CC BY
41
Бреус Роман Александрович, военнослужащий, ivts. tulgu@rambler.ru, Россия, Тула, в/ч 55599,
Васильев Андрей Вячеславович, военнослужащий, ivts. tulgu aramhler.ru, Россия, Тула, в/ч 55599.
OPTIMIZING THE DEVELOPMENT OF COMPUTA TIONAL ALGORITHM FOR SHOOTER-WEAPON SYSTEM DYNAMICS
V.A. Shamanov, S.V. Chubaryikin., R.A. Breus, A.V. Vasilyev
Applicability of topological tensor-vector description to model shooter-weapon system dynamics is proved.
Key words: automatic functioning, machine tests, kinematic analysis, multilink, multiloop system, generalized coordinates, impact interactions, links, unilateral and frictional constraints.
Shamanov Vladimir Аnatolievich, candidate of sociological sciences, serviceman, ivts. tulgu@,rambler. ru, Russia, Moscow, Military Unit № 25953,
Chubaryikin Sergey Viktorovich, Serviceman, ivts. tulgu@,rambler. ru, Russia, Tula, Military Unit № 55599,
Breus Roman Aleksandrovich, Serviceman, ivts. tulgu@,rambler. ru, Russia, Tula, Military Unit № 55599,
Vasilyev Andrey Vyacheslavovich, Serviceman, ivts. tulgu@,rambler. ru, Russia, Tula, Military Unit № 55599.
УДК 681.511.4
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ В РЕЛЕЙНОЙ СИСТЕМЕ, СОДЕРЖАЩЕЙ ЗВЕНО С ОГРАНИЧИТЕЛЕМ
Н.В. Фалдин, С.В. Феофилов, А.В. Козырь
Представлен метод анализа чувствительности периодического движения в релейной системе управления, содержащей звено с ограничителем в форме жесткого механического упора. Метод позволяет определить чувствительность периода автоколебаний и периодической траектории.
Ключевые слова: релейная система, чувствительность, звено с ограничителем, параметрическое возмущение.
Для проведения синтеза любой системы автоматического управления необходимо иметь точную параметрическую и структурную модель исследуемого объекта. Построение математических моделей реальных технических систем неизбежно связано с различного рода допущениями, отсутствием информации о возмущающих воздействиях и ограничениях на
204
фазовые координаты, проблемой идентификации параметров объекта управления. Всё это приводит к неточности математической модели. Даже если система синтезирована с использованием точной структурной и параметрической модели практически всегда при технической реализации возможны некоторые отклонения от исходных рассчитанных значений параметров. Эти отклонения могут возрастать в ходе эксплуатации, естественного старения элементов и т. д.
Таким образом, на этапе проектировании автоматической системы управления существует актуальная задача учета чувствительности системы управления к параметрическим флуктуациям объекта управления.
В данной работе представлен метод исследования чувствительности периодического движения в релейной системе, содержащий нелинейное звено вида жёсткого механического ограничителя [1]. Под чувствительностью периодического движения понимают, количественный показатель изменения периодического режима при изменении параметров объекта управления.
Рассмотрим теоретические положения на примере объекта управления наиболее сложной структуры, когда звено с ограничителем охвачено обратной связью. На рис. 1 приведена структурная схема объекта управления.
Рис.1. Структурная схема объекта управления
Уравнение движения звена с ограничителем в форме жесткого механического упора [1]:
хт = х2
X 2
к(хг - ху) - 2ах2 -Лхь если\х^ < Д или|х^ = Д и
(1)
[к(хг - ху) - цх1 (х1) £ 0;
0,если\х^ = Д и[к(хг - х ) х1) = 0.
Будем предполагать, что свободное движение системы на рис.1 задаётся уравнением
Жх Ж
= С (а)х + В(а)и.
(2)
Под свободным движением понимается такое движение, при котором фазовая координат xm не выходит на ограничитель. Движение на ограничителе задаётся уравнением
— = С*(а) * + B (а)и, (3)
Л
где и = Ф(-ЯТх, Ъ, А).
В формулах (2) и (3) матрицы С, С * имеют размерность пхп, а В -пх1, (п - порядок системы), а - некоторый скалярный параметр, который не входит в описание движения звена с ограничителем. Статическая характеристика двухпозиционного релейного элемента задаётся функцией
— Т — т
Ф(-Я х, Ъ, А), где Я - вектор задающий коэффициенты обратных связей, Ъ -ширина петли гистерезиса, А - величина полки реле.
Удар об ограничитель будем предполагать абсолютно неупругим:
хт + 0) = хт - 0); Х2& + 0) = 0, где ¿1 - момент времени входа на ограничитель.
Сход с ограничителя предполагается непрерывным, т.е. выполняется равенство
хЦ2 + 0) = хЦ2 - 0). (4)
Положим для определённости, что в периодическом движении сигнал с выхода звена с механическим ограничителем *1 имеет вид, представленный на рис.2, где 2Т0- период симметричных колебаний.
Рис.2. Сигнал на выходе звена с механическим ограничителем
Определим чувствительность автоколебаний, возникающих в системе 1 к изменению параметра а .
Пусть параметр а получил малое возмущение 8а. Обозначим периодическую траекторию в параметрически возмущённой системе
~ ^) = х(г) + 8х^).
Опуская величины, имеющие порядок малости выше первого запи-
шем систему уравнений связывающих между собой малые отклонения параметра 8а и 5.x:
й5х
йг
й8х
йг
= С (а)5Х(г) +
ЭС(а) х ) + ЗВа) и
да
Эа
8а,
= С (а)8х(г) +
ЭС (а) .(г)+дВ(а) и
да
да
(5)
8а.
Каждое из уравнений (5) представляет собой неоднородное линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами.
*
Обозначим V(г) и V (г) нормированные фундаментальные матрицы
решений соответственно первого и второго уравнения (5), а через г (г) и
*
г (г)- частные решения уравнения (5) при нулевых начальных условиях. Тогда решение уравнений (5) можно записать в виде
г8х = V (г )8х(0) + г (г )8а,
* * (6) 8х = V (г)8х(0) + г (г)8а.
В соответствии с рис. 2 переключение уравнений движений для траектории х(г)происходит в моменты времени и ^ .Обозначим вариации г2, Т 0 соответственно 8/^, 8г 2, 8Т 0.
В момент времени г\ + 5г^ справедливо равенство
Я™ \.х(г1 + 8г1) + 8х(г1 + 8г1)] = -Б,
где Я - вектор размером п, состоящий из нулей и единицы на т-месте.
Пренебрегая величинами, имеющими порядок малости выше перво го, получим следующее выражение:
Ят8х~ (г1)
8г1 =
Ятх - (г1)
(7)
Здесь и далее верхний индекс «минус» означает предел слева.
Аналогичным образом, исходя из рис. 2 и уравнений (1), получим вариацию момента времени г2 :
(Яг - Яу )8х-(г2)
8г 2
(Яг -Яу)х-(г2)
(8)
Изменение полупериода 85Т определяется из условия переключе-
ния релейного элемента с и = А на и = - А:
- Я
Т
х(Т 0 +8Т 0) + 8х(Т 0 +8Т 0)
= -Ь.
Принимая те же допущения, что и выше, получим следующую зависимость:
8Т
0
Я
т<
(Т 0)
ЯТх - (Т 0)
(9)
Установим связь между вариациями в моментах времени ¿1 и ¿2. Удар об упор описывается равенством
х(?1 + 0) = Ех(1 - 0), (10)
где Е отличается от единичной матрицы т-й строкой, которая состоит из нулей.
Исходя из (10), получаем
х+(¿1 + 8?1) + 8х(^ + 0) = Е + 8?1) + 8х - (¿1)
8х+(¿1) = (Ех^1) - х+(¿1))8?1 + Е8х~ (¿1). (11)
В момент времени ¿2
х+(¿2 + 82) + 8х+(¿2) = х-(¿2 + 82) + 8х-(¿2),
(¿2) = х"(¿2) + (х-(¿2) - х+(¿2)8 (12)
Из выражений (11) и (7) следует
8х+(¿1) = -(Ех(1 - х+(-1)) Ятх-Щ + Е8х~ (¿1).
Я"'х~ (¿1)
Аналогичным образом из (8) и (12) получим
8х+ (¿2) = 8ж"(¿2)- (^2)-х—+ (¿2))(ЯГ -Я)8Х-.
( яг - Я* ) х - (¿2)
Используя обозначения (13), из (9) получаем
(Ех(^) - х + (¿1))ЯтУ(¿1)
(13)
8х + (¿1) =
+
Ег (¿1)
ЕУ(¿1) -
1 Ятх~ (¿1)
(Ех(¿1) - х + (¿1))Ятг(¿1)
8х(0)+
Ятх - (¿1)
8а.
Для удобства представим полученное равенство в следующем виде:
8х+(¿1) = Р 8Х(0) + 0 8а. Аналогичным образом в соответствии с (13) и (20) получим
(14)
8х+« 2) =
(х(2)-х + (12))(Яг -Я*)У (12 -¿1)
У (¿2 - ¿1) -
+
•тУ Ц2 -¿1)-
(Я - Я* ) х-(Г 2)
(х-(12)-х+(Г2))(Яг -Я*)
8х(^) +
(Яг - Я* ) х - (*2) 208
г (?2 - ¿1)8а.
(15)
Запишем полученное равенство в виде
8х+(г2) = Р 8х(г1) + 0 8а. Поскольку периодическое движение является симметричным, то
~ (Т 0 +8Т 0) = - ~ (0),
8х(Т 0 + 8Т 0) + 8х(Т) = - х(0) - 8х(0). Пренебрегая величинами, имеющими порядок малости выше первого, получим
8х(Т 0) + х - (Т 0)8Т 0 = -8х(0). Принимая во внимание равенство (9), запишем
8х(Т 0) - х - (Т 0)
ЯТ х-(Т0)
-8.х(0),
V (Т 0 - г 2) - х - (Т 0)
ЯТх-(Т0)
8х+ (г 2) +
+
V (Т0 - г 2 )г (Т0 - г 2) - х - (Т0) (Т00)
ЯТ х-(Т0)
8а = -8х(0).
Запишем полученное равенство в более удобном виде:
М8х+(г2) + Ы8а = -8х(0).
Из (15) и (16) следует
8х+ (г2) = Р** Р*8х(0) + (Р**0* + 0**)8а.
После подстановки (17) в (16) и преобразований получим
I ** * ** \
(МР 0 + М0 + N)8а.
(16) (17)
I + МР Р ]8х(0) = -(" " ~
Введем следующие обозначения:
Р8х(0) = -08а,
(18)
8х(0) = -ц8а,
где т = Р
Получим равенство, связывающее вариацию параметра и полупериода автоколебаний. Исходя из равенства (6), получим
8х~ (Т 0) = V (Т 0 - г2)8х+(г2) + г(Т 0 - г2)8а. (19)
Подставим (19) в равенство (17):
п Л I ** * ** * ** 1 п
8хс-(Т0) = V(Т0 -г2)(Р Р 8х(0) + (Р 0 )8а)+ г(Т0 -г2)8а. (20)
Исходя из (9) и (20), вариацию полупериода можно выразить в следующем виде:
5Т0 =
хба.
Т П ** * Т п ** * ** п
ЯТУ(Т0 - 12)Р Рт ХТУ(Т0 -t2)(P б + Q ) + Г(Т0 -12)
ЯТх - (Т 0)
ЯТх - (Т 0)
х
Полученную зависимость можно представить в виде
5Т 0 = ¿бос. (21)
Выражение (21) задаёт вариацию полупериода автоколебаний, обусловленную вариацией параметра системы.
Вариацию периодической траектории можно найти в следующем
виде:
- V^)тбо + г^)5о, при 0 < t < t1,
* I %
бх(t) = IV ^ - ^)5х + (t1) + г ^ -11),при ^ < t < t2,
I * А
V^ - t2 )бх + (t2) + г (t -12), при t2 < t < Т0.
Принимая во внимание равенства (14) и (17), получим
- V^)т + г(t)]5о,при 0 < t <
* / * * \ * 5х(0 = ] V (t -^Д-Р т + б )+ г ^ -t1)J5о, при ^ < t <
-Р Р т + (Р б+ б ))+ г (t-t2)]5о, при t2 < t < Т0. Полученное равенство задаёт вариацию периодического движения, обусловленную изменением параметра.
Пример. На рис. 3 приведена структурная схема автоколебательного следящего привода, содержащего звено с жестким механическим ограничителем.
Рис.3. Структурная схема автоколебательного привода
Параметры математической модели имеют следующие значения: Т1 = 0.07, К1 = К2 = К3 = К4 = =Х2 = 0.4, Т2 = 0.11, В = 0.3,
Т3 = 0.03, Т4 = 0.03.
В качестве варьируемого параметра выступала постоянная времени Т.
Для системы 3 численно был построен фазовый годограф [1], с помощью которого определен период автоколебаний 2Т0 = 0.4910 (с). Качественный вид выходного сигнала со звена с ограничителем соответствует рисунку 3,где ^ = 0.0115(с), 12 = 0.0834(с). Чувствительность периода автоколебаний к варьируемому параметру определялось выражением (21), а
чувствительность периодической траектории - зависимостью (22). Векто-
*
ры г (/) и г ^) рассчитывались числено, для этого одновременно моделировалась исходная и варьируемая система.
На рис. 4, а представлен график изменения полупериода автоколебании в зависимости от вариации параметра, линия пунктиром рассчитана с помощью компьютерного моделирования, сплошная линия определена с использованием коэффициента чувствительности, как видно погрешность не превышает 5 %.
На рис. 4, б показан график функции вариации периодического движения (22) (сплошная линия) и разность между исходной и параметрически возмущённой периодической траектории (линия пунктиром), при изменении параметра на 20 %.
Из рисунка 4(б) видно, что вариация периодической траектории, полученная с использованием предложенного метода, практически точно совпадает с траекторией, полученной в результате численного эксперимента.
0,25 0,24 0,23 0,22 Е- 0,21 0,20 0,19
0,18 0,17
-1-1-1- "I 1,0 1 1 -1---Ах,(0 ь и и 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]_ |_ 1_
\ 1 1 Ж 1 1 1 А 1 1 1 /Г 1 1 1 у» 1_ 1_ 1_ 0
1 1 1 1 1 1 1 уу 1 1 ^ 1 1 1
—1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
6а/а(%)
а
0.1 0.15
б
Рис. 4. Чувствительность полупериода автоколебаний (а) и вариация периодической траектории (б)
Таким образом, представленный в работе метод позволяет оценить степень чувствительности периода автоколебаний и изменение периодической траектории в зависимости от вариации параметра объекта управле-
ния, содержащего нелинейный элемент типа жёсткого механического ограничителя. Представленные в работе результаты могут быть использованы при синтезе робастных релейных систем управления и для установления допусков на параметры системы управления.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №1408-00662).
Список литературы
1. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Исследование периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с ограничениями // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. №2. С. 15-27.
2. Фалдин Н.В. Точный метод исследования релейных систем // Машиностроение (энциклопедия). Т. 1 - 4. Автоматическое управление. Теория / под ред. Е.А. Федосова. М.: Машиностроение, 2000. С. 231 - 253.
Фалдин Николай Васильевич, д-р техн. наук, проф., ivts. tulgu@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Феофилов Сергей Владимирович, д-р техн. наук, проф., ivts. tulgu@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Козырь Андрей Владимирович, магистрант, Kozyr_A_V@mai.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
SENSITIVITY PERIODIC MO TIONS IN RELA Y SYSTEM COMPRISING THE LIMITED OSCILLATOR.
N. V. Faldin, S. V. Feofilov, A. V. Kozyr
The method of the sensitivity analysis periodic motion in a relay control system, containing the limited oscillator, was presented. The method enables to find the sensitivity of the period oscillation and the periodic trajectory.
Key words: relay system, the sensitivity, the limited oscillator, parametric perturbation.
Faldin Nikolay Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor, ivts. tulgu@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Feofilov Sergey Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, ivts. tulgu@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Kozyr Andrey Vladimirovich, student, Kozyr_A_ V@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University.
