозначим х = 1/у. Получим
т kj
lira S(y) = lim J] Cji(otjin, + aj.ni_lV + ... + aji0yn^/yn^. j=i i=i
Пусть
I = {i :i E {1,..., ki}] nudu = Ai}.
Приведем дроби к общему знаменателю, получим
lim S(y) = lim(5i + S2)/yAl,
2/-> 0 y—>0
где
S1 = + • • • + au,0ynii)du >
i£l
m
S2 = J2Y1 + аЛ,п4-1 У + • • ■ + aji,0 ynji )dji J/Al_ Aj •
i=2 ig/
При у —> 0 предел суммы 5г равен 0. Следовательно, предел суммы S равен пределу Si, где Si есть сумма /i(x) после замены х = К Теорема доказана.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 12-07-00755-а) и программы «Развитие потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/10437).
Поступила в редакцию 20 февраля 2012 г.
LIMIT OF A SUM OF POSITIVE RATIONAL DEGREES OF POLYNOMIALS
© Julia Yurievna Matveeva
Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Internatsionalnaya, 33, Tambov, 392000, Russia, Student, e-mail: yulya_matveeva91@mail.ru
Key words:rational degrees of polynomials, limit of the sum of rational degrees of polynomials.
An algorithm for finding the limit of a sum of positive rational degrees of polynomials are disccused. Application of the theorem is of interest for symbolic computation systems, in cases where the expression contains the sum of polynomials in the rational powers.
