CC BY
34
Естественные и точные науки
• ••
19
ХИМИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 541.135.4
ПОВЕДЕНИЕ ГРАНИЦЫ БЛОКИРОВАННЫЙ (ИНЕРТНЫЙ)
ЭЛЕКТРОД - ТВЕРДЫЙ ЭЛЕКТРОЛИТ В ХРОНОАМПЕРОМЕТРИЧЕСКОМ И ХРОНОПОТЕНЦИОМЕТРИЧЕСКОМ РЕЖИМАХ ЗАРЯЖЕНИЯ. СЛУЧАЙ ЗАМЕДЛЕННОЙ ДИФФУЗИИ И АДСОРБЦИИ-ДЕСОРБЦИИ
ДВУХ СОРТОВ ЧАСТИЦ
THE BEHAVIOR OF THE BLOCKED (INERT) ELECTRODE - SOLID ELECTROLYTE BORDER IN THE CHRONOAMPEROMETRIC AND CHRONOPOTENTIOMETRIC MODES OF LOADING. THE CASE OF THE DELAYED DIFFUSION AND ADSORPTION-
DESORPTION OF TWO SORTS OF PARTICLES
© 2015 Гусейнов Р. М., Махмудов Х. М., Раджабов Р. А., Бахмудкадиева З. Н., Зайнутдинова З. А.
Дагестанский государственный педагогический университет
© 2015 Guseynov R. М., Makhmudov Kh. М., Radzhabov R. А., Bakhmudkadieva Z. N., Zaynutdinova Z. А.
Dagestan State Pedagogical University
Резюме. Методом операционного импеданса исследована кинетика процесса заряжения границы блокированный (инертный) электрод - твердый электролит в хроноамперометрическом (импульсном потенциостатическом) и хронопотенциометрическом (импульсном гальваностатическом) режимах в случае замедленной диффузии и адсорбции-десорбции двух сортов электрохимически активных частиц. В расчетах применяется диффузионная модель, предложенная Джекобсоном и Вестом, справедливая для относительно больших времен заряжения рассматриваемой границы.
Abstract. With the method of operating impedance the authors of the article study the kinetics of the process of loading the blocked (inert) electrode - solid electrolyte border in the chronoamperometric (pulsed potentiostatic) and chronopotentiometric (pulsed galvanostatic) modes in case of the delayed diffusion and adsorption-desorption of two sorts of the electrochemically active particles. In their calculations they apply the diffusion model proposed by Jacobson and West, fair for relatively large periods of loading of the considered border.
Rezjume. Metodom operacionnogo impedansa issledovana kinetika processa zarjazhenija granicy blokirovannyj (inertnyj) jelektrod - tverdyj jelektrolit v hronoamperometricheskom (impul'snom poten-ciostaticheskom) i hronopotenciometricheskom (impul'snom gal'vanostaticheskom) rezhimah v sluchae zamedlennoj diffuzii i adsorbcii-desorbcii dvuh sortov jelektrohimicheski aktivnyh chastic. V raschetah primenjaetsja diffuzionnaja model', predlozhennaja Dzhekobsonom i Vestom, spravedlivaja dlja otnosi-tel'no bol'shih vremen zarjazhenija rassmatrivaemojgranicy.
20
• ••
Известия ДГПУ, №2, 2015
Ключевые слова: твердый электролит, блокированный электрод, операционный импеданс, двойной электрический слой, эквивалентная электрическая схема.
Keywords: solid electrolyte, blocked electrode, operating impedance, double electric layer, equivalent electric circuit.
Kljuchevye slova: tverdyj jelektrolit, blokirovannyj jelektrod, operacionnyj impedans, dvojnoj jel-ektricheskij sloj, jekvivalentnaja jelektricheskaja shema.
Исследование кинетики формирования двойного электрического слоя (ДЭС) на границе блокированный (инертный) электрод -твердый электролит (ТЭЛ) в гальванодинамическом и потенциодинамическом режимах проведено нами в работе [2]. Поведение границы блокированный (инертный) электрод - твердый электролит в хроноамперометрическом (импульсном потенциостати-ческом) и хронопотенциометрическом (импульсном гальваностатическом) режимах нами было рассмотрено ранее в работе [3].
Процесс формирования ДЭС на границе блокированный электрод - ТЭЛ в гальваногармоническом режиме (режим при наложении на ячейку синусоидального тока) заряжения изложен нами в работе [4]. В работах [2-4] нами анализируется случай замедленной диффузии и адсорбции-десорбции одного сорта электрохимически активных частиц, а именно дефектов жесткой части решетки твердого электролита (например, ионов J в твердом электролите A^RbJs). Однако в твердых электролитах типа a-AgJ, Ag3SJ, Ag4RbJ5 (т. е. синтезированных на основе a-AgJ) в качестве электрохимически активных могут выступать два сорта частиц - как ионы J , так и молекулярный йод J2. Механизм подобных реакций рассмотрен в работе Укше Е. А. и Букун Н. Г. [8]. Ввиду важности подобных электрохимических реакций при работе ионисторов на основе ТЭЛ в настоящей работе мы анализируем процесс заряжения ДЭС на границе блокированный электрод - ТЭЛ в случае замедленной диффузии и адсорбции-десорбции двух сортов частиц. При этом следует рассматривать процесс заряжения в отдельности для двух временных интервалов - для области относительно «малых» времен, и для области относительно «больших» времен заряжения рассматриваемой границы. В первом случае наиболее подходящей эквивалентной электрической схемой является релаксационная модель, предложенная Графовым -Укше - Букун [8], а в случае относительно «больших» времен заряжения (или малых частот переменного тока) наиболее удобной для анализа нам представляется диффузионная модель, предложенная Джекобсоном
и Вестом [9]. В настоящей статье рассматривается случай процесса заряжения границы блокированный электрод - ТЭЛ для области относительно больших времен. Случай же относительно малых времен заряжения исследуемой границы будет рассмотрен нами позже.
Подобные исследования позволяют установить механизм кинетических явлений, протекающих в реальных электрохимических системах, таких как химотронные приборы, а в конечном итоге способствуют повышению эффективности работы электрохимических приборов, функционирующих на основе твердых электролитов и работающих в различных режимах их эксплуатации. В этом заключается актуальность и цель подобных исследований.
Теоретический анализ
1.1. Хроноамперометрический режим.
Относительно «большие» или «малые» времена в каждом конкретном случае определяются значениями параметров применяемой в расчетах эквивалентной электрической схемы, а именно величиной постоянной условной RC-ячейки, где R и C - соответственно суммарные значения активного сопротивления и емкости. Произведенный нами специальный расчет параметров эквивалентной электрической модели Джекобсо-на - Веста приводит к величине постоянной ячейки RC, равной 37 мкс, где R0дщ = 2 О м ■ с м 2, а Собщ= 18,57 • 10-6 Ф/см2. Следовательно, нижняя граница относительно «больших» времен начинается с 37 мкс.
Поскольку диффузионный импеданс Варбурга Джекобсон и Вест предлагают представить в виде последовательно соединенных активного сопротивления Rj. и емкости Q [9], то эквивалентная электрическая схема ячейки, включающей границу блокированный электрод - ТЭЛ, в случае замедленной диффузии и адсорбции-десорбции двух сортов электрохимически активных частиц может быть представлена в виде схемы (рис. 1). Необходимо подчеркнуть, что идея представления импеданса Варбурга в виде последовательного соединения активного сопротивления и емкости первоначально принадлежала Б. М. Графову и Е. А.
Естественные и точные науки
• ••
21
Укше и была изложена ими в своей монографии [5].
Структурные элементы схемы рис. 1 означают: С1 - емкость адсорбции-
десорбции, обусловленная основными ионами ТЭЛ (ионами проводимости, например, ионами Ag+ в твердом электролите Ag4RbJ5); R2 и С2, R3 и С3 - соответственно сопротивление и емкость адсорбции-десорбции дефектов жесткой решетки ТЭЛ 1-го и 2-го сортов; Rr2 и Сг2 , Rr3 и Сг3 - сопротивление и емкость, обусловленные геометрией электродов (в случае сферического или цилиндрического типа) для дефектов 1го и 2-го сортов соответственно.
Вычисленный нами операционный импеданс ячейки, изображенной на рис. 1, может быть представлен в виде выражения (1)
Z(p) =
p2k+pn+d р(р 2 a +р b+с)’
(1)
где а = CiCR2 + Rr 2 )C2ct2(R3 + R г з)C3 Сгз; Ь = Ci(R2 + R Г2 )C2Cr2( Cr 3 + C3 ) +
( )( ) (
R г 3 )C3Cr3 + C3Cr3(R2 + R г 2 )C2 Cr2 ;
( )( ) (
C3 ) + C3 Cr 3 ( Cr2 + C2 );
k = (R 2 + R г2 )C2 Cr 2 ( R 3 + R г 3 )C3 Cr3 ; n = (R 2 + R2 ) C2 ^2 (Сг3 + C3 ) + ( Сг2 +
C2)(R3 + R3 )C3 ^3 ;
d = (Сг2 + C2 )(Сг3 + C3 );
Рис. 1. Эквивалентная электрическая схема ячейки с границей блокированный электрод-ТЭЛ в случае замедленной диффузии и адсорбции-десорбции двух сортов частиц в соответствии с моделью Джекобсона-Веста для относительно «больших» времен заряжения.
(Пояснения в тексте)
В хроноамперометрическом (импульсном потенциостатическом) режиме <р( t) = Const, поэтому оператор потенциала по Лапласу <p(p ) = <p/p. По определению операторный ток j(p) = <p(p)/Z(p), поэтому, подставляя в последнее соотношение значения ( ) и ( ), получим:
( )
у(р 3 а +р 2b+ср) у(р 2 a+bp+с)
(2)
( )
Разделим все члены в выражении (2) на постоянную k и тогда оно принимает вид:
) = у(а'р2+ь'р+с') (3)
t(p) р2+гг'р+й' ’ ( ’
где а' = а/k; Ь' = Ь /k; с' = c/k;
n' = n/k; d ' = d/k.
Выражение (3) как дробно-рациональное может быть разложено на сумму простейших дробей:
( )
( )
(4)
p2+n’p+d’ p-m-L p-m2 где и - корни (нули) характеристического уравнения второй степени
p 2 + n 'p + d ' = 0 , равные _ ~ + J(y)
В соответствии с уравнением Виета [1] относительно корней квадратного уравнения m-L и m2 можно написать два следующих соотношения
(5)
m-L m2 = d ' (6)
Для определения коэффициентов d ]_ и d 2 соотношение (4) приведем к следующему виду:
^/- ч _ у (а'р 2+b' р+с') _ р( d!+d2 ) - dгm2- d2m4 .
( )( )
Путем приравнивания множителей при одинаковых степенях p в числителях слева и справа в соотношении (7) получим систему уравнений для определения коэффициентов d 1 и d 2 [6]:
d1 + d2 = Ь' (8)
—d-i_ m2 — d2 m-L = c ' (9)
Путем решения системы уравнений (8) и (9) и с учетом соотношения (5) находим значения коэффициентов и , которые равны:
. (c'-m4b' )Ду (c'-m4b' )Ду
—
—
( )
(с'-т2Ь')Ду (с'- m2b' )Ду
/• N /
— d '.
( )
П‘
(10)
(11)
22
• ••
Известия ДГПУ, №2, 2015
С помощью таблиц обратного преобразования Лапласа [7] можно выполнить почленный переход выражения (4) в пространство оригиналов, в результате чего получим для тока заряжения рассматриваемой границы соотношение:
i(t) = d 1 ехр(—m1t) + d2 ехр(—m2t) (12) На рис. 2 представлен график зависимости тока заряжения границы блокированный электрод - ТЭЛ от времени, построенный при следующих значениях удельных параметров эквивалентной электрической схемы, приведенной на рис. 1:
Сг = 2-1 0 - 6 Ф / с м 2 ; С2 = 4 0 ■
■ 1 0 - 6 Ф / см 2 ; R2 = 0, 0 8 О м ■ с м 2;
Временная зависимость составляющих т
S3 л = 1 с м 2. R г2 = 2 О м ■ с м 2 ;
Сг2 = 1 0 ■ 1 0 - 6 Ф /см2; Сг3 = 1 5 ■
1 0 - 6 Ф/см 2; Rr3 = 3 0 О м ■ см 2;
R 3 = 2 0 О м ■ с м 2; С3 = 2 0 ■ 1 0 - 6 Ф / см 2 ;
Д <р = 0, 0 0 5 В ; d-L = 9 1,9 м кА/см 2;
d2 = 3 0 3 3 м кА/ с м2 ; а' = 1,9 9 5 ■ 1 0 - 6; d ' = 1 4, 0 2 2 ■ 1 0 7 ; п' = 6 2,42 9 ■ 1 0 3; с' = 2 6, 04 ■ 1 0 2 ; Ь' = 0, 62 5 ;
mx = — 2,3 2 ■ 1 0 3 ; m2 = — 60,0 8 ■ 1 0 3. Уравнение (12) с учетом значений всех входящих в него параметров принимает вид: i(t) = 9 1,9 ехр(—2,3 2 ■ 1 0 3t) +
3 0 3 3ехр(—6 0, 0 8^1 0 3^м кА/ с м 2 (13)
Таблица 1
са и суммарного тока заряжения границы
блокированный электрод-Т "ЭЛ в соответствии с уравнением (13)
t, МКС i 1( t) = d 1 ex p(—m 1 t), мкА/см2 i 2( t) = d2 ex p(—m2t), м кА/см 2 k( 0 = i 1( 0 + i 2( 0, м кА/ см 2
40 83,97 275,09 359,06
50 82,32 151,04 233,36
60 80,697 82,80 163,497
80 76,76 24,87 101,63
100 73,01 6,67 79,68
120 69,46 2,12 71,58
140 66,73 0,60 67,33
160 63,47 0,30 63,77
180 59,74 0 59,74
200 58,01 0 58,01
220 55,18 0 55,18
240 52,49 0 52,49
260 50,43 0 50,43
Поскольку логарифм суммы не равен сумме логарифмов, то зависимость i( t) в соответствии с уравнением (13) нельзя представить в виде lg( t) — t для всей области времен. Однако разделение составляющих тока i ]_( t) и i 2( t) возможно производить для области больших времен, когда вторая составляющая тока при больших временах стремится к нулю. Разделение составляющих тока становится возможным из-за большой разницы в значениях корней квадратного уравнения, т. е. m-L и m 2. В частности, в нашем случае, как это видно из таблицы 1, значение второй составляющей тока заряжения становится равным нулю при , и весь ток, протекающий через ячейку при обусловлен первой
составляющей тока i ]_( t ). Поэтому прямолинейный участок i(t) — t - зависимости на рис. 2 может быть построен в логарифмических координатах, в соответствии с уравнением (14), как это и сделано на рис. 3.
l gi,( t)=l gd !—^ (14)
Значения остальных параметров равны:
I = 5 ■ 1 0 - 3 А ; d4 = 2 69, 2 3 В/с; d2 = — 0, 046 73 9 В ; d3 = 0,0 5 47 1 69 В ; d4 = — 0, 0 0 79 7 79 В ; mx = — 4, 2 1 2 4 ■ 1 0 3 ; m2 = —3 0 8, 5 87 6^1 0 3 .
Таблица 2
Зависимость составляющей тока ( t) 1 от времени для больших времен в координатах Iв i i( t) — t и оценка параметров m1 и d 1 в
соответствии с уравнением (14)
t, МКС i 1 ( t), м кА/ см 2 1 gi i ( t)
180 59,74 1,776
200 58,01 1,7634
220 55,18 1,7412
240 52,49 1,7193
260 50,43 1,7024
Естественные и точные науки
• ••
23
Рис. 2. Зависимость тока от времени для относительно «больших» времен заряжения границы блокированный электрод-ТЭЛ в соответствии с моделью Джекобсона -Веста. (Значения параметров приведены в тексте)
5 -| 4,5 -4 -
ig Kt)»
мкА/
см2
3,5 -3 -
2,5 -
2
1,5 -
1 -
0,5 -0
t, мкс
40 80 120 160 200 240 280
Рис. 3. Определение параметров dt и тt для тока в соответствии с уравнением (14) согласно модели Джекобсона и Веста
Из рисунка 3 произведена оценка параметра тг как тангенс угла наклона прямой. Полученное значение данного параметра m = 2 3 0 0 близко к теоретическому его значению тг = 2 320, вычисленному из квадратного уравнения р 2 + п 'р + d' = 0 .
Что касается параметра dt, то его значение в соответствии с уравнением (14) может быть найдено как величина отсечки на оси токов при t = 0 (см. рис. 3). Найденная ве-
личина близка к теоретическому значению d = 9 2 м кЛ/ с м 2, что свидетельствует о практически полном разделении токов I г( t) и I2( t) при временах заряжения границы, превышающих 140 мкс.
Ф,
0,06
В
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
t, мкс
--------1------1------1-------1
0 100 200 300 400
Рис. 4. График зависимости потенциала заряжения границы блокированный электрод - ТЭЛ от времени при относительно «больших» временах, построенный в соответствии с уравнением (26) при тех же значениях параметров эквивалентной электрической схемы, что и на рис. 2
Полученная зависимость тока от времени в виде соотношения (12) функционально отличается от соответствующего выражения для тока в случае замедленной диффузии и адсорбции-десорбции одного сорта частиц [3] наличием дополнительного члена, свидетельствующего об участии в электрохимическом процессе двух сортов частиц. Более того, в случае замедленной диффузии и адсорбции-десорбции двух сортов частиц для процесса формирования ДЭС требуется значительно больше времени, чем в случае участия в электрохимическом процессе одного сорта частиц.
1.2. Хронопотенциометрический режим.
В хронопотенциометрическом (импульсном гальваностатическом) режиме ( ) Const, поэтому оператор тока по Лапласу ( ) . По определению операторный
потенциал <р(р ) = ~Z(p). Поэтому, подставляя в последнее соотношение значения ( ) и Z (р ), получим:
<Р(Р) = -
i p2k+np+d
р(р 2 а + р b+с)
(15)
Разделим все члены в выражении (15) на постоянную а и тогда оно принимает вид:
24
• ••
Известия ДГПУ, №2, 2015
(pip) =
i(p 2 к' +pn' + d' )
(15 а), к' = к/a;
p2(p2 + рЬ'+с') У
где b' = b/a; с' = c/a;
n' = n/a; d' = d/a. Выражение (15а) как
дробно-рациональное может быть разложено на сумму простейших дробей:
_____1_</3
к)2
min) = iip2k'+Pn'+d') — d1 | d2 |
' ‘ p 2(p 2 + pb'+с') p 2 p p—m 1
+
+ •
p-m2
(16),
где mt и m2 - корни (нули) характеристического уравнения второй степени:
, равные
~7±W^ ■
Относительно корней квадратного
уравнения и в соответствии с урав-
нением Виета имеем два следующих соотношения:
m1+m2 = — b' (17)
m1m2 = — с ' (18)
Для определения коэффициентов db d2, d3, и d4 соотношение (16) приведем к следующему виду:
i(p 2к' + p n'+d')
p(v) =
p 2(p 2+ p Ь'+с')
d i+d 2(—m 2—m 1)—" d3tTi2 dpTTX-'^ p[—d 1(m 2 + m 1)+d 2m 1 m 2 ]+d 1 m 1 m 2
p 3( d 2+d 3+d 4 )+p 2
+
p 2(p—m 1 )(p—m2 )
-(19).
Из соотношения (19) путем приравнивания множителей при одинаковых степенях p в числителях слева и справа получим следующую систему уравнений: d2 + d з + d4 = 0 (20а)
—dt — d2(m2 + mt) — d3m2 — d4m1 = к' i (20б) —d1(m2 + mt) + d2 m1m2 = in' (20в)
d 1m1m2 = id' (20г)
Значения коэффициентов dt, d2, dз и d4, найденные путем решения системы уравнений (20) с учетом соотношений (17) - (18), равны:
. d'
d4 — i ■
d9 —
i in'—d1b')
d3 —
d 1+d 2( b' + m 1 )—k'i
(21)
(22)
(23)
(24)
ш2_ш1
d4 — d2 d3 С помощью таблиц обратного преобразования Лапласа [7] можно выполнить почленный переход выражения (16) в про-
странство оригиналов, в результате чего получим для потенциала заряжения исследуемой границы следующее соотношение:
p(t) = dtt + d2 + dз exp(m1t) + d4 exp(m2t) (25).
Полученное для потенциала выражение (25) аналитически (функционально) отличается от аналогичного соотношения, выведенного ранее для случая замедленной диффузии и адсорбции-десорбции одного сорта частиц (сравните с уравнением (16) в работе [3]), наличием дополнительного экспоненциального члена.
Зависимость потенциала от времени как результат совместного влияния линейных и экспоненциальных членов в соответствии с соотношением (25) представлена на рис. 4. График на рис. 4 построен при тех же значениях параметров эквивалентной электрической цепи, что и на рис. 2.
Уравнение (25) с учетом всех входящих в него параметров принимает вид: pit) = 2 69, 2 3 1 451 — 0,0 4613 9 +
0, 0 5 41169 expi—4,2124 ■ 103t) —
—0,0019119 expi—3 08,5 816 ■ 103t) (26).
Последний член в соотношении (26) при временах, равных 40 мкс, принимает нулевое значение, так что основной вклад в значение потенциала заряжения рассматриваемой границы вносят первые три члена.
Заключение
В настоящей работе анализ кинетики заряжения границы блокированный электрод - ТЭЛ проведен в хроноамперометрическом и хронопотенциометрическом режимах в случае замедленной диффузии и адсорбции-десорбции двух электрохимически активных сортов частиц. Анализирована область относительно «больших» времен, когда выполняется диффузионная модель Джекобсона и Веста.
Показано, что в случае больших времен зависимость тока от времени отвечает процессу заряжения идеального конденсатора (модель Джекобсона и Веста).
Кинетические зависимости тока и потенциала от времени для процесса заряжения границы блокированный электрод - ТЭЛ функционально отличаются друг от друга в случае участия в электрохимическом процессе одного или двух разных сортов частиц.
Литература
1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М. : Наука, 1986. C. 137. 2. Гусейнов
Р. М., Раджабов Р. А. Кинетика формирования двойного электрического слоя на границе блокированный сферический или цилиндрический электрод / твердый электролит в гальванодинамическом и по-
Естественные и точные науки
• ••
25
тенциодинамическом режимах // Электрохимия. 2013. Т. 49, № 10. С. 1053-1059. 3. Гусейнов Р. М., Раджабов Р. А. Граница блокированный (инертный) электрод / твердый электролит в хроноамперометрическом и хронопотенциометрическом режимах заряжения // Электрохимия. 2015. Т. 51, № 4. С. 371-377. 4. Гусейнов Р. М., Раджабов Р. А. Поведение границы блокированный электрод / твердый электролит в гальваногармоническом режиме заряжения // Электрохимия. 2015. Т. 51, № 4. С. 378384. 5. Графов Б. М., Укше Е. А. Электрохимические цепи переменного тока. М. : Наука, 1973. C. 21.
6. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М. : Наука, 1965. 287 с.
7. Справочник по специальным функциям / под ред. Абрамовица М. и Стиган И. М. : Наука, 1979. С. 809. 8. Укше Е. А., Букун Н. Г. Твердые электролиты. М. : Наука, 1977. С. 131. 9. Jacobsen T., West
K. Diffusion impedance in planar, cylindrical and spherical Symmetry // Electrochemica Acta. 1995. V. 40. № 2. P. 255-262.
References
1. Vygodsky M. Ya. Handbook on the elementary mathematics. M. : Nauka, 1986. P. 137. 2. Guseynov
R. M., Radzhabov R. A. Kinetics of Double Electric Layer Formation at the Blocked Spherical or Cylindrical Electrode / Solid Electrolyte Interface under Galvanodynamic and Potentiodynamic Conditions // Electrochemistry. 2013. Vol. 49, # 10. P. 942-947. 3. Guseynov R. M., Radzhabov R. A. Blocked (Inert) Electrode / Solid Electrolyte Interface in Chronoamperometric and Chronopotentiometric Charging Modes // Electrochemistry. 2015. Vol. 51, # 4. P. 318 -324. 4. Guseynov R. M., Radzhabov R. A. Behavior of Blocked Electrode / Solid Electrolyte Interface in Galvanogarmonic Charging Mode // Electrochemistry. 2015. Vol. 51, # 4. P. 325-331. 5. Grafov B. M., Ukshe E. A. Electrochemical circuites of alternative current. M. : Nauka, 1973. P. 21. 6. Detch G. Service instruction to the practical application of Laplas conversion. M. : Nauka, 1965. 287 p. 7. Handbook on the special functions / еd. by Abramovits M. and Stigan I. M. M. : Nauka, 1979. P. 809. 8. Ukshe E. A., Bukun N. G. Solid Electrolyters. M. : Nauka, 1977. P. 131. 9. Jacobsen T., West K. Diffusion impedance in planar, cylindrical and spherical Symmetry // Electrochemica Acta. 1995. Vol. 40, # 2. P. 255-262.
Literatura
1. Vygodskij M. Ja. Spravochnik po jelementarnoj matematike. M. : Nauka, 1986. C. 137. 2. Gusejnov
R. M., Radzhabov R. A. Kinetika formirovanija dvojnogo jelektricheskogo sloja na granice blokirovannyj sfericheskij ili cilindricheskij jelektrod / tverdyj jelektrolit v gal'vanodinamicheskom i po-tenciodinamicheskom rezhimah // Jelektrohimija. 2013. T. 49, № 10. S. 1053-1059. 3. Gusejnov R. M., Radzhabov R. A. Granica blokirovannyj (inertnyj) jelektrod / tverdyj jelektrolit v hronoamperomet-richeskom i hronopotenciometricheskom rezhimah zarjazhenija // Jelektrohimija. 2015. T. 51, № 4. S. 371-377.
4. Gusejnov R. M., Radzhabov R. A. Povedenie granicy blokirovannyj jelektrod / tverdyj jelektrolit v gal'vanogarmonicheskom rezhime zarjazhenija // Jelektrohimija. 2015. T. 51, № 4. S. 378-384. 5. Grafov B. M., Ukshe E. A. Jelektrohimicheskie cepi peremennogo toka. M. : Nauka, 1973. C. 21. 6. Dech
G. Rukovodstvo k prakticheskomu primeneniju preobrazovanija Laplasa. M. : Nauka, 1965. 287 s.
7. Spravochnik po special'nym funkcijam / pod red. Abramovica M. i Stigan I. M. : Nauka, 1979. S. 809.
8. Ukshe E. A., Bukun N. G. Tverdye jelektrolity. M. : Nauka, 1977. S. 131. 9. Jacobsen T., West K. Diffusion impedance in planar, cylindrical and spherical Symmetry // Electrochemica Acta. 1995, V. 40. № 2. P. 255-262.
Статья поступила в редакцию 08.04.2015 г.
