Исследование чувствительности режима слежения релейных автоколебательных систем на основе дискретной линеаризации Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Анализ характеристик показывает, что материал магнитопровода работает в режиме глубокого насыщения, что требует в дальнейшем учета распределения поля в материале магнитопровода.

Список литературы

1. Г.П. Елецкая, Н.С. Илюхина, А.П. Панков. Электромеханические системы. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. 214 с.

N.S. Iluhina, A.S. Frolov

CALCULATION OF STATIC AND DYNAMIC CHARACTERISTICS DOUBLE-WOUND ELECTROMAGNETS RETRACTABLE TYPE

The construction of a mathematical model, calculation and analysis of static and dynamic characteristics of two-winding electro-nit retractable type are presented. The schematic diagrams, as well as the equivalent circuit of the magnetic and electric circuits, as well as key assumptions in the construction of non-linear mathematical model are shown.

Key words: electromagnetic retractile type, electromagnetic steering, eddy current, the stray field.

Получено 03.10.11

УДК 681.5.01

С.В. Моржова, асп., (4872)35-38-35 (Россия, Тула, ТулГУ)

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ РЕЖИМА СЛЕЖЕНИЯ РЕЛЕЙНЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Предлагается метод исследования чувствительности режима слежения релейных автоколебательных систем к изменению параметров объектауправления.

Ключевые слова: релейная система, автоколебания, чувствительность, дискретная линеаризация, режим слежения.

Введение

Действительные значения параметров любой системы автоматического управления практически всегда отличаются от расчетных. Это может быть обусловлено неточностью изготовления отдельных элементов системы, изменением их свойств в процессе хранения и эксплуатации, изменением внешних условий и т.д.

Степень влияния отклонения отдельных параметров на различные характеристики системы оценивается посредством чувствительности. Под чувствительностью будем подразумевать некоторый показатель, характе-

ризующий свойство системы изменять режим работы при отклонении того или иного ее параметра от номинального (расчетного) значения.

Важнейшей характеристикой любой системы автоматического управления является точность воспроизведения системой входных сигна-лов. Настоящая статья посвящена разработке метода исследования чувствительности режима слежения релейных автоколебательных систем управления, которые находят широкое применение в технике.

В основу предлагаемого метода положены метод фазового годографа ^ а также метод дискретной линеаризации [2] релейных автоколебательных систем по полезному сигналу, разработанные под руководством профессора Тульского государственного университета Н.В. Фалдина. Именно с помощью фазового годографа весьма удобно определять существующее в релейной системе периодическое движение, а метод дискретной линеаризации позволяет свести довольно трудоемкое исследование режима слежения релейной системы к исследованию режима слежения некоторой линейной дискретной системы. Это, в свою очередь, дает возможность отказаться от исследования режима слежения релейной системы методом компьютерного моделирования, который требует значительных затрат машинного времени и поэтому не применим на этапе синтеза, когда приходится анализировать большое число вариантов.

Вообще говоря, автоколебательный режим работы существенно затрудняет синтез релейных следящих систем, так как к ним, наряду с традиционными требованиями к точности режима слежения, быстродействию и т.п., предъявляются также требования к параметрам автоколебаний (частоте и амплитуде). Тем не менее, предложенный в статье метод в совокуп-ности с методами, рассматриваемыми в [3,4], позволяет свести задачу синтеза релейных автоколебательных следящих систем, малочувствительных к изменению параметров объекта управления, к решению сравнительно несложной задачи конечномерной оптимизации.

Фазовый годограф. Дискретная линеаризация релейной автоколебательной системы

На рис. 1 представлена структурная схема релейной системы с линей -ным объектом управления и двухпозиционным релейным элементом (РЭ).

Релейный

элемент

и Объект

управления

Формирующее

устройство Чг

Рис.1. Структурная схемарелейной системы

Пусть движение системы задается уравнениями

— = Сх + Ви, (1)

Ж

и = Ф(в,А,Ь), в=у-а(х), а(х) = Ятх, (2)

где х - «-мерный вектор состояния; матрицы Си В имеют соответственно размерности п х п и п х 1; функция Ф задается статической характеристикой двухпозиционного релейного элемента (рис. 2); Ят - вектор-строка коэффициентов обратных связей, у - входной сигнал.

Рис. 2. Статическая характеристика двухпозиционного РЭ

Ограничимся рассмотрением простых (в интервале 0 < t < 2Т, где 2Т - период, управление и() имеет только одно переключение) симметричных (х( + Т) = -х^)) периодических движений (рис. 3).

Рис. 3. Вид симметричного периодического движения

Метод фазового годографа представляет собой наиболее удобный и эффективный инструмент исследования периодических движений в релейной системе. Как известно, в автономной (у^) = 0) релейной системе пе-

риодическое движение может быть задано одной (любой) точкой с предельного цикла. Фазовым годографом релейной системы (1), (2)

называется вектор-функция х*(Т), 0 < Т , которая задает значения вектора состояния системы х в симметричном периодическом движении в моменты переключения релейного элемента с минуса на плюс. Способы

74

построения фазового годографа подробно рассмотрены в [1].

Если построен фазовый годограф, то период 2Т0 возникающих в автономной системе (1), (2) автоколебаний определяется из условия переключения двухпозиционного релейного элемента с минуса на плюс:

Ятх*(Т°) = ~Ь, Ят(Сх*(Т0)-ВА)<0. (3)

Кроме того, на этапе синтеза условия (3) позволяют формировать законы управления, обеспечивающие в релейной системе (1), (2) заданные параметры автоколебаний.

Остановимся на изложении сути метода дискретной линеаризации [2]. Рассмотрим симметричную периодическую траекторию релейной системы (1), (2) х^) с периодом 2Т0, а также близкую ей траекторию х^) = х^)+8х^), малое возмущение 8х^) которой обусловлено наличием малого медленноменяющегося входного сигнала у. Далее справедливо уравнение в вариациях:

— = С5х. (4)

Л

С использованием уравнения в вариациях (4), условий непрерывности траекторий х^) и х^), а также условий переключения релейного элемента было получено линейное разностное уравнение

8х((к+1)Т 0) = М8х(кТ 0)+Пу((к+1)Т 0), (5)

где

М =

ґ I _ (X ~ (Т 0) - X + (Т 0))Я т Л

V

Я т х “ (Т 0)

д, N = х (Т )+х 0(Т ), д = у(т0). (6)

Я т х “ (Т 0)

Ct

где У ^) = е - нормированная фундаментальная матрица решений уравнения (4); I - единичная матрица; символами х_ (Т0) и х+ (Т0) обозначены соответственно пределы функции х^) слева и справа в момент переключения РЭ с плюса на минус.

Уравнение (5) представляет собой систему неоднородных линейных

разностных уравнений, которые позволяют рассчитать вариацию 8х(кТ0). Именно с помощью функции 8х^) = х^) - х^) оценивается точность режима слежения, поскольку она выделяет полезную составляющую выходного сигнала, на которую наложены колебания. Правда, 8х(кТ0) является решётчатой функцией, период дискретизации которой равен полупериоду автоколебаний. Однако учитывая большой разнос частот входного сигнала и автоколебаний (который, как правило, реализуется на практике), с помощью функции 8х(кТ0) почти всегда можно определить точность режи-

ма слежения. Далее, как показывает опыт практического использования данного метода, в функции Ъх(кТ0) часто аргумент кТ0 можно заменить на t, т.е. перейти от дискретного времени к непрерывному.

В системах автоматического управления точность режима слежения обычно оценивается с помощью частотных характеристик. Положим в уравнении (5)

у(кТ 0) = с соб(ю кТ 0)+Л бш( ыкТ 0). (7)

Установившееся движение (режим слежения) будем искать в виде

5х(кТ 0) = ЬсоБ(юкТ 0)+Н бш( ыкТ 0). (8)

Подставляя (7) и (8) в уравнение (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармонических функциях, найдём

' 1 ^

Ь(ю) = 18Іп(юТ ) Н-------------— (Iсов(юТ ) - М)

у БІп(юТ ) У

X

-(Iсоб(юТ0)-М^ссоб(юТ0)-М^ + N8Іп(юТ0) ; (9)

Н(® ) = . , ^0> ((М -1 соб(ю Т0))Ь(ю ) + соб(ю Т0) + ё біп(ю Т0)).

ч вт(юТ )

1 б1п(юТ и)

Таким образом, амплитудная и фазовая частотные характеристики А(ю) и ф(ю), а также амплитуда установившейся ошибки слежения е(ю) за сигналом (7) задаются выражениями

А(и) = ^ ^ (,Ю) + Н °(^), (10)

4с2 + Л2

, ч ^ (ю) ^ с

ф(ю) = аг^ в - агС£—, (11)

Н в (ю) а

е(ю) = ^(Ьв (ю) - с)2 + (Нв (ю) - а)2 , (12)

где Ьв (ю) и Нв (ю) - компоненты векторов Ь и Н, соответствующие выходной координате системы.

Исследование чувствительности автоколебаний

Остановимся теперь на кратком изложении метода исследования чувствительности автоколебаний, разработанного в [3], [4]. Рассмотрим релейную систему (1), (2), полагая, что матрицы Си В зависят от некоторого изменяющегося параметра а объекта управления. С учетом этого уравнение (1) примет вид

ах

— = С(а)х + В(а)м . (13)

Л

Анализ периодической траектории х^) с полупериодом Т0, соот-

ветствующеи номинальному значению а 0 параметра а, и периодическои

траектории х^) = х^)+5х^) с полупериодом Т0 +АТ, малое возмущение 5х^) которой обусловлено малым изменением 5а параметра а относительно номинального значения, позволяет получить уравнение в вариациях Л5х

&

-=С(а 0)5х+

^С(а о) х , 5В(а о) ^

"А. \ 14

5а.

(14)

5а 5а

С использованием уравнения в вариациях (14) нетрудно установить аналитическую зависимость, задающую в явном виде коэффициент чувствительности полупериодаавтоколебаний [3], [4]:

дТ

к Т

да

а=ао

Я

У(Т 0)

I+У (Т 0) -

х ~ (Т 0)Я т У (Т 0)' Я т х - (Т 0)

-1

х ~ (Т 0)Я т Я т х - (Т 0)

.(Т 0)

Я т х - (Т 0)

Здесь и далее V^) = eC(ao)t - нормированная фундаментальная матрица решений уравнения (14); г^) - решение уравнения (14) при нулевых на-

— 0 * 0 чальных условиях и 5а = 1; х (Т ) = -С(а0)х (Т )+В(а0)А; I - единич-

(15)

ная матрица.

Т

Коэффициент чувствительности Ка позволяет с точностью до ве-

личин порядка малости не выше первого связать изменение полупериода автоколебаний АТ с отклонением 5а параметра а при помощи равенства

(16)

АТ = КТ5а .

Исследование чувствительности режима слежения

Изложенные выше результаты позволяют разработать эффективный метод исследования чувствительности режима слежения системы. Это, в свою очередь, делает возможным выполнять синтез и оптимизацию системы, задаваясь ограничениями на чувствительность режима слежения. Очевидно, что система будет стабильно работать, если ее чувствительность к изменению параметров объекта управления минимальна. Поэтому на этапе синтеза целесообразно накладывать ограничения на величину чувствительности.

Вновь рассмотрим релейную систему (13), (2), полагая, что при номинальном значении а 0 параметра а в системе имеет место устойчивое

периодическое решение х^) с периодом 2Т0. Если же наблюдается малое отклонение 5а параметра а от номинального значения, то в системе будет

I

I

существовать периодическое решение х ^) = х^)+5х^) с периодом 2(Т 0 +АТ).

Очевидно, при номинальном значении параметра а линеаризующее разностное уравнение для указанной системы задается равенством

8х((к+1)Т 0) = М(а 0)5х(кТ 0)+N(а 0) у ((к+1)Т 0). (17)

В случае же, когда имеет место малое возмущение 5а параметра а, линеаризующее разностное уравнение с точностью до величин порядка малости не выше первого примет вид

5х ((к+1)(Т 0 + К Т 5а)) = М (а 0 + 5а)5х (к (Т 0 + К £ 5а))+

л т (18)

+ N(a 0 +5а) у ((к+1)(Т 0 + К £ 5а)).

Вычитая (17) из (18) и принимая, как и ранее, во внимание только величины порядка малости не выше первого, получим равенство, из которого, разделив его на 5а и положив 5а ^ 0, в соответствии с определением производной найдем

58х((к+1)Т 0) = М(а 0) 5х(кГ 0) _8х ((к+1)Г 0) к Т.

да

да

да

+

+

у ((к+1)Т 0)+N(a о) у ((к+1)Т 0) КТ.

да

(19)

Уравнение (19) задает решетчатую функцию д^х(кТ ), КОТОрая в работе

да

рассматривается как дискретная чувствительность. Решетчатая функция 5х(кТ0) определяется уравнением (5).

ЭМ(а0) ^N(00) ^

Остановимся на нахождении производных ----------— и -------—. По

определению производной

1

5М(а0)

да

= ІІШ

3а^0

да

М(а0 + 8а) - М(а0) 8а

да

= 1ІШ —

8а^° 8а

(Ґ

(х- (Т° + Кта8а) - х+ (Т° + К»)ЯТ

Ят х - (Т0 + Кта8а)

хе

С(а0 )+ЭС(Ио)га1(Т 0 +КТ,За) (

да 1

(х - (Т0) - х+ (Т 0))Ят Ятх-(Т0)

,С(«о)Т 0

аN(ао) ^ 1ІШ N(00 +5а)-N(ао)

= 1ІШ —

5а^0 5а

да 5а^0 5а

~ +,

Ґ-'-ґгт 0, ^То Ч ~ +ҐГГ 0, ^То Ч .-ггт 0ч .+,гг 0Л

х(Ти + К^5а)-(Ти + К^5а) х(Ти)-х+(Ти)

Я т х “ (Т 0 + К Т 5а)

Я т х “ (Т 0)

Принимая во внимание величины, имеющие порядок малости не выше первого, можно записать

(20)

(21) где

х “ (Т 0 + К Т 5а) = х “ (Т 0)+К а5а; х+(Т 0 + К Т 5а) = х+(Т 0)+К ^5а,

К а С(^ 0)

и

I+у(Т 0) _ х - (Т 0)Я т У(Т 0)'

Я т х “ (Т 0)

I+У(Т 0) _ х - (Т 0)Я т У(Т 0)'

Я т х “ (Т 0)

-1

г(Т 0) -5С(а 0) х*(Т 0) +5В(а 0) A

да

да

-1

Г(Т0) ^С(а0)х*(Т0) дВ(а0)A

да

да

коэффициенты чувствительности векторов скорости х {Т) и х+(Т) к

изменению параметра а.

Окончательно получим

ЭМ(а 0) да

■-ҐГГ 0\ -Л (гг 0\\т» т (пТт^ -

Т/т»Т • - (гг 0'

(х- Т) - х Т ))Я (як -)+(К К - )Я (яхТ))

X еС(а0)Т 0 +

(Я т х “ (Т 0))2

х ~ (Т 0) - х + (Т 0) Я т х “ (Т 0)

X

0;

^(а 0) да

"(К -- К І )(Я т х - (Т 0))+(х+(Т 0) - х - (Т 0))(Я т К - )Л

Матрица 0 имеет вид

k

0 =£

і=0

I (С(а0)Т ..I=0

(Я т х “ (Т 0))2

Т 0 + С(а 0) КТ 1(С(а 0)Т 0)1

да У

[(і+1)!]

1-1

к = .

Для ускорения расчета целесообразно ограничиться к = 6.

Выше из (5) с учетом (7) было найдено решение в виде (8). Решение уравнения (18) будем искать в аналогичном виде, т.е. полагая

ддх(кТ ) _]^С08(юкТ0)+Шт(ыкТ0) . да

(22)

В этом случае

а5х((к+1)Т -1=ЬсоБ(юкТ 0 +юТ 0)+Шт( акТ 0 +юТ 0). (23)

да

Кроме того,

I

y((k+1)T 0) = с cos(rokT 0 + roT 0)+d sin( rnkT 0 +roT 0); (24)

y (kT 0) = -^si^ rnkT 0)+d<»cos(<»kT 0); (25)

y ((k+1)T 0) ^^si^ <$kT 0 + roT 0)+drocos(<»kT 0 +roT 0); (26)

Sx(kT 0) = A cos(<»kT 0)+Bsin( <$kT 0); (27)

Sx (kT 0) = - Arosin( <$kT 0)+Brocos(<»kT 0); (28)

Sx ((k+1)T 0) = -A<»sin( rnkT 0)cos(<»T 0) - A<»cos(<»kT 0)sin( roT 0)+ + Brocos(rokT 0)cos(<»T 0) - Brosin( rnkT 0)sin( roT 0).

(29)

Таким образом, подставляя (23) - (29) в уравнение (19) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармонических функциях, найдем

( ( і ^V1

Isin qT 0 л-----^(M(a 0) - IcoswT 0)2

V v sinqT jj

L(q) =

f , f

X

1 -(M(a 0) -1 coswT 0)

V

sin qT

0

(Asin qT 0 - BcoswT 0)qKJ + gM(a 0) A+

5a 0

+N(d coswT 0 - с sin qT 0)qK(^ + ^N(a 0) (с coswT+d sin qT) |+

da J

+(A coswT 0 + Bsin qT 0)fflKд +^M(a 0) B - N(a 0)(с coswT 0 + d sin qT °)x

da

xqKJ + gN(a 0) (d coswT 0 - csin qT 0)\ (30)

5a )

H(ю) = ——1—-((M(a0) -1 cos^T0)L(ю) + (A sin coT0 - B cos^T°)aKTa +

0

+ 5M{a0) a + N(«0)(d cosaT0 - c sin oT°)aKTa + da

+ 5N(o°)(c cos^T0 + d sin coT°)']. (31)

da J

Итак, матрицы L и H задают дискретную чувствительность реакции системы при отработке гармонического сигнала. Аналогичные соотношения можно получить для любого типового входного сигнала.

Заключение. Полученные результаты позволяют весьма просто анализировать чувствительность режима слежения релейной системы к изменению параметров объекта управления. Использование предлагаемого метода на этапе синтеза дает возможность свести задачу проектирования малочувствительных к изменению параметров релейных систем к решению сравнительно несложной задачи конечномерной оптимизации. Следует иметь в виду, что если при оптимизации системы не контролировать ее чувствительность, то можно получить систему, которая (из-за высокой чувствительности) оказывается неработоспособной.

Список литературы

1. Фалдин Н.В. Релейные системы автоматического управления // Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / под. ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. С. 573 - 636.

2. Фалдин Н.В., Моржов А.В. Дискретная линеаризация по полезному сигналу релейных автоколебательных систем управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. №11. С. 13 - 19.

3. Фалдин Н.В., Моржов А.В., Шведова С.В. Чувствительность автоколебаний в релейных системах к изменению параметров объекта управления // Вестник ТулГУ. Сер. Системы управления. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 166 - 172.

4. Моржова С.В., Фалдин Н.В. Методы исследования чувствительности автоколебаний в релейных системах управления к изменению параметров объекта управления // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: труды XII Международной конференции (Самара, 2010 г.). Самара: Самарский научный центр РАН, 2010. С. 398 - 403.

5.V. Morzhova

RESEARCH OF SENSITIVITY OF THE RELAY AUTO-OSCILLATION SYSTEMS TRACKING MODE ON THE BASIS OF DISCRETE LINEARIZATION

The method of research of relay auto-oscillation system tracking mode sensitivity to the change ofplant parameters is proposed.

Key words: relay system, auto-oscillations, sensitivity, discrete linearization, a tracking

mode.

Получено 03.10.11

УДК 629.3.01

Д.О. Феофилов, асп., (4872) 55-62-34, і aristarh@mail.ru,

В.В. Котов, д-р техн. наук, проф., (4872) 33-23-32, vkotov@list.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

МЕТОД КОМПОЗИЦИИ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ В ОБЩУЮ МОДЕЛЬ МЕХАТРОННОЙ СИСТЕМЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ

Рассмотрена задача построения библиотеки программных компонентов, позволяющих динамически синтезировать модели мехатронных систем произвольной структуры. Предложен вариант реализации подобной библиотеки для моделирования подвижных наземных объектов методом композиции моделей отдельных элементов.

Ключевые слова: мехатронная система, математическая модель, метод композиции.

Математическое моделирование сложных мехатронных систем является одним из актуальных направлений современных научных исследований, позволяющих выполнять анализ функционирования систем с раз-

81