CC BY
16
3. Нариманова Г.С., Тихонравова М.К. Основы теории полета космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1972. 608 с.
4. Авдуевский В.С., Успенский Г.Р. Космическая индустрия. М.: Машиностроение, 1989.568 с.
5. Эскобал П.Р. Методы определения орбит. М.: Мир, 1970. 457 с.
Власов Роман Петрович, адъюнкт, livnymen@,mail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военный институт (научно-исследовательский) ВКА им.А. Ф.Можайского
ALGORITHM FOR UPDATING THE PARAMETERS OF MOVEMENT AND PROCESSING OF INFORMATION ON DIFFERENT TIME MEASUREMENTS OF TWO SPACE ROTARY
TYPES
R.P. Vlasov
The statement of the problem, the scheme of using the rotor type spacecraft and the algorithm for setting the motion parameters of objects of space debris of technogenic and natural origin are presented. Mathematical models of information processing and the results of their application are given.
Key words: space debris object, rotor type spacecraft, motion parameters refinement.
Vlasov Roman Petrovich, adjunct, livnymen@,mail. ru, Russia, St. Petersburg, Military Institute (Research) VKA named after A.FMozhaysky
УДК 681.511.4
ИССЛЕДОВАНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ К ИЗМЕНЕНИЮ НЕСКОЛЬКИХ ПАРАМЕТРОВ ОБЪЕКТА
УПРАВЛЕНИЯ
А.В. Моржов, С.В. Моржова
Предлагается подход к исследованию чувствительности характеристик релейной автоколебательной системы управления к изменению нескольких нестабильных параметров объекта управления. Включение в процедуру синтеза релейной системы исследования параметрической чувствительности позволяет обеспечить высокое качество и работоспособность системы в реальных условиях эксплуатации.
Ключевые слова: релейная система, автоколебания, параметрическая чувствительность, нестабильность параметров, анализ.
Релейные автоматические системы широко используются в различных областях техники. К основным достоинствам таких систем относятся простота конструкции, надежность и низкая стоимость. Благодаря появлению технологических возможностей создания ключевых управляющих элементов на новых принципах, не требующих контактного взаимодействия, релейные системы и сегодня не утратили своей значимости. На кафедре «Системы автоматического управления» Тульского государственного университета под научным руководством профессора Н.В. Фалдина долгие годы успешно развивается прикладная теория релейных систем автоматического управления. В ее
94
основу положена универсальная характеристика релейной системы - фазовый годограф. В рамках данной теории к настоящему моменту разработаны эффективные методы, позволяющие выполнять анализ (исследование периодических движений, оценивание их устойчивости по алгебраическому критерию, приближенное исследование режима слежения с помощью линеаризации по полезному сигналу) и синтез релейных систем с линейными и нелинейными объектами управления [1 - 3].
При использовании указанной теории на практике необходимо иметь в виду, что она ориентирована на системы с постоянными параметрами. Однако действительные значения параметров объекта управления реальной системы практически всегда отличаются от номинальных (расчетных) вследствие влияния на неё различных факторов. Проведенные исследования показали, что в некоторых случаях синтезированные с помощью описанной теории релейные системы оказываются весьма чувствительными к изменению параметров объекта управления. При этом даже небольшие отклонения параметров от расчетных значений могут приводить к заметной потере точности слежения системы, а иногда - к неустойчивости автоколебаний в системе.
С учетом выявленных недостатков разработанная прикладная теория релейных систем управления была дополнена методами, позволяющими исследовать в процессе синтеза параметрическую чувствительность синтезируемой системы. Под чувствительностью к изменению некоторого параметра понимается значение первой производной характеристики системы по данному параметру.
Именно, были разработаны методы, позволяющие исследовать параметрическую чувствительность периодического движения релейной системы [4], чувствительность критерия устойчивости этого движения [4], а также чувствительность точностных характеристик режима слежения релейной системы [5].На их основе был сформулирован метод синтеза в пространстве состояний высокоточных релейных автоколебательных следящих систем управления при задании ограничений на параметрическую чувствительность системы [6].
В указанных выше работах при получении результатов рассматривалась чувствительность системы к изменению некоторого параметра. На практике в математические модели многих реальных объектов управления могут входить несколько нестабильных параметров. Покажем, что для исследования чувствительности релейных автоколебательных систем с такими объектами управления достаточно ограничиться определением показателей чувствительности отдельно для каждого нестабильного параметра.
Релейный и Объект
элемент управления
Формирующее устройство
Л V
Рис. 1. Структурная схема релейной автоколебательной системы управления
Рассмотрим сначала релейную систему с двухпозиционным релейным элементом и произвольным нелинейным объектом управления, структурная схема которой представлена на рис. 1. Движение системы задается уравнениями
йх
— = I (х, а, и), (1)
Л
и = Ф(е, А,Ь), е = у -а(х). (2)
Здесь х - п-мерный вектор состояния, п-мерная гладкая вектор-функция {(х,а,и) = (/1(х,а,и),_/2(х,а,и),...,/п(х,а,и))Т зависит от некоторого изменяющегося скалярного параметра объекта управления а с номинальным значением а = а0, функция Ф задается статической характеристикой релейного элемента, изображенной на рис. 2, а(х) - гладкая скалярная функция, удовлетворяющая условию а(-х) = -а(х),
у - входной сигнал, хв - компонента вектора х, соответствующая выходной координате системы. Имеет место симметрия:
{(-х, а, -и) = -{(х, а, и).
Рис. 2. Статическая характеристика двухпозиционногорелейного элемента
В автономной (у(/) = 0) релейной системе (1), (2) периодическое движение может быть задано одной (любой) точкой с предельного цикла. Будем определять периодическое движение точкой х* (Т), соответствующей переключению релейного элемента с «минуса» на «плюс». Ограничимся рассмотрением простых (в интервале 0 < ^ < 2Т, где 2Т - период, управление и(/) изменяет знак только два раза (см. рис. 3)) симметричных (и(/ + Т) = -и(/), х(/ + Т) = -х(/)) периодических движений. Вектор-функция х* (Т) (0 < Т < <¥>) задаёт множество всех возможных периодических движений объекта управления (1) и называется фазовым годографом релейной системы (1), (2) с двухпозиционнымрелейным элементом [1].
Таким образом, фазовый годограф характеризует свойства объекта управления.
Рис. 3. Управляющий сигнал с выхода релейного элемента
Если построен фазовый годограф х* (Т), то периодическое движение, возникающее в автономной (у (/) = 0) релейной системе (1), (2) определяется из условия переключения релейного элемента с «минуса» на «плюс». Иными словами, период 2Т 0 автоколебаний в системе находится из уравнения
о(х*(Т0)) = -Ъ, (3)
которое удобно решать графически. К уравнению (3) следует присоединить неравенство
ё°(х>(Т0)).(Т0 -0) < 0, ёх
которое задает условие надлежащего направления переключения релейного элемента.
96
Здесь
г(Т 0 - 0) = Г (х* (Т 0), - А) значение вектора фазовой скорости X (V) в момент переключения релейного элемента с «минуса» на «плюс» (предел слева). Поскольку рассматриваются симметричные периодические решения, то условие переключения релейного элемента с «плюса» на «минус» можно не принимать во внимание.
Методы построения фазового годографа релейной системы с двухпозицион-ным релейным элементом подробно рассмотрены в [1].
Пусть в автономной (у(/) = 0) релейной системе (1), (2) при номинальном значении ао параметра а имеет место симметричное периодическое движение х(/) с полупериодом Т = Т0, задаваемое значением х* (Т0) фазового годографа х* (Т). Обозначим XX(V) = х(/) + 8х(/) близкую к х(/) симметричную периодическую траекторию системы с полупериодом Т=Т0 + 8Т, малое возмущение 8х(/) которой обусловлено малым отклонением 5а параметра а относительно номинального значения. Очевидно, периодическое движение х (V) будет задаваться значением х * (Т0 + 5Т) фазового годографа х * (Т).
На траекториях х(/) и х (V) момент t = 0 совместим с моментом переключения релейного элемента с «минуса» на «плюс» и ограничимся рассмотрением указанных движений на соответствующих полупериодах. Переключение релейного элемента с «плюса» на «минус» на траектории х^) происходит в момент t = Т0 , а на траектории
хх (V) - в близкий к нему момент времени t = Т0 + 5Т . Качественный вид на полупериоде траекторий хВ (V) и хВ (V), соответствующих выходной координате системы, представлен на рис. 4.
Установим связь между вариациями 5а, 5Т и 5х(0) .
Возмущенное движение системы х (V), обусловленное малым отклонением 5а параметра а , задается уравнением
шх
— = {(х, а0 + 5а, и). (4)
Ш
Опуская величины, имеющие порядок малости выше первого относительно 5а и 5х, уравнение (4) можно представить в виде:
^ + ^ = г (х, а 0, и) + ЭГ (х^), а0,и) 5х + ЭГ (х^), а0,и) 5а. (5)
Ш Ш Эх Эа
Рис. 4. Качественный вид траекторий системы на полупериоде
Далее, вычитая из (5) равенство (1) (положив а = а0), получим неоднородное уравнение в вариациях
Ш 5х = Зад/Хаи 5х + Э£Ох(/)1а0,и) 5а (6)
Ш Эх Эа
97
ЭГ (х(/), а0, и) ЭГ (х(Л, а0, и) здесь —4 4 '—— —--- матрицы размерностью соответственно п X п и
Эх Эа
п х1. Поскольку рассматривается движение на полупериоде, то управление и (/) = А . Функция х(/) определяется как решение уравнения (1) при а = а0 на интервале 0 < t < Т0 с начальным условием х(0) = х*(Т0), где х*(Т) - фазовый годограф системы при а = а0.
Равенство (6) представляет собой систему линейных неоднородных уравнений с переменными коэффициентами. Обозначим У(^, t) (to - начальный момент времени) нормированную фундаментальную матрицу решений однородного уравнения
5х.
Ш5х _ ЭГ(x(t),а0,и)
Ш Эх
Пусть г(^0, t) - решение уравнения (6) на интервале от ^ до t при нулевых начальных условиях, 5а = 1 и и ^) = А . Принимая во внимание введенные выше обозначения, общее неоднородное решение уравнения (6) на интервале 0 < t < Т0 можно представить в виде
8х^) = У (0, t )5х(0) + г (0, t )5а. (7)
Обозначим вариацию Дх(Т0) = х- (Т0 +5Т) - х-(Т0). Пренебрегая величинами, имеющими порядок малости выше первого, получим
Дх(Т0)=х- (Т0)+х- (Т 0)5Т+5х- (Т0) - х- (Т0) = х- (Т0 )5Т+5х- (Т0), (8)
причем
х- (Т0)=Г (-х* (Т 0),а0, А). Здесь и в дальнейшем индексами «-» обозначаются пределы слева (х-(Т0), х- (Т0 ), 5х- (Т 0)), а индексами «+» - пределы справа ( х+ (Т0 ), х + (Т0), 5х+ (Т 0) ).
Запишем условие переключения релейного элемента с «плюса» на «минус» для номинальной траектории х^) :
о(х-(Т0)) = Ъ . (9)
Для возмущенной траектории х ^) аналогичное условие имеет вид:
о(х- (Т0 + 5Т)) = а(х- (Т0)+Дх(Т0)) = Ъ. (10)
Опуская величины, имеющие порядок малости выше первого, равенство (10) можно переписать следующим образом:
о(х- (Т 0)) + Ш а(х- (Т 0)) Дх(Т 0) = Ъ, Шх
откуда с учетом (8), (9) следует:
Ш а(х- (Т 0)) х- (Т0)5Т + Ш а(х- (Т 0)) 5х - (Т 0) = 0. (11)
Шх Шх
Из (11) окончательно найдем
Ш "(х-(Т 0)) 5х-(Т 0)
5Т =---. (12)
Ш^(х-(Т0)) х -(Т0)
Шх
Периодические траектории х (t) и х^) обладают симметрией, поэтому нетрудно показать, что Дх(Т0) = -5х(0). Тогда с учетом (8)
5х- (Т0) + х- (Т 0)5Т = -5х(0). 98
Принимая во внимание (7), (12), выразим из последнего соотношения вариацию 5х(0) :
5х(0) = К а5а,
где
К* _
а =
I +
х - (Т 0)
Ш а(х-(Т0))
I -
Шх
Ша(х-(Т0))..
Шх
(Т0)
У(0,Т 0)
У
х - (Т 0)
Ш а(х-(Т0))
Шх
Ш°(х-(Т0)) х -Шх
-1
(Т0)
*(0,Т 0)
коэффициент чувствительности значения фазового годографа х* (Т0) = х(0), задающего периодическое движение х^), к изменению параметра а. Далее, в полном соответствии с тем, как это было сделано в [4, 5], могут быть определены другие показатели чувствительности периодического движения, например, коэффициент чувствительности полупериода автоколебаний.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда в той же релейной системе имеется несколько нестабильных параметров. Пусть движение произвольного нелинейного объекта управления задается матричным уравнением
— = Г(х, а, и). (13)
Ш
Здесь х - п-мерный вектор состояния, п-мерная гладкая вектор-функция Г(х,а, и) = (/1(х,а,и ), У2(х,а,и),..., /п (х,а,и ))Т зависит от некоторого изменяющегося т-мерного векторного параметра объекта управления а = (аь а2,..., ат ) с номинальным значением а0 = (а0,а2,...,ат), управление и будем по-прежнему определять равенством (2).
Повторим описанные выше действия. Вновь рассмотрим симметричную периодическую траекторию х^) с полупериодом Т=Т0 автономной ( у (V) = 0) системы (13), (2) при номинальном значении параметра а, а также близкую к ней симметричную периодическую траекторию системы х(V) = х^) + 5х^) с полупериодом Т=Т0 + 5Т, малое возмущение 5х^) которой обусловлено малым отклонением 5а векторного параметра а от номинального значения а0. На траекториях х^) и х(V) момент V = 0 совместим с моментом переключения релейного элемента с «минуса» на «плюс» и ограничимся рассмотрением указанных движений на соответствующих полупериодах. Переключение релейного элемента с «плюса» на «минус» на траектории х^) происходит в
момент V = Т0 , а на траектории х (V) - в близкий момент времени V=Т0 + 5Т .
В полном соответствии с тем, как это было сделано выше, запишем для (13) уравнение в вариациях:
5^ ЭГГ^Г;Л а ЭГГ^Г;Л а
(14)
здесь
Ш Эх
ЭГ (х^), а0, и) ЭГ (x(t), а0, и)
Ш 5х = ЭГ (x(t), а 0, и) 5 + ЭГ (х^), а0, и) 5а
Эа
- матрицы размерностью соответственно п X п и
Эх Эа
п X т. Поскольку рассматривается движение на полупериоде, то управление и(V) = А. Функция х^) определяется как решение уравнения (13) при а = а0 на интервале 0 < V < Т0 с начальным условием х(0) = х*(Т0), где х*(Т) - фазовый годограф системы при а = а0.
1
Уравнение (14), пренебрегая величинами порядка малости выше первого, можно преобразовать к виду
Ш5х ЭГ(х^),а0,и) „ ЭГ(x(t),а0,и) „
- -ох +----оа1 +
+
Ш Эх
ЭГ (x(t), а 0, и)
Эа1
5а 2 + к + ЭГ (х?),а 0,и) 5а я.
(15)
Эа2 Эат
Равенство (15) представляет собой систему линейных неоднородных уравнений с переменными коэффициентами. Обозначим ) (to - начальный момент времени) нормированную фундаментальную матрицу решений однородного уравнения
Ш 5х = ЭГ (х(^,а0,и)
Эх
-5х.
Пусть Гj (t0, t) - решение неоднородного уравнения
Ш 5х = ЭГ (x(t X а0,и) 8х + Э£(х(Г),а0,и) 8а
Л
Эх
Эа,
на интервале от to до t при нулевых начальных условиях, 5аj = 1 (аj - компонента векторного параметра а) и и^) = А. С учетом введенных обозначений запишем общее неоднородное решение системы (15) на интервале 0 < t < Т0 :
т
5х(0 = У (0, t )5х(0) + I гj (0, t )5а ].
j=l
Далее, нетрудно показать справедливость ранее полученного выражения (12) для определения вариации 5Т. В полном соответствии с тем, как это делалось выше, найдем зависимость, задающую вариацию 5х(0):
-|-1г
5х(0)
(
I +
х- (Т 0)
I -
Ш с(х- (Т0)) Шх
Ша(х- (Т0)) _
Шх
х - (Т 0)
У(0,Т 0)
х- (Т 0)
Ш с(х- (Т0)) Шх
Ша(х- (Т0)) .
-1
Шх
х - (Т 0)
х
х
т
I (г,- ^ Т 0)°а ,).
7=1
Последнее соотношение можно представить в виде
т
5х(0) = IК а, 5а j,
7=1
где
к
I+
^ Ша(х-(Т0)) ^
х - (Т
I -
Шх
Ша(х-(Т0)) _
Шх
х - (Т 0)
У(0,Т 0)
х - (Т 0)
^ Ш а(х-(Т0))
Шх
Ша(х-(Т0)) .
-1
Шх
х - (Т 0)
г, (0,Т 0)
коэффициент чувствительности значения фазового годографа х* (Т0) = х(0), задающего периодическое движение х^), к изменению компоненты а, векторного параметра
а. Аналогичное выражение можно получить, например, для отклонения полупериода автоколебаний:
т
5Т = I ка, 5а,.
7=1 100
1
Таким образом, если имеют место малые изменения нескольких параметров объекта управления, то общее отклонение какой-либо характеристики системы, обусловленное этими изменениями, определяется суммированием отклонений характеристики, порожденных изменением каждого из варьируемых параметров. Т.е., чтобы оценить влияние векторного параметра а на полупериод и траекторию периодического движения, необходимо и достаточно располагать соответствующими коэффициентами и функциями чувствительности к изменению каждой скалярной компоненты aj
(j = 1, m) указанного векторного параметра.
Легко показать справедливость сделанного утверждения и для результатов, которые были получены для исследования чувствительности иных характеристик релейной системы.
Список литературы
1. Фалдин, Н.В. Релейные системы автоматического управления / Н.В. Фалдин; под. ред. К. А. Пупкова, Н.Д. Егупова // Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. С. 573 - 636.
2. Фалдин, Н.В. Дискретная линеаризация по полезному сигналу релейных автоколебательных систем управления / Н. В. Фалдин, А.В. Моржов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. № 11. С. 13 - 19.
3. Фалдин, Н.В. Автоколебания в релейных системах с кусочно-линейными объектами управления /Н.В. Фалдин, А.В. Моржов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2007. № 2. С. 2 - 9.
4. Моржов, А.В. Функции чувствительности характеристик автоколебаний в релейных системах с нелинейным объектом управления / А.В. Моржов, Н.В. Фалдин// Изв. РАН. ТиСУ. 2014. №6. С. 14 - 24.
5. Фалдин, Н.В. Чувствительность ошибки слежения к изменению параметров объекта управления в релейной автоколебательной системе / Н.В. Фалдин, А.В. Моржов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2015. № 2. С. 81 - 88.
6. Моржов, А.В.Синтез релейного гидропривода при задании ограничений на параметрическую чувствительность его характеристик / А.В. Моржов, С.В. Моржова // Мехатроника, автоматизация, управление. 2017. № 6. С. 395 - 406.
Моржов Александр Владимирович, канд. техн. наук, morzhovamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
Моржова Светлана Владимировна, канд. техн. наук, svetlana-morzhova@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
THE INVESTIGATION OF SENSITIVITY OF RELAY FEEDBACK CONTROL SYSTEMS TO VARIATIONS OF SEVERAL PLANT PARAMETERS
A. V. Morzhov, S. V. Morzhova
The approach to investigation of sensitivity of relay feedback control system characteristics to variations of several instable plant parameters is proposed. Inclusion the relay system parameters sensitivity investigation in the synthesis procedure allows to ensure high quality and efficiency of the system in real operating conditions.
101
Key words: relay feedback control system, self-oscillations, parameter sensitivity, parameter instability, analysis.
MorzhovAleksandr Vladimirovich, candidate of technical sciences, mo-rzhov@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
Morzhova Svetlana Vladimirovna, candidate of technical sciences, svetlana-morzhova@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 004.94; 532.5
АНАЛИЗ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ РАСЧЁТА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ВОДОСНАБЖЕНИИ
А.А. Вайцель, Е.Р. Сиренко, А.В. Гаврюхина
Рассмотрена программа для компьютерного моделирования гидродинамических процессов ANSYS и ее модуль CFX. Приведены этапы создания модели, ее расчета и получаемые данные на примере моделирования задачи, основанной на совмещении перпендикулярно направленных потоков жидкости разной температуры и движущихся с разной скоростью.
Ключевые слова: пакет прикладных программ, гидродинамика, водоснабжение, ANSYS, программа.
С каждым годом перед инженерами, конструкторами и учеными встают все более сложные задачи инженерно-технического характера и с учетом бурно развивающихся информационных технологий, многие задачи решаются с помощью пакетов прикладных программ (ППП) или программных комплексов.
Существует огромное количество ППП для расчета узких и мультифизических задач, например, для расчета процессов магнитных полей, температурного нагрева, расчета микроструктуры материала, проверки жесткости конструкций, операций обработки металлов, гидродинамических задач и т.д.
В частности, для расчета гидродинамических процессов используются такие программы, как АШУБ, БоНёЭДо^, Б^^юп, АВАОШ, СОМБОЬ МикурЬувюБ и др. Программные комплексы позволяют проводить виртуальные эксперименты в короткие сроки и без необходимости использования и производства физических моделей и без проведения натурных испытаний, что позволяет добиться значительного сокращения бюджета иуменьшения времени разработки или анализа различных процессов [1]. Помимо вышеперечисленных достоинств ППП можно выделить еще и отсутствие необходимости в материально-техническом обеспечении и специально оборудованных помещений для проведения экспериментов. Среди недостатков подобного рода программ выделяются сложность в освоении оператором функционала, высокую стоимость копии лицензии и необходимость в производительном и дорогом аппаратном обеспечении (компьютерах) для проведения расчетов. Поэтому для решения задач в ППП необходимо иметь представление и понимание работы в таких программах.
В этой работе будет рассмотрен программный комплексАКБУБ [2], модуль для решения задач механики жидкости и газа АКБУБСБХ и пример расчета движения жидкости в тройнике. Как и многие другие программы, АКБУБ использует метод конечных
102
