Потоки в сетях с меняющейся длительностью прохождения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1

потоки в сетях с меняющейся длительностью прохождения

© 2011 г. В.А. Скороходов

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090 Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Рассмотрены графы с меняющейся длительностью прохождения по дугам. Сформулирована и изучена задача нахождения максимального потока на таких графах. Для ее решения предложено построение вспомогательного графа. Сформулированы и доказаны теоремы о соответствии путей исходного и вспомогательного графов. Введены понятия отношения влияния для дуг, обобщенных сетей со связанными дугами и степени влияния цепей в них. Предложена верхняя оценка величины максимального суммарного потока в сети с меняющейся длительностью прохождения по дугам.

Ключевые слова: граф, алгоритмы на графах, достижимость, нестандартная достижимость.

Graphs with varying transit times through the arcs are considered. The problem of finding maximum flow in such graphs is formulated and studied. To solve this problem proposed construction of the auxiliary graph. Theorems on compliance of ways on source and auxiliary graphs is formulated and proofed. Concepts of the influence relation for arcs, of the generalized networks with the bound arcs and of the degree ofpath influence in the generalized networks with bound arcs are entered. The upper estimation of the maximum flow in networks with varying transit times through the arcs is offered.

Keywords: graph, graph algorithms, reachability, nonstandard reachability.

Графы с зависимостью длительности прохождения дуг от времени

Пусть (X ,и, /) - орграф такой, что для каждой

его дуги указан вес - длительность (количество тактов) прохождения по ней. Будем считать, что длительность каждой дуги может меняться со временем и описывается функцией с(и) = с(и, I), t е [0; Т. Определение 1. Граф аг (X,и, /) с указанными

свойствами будем называть графом с меняющейся длительностью прохождения.

Рассмотрим задачу нахождения кратчайшего (по длительности прохождения) пути на графе от с заданным условием.

В том случае, когда длительность прохождения по дугам не меняется со временем (т.е. с(и,1) = с(и, У^,t2 е[0;Т]2), поставленная задача является классической задачей о кратчайшем пути [1, 2].

Ее существенной особенностью является то, что, кроме нахождения самого кратчайшего пути (последовательности дуг [1]), необходимо найти еще и время начала движения по нему, поскольку кратчайшие пути могут меняться в зависимости от начальных мо-

ментов времени. Данную ситуацию проиллюстрируем следующим примером.

Пример 1. Рассмотрим граф О10 (рис. 1).

Рис. 1. Граф О10

Его дуги {м1,....У7} такие, что /= (1,2), с(щ) = {9,9,9,9,...9} , Ды2) = (1,3), с(«2) = {8,3,4,4,...?}, /(мэ) = (1,4), с(мз) = {7,1,5,5,...5}, /(«4) = (2,4) , с(^) = {1,1,1,1,... 1}, /(«5) = (3,2) , С(М5) = {1,1,1,1,... 1}, /(«б) = (4,3) , с(м6) = {1,1,1,1,... 1}, /(«7) = (4,5), е(щ) = {б,5,9,3,...3} .

Перебирая все возможные пути из вершины 1 в вершину 5 для каждого начального момента времени, получим, что кратчайшим путем из вершины 1 в вершину 5 является путь /м (1,5) = {«3, «б, и5, «4, и7} (в виде последовательности вершин - 5) длительностью 7 тактов. Начало движения по этому пути t = 1.

Заметим, что вершина 4 пройдена в пути 2 раза, но отбросить замкнутый участок пути {«б, «5, «4} (как это делается в классическом случае [1, 2]) нельзя, поскольку каждая дуга этого участка проходится за определенное количество моментов времени, а это значит, что движение по дуге «7 придется начинать сразу после завершения движения по дуге «3 (в таком случае образуется путь {«3, «7}, который не является кратчайшим: длительность прохождения по нему равна 10 тактов), либо следует сделать задержку в вершине 4. Такой вариант невозможен вследствие того, что в каждый момент времени должно происходить движение по какой-либо дуге графа О и нет петель, инцидентных вершине 4, которые позволили бы сделать такую задержку. Кроме этого, для данного примера такую задержку делать не имеет смысла, поскольку даже в том случае, если бы это было возможно, ее длительность была бы равна длительности прохождения по участку {«б,«5,«4} пути |/*(1,5) .

Отметим, что полученный кратчайший путь был найден полным перебором всех возможных путей из вершины 1 в вершину 5, а так как эти пути, вообще говоря, могут не быть простыми, то, очевидно, имеем существенную сложность для алгоритмов их нахождения.

Для решения задачи о кратчайшем пути на графе От с зависимостью длительностей от времени будем использовать подход [3-7], согласно которому строится вспомогательный граф О' с большим количеством вершин и дуг. На нем каждая дуга имеет длительность

перехода, равную единице (как и для классического случая), и каждому пути вспомогательного графа соответствует путь (с точностью до момента начала движения) на исходном графе.

Построение вспомогательного графа. Каждой вершине исходного графа ОТ ставится в соответствие 7+1 вершина {х0,...,хг} на вспомогательном графе О'. Дуги последнего строятся по следующему правилу: для каждой дуги « (/(«) = (х, у)) исходного графа и каждого момента времени t е[0;Т, если t + с(«, Г) < Т, на вспомогательном графе достраивается дуга щ така^ что /(щ) = (х1,у1)). Дуге Щ присваиваем вес, равный значению с(«,Г) .

После такого построения вспомогательного графа задача о кратчайшем пути на исходном графе ОТ с меняющейся длительностью прохождения сводится к задаче нахождения кратчайшего пути на вспомогательном графе О' .

Справедливы следующие теоремы о связи путей исходного и вспомогательного графов.

Теорема 1. Вершина у достижима из вершины х на исходном графе ОТ тогда и только тогда, когда на вспомогательном графе О' из множества вершин Ах = {хо, Х1,...хт} достижима хотя бы одна вершина множества Ау. Более того, каждому пути /М на

вспомогательном графе однозначно соответствует путь / на исходном графе и имеет место равенство

весов пути / и пути / .

Доказательство данной теоремы практически дословно повторяет доказательство аналогичной теоремы для графов с нестандартной достижимостью [6].

Теорема 2. Кратчайшему пути // на вспомогательном графе соответствует кратчайший путь / на исходном графе, причем время начала движения по пути / равно номеру уровня [7], которому принадлежит начальная вершина пути //.

Доказательство. Рассмотрим кратчайший путь /г(х^, уу) (из вершин множества Ах в вершины множества Ау) на вспомогательном графе О'. По предыдущей теореме ему соответствует путь /(х, у) того же веса на исходном графе От .

Предположим, что / не является кратчайшим путем из вершины х в вершину у на исходном графе, т.е. на исходном графе найдется путь /(х, у), вес которого меньше, чем вес пути / . Тогда из правил построения вспомогательного графа и предыдущей теоремы следует, что на вспомогательном существует путь /1 (х , у ■), которому соответствует путь /1

исходного графа. Отметим, что вес пути /1 меньше, чем вес пути //. Это означает, что вес пути /1 меньше, чем вес пути / , что противоречит тому, что путь / является кратчайшим из вершин множества Ах в вершины множества Ау .

Теорема доказана.

Пример 2. Рассмотрим задачу нахождения кратчайшего пути на графе из предыдущего примера. Будем считать, что параметр Т = 8.

Построим вспомогательный граф О' (рис. 2). Для него найдем соответствующий кратчайший путь и перенесем результат на исходный граф.

Отметим, что для дуги щ исходного графа нет дуг на вспомогательном, которые соответствовали бы ей.

1=8

1 2 3 4 5

Рис. 2. Вспомогательный граф О'

Найдем кратчайший путь из вершины 1 в вершину 5 на исходном графе. Для этого на вспомогательном графе будем искать кратчайший путь из вершин А в вершины множества Л5.

Для Т = 8 из вершин множества Л^ в вершины множества Л5 существует только один возможный путь и': ^ 42 ^ 33 ^ 24 ^ 45 ^ 58. Ему соответствует путь исходного графа и: 11 ^ 4 ^ 3 ^ 2 ^ 4 ^ 5 (т.е. и = {иь и6, м5, И4, и7}).

Максимальный поток в сети с меняющейся длительностью прохождения

Рассмотрим задачу нахождения максимального потока в сети с меняющейся длительностью прохождения. Будем считать, что для каждой дуги u, кроме пропускной способности ( с(и) ), указана длительность прохождения по ней (ё (и, Г)) единицы потока. Считаем, что зависимость длительностей прохождения по каждой дуге сети периодическая с периодом, равным Т (е N), т.е. и^, Уt е 2+ ё(и,^ = ё(и,t + Т).

Кроме этого, полагаем, что d(u, t) е [1;T]z .

Задача о максимальном потоке в сети такого вида имеет существенные сложности для решения. Поскольку переход по некоторой дуге такой сети может производиться за разное количество тактов, для каждого момента времени в концевую вершину может приходить суммарный поток, состоящий из потоков, отправленных по одной дуге в различные начальные моменты времени. Покажем эту ситуацию на примере.

Пример 3. Рассмотрим граф G5 (рис. 3). Его единственная дуга u (f (u) = (1,2)) такая, что ее пропускная способность c(u) = 1 и заданы длительности

на полном периоде d(u) = {5,4,3,2,1} . #-

Рис. 3. Граф G5

Если отправлять поток величины 1 по дуге u в каждый момент времени t е [0;4]z , то в момент времени t = 5 в вершину 2 придет поток величины 5 (состоящий из всех отправленных потоков), что гораздо больше пропускной способности дуги u.

Пример показывает, что для решения задачи о максимальном потоке в сети с меняющейся длительностью прохождения недостаточно даже построения вспомогательного графа (которое позволяло решать аналогичные задачи в сетях с нестандартной достижимостью [3-7]). Однако этот подход может быть применен с некоторой модификацией, аналогичной алгоритму прорыва в сетях со связанными дугами [5].

Для решения потоковой задачи в исходной сети GT построим вспомогательную сеть G' по правилам, указанным ранее, с поправкой на периодичность зависимости длительностей прохождения по дугам.

Каждой вершине исходного графа G ставится в соответствие T вершин на вспомогательном графе G'. Дуги последнего строятся по следующему правилу: для каждой дуги u (f (u) = (x, y)) исходного графа и

каждого момента времени t е[0;Т — 1]z на вспомогательном графе достраивается дуга u такая, что f '(ut) = (xt,ya(t)), где a(t) = (t + d(u,t))modT. Дуге ut присваиваем величину пропускной способности, равную значению c(u) .

Отметим, что поскольку зависимость периодическая, то нас будет интересовать не величина потока в каждый отдельный момент времени, а некоторая суммарная величина таких потоков за один полный период. В соответствии с этим построим вспомогательную сеть G путем добавления фиктивных источника и стока к сети G , соединив их с вершинами, соответствующими источнику и стоку исходного графа, дугами бесконечной пропускной способности. Это необходимо сделать, поскольку источник и сток разбиваются на T «двойников», каждый из которых действует в свой момент времени.

В сети О" находим поток из фиктивного источника в фиктивный сток при помощи алгоритма прорыва, считая пока связанными дуги, соответствующие одной дуге исходного графа и имеющие общую концевую вершину на графе О'' (далее будет показано, что условия связанности дуг в таком виде недостаточно и будет предложено его уточнение). В результате получаем максимальный суммарный поток за один полный период.

Покажем все этапы нахождения максимального суммарного потока в сети с меняющейся длительностью прохождения на следующем примере.

Пример 4. Рассмотрим сеть О4 (рис. 4).

f (М3) = (2,3), d (u4) = {1,1,1,1}, f (u6) = (3,5) , d(u7) = {2,2,3,1} ,

ся псевдоисточники и псевдостоки. Такое действие не влияет на результат, но зачастую сильно упрощает вид вспомогательного графа [7].

Рис. 4. Сеть О4

Ее дуги {«1 ,...«9} такие, что / («1) = (1,2), а(«1) = {1,2,3,4} , /(«2) = (1,3), а(«2) = {4,3,2,1} , а(«3) = {1,2,3,1}, /(«4) = (2,4) , /(«5) = (3,4) , а(«5) = {1,2,1,2}, а («б) = {1,1,1,1}, / («7) = (4,5), /(«8) = (4,б), а («8) = {1,1,1,1}, / («9) = (5,б), а («9) = {1,1,1,1}.

Очевидно, что без условий и зависимостей (т.е. в

классическом случае) величина максимального пото-

*

ка V = 15 и за один полный период величина макси*

мального суммарного потока V* = бО. Рассмотрим задачу с зависимостью длительности прохождения по дугам сети.

Вспомогательный граф О' представлен на рис. 5.

Рис. 6. Граф О"

Перечислим множества связанных дуг (поскольку здесь нет кратных дуг и структура графа достаточно сложная, то дуги будем представлять в виде упорядоченной пары вершин [2]): {(1о,20; (12,21)}, {(¡2,23); (13,23)},

{(1о,3о);(11,3о);(12,3о);(13,3о)}, {ЗоА);(33,41)}. Все

остальные дуги не являются связанными, т.е. с ними можно работать так, как и с классическими дугами без зависимостей.

Проводя всю последовательность действий решения задачи о максимальном потоке на вспомогательном графе со связанными дугами [5], получим следующий результат (рис. 7).

Рис. 5. Вспомогательный граф О'

По этому графу построим вспомогательный граф О" (рис. 6), добавив фиктивный источник 5 и фиктивный сток д. Кроме этого, удалим все получившие-

Рис. 7. Максимальный поток на графе О"

Приведем решение - последовательность увеличивающих цепей (цепи представлены в виде последовательности вершин):

/1: ^ ^ 1о ^ 21 ^ 42 ^ б3 ^ д, Р(/) = 7 , а (/1) = 3 ;

/2 : 5 ^ 1о ^ 2! ^ 42 ^ 5! ^ б2 ^ 9 ,

Р(/2) = 2, а(/2) = б ;

/3: 5 ^ 1о ^3о ^ 51 ^ б2 ^ 9 , Р(/3) = 5 , а(/3) = 5 ;

/4: 5 ^ 11 ^ 3о ^ 41 ^ б2 ^ 9 , Р(/4) = 4,

а (/4) = 5;

/5 : 5 ^ 11 ^ 23 ^ 40 ^ б1 ^ д, Р(/5) = 7,

а (/5) = 4;

/б : 5 ^ 11 ^ 23 ^ 4о ^ 52 ^ б3 ^ д ,

Р (/б) = 2, а (/б) = б .

Получили, что величина максимального суммарного потока за один период гораздо меньше базового (т.е. без условия зависимости длительностей прохождения).

Отметим, что длительности путей И2, Из, И4 и И превышают период изменения длительностей прохождения по дугам сети G. Кроме этого, ни один путь не начинается в моменты времени t = 2 + Т и t = 3 + Т, однако, насыщая дуги вспомогательного графа потоком, можно выбрать другие пути. Для рассмотренной сети существует вариант насыщения, при котором поток будет отправляться из источника в каждый момент времени.

Справедлива

Теорема 3. Величина суммарного потока произвольной сети Gt с меняющейся длительностью прохождения не превосходит величины V* < 2 c(u) х

ue(Y ,Y')

X |DT (u,[0;T — 1]Z )|, где \DT (u,[0;T — 1]Z)| - количество элементов в образе множества {u}x[0;T — 1]Z при отображении DT : U x [0; Т — 1] Z ^ [0; Т — 1] Z , действующем по правилу Dt (u, t) = (t + d(u, t)) mod T.

Доказательство. Рассмотрим некоторый произвольный разрез (Y,Y') в сети Gt . Поток, проходящий через него, равен сумме потоков по каждой его дуге. Это справедливо как в классическом, так и в случае, когда длительности прохождения по дугам рассматриваемой сети зависят от времени.

Осталось подсчитать, сколько раз за полный период по некоторой дуге u е (Y, Y') может быть пропущен поток. Отметим, что если для пары различных моментов времени t1 и t2 выполняется Dt(u,t1) = Dt(u,t2), то это означает, что поток не может быть пропущен 2 раза (для начальных моментов t1 и t2 ). В таком случае поток может быть отправлен только один раз, поскольку иначе к моменту времени t1 + d(u, t1) в концевую вершину дуги u придет поток в 2 раза больший, чем пропускная способность этой дуги. Таким образом, поток может быть пропущен по дуге u не больше раз, чем количество различных значений функции Dt (u, t) для рассматриваемой дуги u и всех моментов времени t е[0;Т — 1]z (т.е. количество элементов в образе множества {u}x[0;T — 1]z при отображении Dt ).

Таким образом, получили, что величина максимального суммарного потока, проходящего через разрез за полный период, равна сумме величин потока по каждой его дуге u за полный период, которые не превышают величин c(u) • \DT (u,[0;T — 1]Z )|.

Теорема доказана.

В качестве следствия предыдущей теоремы выступает

Теорема 4. Величина суммарного потока произвольной сети Gt с меняющейся длительностью прохождения не превосходит величины

V* < mmi 2 c(u) • Dt (u,[0;T — 1]z)|l. Ш

Y с X[ue(Y ,Y') J

Отметим, что неравенство (1) превращается в равенство в том случае, если для каждой дуги u разреза, на котором достигается минимум, выполняется

следующее свойство: для каждой пары моментов времени t2 е[0;Т -1]/ , если tl < t2, то tl + ё(и,tl) < t2 + ё(и,t2) .

Приведенные теоремы об оценке величины максимального суммарного потока удобно проиллюстрировать примерами.

Пример 5. Рассмотрим сеть О4 из примера 3. Ее единственная дуга u такая, что с(и) = 1 и ё (и) = {4,1,1,2}.

Очевидно, что здесь всего один разрез, состоящий из единственной дуги u.

В данном случае легко вычисляется величина рТ (и,[0;Т -1]/)| . Она равна количеству вершин

вспомогательного графа, которые являются концевыми для дуг, соответствующих дуге u исходного графа.

Таким образом, для нашего графа \Рт(и,[0;Т -1]/ )| = 4, т.е. величина максимального

суммарного потока за полный период на превышает

*

V* < 1 • 4 . Однако можно заметить, что если отправить поток по дуге u в момент времени t = 0, то он будет идти по ней 4 такта, т.е. дуга будет некоторое время блокирована (в нашем случае время блокирования дуги составляет полный период). В этом случае за один полный период по сети будет проходить суммарный поток величины 1, тогда как, если ничего не отправлять в момент времени t = 0 , то за полный период через сеть может быть пропущен суммарный поток величины 3 (отправляя потоки величины 1 в моменты времени t = 1,2,3), который и будет максимальным.

Отметим, что в данном случае, несмотря на то, что единственный разрез состоит только из одной дуги u и величина |£Т (М,[0;Т — 1]/ )| = Т, нет равенства в соотношении (1).

Пример 6. Рассмотрим сеть G из предыдущего примера. Пусть ё (и) = {4,2,1,1}.

В данном случае \Рт (и,[0;Т — 1]/ )| = 2. Величина

максимального суммарного потока за полный период

*

V* = 2. Этот результат получен следующим образом: момент времени t = 0 следует пропустить, иначе дуга u будет блокирована, далее единица потока должна быть отправлена либо в момент времени t = 1, либо в t = 2 (эти 2 возможности блокируют друг друга) и наконец единица потока отправляется в момент времени t = 3 .

Предложенные примеры показывают, что допущение о том, что связанными дугами в сети О являются дуги, соответствующие некоторой одной дуге исходного графа и имеющие общую концевую вершину на графе О , требует уточнения, как это было сказано ранее. Отметим, что в примере 4 действительно найден максимальный по величине суммарный поток за полный период.

Далее введем в рассмотрение обобщение понятия сети со связанными дугами. Как рассматривалось ранее в [5], сеть со связанными дугами - это сеть, у которой множество дуг представлено как объединение

попарно

тН

непересекающихся

( k

U

подмножеств > 1 V/ е [1; k]Z и

и = иН ии' |. При этом считается, что пропускные способности заданы для

тт тт

дуг множества и (с(и) У и еи ), а также заданы суммарные пропускные способности для множеств и1 (с(и') У1 е [1;к]2). Другими словами, дуги каждого множества и ' связаны некоторым соотношением: сумма величин потоков по каждой дуге множества

и 1 не может превышать суммарной пропускной способности множества с(и1) , т.е.

Е г (и) < с(и') . (2)

иеи1

Определение 2. Отношением связанности дуг сети G будем называть характеристическую функцию X: их и ^{0,1}, такую, что если х(и1,и2) = 1, то дуга и1 влияет на дугу и2 . В противном случае (х(и1, и2) = 0) - не влияет.

Отметим, что отношение связанности в произвольной вспомогательной сети О" для сети О с меняющейся длительностью прохождения обладает свойствами рефлексивности и симметричности, но не обладает свойством транзитивности [1].

Перенумеруем элементы каждого множества и 1 (1 е [1; к), т.е. представим множества и1 в виде

и1 = {м1,и'2,...щ' } .

112 \и'\

Определение 3. Обобщенной сетью со связанными дугами будем называть ориентированную сеть со связанными дугами, для которой имеет место соотношение: е х(«Р ,ир) • Р&Р) < с(ир) • М Ур е[1;к]2

1<1 <у <\ир\

Заметим, что рассмотренные ранее сети со связанными дугами являются частным случаем обобщенных сетей со связанными дугами, если определить отношение связанности дуг сети следующим образом:

Х(м и )_|1, и1, и2 ''^ааёаже о 1а{110 шшапбаб ИР

[0, и1, и 2 Йаааёаше о шжапбаш ИРе И^.

В таком случае в соотношении (4) получаем

ир

F(u Р ) < c(Up ) •

Up

Vp е[1; k]Z , а это,

Е

1<1<\ир\

очевидно, то же самое, что и соотношение (2).

Определение 4. Степенью влияния дуги u в обобщенной сети со связанными дугами О будем называть величину 8 (и) = Ех(", V).

vеU

Определение 5. Степенью влияния цепи и в обобщенной сети со связанными дугами будем называть величину 8(и) = Е8(и).

ие и

Для решения задачи о максимальном потоке в обобщенной сети со связанными дугами будем пользоваться алгоритмом прорыва [5] с учетом длительности и степени влияния следующей увеличивающей цепи.

Литература

1. Ерусалимский Я.МДискретная математика: теория,

задачи, приложения. М., 2001. 279 с.

2. Зыков А.А. Основы теории графов. М., 2004. 584 с.

3. Басангова Е.О., Ерусалимский Я.М. Алгоритм нахожде-

ния максимального потока в частично-ориентированной сети // Дискретные структуры и их приложения. Элиста, 1988. С. 23-28.

4. Ерусалимский Я.М. Эйлеровость графов со смешанной

достижимостью // Модели, графы и алгебраические структуры. Элиста, 1989. С. 45-48.

5. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А. Потоки в сетях со

связанными дугами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. Приложение. № 8. С. 3-8.

6. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А. Общий подход к

нестандартной достижимости на графах. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. Спецвыпуск. Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики. С. 64-67.

7. Скороходов В.А. Случайные блуждания и потоки в сетях

с магнитной достижимостью // Модели и дискретные структуры. Элиста, 2002. С. 93-100.

Поступила в редакцию

25 марта 2010 г.