CC BY
12
УДК 681.511.4
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ МЕТОДА ДИСКРЕТНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
А.В. Моржов
Предлагается подход к повышению точности известного метода дискретной линеаризации по полезному сигналу релейных автоколебательных систем управления. В рамках данного метода исследование режима слежения релейной системы сводится к определению режима слежения некоторой линейной дискретной системы.Это позволяет существенно упростить процедуру синтеза релейной системы управления.
Ключевые слова: релейная система управления, автоколебания, режим слежения, дискретная линеаризация.
Релейные автоколебательные системы автоматического управления находят широкое применение в технике, так как они характеризуются простотой конструкции, а также возможностью получения высоких динамических характеристик при малых весах и габаритах управляющих устройств. В настоящее время под руководством профессора Тульского государственного университета Н.В. Фалдинадостаточно полно разработана теория релейных автоколебательных систем управления, в основу которой положен фазовый годограф релейной системы [1]. В работе рассматривается важный для приложений класс нелинейных объектов - кусочно-линейные объекты управления. К кусочно-линейным относятся, например, объекты управления, содержащие различного рода ограничители, которые чрезвычайно широко распространены в технических системах, а также объекты управления, содержащие нелинейности типа люфтов, зон нечувствительности и т. д.
Универсальным методом исследования точности режима слежения релейной системы является метод моделирования, когда динамика системы моделируется, например, на компьютере. Однако метод моделирования требует значительных затрат времени и его проблематично использовать на этапе синтеза, когда приходится анализировать большое число вариантов решений. Поэтому для релейных систем большое значение приобретают простые приближенные методы исследования режима слежения.
На сегодняшний день достаточно хорошо разработан метод дискретной линеаризации релейных автоколебательных систем с нелинейными объектами управления [2]. Особенностью метода является то, что он сводит исследование режима слежения релейной системы к исследованию режима слежения некоторой линейной дискретной системы.
Метод дискретной линеаризации, как показывают выполненные исследования, в целом обладает высокой точностью и универсальностью и его можно использовать при любом нелинейном объекте управления. В процессе линеаризации дискретным методом релейная система заменяется неоднородным линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами и периодом дискретизации по времени, равным полупериоду автоколебаний.
Однако при применении указанного метода к релейным системам со статическими объектами управления точность линеаризации заметно падает. В настоящей статье метод дискретной линеаризации дорабатывается таким образом, чтобы устранить отмеченный недостаток.
Итак, рассмотрим релейную автоколебательную следящую систему с двухпо-зиционным релейным элементом и абстрактным кусочно-линейным объектом управления, структурная схема которой представлена на рис. 1. Движение системы задается уравнениями
„ „
— = Сх + В и, если
&
и х
< О;
с1х
= С*х + В*и, если
I х
и = Ф(е, А,Ь), е = у — ЯТх.
> О,
(1) (2)
а
Релейный и Объект
элемент управления
Формирующее устройство
Л V
Рис. 1. Типовая структурная схема релейной автоколебательной следящей
системы управления
Рис. 2. Статическая характеристика двухпозиционногорелейного элемента
Здесь х - п-мерный вектор состояния, постоянные матрицы С, С*, В и В* имеют соответственно размерности п X п , п X п , п х1 и п х1, скалярная функция Ф задается статической характеристикой двухпозиционного релейного элемента (см. рис. 2), ЬТ - вектор-строка, имеющая размерность 1х п и задающая симметричные переключающие гиперплоскости Iх ± О = 0 в пространстве состояний системы, ЯТ -вектор-строка коэффициентов обратных связей, у - входной сигнал, хв - компонента вектора х, соответствующая выходной координате системы. Рассмотренный ниже подход сохранит свою справедливость и в общем случае, когда возможно наличие нескольких таких пар симметричных гиперплоскостей. Ниже всюду будем предполагать, что входной сигнал у(/) является малой медленно меняющейся (по отношению к автоколебаниям) функцией времени.
В автономной (у(/) = 0) релейной системе (1), (2) периодическое движение
может быть задано одной (любой) точкой с предельного цикла. Будем определять периодическое движение точкой х* (Т), соответствующей переключению релейного элемента с «минуса» на «плюс». Ограничимся рассмотрением простых (в интервале 0 < ^ < 2Т, где 2Т- период, управление и(Х) изменяет знак только два раза (см. рис. 3)) симметричных (и(/ + Т) = —и(Х), х(/ + Т) = —х(/)) периодических движений. Вектор-функция х* (Т) (0 < Т < ¥>) задаёт множество всех возможных периодических движений объекта управления (1) и называется фазовым годографом релейной системы (1), (2) с двухпозиционным релейным элементом. Таким образом, фазовый годограф характеризует свойства объекта управления.
Рис. 3. Управляющий сигнал с выхода релейного элемента
Если построен фазовый годограф х* (Т), то периодическое движение, возникающее в автономной (у(1) = 0) релейной системе (1), (2), определяется из условия переключения релейного элемента с «минуса» на «плюс». Иными словами, период 2Т0 автоколебаний в системе находится из уравнения
КТх*(т0) = -Ь , (3)
которое удобно решать графически. К уравнению (3) следует присоединить неравенство
Ят х'(Т0 - 0) < 0,
которое задает условие надлежащего направления переключения релейного элемента.
Здесь х'(Т0 - 0) значение вектора фазовой скорости х(1) в момент переключения релейного элемента с «минуса» на «плюс» (предел слева). Поскольку рассматриваются симметричные периодические решения, то условие переключения релейного элемента с «плюса» на «минус» можно не принимать во внимание. Методы исследования автоколебаний в релейных системах с помощью фазового годографа подробно изложены в [1].
Пусть в автономной (у(1) = 0) релейной системе (1), (2) имеет место симметричное периодическое движение х(1) с периодом 2Т0, задаваемое точкой х* (Т) фазового годографа. Обозначим х (1) = х(1) + 8х(1) возмущённую траекторию системы, причём возмущение вызвано малым медленно меняющимся входным сигналом у(1). Траекторию х (1) будем считать близкой к траектории х(1).
На траекториях х(1) и х (1) момент t = 0 совместим с моментом переключения релейного элемента с «минуса» на «плюс». При 1 > 0 первое переключение релейного элемента с «плюса» на «минус» на траектории х(1) происходит в момент времени Т0,
а на траектории х (1) - в близкий момент времени Т0 + 8Т. Для определенности будем считать, что функции ЬТ х(1) и ЬТ х (1) имеют качественный вид на полупериоде, изображенный на рис. 4. Таким образом, в моменты времени 11 и 12 происходит переключение уравнений движения на траектории х(1), а в близкие к ним моменты ^ + 811 и 12 + 812 - на траектории х(1).
Рис. 4. Качественный вид траекторий движения системы
56
В соответствии с условием непрерывности траектории х (г) = х(г) + 5х(г) можно записать:
х— (Т0 + 5Т) + 5х— (Т0 + 5Т) = х + (Т0 + 5Т) + 5х+ (Т0 + 5Т). (4)
Здесь и в дальнейшем индексами «-» обозначаются пределы слева (х-(Т0), х— (Т 0), 5х— (Т 0)), а индексами «+» - пределы справа ( х + (Т0 ), х + (Т0 ), 5х+ (Т 0) ).
Из равенства (4), опуская величины, имеющие порядок малости выше первого,
найдём
5х+ (Т0) = 5х— (Т0) + (х— (Т0) — х + (Т0)) 5Т, (5)
где
х— (Т 0)=—С х* (Т 0)+В А, х + (Т 0)=—С х* (Т 0)—В А. (6)
Далее, запишем условие переключения релейного элемента в момент Т0 + 5Т на траектории х(г) :
у(Т0 + 5Т) — ЯТ х— (Т0 + 5Т) = — Ь
или
у(Т0) + у (Т 0)5Т — ЯТ (х— (Т0) + х— (Т 0)5Т + 5х— (Т0)) = —Ь. (7)
Как и выше, в равенстве (7) не учитываются величины, имеющие порядок малости выше первого.
Так как у(Т0) — ЯТх— (Т0) = — Ь (условие переключения релейного элемента в момент Т0 на траектории х(г) ), из (7) следует, что
= — у(Т 0) — ЯТ 5х—(Т 0) у(Т0) — ЯТх— (Т0) .
Поскольку входной сигнал у является малой медленно меняющейся (по отношению к автоколебаниям) функцией, то справедливо равенство
8Т = у(Т 0) — «Г ^(Т 0). (8)
ЯТ х — (Т 0)
Подставив (8) в (5), получим
х„+ (Т 0) = (Т 0) + (х—(Т 0) — х + (Т 0))( у (Т 0) — ЯТ 5х—(Т 0)) °х (Т ) (Т ) + ЯТх — (Т0)
или
5х+ (Т0) = (I — (х—(Т 0)~х +(Т 0))ЯТ 5х— (Т0) + х—(Т 0) — х +(Т 0) у (Т0), (9) ^ ЯТх—(Т0) ) ЯТх—(Т0)
здесь I - единичная матрица.
Далее, необходимо выразить вариацию 5х— (Т0) через начальное отклонение 5х(0). Полагая и(1) фиксированной функцией, запишем для системы (1) уравнения в вариациях:
— = С 8х, (10) йг
— = С*5х. (11) йг
Обозначим V(г) = еСг нормированную фундаментальную матрицу решений однородного уравнения (10), а W(г) = еСг - нормированную фундаментальную матрицу решений однородного уравнения (11). Тогда, очевидно,
5х— (Т0)=V(Т0 — г2)6х + (г2), 5х— (г2)=W(г2 — г1)8х+(г1), 5х— (г1)=V(г1)8х(0). (12)
Покажем, как преобразуется вариация 8х в моменты переключения уравнений движения объекта управления.
Траектории х(1) и х(1) в моменты 11 и 11 + 811 соответственно непрерывны, поэтому справедливы соотношения:
х+ (1!) = х- (1!), (13)
х + (1! +81!) = х- (1! +81!).
Опуская величины порядка малости выше первого, последнее равенство можно представить в виде:
х+ (1!) + х+ (11)811 + 8х+ (1!) = х- (1!) + х- (11)811 + 8х-(1!), (14)
где
х- (11)=Сх-(11)+ВА, х+ (11)=С*х+ (11)+В*А. (15)
Принимая во внимание (13), из (14) получим:
8х+ (11) = (х- (11) - х + (0)811 + 8х-(11). (16)
Теперь запишем условие переключения уравнений движения на траектории х(1) в момент 11 :
ЬТх-(11) - Б = 0. (17)
Для траектории х (1) аналогичное условие имеет вид:
ЬТх-(11 +811) - Б = 0. (18)
Из (18) следует, что
ЬТх-(11) + ЬТх-(11)811 + ЬТ8х-(11) - Б = 0. (19)
В последнем равенстве опущены величины, имеющие порядок малости выше первого. Принимая во внимание (17), из (19) найдем вариацию
8 =- ЬТ8х- . (20)
1 ьТх- (11)
Далее, подставив (20) в равенство (16), окончательно получим:
8х+ (11) = 8х- (11) - (х- (11) - хТ+ 8х-(11) . (21)
1 ЬТ х - (11)
Перепишем соотношение (21) в виде
8х+ (11) = (11), (22)
0 = 1 - (х- (11) - х + (0)1/
Аналогичным образом нетрудно показать, что
8х+ (12) = д2 8х-(12). (23)
Здесь
где
02 = I -
(х-(12) - х + (12))И ЬТ х - (12)
2
причем векторы
х-(12)=С*х-(12)+В*А, х + (12)=Сх+ (12)+ВА . (24)
Таким образом, с учетом (12), (22), (23), связь между вариациями 8х-(Т0) и 8х(0) задается равенством
8х- (Т0) = 0 8х(0), (25)
где
0 = V (Т0 - 12)0 2 ^^(12 - ^У^). (26)
58
Подставляя (25) в (9), окончательно получим: С '\-(ТОл т0\\т»т \
8х+ (Т О)
О
I -
(X - (Т О) - х + (Т 0))ЯТ
о 8х(0) + х-(ТО) Х+О(ТО) у (Т0). 4 у Ятх-(ТО) 4 у
ЯТ X - (Т О)
Далее, нетрудно показать справедливость равенства
5х+ ((к + 1)ТО) = М 5х+ (кТО) + ^ ((к + 1)ТО),
(27)
где
М =
I -
(х - (ТО) - х + (Т О))Я яТ х- (Т О)
тЛ
о, N =
х - (Т О) - х+(Т О) ЯТх-(Т О) .
Уравнение (27) представляет собой систему неоднородных линейных разностных уравнений, которая позволяет рассчитать вариации 5х+ (кТО) . Именно с помощью функции 8х(/) = х (/) - х(/) оценивается точность режима слежения, поскольку она выделяет среднюю (полезную) составляющую движения системы, на которую наложены автоколебания. Правда, 5х+ (кТО) является решётчатой функцией, период дискретизации которой равен полупериоду автоколебаний. Однако, учитывая большой разнос частот входного сигнала и автоколебаний, с помощью функции 8х+ (кТО) практически всегда можно определить точность режима слежения. Далее, как показывает опыт использования данного метода на практике, в функции 5х+ (кТО) аргумент кТО можно заменить на /, т.е. перейти от дискретного времени к непрерывному. При использовании уравнения (27) на практике в соответствии с теорией линейных разностных уравнений следует искать только частное решение уравнения. Именно частное решение определяет режим слежения.
Для повышения точности метода целесообразно среднюю (полезную) составляющую движения системы выделять не решетчатой функцией 5х+ (кТ), а при помощи осредненного значения вариации 8х(/) на полупериоде, т.е. с использованием смещенной решетчатой функции:
1 (к+1)ТО
8х((к + О,5)ТО) =— | 8х(/)сИ = J 8х+ (кТО),
кТ
где J - невырожденная матрица преобразования размерностью п X п .
Тогда уравнение (27), задающее дискретную линеаризацию релейной системы, преобразуется к виду:
8х((к + 1,5)ТО) = JMJ-18х ((к + О,5)ТО) + JN у ((к + 1)ТО) =
= М8х((к + О,5)ТО) + Щ((к + 1)ТО). Матрица J при этом будет определяться выражением:
(28)
J = уО
/о и
Т О -/,
\у{/)& + | щ/)ж(01у(/о))+ | у№(021^(/2-/^ум
(29)
0 0 0 Выше предполагалось, что функция ЬТх(/) имеет качественный вид на полупериоде, изображенный на рис. 4, т.е. когда ЬТх*(Т0) <Б . Рассмотрим теперь ситуа-
цию, когда
ЬТ х* (Т0) > Б, а функция ЬТ х(/) имеет качественный вид на полупериоде,
представленный на рис. 5.
и
Рис. 5. Качественный вид траектории движения системы
В этом случае все приведенные выше результаты сохранят свою справедливость, если в соответствующих выражениях попарно заменить матрицы С на С*, С* на С, В на В*, В* на В, а также функции У(и) на W(t) и W(t) на У(и) Таким образом, равенства (6), (15), (24), (26), (29) примут соответственно вид:
X - (Т0)=-С*х* (Т0)+В* А, X + (Т0)=-С*х* (Т0) - В* А; X- (и1)=С* х- +В* А, х+ (О=Сх++В А; X- (и2)=Сх- (и2)+В А, X + (и2)=С*х+ (и2)+В* А;
0 = W(T0 - *2)02У(*2 -
J = Т 0
и -и
|W(U)ах + | У(^ (0^(и0))+ | W(U)ах (02У(и2 - )
В системах автоматического управления точность режима слежения часто оценивается с помощью частотных характеристик. При этом выполняется исследование режима слежения системы за входными гармоническими сигналами у (и) = с С08(юи) + d 8т(юи),
где ю - частота, и - время.
Положим в уравнении (28)
у(кТ0) = с соз(юкТ0) + d 81п(ю£Т0). (30)
Установившееся движение (режим слежения) будем искать в виде
5х (кТ0) = Б соБ(юкТ0) + Н 81п(юкТ0). (31)
Подставляя (30) и (31) в уравнение (28) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармонических функциях, найдём
Б =
Iэ1п(юТ0) + . 1 0 (М-1соБ(юТ0))2
,У
X
э1п(юТ0)
(М -1 соБ(юТ0)) (с соэ(0,5 юТ0) + d Б1п(0,5 юТ0)) э1п(юТ 0)
X
+
+
I (d соэ(0,5 юТ0) - с э1п(0,5 юТ0))
К,
Н =
1
81п(юТ 0)
(М -1 соз(юТ0)) Б (с соз(0,5юТ0) + d зт(0,5 юТ0))
Амплитудная частотная характеристика А(ю) и фазовая частотная характеристика ф(ю) системы, а также амплитуда етах установившейся ошибки слежения ) = у (и) - хВ (и) системы за сигналом у (и) = с со8(юи) + d 8т(юи) задаются выражениями
Т0 -и
и
0
0
0
^(W+HIM , jw = arctgDaiw)_ arctg£, ^(DB - a? + (HB - d
А(ю) = * В , В-, Ф(ю) = аг^ В) ; - агС^—, етах ^(бв - с) + (Нв
2 + с12 ЯВ (ю) ^
где Бв и Нв - компоненты векторов В и Н, соответствующие выходной координате системы Хв .
Доработанный метод линеаризации, в соответствии с которым исследование режима слежения релейной системы управления сводится к исследованию режима слежения некоторой линейной дискретной системы, обладает высокой универсальностью, т.е. его можно использовать для широкого класса релейных систем с нелинейными объектами управления. Это позволяет свести задачу синтеза к решению сравнительно несложной конечномерной задачи оптимизации.
Как показали модельные эксперименты, доработанный вариант метода дискретной линеаризации обладает существенно более высокой точностью нежели его исходный вариант.
Список литературы
1. Фалдин Н.В. Релейные системы автоматического управления / Н.В. Фалдин; под. ред. К. А. Пупкова, Н.Д. Егупова // Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. С. 573 - 636.
2. ФалдинН.В., МоржовА.В. Дискретная линеаризация по полезному сигналу релейных автоколебательных систем управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. № 11. С. 13 - 19.
Моржов Александр Владимирович, канд. техн. наук, morzhovamail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
THE IMPROVEMENT OF ACCURACY OF THE RELAY FEEDBACK CONTROL SYSTEMS
DISCRETE LINEARIZA TION METHOD
A. V. Morzhov
The approach to improvement of accuracy of the relay feedback control systems discrete linearization method is proposed. According to the method, the investigation of the relay system tracking mode is reduced to the determination of a certain linear discrete system tracking mode.It allows to significantly simplify the procedure of the relay control system designing.
Key words: relay feedback control system, self-oscillations, tracking mode, discrete linearization.
Morzhov Aleksandr Vladimirovich, candidate of technical sciences, mo-rzhov@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
