О целых алгебраических числах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 6(26)

УДК 511.2

А.И. Забарина, Г.Г. Пестов О ЦЕЛЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЛАХ

Если Пи---, Пп есть корни полинома степени п с целыми коэффициентами, неприводимого над полем рациональных чисел, со старшим коэффициентом

1, то для каждого натурального к сумма (пОк +...+(пп)к есть число целое.

Ключевые слова: целые, алгебраические, неприводимые.

Исследование целых алгебраических чисел - традиционный раздел теории алгебраических чисел [1, 2].

п. 1. Пусть /і) есть многочлен степени п с целыми коэффициентами, неприводимый над полем рациональных чисел О, / (0) = 1. Обозначим корни этого многочлена через 6д,..., £,„. Так как /(і) неприводим над О,то все эти корни - простые. По условию,

/(і) = аоі + а\і +.+ ап-1 + 1, где а0Ф 0. Обозначим g(z) = -( аі + а^1 +...+ ап-1 г). Имеем

/і) = 1- g(z).

/'(і)

п. 2. Выражение -------- двумя способами представим в виде бесконечной сум-

/ (і)

мы.

/'(г) — g'(і)

Во-первых, -------=-. Выберем є > 0 так, что |і| < є влечёт

/ (і) 1 — g (і)

|асіп| + |а1іп 1| + ...+ |ап-1 і\ < 1. (1)

Теперь при |і| < є имеем

/( ) = ^ ( ) = - g'(z)(1+g(z)+..+ ¿к(і)+---) = b0+b\Z+.+bmz” +...

/ (і) 1 — g (і)

Здесь все коэффициенты Ьт - целые числа. В самом деле, каждый из этих коэффициентов равен сумме конечного числа целых чисел. Итак,

/'(2:)

= Ь0 + b\z +•••+ bm2’г + ..., Ьт Є%. (2)

/ (і)

/'(і)

п. 3. Получим второе разложение функции ----------- в ряд по степеням z. Так как

/ (і)

корни знаменателя 6д,..., - простые, то имеем разложение [3]

/ ( ) = с1 (іЧ1) 1+.+ сп(і-£,п)\ (3)

/ (і)

где ск - рациональные числа.

Умножая это равенство почленно на (і - £д) и переходя к пределу при ,

получим с1 = 1. Аналогично имеем сі = 1 (1 < і).

О целых алгебраических числах

19

Итак, (3) принимает вид

^ = (z - Ы-1+-+ (z - Q-1. (4)

f (z)

f'(z)

П.4. Согласно (2) , ------- представимо в виде степенного ряда. Из теории ана-

f (z)

литических функций [4] известно выражение для коэффициентов степенного ряда

b = LdL fШ) .

k k! dzk f f (z) )z=0 Используя равенство (4), получим

bm = -(fe)-(m+1)+...+ (Q^).

Так как bm e Z, то ((^i)-(m+1) + ...+ (Q-(m+1)) e Z.

Обозначим (S^)-1 через nm. Теперь nu---, Пп есть корни уравнения с целыми коэффициентами: a0 + a1z +.+ an-1 z-1 + z = 0. Итак, справедлива

Теорема 1. Пусть Пь---, Пп есть п отличных от нуля сопряжённых целых алгебраических чисел степени п. Тогда для каждого натурального k сумма (n1)k+.+ (nn)k есть число целое.

П. 5. Следствие 1. Пусть в условиях теоремы 1 выполнены неравенства

Ы < 1,., Ы < 1,

где 1 < m< п. Тогда разность между величиной (nm+1)k+...+ (nn)k и ближайшим целым стремится к нулю при k^"X.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1964.

2. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.

3. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. М.: Наука, 1976.

4. Александров И.А. Комплексный анализ. Часть 1, 2. Томск: Издательство Томского университета, 2012.

Статья поступила 16.10.2013 г.

Zabarim A.I., Pestov G.G. ON ALGEBRAIC INTEGERS. If n1,-, Цп are roots of a polynomial of degree п irreducible over the field of rationals with the highest coefficient 1, then the sum (П 1)k+. + (nn)k is an integer for each natural k.

Keywords: integer, algebraic, irreducible

Zabarina Ama Ivanovna (Tomsk State Pedagogical University)

Pestov German Gavrilovich (Tomsk State University)

E-mail: gpestov@mail.ru