Повышение помехоустойчивости цифровыхфазоизмерительных устройств для исследованияэлектродинамических процессов на тяговых подстанцияхжелезнодорожного транспорта Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.317.77

В. В. Петров, К. С. Петров

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация

ПОВЫШЕНИЕ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ЦИФРОВЫХ ФАЗОИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ТЯГОВЫХ ПОДСТАНЦИЯХ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Аннотация. В работе выполнено исследование формы вершины унимодальной функции плотности вероятности (эксцесса) на выходе нелинейного преобразователя «фазовый сдвиг - код», который является наиболее важным параметром для оценки условий нахождения моды этой функции. Для повышения точности оценки сдвигов фаз при наличии высокого уровня случайных помех определена не только качественная, но и количественная зависимость эксцесса функции плотности вероятности на выходе нелинейного преобразователя «фазовый сдвиг - код» от среднеквадратичного отклонения (СКО) флюктуации фазы сигнала на его входе. Предложена математическая модель функции распределения на выходе преобразователя «фазовый сдвиг - код» для исследования и реализации алгоритмов повышения помехоустойчивости измерения фазовых сдвигов между гармоническими составляющими тока и напряжения в тяговых сетях электроснабжения железнодорожного транспорта.

Ключевые слова: измерение, фаза, электроснабжение, нелинейность, стохастическое моделирование, помехоустойчивость, вероятность, мода, дисперсия, эксцесс.

Vladimir V. Petrov, Konstantin S. Petrov

Omsk State Transport University (OSTU), Omsk, the Russian Federation

IMPROVEMENT OF NOISE IMMUNITY OF DIGITAL PHASE-MEASURING DEVICES FOR THE STUDY OF ELECTRODYNAMIC PROCESSES IN TRACTION SUBSTATIONS OF RAILWAY TRANSPORT

Abstract. In the work completed a study of shape vertices a unimodel probability density function (kurtosis) on the output of the nonlinear converter «phase shift - code, which is the most important parameter for evaluating conditions of finding mode to this function. To increase the accuracy of assessment shifts phases when there is high level of random noise is defined not only quality, but also quantitative dependence of the kurtosis probability density function on the output of the nonlinear converter «phase shift - code» of Standard deviation phase fluctuations of the signal at its input. The mathematical model of the distribution function on the output of the converter «phase shift - code» for research and implementation of algorithms improve noise immunity measure phase shifts between harmonic components of voltage and current in traction power supply rail transport networks.

Keywords: measurement, phase, power supply, nonlinearity, stochastic simulation, noise immunity, probability, mode, variance, kurtosis.

Важную роль в практических исследованиях электромагнитной совместимости и электродинамических процессов на тяговых подстанциях железнодорожного транспорта играют цифровые фазоизмерительные устройства для оценки фазовых соотношений между различными гармоническими составляющими токов и напряжений в цепях питания мощных инвертеров и заземляющих устройствах [1]. При наличии несимметричности и резко переменного характера тяговой нагрузки, нестабильного контакта токоприемников электровозов, применения режимов рекуперативного торможения и мощных нелинейных импульсных преобразователей присутствует широкий спектр электромагнитных помех, которые негативно влияют на точность результатов измерений сдвига фаз.

В работах [2 - 4] описан помехоустойчивый алгоритм измерения сдвига фаз в указанных условиях и выполнен анализ предельно допустимого уровня помех, при котором предложенный способ сохраняет работоспособность. В этих статьях описан способ измерения, который основан на нахождении моды функции плотности вероятности мгновенных значений сдви-

гов фаз, сформированной за большое число периодов входных сигналов. Предложенный в статье [2] способ измерения сдвига фаз в диапазоне измерения ±п, который исключает влияние нелинейности статической характеристики преобразователя «фазовый сдвиг - код (ПФСК) цифрового фазометра», исследован при условии нормального закона распределения плотности вероятности на входе фазоизмерительного устройства [5]. Выражение, описывающее нелинейность такой измерительной характеристики ПФСК, имеет вид:

y = х - 2лп, при п = int(x / л), (1)

где int - операция выделения целой части от результата деления х/п, а диапазон сдвига фаз на выходе ПФСК всегда находится в пределах - п < y < + п [6].

Нелинейность (1) подобна периодическому графику процесса переполнения разрядной сетки ЭВМ при работе с форматом целых чисел со знаком, когда от максимального положительного числа происходит скачок к максимальному отрицательному значению, или наоборот. Такой вид нелинейности (типа «косозубая пила») обычно приводит к значительным искажениям показаний обычного цифрового фазоизмерительного устройства, использующего алгоритм усреднения сдвигов фаз за большое число периодов входного сигнала.

Графическая интерпретация процесса искажения функции плотности вероятности Гаусса px нелинейной периодической передаточной характеристикой ПФСК приведена на рисунке 1.

Jh

371 -271 -7t 0 я 271 ЗТЕ X

"7t О ТЕ У -71 О К У "ТЕ О ТЕ У -ТЕ О 7Е У

Рисунок 1 - Принцип влияния нелинейности статической характеристики ПФСК цифрового фазоизмерительного устройства на форму функции плотности вероятности ру на выходе ПФСК

На рисунке 1 обозначено: рх - функция плотности вероятности на входе ПФСК; ру -функция плотности вероятности на выходе ПФСК; ру(тах) - максимальное значение плотности вероятности на выходе ПФСК; ру(Шт) - минимальное значение плотности вероятности на выходе ПФСК; Л(шах) - максимальное значение порога для идентификации значения моды функции ру при больших флюктуациях фазы сигнала.

Целью данной работы является исследование эксцесса (формы вершины) функции плотности вероятности ру на выходе ПФСК, который в основном и определяет условия нахождения моды этой функции. Для повышения точности оценки сдвигов фаз при наличии высо-

кого уровня случайных помех в первую очередь необходимо определить зависимость коэффициента эксцесса (параметр формы вершины) функции ру от ох (СКО фазы сигнала на входе ПФСК). Для этого рассмотрим случай, когда на входе ПФСК, имеющего периодический ограниченный линейный диапазон измерительной характеристики в пределах ±п, функция плотности вероятности сдвигов фаз рх соответствует нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием:

1 -4

Рх г2а\ (2)

а хл/ 2к

При этом нелинейная характеристика ПФСК (1) приводит к наложению «хвостов» рх, превышающих пределы ±п, на центральную часть функции плотности вероятности ру, которая всегда находится в пределах -п < у < +п [7]. Учитывая это, функция плотности вероятности на выходе ПФСК с периодической нелинейной статической характеристикой может быть описана выражением

ад

Ру = 1 Рх (у + 2яи), (3)

п=-со

где х = у + 2лп - уравнение п-й ветви обратной зависимости х(у) ПФСК, полученной из выражения (1). Подставив уравнение (2) в формулу (3), найдем общее выражение функции плотности вероятности на выходе ПФСК:

1 ад - (у+^П)2

р,=^2— I« 2а2 ■ (4)

л/2лах п=-ад

Практическая реализация алгоритма нахождения моды (максимального значения функции ру) в реальном времени и в условиях высокого уровня случайных помех представляет весьма сложную задачу. В статье [2] предлагается вычислять первую разность функции ру, (т. е. фактически находить нулевое значение первой производной йру(у)/йу) при условии, что разность между максимальным и минимальным значениями функции ру больше заданного порога (т. е. ру(тах) - ру(тш) > Л(зад)) [4]. Чувствительность этого алгоритма существенно зависит от скорости изменения функции ру около ее моды, что определяется таким параметром, как эксцесс.

На рисунке 2 наглядно показано влияние СКО функции рх на входе ПФСК на вид функции ру на выходе ПФСК, т. е. представлена визуализация процесса снижения размаха и остроконечности вершины этой функции при увеличении ох.

Рисунок 2 демонстрирует качественную картину, когда эксцесс функции ру существенно снижается при увеличении ох, но для построения математической модели этого процесса необходимо получить количественную зависимость изменения коэффициента эксцесса ру от СКО функции рх.

Так как функция (2) не интегрируема в аналитическом виде [8], то все дальнейшие вычисления будем реализовывать на основе численных методов с дискретным представлением функций, а результаты получим в табличном виде, на основе которых можно построить искомую функциональную зависимость. Выражение для нахождения к-го начального момента дискретной функции распределения [9] имеет вид:

т

^ = 1 (х )кр, ■ (5)

1=- т

Первый начальный момент (математическое ожидание) дискретных функций распределения р^ и ру1 на входе и выходе ПФСК можно определить так:

т

^ х1 = Е х>р*; (6)

1=- т т

^ у1 = Е у>ру. (7)

1=-т

Рисунок 2 - Влияние СКО функции рх на входе ПФСК в цифровом фазоизмерительном устройстве на форму функции плотности вероятности ру на выходе ПФСК: а - функция ру при сх = 1; б - функцияру при сх = 2; в - функцияру при сх = 2,5; г - функцияру при сх = 3

Учитывая, что нечетные начальные моменты (ц1 - математическое ожидание и ц3 -асимметрия) симметричных относительно оси ординат дискретных функций рх1 и ру1 равны нулю, следует отметить, что они не несут для исследуемой модели важной информации. Для оценки степени сглаженности вершины этих функций достаточно найти в данном случае только четные моменты - ц2 (дисперсию) и (эксцесс). Вычисление этих начальных моментов дискретных функций распределения рх1 и ру- можно выполнить на основе следующих выражений:

т

^ = £ (х )2рх1 ; (8)

т

^у2 = Ё (у- )2ру1. (9)

1--т

С учетом дискретного представления функций рх1 и ру1 подставим в формулы (8) и (9) выражения (2) и (4) соответственно, поменяем порядок суммирования и получим окончательные формулы для вычисления вторых начальных моментов (дисперсий) функций плотности вероятности на входе и выходе ПФСК:

л х2

Л т —V йх2 (х )2е2а ; ( 10 )

у12КО х ,=— т

^ { л, Л-О-П

й у 2ЕЕ(у*)

2е 2а2 , (11)

где Аф = п/т - коэффициент, обеспечивающий представление значения интервала квантования функций рх, иру, и результата измерения фазоизмерительного устройства в радианах.

Выполняя аналогичные действия, находим выражения для вычисления четвертых начальных моментов (эксцессов) функций плотности вероятности рх1 и ру1 :

л х2 Л т --2

ЛФ V/- г-Л^ 2а?

йх4 (х* )4е 2а?; (12)

л/ 2ках ¡=—т

А( у,+2пп)г

ю т — —-—

й У4 ЕЕ (у,)4е * . (13)

Наиболее информативным параметром для оценки степени «заострения» или «гладкости» вершины функции плотности вероятности является относительное значение у (безразмерный коэффициент эксцесса), величина которого не зависит от дисперсии

1 = Ц — 3, (14)

Й2

причем для нормального закона распределения этот коэффициент по определению всегда равен нулю (т. е. теоретически для функции плотности вероятности Гаусса уг = 0).

Для вычисления значений ц2, ц4 и у необходимо в первую очередь определиться с пределами суммирования (значением параметра п) в выражениях (10) - (13), так как при программной реализации алгоритмов, использующих численные методы, необходимо задавать всегда конкретные значения параметров функций. Интервал квантования дискретных функций плотности вероятности рх, и ру1 на всех этапах вычислений принимаем одинаковый -Аф = п/т при т = 360, а значение п определим из условия обеспечения требуемой точности вычислений с учетом ох (СКО фазы на входе ПФСК). Результаты вычисления параметров дискретной функции рх, с применением разработанной программы при различных значениях диапазона суммирования и различных СКО входного сигнала представлены в таблице 1. На основе полученных результатов можно оценить абсолютную погрешность вычисления коэффициентов эксцесса (ух) по формуле 5 = | ух - уг | и сделать вывод о том, что разработанная программа гарантирует точность вычислений 5 < 0,0001 (до четвертого знака после запятой) даже при значении п = 2. Таким образом, вполне достаточно диапазона суммирования значений функции плотности вероятности рх на входе ПФСК от - 5п до +5п, что соответствует диапазону дискретных значений функции рх1 -5т <г< +5т.

Определившись с необходимым диапазоном суммирования значений функции рх1 (-5т < г < +5т) на основе сравнения с известными (теоретическими) параметрами этой функции, реализация которого гарантирует достаточную точность вычисления, можно приступить к нахождению параметров дискретной функции плотности вероятности ру на выходе ПФСК,

причем относительное значение порога достоверности идентификации определяем как отношение: Иу = ( Ру(тах) - Ру(тш) ) / Ру(тах) .

Таблица 1 - Зависимость параметров начальных моментов и абсолютной погрешности 5х результатов вычисления коэффициентов эксцесса у от диапазона суммирования функции рх и значений параметра ох

Диапазон суммирования Параметр функции рх СКО функции плотности ве юятности рх на входе ПФСК

Ох = 1 Ох = 2 ох = 2,5 Ох = 3

От 2п до +2п (—2т < / < +2т) Цх1 -4,0069е-018 1,0839е-016 -7,7266е-017 9,5674е-018

Цх2 1,0000 3,9217 5,6449 7,0013

Цх4 3,0000 44,2267 84,8628 122,8651

Ух2 -4,7604е-007 -0,1243 -0,3368 -0,4935

§х2 0,0000 0,1243 0,3368 0,4935

От 3п до +3п (—3т < / < +3т) Цх1 1,9322е-017 -6,8019е-019 2,0280е-017 5,4816е-017

Цх2 1,0000 3,9998 6,2337 8,8234

Цх4 3,0000 47,9772 115,5188 223,8651

1х3 4,8850е-015 -0,0011 -0,0272 -0.1245

§х3 0,0000 0,0011 0,0272 0,1245

От 4п до +4п (-4т < 1 < +4т) Цх1 1,9991е-017 4,9826е-017 -1,5227е-017 -8,7768е-017

Цх2 1,0000 4,0000 6,2499 8,9951

Цх4 3,0000 48,0000 117,1731 242,1363

Ух4 6,2172е-015 -4,8212е-007 -2,8763е-004 -0,0074

§х4 0,0000 0,0000 0,0287 0,0074

От 5п до +5п (-5т < 1 < +5т) Цх1 2,4062е-017 1,2618е-016 -1,6189е-017 -1,7800е-016

Цх2 1,0000 4,0000 6,2500 9,0000

Цх4 3,0000 48,0000 117,1875 242,9886

Ух5 6,2172е-015 -1,4575е-011 -4,8334е-007 -1,1235е-004

§х5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001

Теоретический от — да до + да Мт1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Йт2 1,0000 4,0000 6,2500 9,0000

Н-т4 3,0000 48,0000 117,1875 243,0000

Уг 0 0 0 0

Используя выражения, полученные на основе конкретизации формул (7), (11), (13) и нелинейной характеристики ПФСК (1), а также с учетом выбранного диапазона суммирования определим первый начальный момент функции распределения плотности вероятности ру{.

Л„

^ у1 =

1а,

"[С(я=0) + С(п=1) + С(п=-1) + С(п=2) + С( п=-2) )

(15)

т -(^ )2

С( п =0) =

' т т -(У1 + 21)2

С( п =1) =

' 1 -(У'-21)

=-1) = -Ту*

= (Л + 41)2 т--

С( п = 2) = /=-т

т (У> - 41) т--

С( п =-2) = -^уе 2°2 1=- т

(16)

2

Теоретически момент цу1 должен быть равен нулю, но из-за ограниченного числа п = 2 (вместо бесконечности) и накопления ошибок округления в процессе многократного суммирования дискретных значений функций этот параметр немного отличается от нуля, что косвенно можно использовать для оценки точности вычислений остальных параметров функции ру, на выходе ПФСК.

Аналогично определим второй и четвертый начальные моменты функции распределения плотности вероятности на выходе ПФСК (ру):

_ А, ц у 2=;&,

^ [%*) + Ап=1) + ^=-1) + + ^(п=_2)), (17)

0(п= 0) = Е у

(у, )2 2е 2а2

(у, + 2л)2

°(п=1) = Е у

2е 2а

°(п=-1) = Е у

(у, - 2л)2

2е 2а2

(у, + 4 л)2

П(п=2) = Е У

2е 2а

°(п=-2) = Е У

(у, - 4 л)2

2е 2а2

(18)

А„

■ [Е(п=0) + Е(п=1) + Е(п=-1) + Е(п=2) + Е(п=-2) ) ,

^у4 /Г— (п=0) 1 ^(п=1) 1 ^(п=-1) 1 ^(п=2) 1 ^(п=-2);

л/2ла х

(19)

1/1

Е(п=0) = Е у>

(у, )2 4 2а2

е х

(у, + 2л)2

Е п=1) = Е у

, = - т т

Е п=-1) = Е у

4„ 2а X

(у,-2л)2

4 2а

е

Еп=2) = Е у

,=-т т

Еп=-2) = Е у

(у, + 4л)2 4„ 2а2

( у, -4л)2

4 2а

е

(20)

Результаты вычисления параметров дискретной функции ру, с применением разработанной программы при различных значениях СКО входного сигнала представлены в таблице 2.

г = -т

г=-т

<

1 = - т

г=-т

г=-т

,=-т

<

г=-т

г=-т

Таблица 2 - Зависимость значений начальных моментов и коэффициента эксцесса уу функции ру на выходе ПФСК от ох на входе цифрового фазоизмерительного устройства

Параметр функции ру СКО функции распределения плотности вероятности рх на входе ПФСК

Ох = 1 ,5 1 1 о" Ох = 2 ох = 2,5 Ох = 3

ру(тах) 0,3989 0,2660 0,2023 0,1731 0,1627

ру(тт) 0,0057 0,0593 0,1162 0,1452 0,1556

Ну 0,9856 0,7769 0,4258 0,1615 0,0434

Му1 -0,0031 -0,0033 -0,0064 -0,0080 -0,0085

Ду2 0,9947 2,0075 2,7589 3,1267 3,2589

Ду4 2,8866 9,6683 15,3979 18,2467 19,2719

Ту -0,0827 -0,6009 -0,9771 -1,1336 -1,1854

На основе представленных в таблице 2 результатов вычислений можно сделать следующие выводы.

1) Коэффициент эксцесса уу функции ру на выходе ПФСК зависит от значения СКО функции плотности вероятности рх на входе ПФСК, что является следствием нелинейности статической характеристики реального ПФСК, входящего в состав цифрового фазоизмерительного устройства (в отличие от коэффициента ух, значение которого не зависит от ох).

2) Коэффициент эксцесса (уу = -1,1854 при ох = 3) функции ру имеет отрицательный знак, поэтому при больших значениях ох вершина ру в окрестностях моды этой функции становится более плоской, а уровень порога достоверности (Ну = 0,0434) существенно снижается. Эти обстоятельства усложняют задачу поиска моды в условиях высокого уровня помех и требуют применения более точной математической модели процесса на выходе ПФСК и более надежных алгоритмов идентификации.

3) Если внимательно рассмотреть график функции ру в пределах ±2п, представленный на рисунке 3, то следует заметить, что уже при ох > 1 в качестве модели функции ру можно использовать периодическую функцию типа Всоб2(х)+С, что существенно сужает спектральный состав ее характеристической функции [10] и свидетельствует о перспективности применения такой модели для повышения точности идентификации моды ру, а следовательно, и для повышения точности измерения сдвига фаз в условиях высокого уровня помех.

^- Линейная (идеальная)характеристика пфск

-6 -4 -2 0 2 4 6

х, рад. -ч-

Рисунок 3 - Нелинейная характеристика реального ПФСК, имеющего две точки разрыва, и функция плотности вероятности ру на входе ПФСК, которую можно заменить функцией Всоб2(х)+С в диапазоне ±п

4) Для повышения точности определения моды функции ру (т. е. результата измерения) в

описанных условиях следует применять интегральные методы идентификации моды, в основе которых лежит спектральный или корреляционный анализ.

Список литературы

1. Малютин, А. Г. Архитектурные аспекты реализации корпоративной информационной системы мониторинга и учета ресурсов [Текст] / А. Г. Малютин, А. А. Лаврухин, А. С. Оки-шев // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2017. - № 4 (32). -С. 130 - 141.

2. Петров, В. В. Измерение сдвигов фаз в тяговых сетях переменного тока железнодорожного транспорта [Текст] / В. В. Петров, А. Т. Когут, А. А. Лаврухин // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2013. - № 4 (16). - С. 69 - 77.

3. Смалев, С. Н. Цифровая фазоизмерительная система в условиях приема наложенных сигналов [Текст] / С. Н. Смалев // Информационные и управляющие системы на транспорте и в промышленности: Материалы всерос. науч.-техн. интернет-конференции с междунар. участием / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2014. - С. 135 - 140.

4. Петров, В. В. Применение помехоустойчивого способа измерения сдвига фаз в тяговых сетях электроснабжения железнодорожного транспорта [Текст] / В. В. Петров, А. Т. Когут, А. А. Лаврухин // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2014. -№ 4 (20). - С. 105 - 111.

5. Петров, В. В. Фазовые измерения в условиях высокого уровня случайных помех [Текст] / В. В. Петров // Информационные и управляющие системы на транспорте и в промышленности: Материалы всерос. науч.-техн. интернет-конференции с междунар. участием / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2014. - С. 116 - 123.

6. Тихонов, В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов [Текст] / В. И. Тихонов. - М.: Радио и связь, 1986. - 296 с.

7. Петров, В. В. Оценка помехоустойчивости измерительных устройств при исследовании фазовых соотношений в тяговых сетях переменного тока железнодорожного транспорта [Текст] / В. В. Петров // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. -2017. - № 2 (30). - С. 113 - 123.

8. Прудников, А. П. Интегралы и ряды [Текст] / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. - М.: Наука, 1981. - 797 с.

9. Левин, Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники [Текст] / Б. Р. Левин. -М.: Радио и связь, 1989. - 656 с.

10. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1973. - 831 с.

References

1. Malyutin A. G., Lavrukhin A. A., Okihev A. S. Architectural aspects of the implementation of the corporate information system for monitoring and resources accounting [Architecturnye as-pecty realizatsii corporatevnoy informatsionnoy sistemy monitoringa i ucheta resursov]. Izvestiia Transsiba - The journal of Transsib Railway Studies, 2017, no. 4 (16), pp. 130 - 141.

2. Petrov V. V., Kogut A. T., Lavrukhin A. A. Measurement of phase shifts in traction networks AC railway trans-goad transport [Izmerenie sdvigov faz v tjagovykh setjakh peremennogo toka zhelezno-dorozhnogo transporta]. Izvestiia Transsiba - The journal of Transsib Railway Studies,, 2013, no. 4 (16), pp. 69 - 77.

3. Smalev S. N. Digital fazoizmeritelnaja system in conditions of reception signals imposed [Tsifrovaja fazoizmeritelnaya sistema v uslovijah priema nalozhennykh signalov]. Materialy vserossi-jiskoi nauchno-tekhnicheskoi internet-konferentsii s mezdunarodnym uchastiem «Informatsionnye i upravljyutshie sistemy na transporte i v promyshlennosti» (Information and control systems in transport and in industry: Materials of all-Russian scientific and technical conference with international participation. Omsk State. University communications). Omsk, 2014. pp. 135 - 140.

4. Petrov V. V., Kogut A. T., Lavrukhin A. A. Application of noise measurement method of phase shift in traction power supply rail transport networks [Primenenie pomekhoustoichivogo cposo-ba izmerenia sdviga faz v tyagovykh setyakh elektrosnabzhenia zhelezno-dorozhnogo transporta]. Izvestiia Transsiba - The journal of Transsib Railway Studies, 2014, no. 4 (20), pp. 105 - 111.

5. Petrov V. V. Phase measurement with high level of random noise [Fazovye izmereniya v usloviyakh vysokogo urovnya sluchajnykh pomekh]. Materialy vserossijiskoi nauchno-tekhnicheskoi internet-konferentsii s mezdunarodnym uchastiem «Informatsionnye i upravljyutshie sistemy na transporte i v promyshlennosti» (Information and control systems in transport and in industry: Materials of all-Russian scientific and technical conference with international participation. Omsk State. University communications). Omsk, 2014. pp. 116 - 123.

6. Tikhonov V. I. Nelineinye preobrazovaniya sluchainykh protsessov (Nonlinear transformations of stochastic processes). Moscow: Radio i svjaz1, 1986, 296 p.

7. Petrov V. V. Evaluation of noise immunity measurement devices in the study of phase correlations in traction networks AC railway transport. [Otsenka pomekhoustoychivosti izmeritelnykh ustroistv pri issledovanii fazovykh sootnosheniy v tiagovykh setiakh peremennogo toka zhelezno-dorozhnogo transporta]. Izvestiia Transsiba - The journal of Transsib Railway Studies, 2017, no. 2(30), pp. 113 - 123.

8. Prudnikov A. P., Brychkov Iu. A., Marichev O. I. Integraly i riady (Integrals and series). Moscow: Nauka, 1981, 797 p.

9. Levin B. R. Teoreticheskie osnovy statisticheskoi radiotekhniki (Theoretical bases of statisti-cal-radioengineering). Moscow: Radio i svjaz1, 1989, 656 p.

10. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlia nauchnykh rabotnikov i inzhenerov (Mathematical Handbook for Scientists and Engineers). Moscow: Nauka, 1973, 831 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Петров Владимир Владимирович

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).

Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.

Кандидат технических наук, старший научный сотрудник, доцент кафедры «Автоматика и системы управления», ОмГУПС.

Тел.: +7 (3812) 31-05-89.

E-mail: PetrovVV@omgups.ru

Петров Константин Сергеевич

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).

Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.

Студент ОмГУПСа, гр.15а.

Тел.: (3812) 31-06-45.

E-mail: MechanicalFaculty@OmGUPS.ru

БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ

Петров, В. В. Повышение помехоустойчивости цифровых фазоизмерительных устройств для исследования электродинамических процессов на тяговых подстанциях железнодорожного транспорта [Текст] / В. В. Петров, К. С. Петров // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2019. № 1 (37). - С. 112 - 121.

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Petrov Vladimir Vladimirovich

Omsk State Transport University (OSTU). 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russian Federation. Candidate of Technical Sciences, Chief scientific worker, Associate Professor of the department «Automation and control systems», OSTU. Phone: +7 (3812) 31-05-89. E-mail: PetrovVV@omgups.ru

Petrov Konstantin Sergeevich

Omsk State Transport Univirsity (OSTU).

35, Marx st., Omsk, 644046, Russian Federation.

The student OSTU, Gr. 15a.

Phone: (3812) ) 31-06-45.

E-mail: MechanicalFaculty@OmGUPS.ru

BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION

Petrov V. V., Petrov K. S. Improvement of noise immunity of digital phase-measuring devices for the study of electrodynamic processes in traction substations of railway transport. Journal of Transsib Railway Studies, 2019, vol. 37, no. 1, pp. 112 - 121 (In Russian).