CC BY
44
20
• ••
Известия ДГПУ, №3, 2015
ХИМИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 541.135.4
ПОВЕДЕНИЕ ГРАНИЦЫ БЛОКИРОВАННЫЙ ЭЛЕКТРОД - ТВЕРДЫЙ ЭЛЕКТРОЛИТ В ГАЛЬВАНОГАРМОНИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ ЗАРЯЖЕНИЯ. СЛУЧАЙ ЗАМЕДЛЕННОЙ ДИФФУЗИИ И АДСОРБЦИИ -ДЕСОРБЦИИ ДВУХ РАЗНЫХ СОРТОВ ЧАСТИЦ
THE BEHAVIOR OF THE BLOCKED ELECTRODE/SOLID ELECTROLYTE INTERFACE IN THE GALVANOHARMONIC CHARGING MODE. THE CASE OF THE DECELERATED DIFFUSION AND ADSOPTION/DESORPTION OF TWO
DIFFERENT SORTS OF PARTICLES
© 2015 Гусейнов Р. М.1, Махмудов Х. М.1, Раджабов Р. А.1, Бахмудкадиева З. Н.1, Зайнутдинова З. А.1, Салпагарова З. И.2
^Дагестанский государственный педагогический университет 2Карачаево-Черкесский государственный университет имени У.Д. Алиева
© 2015 Guseynov R. M.1, Makhmudov K. M.1, Radzhabov R. A.1, Bakhmudkadieva Z. N.1, Zaynutdinova Z. A.1, Salpagarova Z. I.2
1Dagestan State Pedagogical University 2U. D. Aliev Karachay-Cherkess State University
Резюме. Исследовано электрохимическое поведение ячейки с границей блокированный (инертный) электрод - твердый электролит в гальваногармоническом режиме заряжения. Показана возможность применения более простого и наглядного метода вычисления и разделения импеданса электрохимических систем на активную и реактивную составляющие. В качестве эквивалентной электрической схемы исследуемой ячейки применяется модель Джекобсона и Веста, справедливая для относительно больших времен заряжения. Путем графических построений зависимостей активной и реактивной составляющих электродного импеданса от частоты переменного тока оценены значения параметров исследуемой эквивалентной электрической схемы.
Abstract. The authors of the article study the electrochemical behavior of the cell with the blocked (inert) electrode/solid electrolyte border in galvanoluminescence mode of loading. The possibility of application of more simple and more intuitive method for computation and separation of the impedance of electrochemical systems on the active and reactive components. In CA the number of the equivalent electrical circuit of the investigated cells to use the model of Jacobson and Vesta, just for relatively large time charges. By plotting dependencies of active and reactive components of the electrode impedance on frequency of alternating current assessed values of the investigated parameters of the equivalent electrical circuit.
Rezjume. Issledovano elektrohimicheskoe povedenie yacheiki s granistei blokirovannii (inertniy) el-ektrod - tverdiy electrolit v galvanogarmonicheskom rejime zarazheniy. Pokazana vozmozhnost prime-
Естественные и точные науки
• ••
21
neniy bole prostogo I nagladnogo metoda vychisleniy I razdeleniy impedansa elektrohimicheskih system na aktivnuy I reaktivnuy sostavlyaushie. V kashesve ekvivalentnoi elektricheskoi shemy issleduemoi ya-cheiki primenyetsya model jekobsona I Vesta, spravedlivay dly otnositelno bolshih vremen zaryzhenia. Putem graficheskih postroenii xavisimostei akvivnoi I reactivnoi sostsavlaushih elektrodnogo impedansa ot chastity peremennogo toka osteneny znacheniy parametrov issleduemoi ekvivalentnoi elektricheskoi shemy.
Ключевые слова: операционный импеданс; твердый электролит; эквивалентная электрическая схема; блокированный электрод.
Keywords: operational impedance; solid electrolyte; equivalent electric circuit; blocked electrode.
Kluchevye slova: operastionnyi impedans; tverdyi elektrolit; ekvivalentay elektricheskay shema; blokirovanyi elektrod.
Введение
Поведение рассматриваемой в настоящей работе границы в гальваногармоническом режиме в случае замедленной диффузии и адсорбции - десорбции одного сорта частиц, а именно дефектов жесткой части решетки твердого электролита (например,
ионов йода I- в твердом электролите Ag4RbI 5), было рассмотрено нами ранее в работе [2]. Однако почти во всех твердых электролитах, синтезированных на основе йодида серебра AgI, присутствуют помимо дефектов жесткой подрешетки также и молекулярный йод I2 вследствие возможного частичного разложения твердого электролита. Поэтому в настоящей работе нами предпринята попытка рассмотреть случай замедленной диффузии и адсорбции - десорбции двух разных сортов электрохимически активных частиц. При этом в качестве эквивалентной электрической схемы ячейки, содержащей границу блокированный электрод - твердый электролит, нами применяется диффузионная модель Дже-кобсона и Веста [10], справедливая для относительно «малых» частот переменного тока или относительно «больших» времен заряжения.
Под относительно «большими» или «малыми» временами следует понимать характерные времена, отвечающие рассматриваемой эквивалентной электрической схеме, определяющиеся значениями параметров суммарного сопротивления R и суммарной емкости C условной RC-ячейки и вычисляющиеся по соотношению . Произведенный нами специальный расчет параметров эквивалентной электрической модели Джекобсона и Веста приводит к величине постоянной ячейки RC, равной 37 мкс. Следовательно, нижняя граница относительно «больших» времен начинается с 37 мкс. Поскольку частота яв-
ляется обратным аналогом времени, то верхний предел частот переменного тока, при котором эквивалентная электрическая схема рассматриваемой ячейки может функционировать нормально, составляет 28 кГц.
Как и ранее [2], в настоящей работе для вычисления и разделения импеданса на активную и реактивную составляющие применяется не классический метод комплексных амплитуд, а новый метод, основанный на результатах теории линейных электрических цепей переменного тока [8].
Настоящая работа служит продолжением проведенных ранее [3 - 5] исследований блокированного (инертного) электрода в различных режимах его заряжения на границе с твердым электролитом. Подобные исследования, в том числе и результаты настоящей работы, позволяют установить механизм кинетических явлений, протекающих в реальных электрохимических системах, таких как химотронные приборы, а в конечном итоге способствуют повышению эффективности работы электрохимических приборов, функционирующих на основе твердых электролитов и работающих в различных режимах их эксплуатации. В этом заключается актуальность и цель подобных исследований.
Теоретический анализ
Согласно Джекобсону и Весту [10] диффузионный импеданс Варбурга может быть смоделирован последовательным соединением активного сопротивления R и емкости C. Поэтому эквивалентная электрическая схема ячейки, включающей границу блокированный электрод - твердый электролит, в случае замедленной диффузии и адсорбции - десорбции двух разных сортов электрохимически активных частиц может быть представлена в виде схемы (рис.1).
22
• ••
Известия ДГПУ, №3, 2015
Г
Рис.1. Эквивалентная электрическая схема ячейки с границей блокированный электрод - твердый электролит в случае относительно «малых» частот переменного тока или относительно «больших» времен заряжения и замедленной диффузии и адсорбции -десорбции двух разных сортов частиц.
Структурные элементы схемы на рисунке 1 означают: С1 - емкость адсорбции -десорбции, обусловленная основными ионами твердого электролита (ионами проводимости, например, ионами серебра Ag+ в твердом электролите Ag4Rb I 5); R2 и С2, R3 и С3 - соответственно сопротивление и емкость адсорбции - десорбции дефектов жесткой решетки ТЭЛ 1-го и 2-го сортов; Rr2 и Сг2, Rr3 и Сг3 - сопротивление и емкость, обусловленные геометрией электродов (в случае сферического или цилиндрического типа) для дефектов 1-го и 2-го сортов соответственно.
Вычисленный нами операционный импеданс ячейки, изображенной на рисунке 1, может быть представлен в виде выражения:
Z(p) = R3 +
p2k+pn+d
(1)
р(р2 а+р b+с)
где а = Ci(R 2 + R г 2)С2СГ 2(R 3 +
Rr 3 )С3 Сг 3 ;
Ь = С1(R 2 + R Г 2)С2СГ 2( СГ3 + С3) +
( )( ) (
Rr 3 )С3СГ 3 + С3СГ 3(R 2 + R Г 2)С2 СГ2;
( )( )
С2СГ2(СГ3 + С3) + С3СГ3(СГ2 + С2);
k = (R 2 + R Г 2)С2СГ 2(R 3 + R 3 )С3 СГ 3;
П = (R 2 + R2 )С2СГ2( СГ 3 + С3 ) +
( СГ 2 + Q)(R 3 + R Г 3)С3 СГ3;
( )( )
Если разделить все члены как числителя, так и знаменателя в дробной части уравнения (1) на множитель а, то выражение для операционного импеданса принимает вид:
( )
= R3 + ——jr , (1а)
3 р(р2+ рЬ' +с ') 4 2
где k' = k/а; п' = п /а; d' = d/а; Ь' = Ь / а; с' = с / а.
Квадратный трехчлен р 2 + р Ь' + с ' может быть представлен в виде произведения:
р 2 + рЬ'+ с'= (р —т1)(р -m2), (2)
где и - корни (нули) квадратного трехчлена ,
которые равны:
т1 = — 2,3 2 ■ 1 0 3 ; m2 = — 6 О, 0 8 ■ 1 0 3.
С учетом того, что корни и имеют отрицательные значения, соотношение (2) можно переписать в виде:
( )( ). (3)
С учетом соотношения (3) уравнение (1) может быть разложено на сумму простейших дробей:
Z^ ) = R3 + £i+ _к_ + . ^
р р+т1
р+т2
(4)
Для нахождения значений пока неиз-
вестных коэффициентов d1 , d 2 и d 3 уравнение (4) необходимо привести к виду: р2к' +рп' +d' _
( )
р2( d з+d 2+d з ) + р( d з m 2+ d з mх+ d 2 m2+ d 3 тз )+d з т1т2
( )( )
• (4a)
Поскольку отрицательные значения и m2 уже учтены в соотношениях (3) и (4), то при нахождении коэффициентов , и значения и , по-видимому,
можно брать без учета их отрицательности, то есть абсолютные значения m 1 и m2.
Путем приравнивания множителей при одинаковых степенях p в числителях слева и справа в уравнении (4a) составим следующую систему уравнений:
d 1+d 2+d 3 = k' (5)
d 1m2 + d 1m1 + d 2m2 + d 3т1 = n ' (6)
d1m1m2 = d ' . (7)
Согласно теореме Виета имеем следующие два соотношения:
m1 + m 2 = — Ь ; m2 = с. (8)
Путем совместного решения системы
уравнений (5) - (7) и с учетом соотноше-
ния (8) для коэффициентов d 1 , d 2 лучим соотношения: и по-
А|: II Зз II 43 (9)
Ш1Ш2 С
^ n'-m1fc'-d1(m1 -b' ) d 2 = у (10)
т2 -т1
— /с (11)
В гальваногармоническом режиме операционный ток через ячейку имеет вид:
^(р) = /0 р^, (12)
Естественные и точные науки
• ••
23
где I0 - амплитуда синусоидального то-
ка; o - угловая частота.
Операционное напряжение на границе раздела фаз будет равно
E(p) = i(p)Z(p). (13)
Подстановка в соотношение (13) значений тока I(p ) и сопротивления Z (р ) приводит к следующему соотношению для операционного напряжения:
E (р) = !0_^Ь + ^ + ^_ + _*Ц(14)
vry и р2+со2 L 3 р p+m1 р+т2J
Для получения первообразной функции E( t) необходимо осуществить почленный переход выражения (14) в область оригиналов. Очевидно, что:
R i no t • (15)
Остальные члены в выражении (14) могут быть преобразованы методом свертки функций [7], на основании чего можно написать следующие соотношения [9]:
I0 ■? ■ — — jf I0dл s in сот dT =
— ^°^-с о so t; (16)
со
т со d7
I о -;-у '------>
р2+со2 р+т1
J-° I0d2 ехр(—т1т') sin о( t — T)dT =
'°d2 _ (m-i si no t —oc о so t); (17)
m\+co2 v 1 2 y '
T со d'l
I о -;-т '------>
p2+w2 p+m2
J- °° I0d з ехр(—m2т) s in o( t — T)dT =
’°а3 _ (m 2 s i not — oсо sot). (18)
m|+6j2 v z 2 42
С учетом соотношений (15) - (18) выражение для суммарного значения напряжения межфазной границы принимает вид:
( )
R3I0 s in o t — ^°^ со s o t + 72°d 2 _ (mi s in o t —
3 u w m|+6j2 v 1
o с о s o t) + 1 ° 3 _ (m 2 s i no t — o с о so t) =
2 m|+6J2 v z 2
E0 s in(o t — 0), (19)
где - амплитуда переменного напряжения; - угол сдвига фаз между током и напряжением [4]. Равенство (19) вытекает из теории линейных электрических цепей переменного тока [8], согласно которой при наложении на ячейку синусоидального тока напряжение в цепи при установившемся режиме также будет синусоидальным с той же угловой частотой . Соотношение (19) должно быть справедливо для любого момента времени t [1]. Пола-
7Г
гая, в частности, o t = 0 и o t = - и с учетом
формулы приведения ( )
[1] из выражения (19) можно получить два
следующих соотношения:
= E0 s i n 0 ,
Ipdi . Ipd2co . Ipd3co
I 9 . 9 I
со m2+co2 m.2+co2
R3I0 + = E0cos 0
3 u m\+co2 mj+co2 u
(20)
(21)
Согласно [8] любое синусоидальное напряжение формально можно разложить на две составляющие - активную и реактивную (см. рис.2). Эти составляющие равны:
Ep еа кт E0 s i n 0 > Ea кт E0 c о s 0 •
Рис.2. Векторная диаграмма, показывающая связь между треугольником напряжений и треугольником сопротивлений [9].
Если разделить соотношения (20) и (21) на величину тока , то можно переходить от треугольника напряжений к треугольнику сопротивлений, в котором реактивная и активная составляющие
импеданса равны:
у _ £l , I
ЛРеакт - ш ^ т2+ш2 +
7 _ D I .
^акт Лэ ~ ^ . т ~
d3co
т2+со2 ’ d3m2
т\+ш2 т2+со2
(22)
(23)
Если разделить соотношение (22) на соотношение (23), то получим выражение для тангенса угла сдвига фаз электродного импеданса:
tg0=^=. (24)
^акт
Для построения годографа импеданса блокированного (инертного) электрода необходимо определить область частот переменного тока, соответствующую области относительно «больших» времен. Поскольку величина постоянной условной RC-ячейки, где R и С - соответственно суммарные значения активного сопротивления и емкости, составляет 37 мкс, то верхний предел частот переменного тока доходит до 27 кГц.
24
• ••
Известия ДГПУ, №3, 2015
На рисунке 3 представлен годограф импеданса блокированного электрода, построенный при следующих значениях удельных параметров, входящих в уравнения (22) и (23):
d1 = 5 3,84 ■ 1 0 3; d2 = -2 , 1 4 6 ■ 1 0 3; dз = -5 1,69 ■ 1 0 3; т1 = 2,3 2 ■ 1 0 3 ; т2 = 6 0, 0 8 ■ 1 0 3; R3 = 4 О м ;
Сх = 2 ■ 1 0 “6 Ф /с м2; С2 = 4 0 ■ 1 0 “6 Ф/см2 ; R2 = 0,0 8 О м ■ с м 2; S3JI = 1 с м 2;
Rr2 = 2 О м ■ с м 2; Сг2 = 1 0 ■ 1 0 _ 6 Ф /см 2 ;
Сг3 = 1 5 ■ 1 0 _ 6 Ф /см 2; Rr3 = 3 0 О м ■ с м 2;
R3 = 2 0 О м ■ с м 2; С3 = 2 0 ■ 1 0 _ 6 Ф /с м 2 .
ZaKT, Ом
2реакт> Ом
ьи -50 -40 -30 -20 -10 -0
0
2
4
Рис.3.Годограф импеданса блокированного (инертного) электрода в случае замедленной диффузии и адсорбции - десорбции двух разных сортов частиц. Цифры около точек - значения угловой частоты в Гц.
На рисунке 3 видно, что угол наклона годографа импеданса к оси активных сопротивлений с увеличением частоты уменьшается, что наглядно видно на рисунке 4. При уменьшении же частоты переменного тока угол сдвига фаз электродного импеданса стремится к 90 градусам.
Модуль импеданса блокированного (инертного) электрода, вычисленный согласно соотношению (25):
Z /■Zpea кт 4" ^акт
(25)
можно представить в виде выражения:
-(2 9Л / л сi3co \
"Т" о . о I "Т"
Z =
d( 2 йг / d
ш2 ш \т2
+ш2 т2+ш2
( d2a> \т2+ш‘
+
d3a>
+ С02 ТП2+СО2
+ Ri
2 R,
(4
\mi
2]Щ_
+ С02
+
d3m7 \ , ( d7m, , d3m7 \212
m|w) + bfT^ + ;^j J
(26)
Рис.4. Частотная зависимость угла сдвига фаз импеданса блокированного электрода в твердом электролите, построенная в соответствии с моделью Джекобсона и Веста.
Зависимость модуля импеданса от частоты синусоидального тока представлена на рисунке 5. В соответствии с соотношением (26) и рисунком 5 с ростом частоты переменного тока модуль импеданса стремится к постоянной величине, равной сопротивлению твердого электролита R3.
Рис.5. Зависимость модуля импеданса блокированного (инертного) электрода от частоты переменного тока в случае модели Джекобсона и Веста.
Для графических построений результатов эксперимента выражение (22) удобно привести к виду:
Z
реакт
щсо — dt +
d2co2
т\+ш2
+
d3a>2 т2+ш2
(22a)
Построенный в соответствии с соотношением (22 a) график представлен на рисунке 6, по которому можно оценить зна-
чение параметра , а затем и значение параметров d 2 и d 3 по соотношениям (10) и (11):
Естественные и точные науки
п ' — m 1 k — d i( m 1 — b)
d, —1
m2-m1 do = k d-1 do .
• • 25
(10) 7 р ^2 ^3 акт э m-L т2 (27)
(ii)
Найденное при со = 0 кГ ц из рисунка 7 значение Za кт = 2,2 0 О м практически совпадает с вычисленным значением
2реакт-Ш, Ом4Ц
Рис.6. Определение параметра d± в соответствии с уравнением (22a).
Зависимость активной составляющей импеданса от частоты в соответствии с уравнением (23) представлена на рисунке 7.
Рис.7.Определение параметра Rо — — — — в соответствии
TTli т2
с уравнением (27).
График функции Za кт = /( о ) при уменьшении частоты асимптотически приближается к постоянной величине, равной:
ZaKT = 2,2 1 4 О м . Такое совпадение свидетельствует о справедливости исходных положений и идей, лежащих в основе настоящей статьи, и полученных в ней результатов.
Заключение
Следует подчеркнуть, что использованный в настоящей работе метод вычисления и разделения импеданса на активную и реактивную составляющие, на наш взгляд, по сравнению с классическим методом комплексных амплитуд отличается простотой и наглядностью, что, в свою очередь, делает операционные методы при анализе свойств цепей переменного тока особенно привлекательными [2]. Как видно из графиков на рисунках 3 - 7, из-за невозможности охватить всю область больших частот (модель позволяет исследовать область частот до 27 - 50 кГц) оценочные и информационные возможности рассматриваемой диффузионной модели Дже-кобсона и Веста для раскрытия механизма электродных процессов в определенной степени ограничены, по сравнению с релаксационной моделью Графова - Укттте.
Когда же речь идет об области очень низких и инфранизких частот переменного тока, то исследователям не следует забывать еще о том, что в этих условиях в эквивалентной электрической схеме систем, содержащих границу блокированный электрод -твердый электролит, появляется элемент с постоянным сдвигом фаз, свойства которого нами были исследованы ранее [6].
Полученные в настоящей работе результаты и сделанные на их основе выводы в одинаковой степени могут быть применены не только в случае твердых электролитов, но и в случае, когда в качестве проводящей среды используются расплавы электролитов.
Литература
1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука, 1986. 265 с. 2. Гусейнов Р. М., Раджабов Р. А. Поведение границы блокированный электрод / твердый электролит в гальваногармоническом режиме заряжения // Электрохимия. 2015. Т. 51. № 4. С. 378-384. 3. Гусейнов Р. М., Раджабов Р. А. Кинетика формирования двойного электрического слоя на границе блокированный сферический или цилиндрический электрод / твердый электролит в гальванодинамическом и потенцио-динамическом режимах // Электрохимия. 2013. Т. 49. № 10. С. 1053-1059. 4. Гусейнов Р. М. Релаксационные процессы в твердых электролитах. М.: Наука, 1993. 160 с. 5. Гусейнов Р. М., Раджабов Р. А. Граница блокированный (инертный) электрод / твердый электролит в хроноамперометрическом и
26
• ••
Известия ДГПУ, №3, 2015
хронопотенциометрическом режимах заряжения // Электрохимия. 2015. Т. 51. № 4. С. 371-377. 6. Гусейнов Р. М. Элемент с постоянным сдвигом фаз в импульсном гальваностатическом режиме // Электрохимия. 1990. Т. 26. № 6. 795. с. 7. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1965. 46. с. 8. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники. Л.: Энергия, 1967. Ч. 1. 164. с. 9. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.-Л., 1948. 151. с. 10. Jacobsen T., West K. Diffusion impedance in planar, cylindrical and spherical symmetry // Electrochim. Acta. 1995. V. 40. № 2. 255. р.
References
1. Vygodsky M. Ya. Handbook on the elementary mathematics. M.: Nauka, 1986. 265 p. 2. Guseynov R. M., Radzhabov R. A. Behavior of Blocked Electrode / Solid Electrilyte Interface in Galvanoharmonic Charging Mode. Electrochemistry, 2015, Vol. 51, # 4, P. 378-384. 3. Guseynov R. M., Radzhabov R. A.
Kinetics of Electric Double Layer Formation at the Blocked Spherical or Cylindrical Electrode / Solid Electrolyte Interface under Galvanodynamic and Potentiodynamic Conditions. // Electrochemistry, 213, Vol. 49, # 10, P. 1053-1059. 4. Guseynov R. M. Relaxation processes in solid Electrolytes. M.: Nauka, 1993.
160 p. 5. Guseynov R. M., Radzhabov R. A. Blocked (Inert) Electrode / Solid Electrolyte Interface in Chron-oamperometric and Chronopotentiometric Charging Modes // Electrochemistry, 2015, Vol. 51, # 4, P. 371377. 6. Guseynov R. M. A constant phase shift cell under pulsed galvanostatic conditions // Electrochemistry. 1990. Vol. 26. # 6. P. 795-797. 7. Dech G. Manual on practical application of Laplas transformation. M.: Nauka, 1965, 287 p. 8. Neiman L. R., Demirchan K. S. Theoretical bases of electrical engineer.
L. : Energiya, 1967, P. 1. 164 p. 9. Ryzhik I. M. The tables of integrals, sums, series and products. M.-L., 1948. 151. p. 10. Jacobsen T., West K. Diffusion impedance in planar, cylindrical and spherical symmetry. // Electrochemistry. 1995. Vol. 40. # 2. P. 255-262.
Literatura
1. Vygodskij M. Ja. Spravochnik po jelementarnoj matematike. M.: Nauka, 1986. 265 s. 2. Gusejnov R. M., Radzhabov R. A. Povedenie granicy blokirovannyj jelektrod / tverdyj jelektrolit v gal'vanogarmonicheskom rezhime zarjazhenija // Jelektrohimija. 2015. T. 51. № 4. S. 378-384. 3. Gusejnov R. M., Radzhabov R. A. Kinetika formirovanija dvojnogo jelektricheskogo sloja na granice blokirovannyj sfericheskij ili cilindricheskij jelektrod / tverdyj jelektrolit v gal'vanodinamicheskom i potenciodinamicheskom rezhimah // Jelektrohimija. 2013. T. 49. № 10. S. 1053-1059. 4. Gusejnov R. M. Relaksacionnye processy v tverdyh jelektrolitah.
M. : Nauka, 1993. 160 s. 5. Gusejnov R. M., Radzhabov R. A. Granica blokirovannyj (inertnyj) jelektrod / tverdyj jelektrolit v hronoamperometricheskom i hronopotenciometricheskom rezhimah zarjazhenija // Jelektrohimija. 2015. T. 51. № 4. S. 371-377. 6. Gusejnov R. M. Jelement s postojannym sdvigom faz v im-pul'snom gal'vanostaticheskom rezhime // Jelektrohimija. 1990. T. 26. № 6. 795 s. 7. Dech G. Rukovod-stvo k prakticheskomu primeneniju preobrazovanija Laplasa. M.: Nauka, 1965. 46 s. 8. Nejman L. R., Demirchjan K. S. Teoreticheskie osnovy jelektrotehniki. L.: Jenergija, 1967. Ch. 1. 164 s. 9. Ryzhik I. M. Tablicy integralov, summ, rjadov i proizvedenij. M.-L., 1948. 151 c. 10. Jacobsen T., West K. Diffusion impedance in planar, cylindrical and spherical symmetry // Electrochim. Acta. 1995. V. 40. № 2. 255. p.
Статья поступила в редакцию 30.09.2015 г.
