Асимптотическая плотность рациональных множеств в z n Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 2. С. 37-40.

УДК 512.5 А.В. Меньшов

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПЛОТНОСТЬ РАЦИОНАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ В Zn *

Класс рациональных множеств моноида М определяется как замыкание конечных подмножеств М относительно операций объединения, произведения и порождения подмоноида. Предлагается способ вычисления асимптотической плотности произ-

гп ^

с использованием свойств рациональных множеств в коммутативных моноидах.

Ключевые слова: рациональное множество, асимптотическая плотность, многогранник решетки, полином Эрхарта.

Пусть Z - свободная абелева группа ранга n е N. Группу Z мы отождествляем со стандартной целочисленной решеткой Евклидова пространства Rn. Считаем, что Rn снабжено равномерной нормой, определяемой для элемента v = (v1v..,vn) формулой ||v|| = max(|vj,...,|vn|) . Норма

H_ 7«

индуцирует норму на Z .

Для любого r е R+ определим шар Br = {x е Rn 11|x|| < r} радиуса r . В дальнейшем мы обозначаем через Br(Z) пересечение шара Br радиуса r eN с группой Zn.

Последовательность {Br (Z)}reN определяет стратификацию группы

Zn. Для произвольного подмножества M группы Zn и произвольного r eN определим относительную плотность M в Br (Z), полагая

pr (M) = -—|B(2Z) ) . Легко видеть, что |Br(Z)| = (2r + 1)n.

Определение 1. Асимптотической плотностью подмножества

— группы Zn называется предел р(—) = lim рг (—), если он существует.

Для произвольного множества — и произвольного элемента v группы Zn полагаем (v + M) = {v + m | m e M}. Справедлива лемма 1.

Лемма 1. Пусть для подмножества M группы Zn существует р(M) . Тогда для любого v eZn существует p(v + M) = p(M) .

Доказательство. Покажем, что v + (M П Br) с (v + M) П Br+|^ . Действительно, если w = v + m , где m e (M П Br) , то по неравенству треугольника ||w|| < Ivi + r , т. е. w е Br+vi. Тогда |M П Br\ < (v + M) П Br+ц^ .

Также покажем, что (v + M) П Br с v + (M П Br+^ ) . Возьмем w = v + m e (v + M) П Br и предположим, что ||m|| > ||v|| + r . Тогда w = v + m > v — m > r - противоречие, так как w e Br. Следовательно,

m

< ||v|| + r. Тогда |(v + M) ПBr| <

M П B

INI

Исследование поддержано Министерством образования и науки РФ, проекты № 14.В37.21.0359 и 0859.

©А.В. Меньшов, 2013

Получаем

МПВ

М

|мП

В

\Br (Z)|

Рассмотрим

\Br (Z)|

, где r >||v|| .

<pr (v + M) <

M ПВ,

W| v||

- \MOBr

\Br (Z)|

Заметим, что 0 < -

последовательность

M HBr+л\-\MHBr

B

ivii

(Z)| - \Br (Z)|

\Br (Z)|

В (Z)| r—x

Тогда lim- r—x M П B, + V,

В (Z )|

= lim r ——x f P (M) + l Iм П Br+„ - M n Br|"

Br (Z)| J

Аналогично lim

. Mn

im J____

B

IVII

= p(M).

= p(M). От-

B (Z )|

сюда следует, что lim pr (v + M) = p(M) .

r—x

Известно, что любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу. Следующая лемма описывает случай, когда верно обратное.

Лемма 2. Пусть для подмножества

M группы Zn существует lim р. (M) = р ,

n —х 1

где {,} - арифметическая прогрессия с разностью t. Тогда существует p(M) = р .

Доказательство. Рассмотрим последовательности

(1а)

(1b)

Mn B„

MnBl MnBl

|B,(Z)| ’"" |B,(Z)| ’ \Bn(Z)| ’ p(M), ..., p-i(M), p(M),

m пв,

MnBl Mnb„

M n B„|

’ \Bn(Z)| ’

, P-i(M),...

M n bJ

\Вп(гГ"’ \Вп(2Г К(г)Г"’ Ы2)|

Последовательности (1а) и (1Ь) ограничивают последовательность {рг(М)} сверху

и снизу соответственно.

Рассмотрим последовательность

Г М п В, м|-|М п В,| 1

В, (Z )|

Заметим, что 0 < -

M n в_ - м n Вг

1В, (Z )|

lB,+t (Z)|-| В (Z )|.

IB,<Z )|

0.

. M n Br .,

Тогда lim^-------------i+-

n—x В (Z)|

= lim

ri—x

P. (M) +

Аналогично lim

M n B,+J - M n B, lB,(Z )|

M n Bn ,1

= p.

- = p

Отсюда

В (Z )|

следует сходимость (1а) и (1b) к р . Тогда существует lim pr (M) = р .

Г—Х

Приведем основные определения, касающиеся многогранников в Rn (подробнее см.: [1; 2]).

Выпуклым многогранником P в Rn называется пересечение конечного числа замкнутых полупространств, т. е. P =

= {х е Rn | Ax < b} , где A е Rmxn, b е Rm . Ограниченный выпуклый многогранник также может быть определен как выпуклая оболочка конечного множества точек Rn .

Если размерность P равняется d, будем писать dim(P) = d и говорить, что P -

d -мерный многогранник.

Многогранник назовем рациональным, если все его вершины имеют рациональные координаты.

Конусом, образованным векторами

y1,..., yk е Rn , называется множество

cone(У1,..Ук) = {ау +...+акУк1 а ^ 0 а е R}. Конус является выпуклым многогранником.

Определение 2. Пусть b1v..,bn - линейно независимые векторы в Rn. Множество Л = Л(b1V..,bn) = {x1b1 + ... + xbn | xt е Z} называется решеткой с базисом {b1,...,bn} . Число d (Л) = |det(b1,., bn )| называется определителем решетки Л .

Если все вершины ограниченного выпуклого многогранника P являются точками решетки Л , то будем называть P многогранником решетки Л .

Для произвольного выпуклого многогранника P и произвольного t е Z + определим многогранник tP = {tx | x е P} , назовем его t -расширением многогранника P .

Легко видеть, что tB1 = Bt и

t(cone(у,., Ук )) = cone(У1,., Ук).

Заметим, что для любого рационального многогранника P, лежащего в подпространстве, порожденном целочисленными линейно независимыми векторами b1v..,bn в

Rn , существует t е Z + такое, что tP - многогранник решетки Л^,...,bn).

Асимптотическая плотность рациональных множеств в Zn

39

Для произвольной решетки Л в Rn и произвольного многогранника P решетки Л определим функцию ¿(Л, P, t) = |tP П Л .

Следующая фундаментальная теорема была получена в 1960-х гг. французским математиком Эрхартом. Подробное изложение данного вопроса содержится в [1].

Теорема 1. Пусть P - п -мерный многогранник решетки Zn . Тогда L(Zn,P, t) =

= cntn + cn-1tn-1 +... + c0 - полином степени n с рациональными коэффициентами, причем старший коэффициент cn = vol ( P) - это n -мерный объем P .

Полином L(Zn,P, t) называется полиномом Эрхарта.

Пример 1. L(Zn,Б1,t) = \Б, ПZn\ = \В,(Z)|

= (2t + l)n.

Теорема 1 допускает обобщение на случай произвольного n -мерного рационального многогранника, но в этом случае L( Zn, P, t) будет являться уже квазиполиномом, т. е. коэффициенты ci будут периодическими функциями от t .

Заметим, что теорема 1 может быть обобщена для произвольной решетки

Л = Л(Ь1,...,bn) в Rn. Обозначим через Б матрицу, столбцами которой являются вектора b1v..,bn . Тогда решетку Л можно полу-

Zn

с помощью невырожденного линейного преобразования ф, заданного матрицей Б , т. е. Л = ф(Zn) . Аналогично

Zn =ф-\Л).

Пусть P - n -мерный многогранник решетки Л . Тогда P' = ф~1(P) - n -мерный многогранник решетки Zn и |tP П Л| = |tP' П Zn|.

Отсюда получаем L^,P, t) = L(Zn,P', t) . Так как vol (P) = det(B)vol( P') = d ( A)vol( P'), получаем, что старший коэффициент vol ( P)

L^, P, t ) равен

d ( Л)

Применим теорему 1 для нахождения асимптотическом плотности подгрупп в 2 .

Рассмотрим подгруппу Н < 2п конечного индекса. Тогда Н задается каноническим представлением Н = (к1и1^®...®(кпип},

где и1,...,ип - некоторый базис 2п, к 1 е2 и к11...|кп . Легко видеть, что Н = Л(к1и1,...,кпи„)

- решетка и d(Н) = к1 •... • кп = |2п: Н|.

В1 - рациональный многогранник, значит, можно подобрать такое г е 2 + , при ко-

тором Br будет многогранником решетки H . В качестве многогранника P для теоремы 1 возьмем Br. Согласно определе-

( H) H П Б,| L(H,Бг,i) Т

нию p (H ) =L.-----т = —:----— . Так как

РЛ } Бг (z)| Бг (z)|

L( H, Бг, i) и |Б, ( Z )| - полиномы от i -й степени n, то предел {pir (H)} равен отношению старших коэффициентов. Получаем vol ( Бг )

lim p^( H ) =

1

(2r )nd (H ) d (H )

1

мы 2 следует, что p(H ) =

Тогда из лем-1

d (H ) Zn : H

Пусть теперь Н < 2п - подгруппа бесконечного индекса. Тогда Н задается каноническим представлением Н={кР!)©...©(кр^, где 5 < п . Рассмотрим многогранник Р', образованный пересечением В1 с подпространством, порожденным векторами

кр,...,кр5. Очевидно, Р' - 5 -мерный

рациональный многогранник. Значит, существует г е 2 + такое, что Р = ,Р' - многогранник решетки Л = Л(к1Р1,...,кр,). Полу-

г г |Н п В,| г |Л п /Р|

чаем 11т р,(Н) = Ьт1 _ ( 1 = 11т _ ( ) =

-1» -1» \В, (2)| -1» |В, (2)|

¿(Л, Р,/)

= 11т-------¡- = 0 , так как ¿(Л,Р,/) - поли-

1 \В,(2)|

ном от / -й степени 5, где 5 < п . Отсюда по лемме 2 р(Н) = 0 .

Доказана следующая теорема:

Теорема 2. Пусть Н - произвольная

подгруппа в 2п . Если Н конечного индекса, то р(Н) =т-------г, иначе р(Н) = 0 .

\2п : Н\

Теперь применим теорему 1 для нахождения асимптотической плотности рацио-

2п

.

Следуя [3], мы определяем класс рациональных подмножеств моноида М как замыкание конечных подмножеств М относительно операций объединения, произведения и порождения подмоноида.

Далее будут рассматриваться только коммутативные моноиды, поэтому будем использовать аддитивную запись. Введем несколько определений из [4].

Определение 3. Пусть М - коммутативный моноид. Подмножество X = а + В , где а е М, В с М, В - конечное, называется линейным.

Если В - свободный коммутативный моноид с базисом В, то X называется простым.

Определение 4. Конечное объединение линейных множеств называется полулинейным. Конечное дизъюнктное объединение простых множеств называется полу-простым.

В [4] доказано, что каждое рациональное подмножество коммутативного моноида является полупростым. Таким образом, любое рациональное множество Я в группе 2п есть дизъюнктное объединение простых

множеств

R=и a+В*).

Из леммы 1 следует, что если для любого

к

В* существует р(В*), то p(R) = '£4ра, + В*) =

i=1

= ÈР(В*).

i=1

Таким образом, для вычисления асимптотической плотности рациональных подмножеств в Zn достаточно уметь вычислять асимптотическую плотность свободных

коммутативных моноидов в Zn . Следующая лемма решает данную задачу.

Лемма 3. Для произвольного В - свободного коммутативного моноида с базисом

Ъ^...,Ък в группе Zn существует р(В ).

р(В ) > 0 тогда и только тогда, когда к = n .

Доказательство. Так как Ъ^...,Ък -

базис В , то Ъ15...,Ък линейно независимы в

Rn. Значит, к < n и можно рассматривать решетку — = —(Ъ^...,Ък).

Пусть P’= В1 П cone^,..., Ък ) . Тогда P’ -к -мерный рациональный многогранник и существует r е Z+ такое, что P = rP' = = Вг П cone(h1,...,Ък) - многогранник решетки Л . Заметим, что В П Вг = В П iP =

= Л П iP , тогда lim р (В ) = lim |——J. =

|В-г (Z)|

=lim LV—P4.

В-r (Z)|

L(—, P,i) и В-г(Z) - полиномы от i -й степени к и n соответственно. Если к < n , то lim рг (В ) = 0 . Если к = n , то предел ра-

i^x

вен отношению старших коэффициентов числителя и знаменателя:

,• /туч vol ( P)

птр. (В ) =-= р. Учитывая лемму 2,

^ (2r)nd (—)

получаем, что р(В ) = р > 0 , если к = n , в противном случае р(В ) = 0 .

Таким образом, для любого свободного

коммутативного моноида B в группе Zn существует асимптотическая плотность

р(В ), лемма 3 дает способ ее вычисления. Учитывая лемму 1, для любого множества (а + В ) в Zn существует р(а + В ) = р(В ). Отсюда следует теорема 3.

Теорема 3. Для любого рационального

подмножества R в группе Zn существует

к

р(R) . Если R = ^(at + В*) - полупростое

1=1

к

множество, то р(R) = ^р(В1) .

i =1

В качестве примера вычислим в Z2 асимптотическую плотность множества

M = {(2,1),(1,2)} . Обозначим v1 = (2,1),

v2 = (1,2). Рассмотрим решетку Л = Л(v1, v2)

с определителем d(Л) = 3 . Легко видеть, что

P = В6 П cone(v1, v2) - многогранник решетки

Л . Применяя лемму 3, получаем

г vol(P) 18 1

p(M) = lim p6,(M) =------- ----------= —-— = —.

6‘ (2 • 6)2 • d(Л) 122 • 3 24

Отметим, что для подсчета точек решетки в рациональных выпуклых многогранниках существует алгоритм Барвинока, полиномиальный при фиксированной размерности. Данный алгоритм позволяет вычислять для рационального многогранника квазиполином Эрхарта, а в случае многогранника решетки - просто полином Эрхар-та. Как следствие, мы можем получить объем многогранника в качестве старшего коэффициента.

Алгоритм Барвинока реализован в программе LattE: Lattice-Point Enumeration [5; 6].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Beck M., Robins S. Computing the continuous discretely. Springer. N. Y., 2007.

[2] Ziegler G. M. Lectures on polytopes. SpringerVerlag. N. Y., 1998.

[3] Gilman R. H. Formal languages and infinite groups // Geometric and Computational Perspectives on Infinite Groups (DIMACS. Ser. Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 25). Providence. RI. Am. Math. Soc. 1996. P. 27-51.

[4] Eilenberg S., Schutzenberger M. P. Rational sets in commutative monoids // J. of Algebra. 1969. № 13. Р. 173-191.

[5] De Loera J.A., Dutra B., Koppe M., Moreinis S., Pinto G., Wu J. A User's Guide for LattE integrale. 2011. V. 1. № 5. URL: http://www.math.ucdavis. edu/~latte.

[6] De Loera J. A., Hemmecke R., Tauzer J., Yo-shida R. Effective lattice point counting in rational convex polytopes // J. Symbolic Comput. 2004. V. 38 № 4. Р. 1273-1302.