Графы с зависимостью некоторых характеристик от времени: достижимость, случайные процессы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1

ГРАФЫ С ЗАВИСИМОСТЬЮ НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОТ ВРЕМЕНИ: ДОСТИЖИМОСТЬ, СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

© 2012 г. В.А. Скороходов, А.С. Чеботарева

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8, г. Ростов-на-Дону, 344090

Southern Federal University, Milchakov St., 8, Rostov-on-Don, 344090

Рассмотрены графы с меняющейся нестандартной достижимостью. Основные наборы (характеристический и путевой) таких графов зависят от дискретного времени. Сформулированы и изучены задачи о достижимости и о случайных блужданиях частицы по вершинам графа с меняющейся нестандартной достижимостью. Для решения этих задач предложен подход, использующий построение вспомогательного графа. Сформулирована и доказана теорема о соответствии путей исходного и вспомогательного графов.

Рассмотрена задача о случайных блужданиях частицы по вершинам графа с меняющимися длительностями дуг. Для ее решения предложено построение нескольких матриц вероятностей для вспомогательного графа. Сформулированы и доказаны теоремы о связи вероятностей перехода на исходном и вспомогательном графах.

Ключевые слова: граф, алгоритмы на графах, достижимость, нестандартная достижимость, блуждание частицы.

Graphs with varying nonstandard reachability are considered. For such graphs the main sets (characteristic set and path set) depend by the discrete time. The problem of reachability and the problem of casual walk of a particle on graphs with varying nonstandard reachability are formulated and studied. To solve these problems proposed construction of the auxiliary graph. Theorem on compliance of ways on source and auxiliary graphs is formulated and proofed.

Also the problem of casual walk of a particle on graphs with varying on time duration of arks is formulated and studied. Construction of few matrices of probability for auxiliary graph is used solving this problem. Theorems on compliance of transition probability on source and auxiliary graphs are formulated and proofed.

Keywords: graph, graph algorithms, reachability, nonstandard reachability, particle wandering.

(t, 0 = Pu (t, j) =

Графы с меняющейся нестандартной достижимостью

Рассмотрим граф Gф(t)(X,U,f) с нестандартной

достижимостью ф [1], у которого для каждой дуги u eU заданы 2 характеристические функции: км : T х[0; m\z ^ {0;1} и Pu : T х[0; k]z ^ {0;1}, где T = [tb;te\z - некоторый промежуток дискретного времени. При этом

Í1, u e U в момент времени t; [ 0, в противном случае.

J1, u eU1 в момент времени t; [ 0, в противном случае.

Определение 1. Ориентированный граф G(t)(X,U,f) такого вида будем называть графом с

меняющейся нестандартной достижимостью.

На таких графах рассмотрим 2 классические задачи: о кратчайших путях и о случайных блужданиях частицы по вершинам графа.

Задача о кратчайших путях

Рассмотрим задачу нахождения кратчайшего пути на графе с меняющейся нестандартной достижимостью. Как было показано в [1], классические алгоритмы для ее решения не могут быть применены, поскольку теряются 2 свойства пути (транзитивное и экстремальное), на которых строятся такие алгорит-

мы. Более того, сама нестандартная достижимость может меняться с течением времени.

Отметим тот факт, что для графов с меняющейся нестандартной достижимостью, как и в других случаях зависимости дуг от времени, в задаче нахождения кратчайшего пути возникает вопрос о моменте времени начала движения по такому пути, поскольку для различных моментов времени начала движения кратчайшие пути могут быть различны. Проиллюстрируем такую ситуацию следующим примером.

Пример 1.

Рассмотрим граф G(X,U,f) с меняющейся нестандартной достижимостью при Т = {0;1} (рис. 1). В качестве ограничения на достижимость возьмем смешанную достижимость [2]. В данном случае множество дуг разбито на 2 непересекающихся подмножества ио,и («разрешенных» и «запрещенных») дуг, и ставится условие, что по дугам «запрещенного» множества нельзя проходить 2 раза подряд.

При этом с(и{) = с(и2) = 1 и с(из) = е(ы4) = 2.

Рис. 1. Граф G с меняющейся нестандартной достижимостью

Определим зависимость характеристического и путевого наборов множеств для t е {0;1} .

При t = 0 : и0(0) = {и3;м4}, и1(0) = {м1;м2} ,

и(0)(0) = и, и(1)(0) = и0(0).

При t = 1: и0(1) = {их; и 4}, и1(1) = {и2; из},

и(0)(1) = и, и(1)(1) = и0(1).

Будем считать, что фц (t) = тах{0, фц (t -1) + аи (?)} ;

[-1, ки (t,0) = 1;

характеристика Фц (0) = о,

au (t) =

0, Ku (t,1) = 1.

Таким образом, на рассматриваемом графе возможны 2 пути из вершины 1 в вершину 4:

ц = {и^;и2} и ^2 = {из,и4} . Следует заметить, что путь ц не является допустимым, если начинать его обход в четные моменты времени, в отличие от пути ц2, который является допустимым всегда. Однако кратчайшим путем на графе О является именно путь ц с одним условием: начинать движение по этому пути следует только в нечетные моменты времени.

Для нахождения кратчайших путей будем применять описанный ранее подход [1—4]. Построим вспомогательный граф О по следующим правилам: для каждой вершины х исходного графа поставим в соответствие (к +1) • |Т| вершин {х(/)}(/ = 0, к, t еТ \ })

на вспомогательном графе О . Дуги вспомогательного графа строятся по следующему принципу: для каждого момента времени t е Т \ } имеем правило 1:

для всех индексов / = 0, т и у = 0, к и каждой дуги и(/(и) = (ХУесли Ки/)•Риу) = 1 (т.е. в момент времени Ь дуга и принадлежит пересечению множеств Ui и и(у)), то на вспомогательном графе достраиваем дугу и( )) такую, что

/'(^(О) = (х(У),уТ1),аи (t)))). При этом ¥ (а, Ь) -функция [1], определяющая характеристику нестандартной достижимости: для произвольного пути ц характеристика строится по правилу фц (t) = ¥(фц (t-1), аи (0), V/ > ^, фц(^) = 0, где

число аи ^) зависит от того, к какому множеству из набора ид принадлежит дуга ц(?)( = и) в момент времени £

В том случае, если выбрано формальное ограничение ф нестрогого типа, кроме указанных дуг на вспомогательном графе строим дополнительные дуги по правилу 2: для всех индексов / = 0, т и у = 0, к и каждой дуги и(/(и) = (х, у)), для которой ки (?, г) • (1 — ри (?, у)) = 1 (т.е. в момент времени Ь дуга и принадлежит множеству иг и не принадлежит

множеству и(у)), если выполняется, что среди дуг

множества [(р1 ° /)(и)] + не существует дуги, которая бы в момент времени I +1 принадлежала бы множеству и ( ) , строим дополнительную дугу и такую, что /'(и') = (х(У),у(¥(у,аи«») .

Справедлива следующая

Теорема 1. Любому пути ц ' на вспомогательном графе О' соответствует допустимый путь ц на исходном графе О, и вершина у достижима из х на исходном графе с меняющейся нестандартной достижимостью О тогда и только тогда, когда на вспомогательном графе О' из вершины х(0) достижима, по крайней мере, одна из

Ь

вершин множества Уу = {у(У) }(у = 0, к, t е Т \{е }).

Доказательство данной теоремы практически дословно повторяет доказательство аналогичной теоремы из [1].

Случайные блуждания частицы на графах с меняющейся нестандартной достижимостью

Рассмотрим процесс случайного блуждания частицы по вершинам графа с меняющейся нестандартной достижимостью.

Как было показано ранее в [4], такой процесс не является марковским, и предложен подход для различных ограничений достижимости, при помощи которого можно сводить полученный немарковский процесс на графе с нестандартной достижимостью к марковскому на вспомогательном графе. Таким образом, для нахождения вероятности перехода из одной вершины в другую на исходном графе достаточно построить вспомогательный граф и на нем найти соответствующую вероятность перехода.

Приведем общее правило для решения задачи о вероятностях перехода на графах с нестандартной достижимостью и графах с меняющейся нестандартной достижимостью.

Для начала рассмотрим случай, когда нестандартная достижимость не зависит от времени.

В данном случае при решении задачи о кратчайших путях было предложено построение вспомогательного графа О' [1]. Будем использовать его с некоторыми дополнениями, касающимися перестроения вероятностей перехода по дугам О'.

Вероятности перехода будем перестраивать следующим образом:

1. Перенесем вероятности перехода по дугам исходного графа на соответствующие им дуги вспомогательного графа.

2. Поскольку при наличии ограничения на достижимость не все пути являются допустимыми, на вспомогательном графе будут существовать вершины, у которых общая (суммарная) вероятность перехода из них меньше единицы. Отсюда следует, что простого переноса вероятностей перехода недостаточно. Необходимо, кроме этого, произвести некоторое масштабирование. Оно зависит от внутренних свойств самой нестандартной достижимости. Так, к примеру, для магнитной достижимости [4] внутренним свойст-

вом выступает существенное увеличение вероятности перехода по магнитным дугам с увеличением характеристики ф . Для каждого такого свойства масштабирование будет проводиться по отдельным правилам. В самом простом случае, когда такие свойства не заданы, правила масштабирования будут иметь вид:

а) для каждой вершины х вспомогательного графа О' для которой существуют выходящие дуги

Уы е [х+ ] p(u) ::= ■

P(u) ,

I р(УУ

уе[ х + ]

б) для каждой вершины х вспомогательного графа О' для которой [х+ ] = 0, достраиваем дугу, являющуюся петлей. Вероятность перехода по этой петле полагается равной единице.

В результате таких действий получили марковский процесс случайного блуждания. Поскольку каждому пути вспомогательного графа соответствует допустимый путь на исходном, этот процесс соответствует (с некоторыми допущениями) процессу случайного блуждания частицы по вершинам исходного графа с нестандартной достижимостью. Справедлива следующая

Теорема 2. Вероятность перехода из вершины х в вершину у за / шагов на исходном графе О может быть

найдена по формуле рО(х,у,= I р^(х|0),у(г)+,),

2=0

с вероятностью прохождения по ней, равной единице. Но на следующем шаге вполне возможно, что для этой вершины будут существовать выходящие дуги. Ошибка состоит в том, что частица при таком построении вспомогательных графов может несколько раз пройти по петле и продолжить путь. Таким образом, частица задержится на несколько тактов в вершине, следовательно, будет двигаться по недопустимому пути, поскольку для этих временных слоев на графе О' обозначенная вершина петли не имеет.

Проиллюстрируем такую ситуацию следующим примером.

Пример 2.

Рассмотрим граф с циклически меняющейся смешанной достижимостью (период | Т |= 2) (рис. 2). Вероятности перехода по каждой дуге равны единице. Будем считать, что Цо(0) = {и^и^О) = {«2, «3}.

т.е. как суммарная вероятность перехода из вершины х(0) во множество вершин Уу = {у(0) ,...у() }

'0 Л0 +' '0 +t tо +'

за ' шагов на вспомогательном графе.

Доказательство данной теоремы следует из правил построения вспомогательного графа и вероятностей перехода по его дугам.

Отметим, что в общем случае вспомогательный граф О' является достаточно громоздким, и возникает вопрос об упрощении задачи нахождения вероятностей перехода. Поскольку в каждый момент времени на исходном графе действует вполне определенное ограничение на достижимость, существует возможность разделения вспомогательного графа. Рассмотрим возможный вариант такого разделения.

Так как при нахождении вероятности перехода из вершины в вершину приходится перемножать матрицы переходных вероятностей вспомогательного графа, предположим, что можно построить матрицы переходных вероятностей вспомогательных графов {О' ,...,0 ' } при каждом фиксированном времени,

а затем последовательно их перемножить. Такое действие существенно сократит время умножения, поскольку для каждого вспомогательного графа о, при

фиксированном времени вершин в |Т| раз меньше, чем у вспомогательного графа О'. Однако при таких действиях в результат закрадывается существенная ошибка, возникающая из-за того, что на вспомогательном графе О' ' могут существовать вершины, для

которых не было выходящих дуг и по правилу б) построения переходных вероятностей добавляется петля

Рис. 2. Граф с циклически меняющейся смешанной достижимостью (период | т = 2)

Ц)(1) = {«1, «зЬВД = {М2}.

Вспомогательный граф О' будет иметь вид, представленный на рис. 3.

Вероятность перехода на исходном графе О из вершины 1 в начальный момент времени / = 0 в любую вершину (за исключением вершины 3, поскольку там вершина «застревает») не менее чем за 3 шага равна нулю, так как все пути на вспомогательном графе О', начинающиеся в вершине 1, имеют длину, не превосходящую 2.

Рис. 3. Вспомогательный граф О'

Теперь попробуем уменьшить сложность, как это было описано выше: строим 2 вспомогательных графа О'0 И 0\ , для которых определим матрицы переходных вероятностей и, последовательно перемножая / раз эти матрицы, получим вероятности перехода из каждой вершины в каждую за / шагов.

Вспомогательные графы И представлены на рис.4 (а и б соответственно).

Рис. 4. Вспомогательный граф О'0 (а), (б) Матрицы переходных вероятностей Рс

и Ра,--

построенные по правилам для графов с неменяющейся нестандартной достижимостью, имеют следующий вид:

f 0 1 0 0 0 0 > f 0 1 0 0 0 0 >

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 Ра, - 1 0 0 0 0 0

Ра0 - 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

, 0 0 0 0 0 1у ,1 0 0 0 0 0 у

Перемножим эти матрицы так чтобы получить

переходные вероятности за 4 шага.

(1 0 0 0 0 0^ 0 0 0 0 0 1

Р4 - Рп • Рп • Рп • Рп

Рис. 5. Граф с циклически меняющейся длительностью прохождения по дугам

Циклическое изменение длительностей прохождения по дугам

T2 T3

[1, 21 1 1 1

[1, 31 2 2 2

[2, 3] 2 2 1

[3, 41 1 1 1

[4, 11 1 1 1

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

Таким образом, вероятность перехода из вершины 1 в начальный момент времени / = 0 в саму себя за 4

шага равна единице (элемент Р^ ). А этого, как было

показано выше, не может быть.

Случайные блуждания частицы на графах с меняющимися длительностями прохождения по дугам

Рассмотрим задачу о случайном блуждании частицы по вершинам графа, имеющего следующую особенность: длительность прохождения по каждой дуге зависит от времени начала движения по ней. Для графа с таким условием рассмотрим задачу нахождения вероятности перехода частицы из одной вершины в другую за некоторый промежуток времени.

Так как длительность прохождения по одной и той же дуге может принимать различные значения в различные моменты времени, решить эту задачу классическими методами можно лишь при помощи перебора всех возможных путей, а затем выбора из них подходящих и дальнейшего нахождения вероятностей перехода по ним.

Пример 3. Рассмотрим граф на рис. 5.

Зададим для такого графа циклическую зависимость длительностей прохождения по дугам по времени следующей таблицей.

Найдем вероятность перехода из вершины 1 в 3 за 2 промежутка времени при условии начала движения в момент времени (0 .

Если матрицу вероятностей графа (рис. 5) возведем в квадрат, то элемент, стоящий на пересечении 1-й строки и 3-го столбца окажется равным 1. Однако из вершины 1 в вершину 3 попасть за 2 промежутка времени при условии начала движения в момент времени /0 можно лишь по дуге 1 ^ 3, вероятность прохождения по которой равна 0,7. Двигаясь по другому пути, попадем в вершину 3 лишь в момент времени /3 .

Для решения поставленной задачи будем использовать вспомогательную цепь. Она строится таким образом, что длительность прохождения каждой дуги не зависит от времени.

Правила построения вспомогательной цепи (аналогично [1, 2]).

Каждой вершине х исходного графа поставим в соответствие Т вершин вспомогательного графа. Обозначим все получившиеся из х вершины {ху}, (г = 0,1,...Т _ 1) (в каждый момент времени /г вершине х исходного графа соответствует вершина хг вспомогательного).

Каждой дуге и (такой, что /(и) = (х, у)) исходного графа будут соответствовать Т — 1 — п дуг вспомогательного графа (п - количество моментов времени, когда дуга и не является допустимой). При этом дуги таковы, что /,(Щ.) = (ху,Уу+а(и,/)) . Вероятности перехода исходной дуги присваиваются соответствующим ей дугам вспомогательного графа.

Отличие нашего построения заключается в том,

что сохраняется равенство 2 Р(ю) = 1, где I — многое/

жество всех дуг, исходящих из одной вершины.

Если некоторая дуга и исходного графа, исходящая из вершины х , не является допустимой в момент времени /, на вспомогательном графе необходимо пере-

б

а

0

0

считать вероятности всех дуг, исходящих из вершины

' р(и') ' х', по формуле Р(и ) :=-, где р(и ) - веро-

I Р(^)

уе[ х, ]+

ятность дуги и в момент времени [х( ]+ - множество всех дуг, исходящих из вершины х{.

Если же из вершины х{ в момент времени ' выходят лишь недопустимые дуги или не выходит ни одной дуги, то на вспомогательном графе в вершине х{ будет достроена петля с вероятностью прохождения по ней, равной единице.

Так как длительность прохождения по дугам различается, матрицу вероятностей необходимо разделить на несколько, каждая из которых будет содержать вероятности дуг одной длительности. Следовательно, полученные матрицы не будут зависеть от времени.

Составим матрицу вероятностей перехода за один шаг по дугам с длительностью прохождения, равной 1. Данная матрица будет состоять из нулевых элементов и элементов, соответствующих вероятностям тех дуг, длительность прохождения по которым равна единице.

Матрица вероятностей перехода за один шаг по дугам с длительностью прохождения, равной 2, аналогично предыдущей, будет состоять из нулевых элементов и элементов, соответствующих вероятностям тех дуг, длительность прохождения по которым равна двум.

Аналогично можно составить матрицы вероятностей перехода за один шаг по дугам с большей длительностью прохождения.

Каждая из этих матриц по отдельности не соответствует никакой марковской цепи. Но матрица, равная сумме всех составленных матриц, соответствует цепи, которой является построенный вспомогательный граф.

Теорема 3. Для вспомогательной цепи

О'(X\и',/') верно равенство Р =1 Р • Р , где

г=1

Р'- матрица вероятностей перехода за промежуток времени, равный ' - г; Рг - матрица вероятностей перехода по дугам с длительностью прохождения, равной г; Р0 = Р0 = Е;Р1 = Р1.

Доказательство. Рассмотрим 2 произвольные вершины а и Ь графа О и докажем, что

Р аЬ = (I Р • Р )аЪ (здесь Р*аЬ - вероятность пере-

г=1

хода из а и за временной промежуток длительности /).

Пусть М' - множество всех путей длительностью ' из а в Ь, тогда рОь = I Р(Ц(a,Ь)).

Ц' еМ'

Если представить М' = М1 и М2 и ...и (где М - множество всех путей из а в Ь, которые начинаются дугой длительностью прохождения, равной г), то верно

Докажем, что выполняется равенство

I р(ц(а, Ь)) = I (р(г (0~с)) • р(г-г (с, Ь))).

цеМг сеХ'

Так как ц е м, , т. е. является путем длины / из а в

Ь, начинающимся дугой с длительностью прохождения г, то этот путь можно разделить на 2 части: дуга ц(1) (дуга, длительность прохождения по которой равна г); ц \ {ц(1)} (путь длины ' - г).

Обозначим эти части ^ (а, с) и г (с, Ь) соответственно. При этом С - это вершина, инцидентная обеим частям пути ц .

Таким образом, ц = п (а, с) и г-г (с, Ь). Тогда

I р(ц(а, Ь)) = I [р(г (ОТс)) • р(Г'-г (с, Ь))].

ЦеМг сеГ+ (а)

Здесь Гг+ (а) - все вершины, в которые можно попасть из вершины а, преодолев одну дугу с длительностью прохождения г. Так как вероятность перейти из

вершины а в любую вершину й е X'\Г'+ (а), преодолев дугу с длительностью прохождения г, равна нулю, то I Р(ц(а, Ь)) = I [р(г (а, с)) • р(г-г (с, Ь))].

цеМг се X'

Так как р(Гг (а, с)) = РОс и р(г- (с,Ь)) = Р^', то выполняется равенство:

I р(ц(а,Ь)) = I ((Р )ас • Р'Г) = (Р • Р'-г )аЬ .(2)

цеМ,- сеХ'

Следовательно, подставляя правую часть выраже-

РОЬ = (I Рг • Р 1 )аЬ. г=1

В силу произвольности выбора вершин а и Ь теорема верна.

Теорема 4. Вероятность перехода из вершины а в вершину Ь с начальным временем движения '0 за к шагов на исходном графе равна вероятности перехода из а (копии точки а) в Ь¡< (копию точки Ь) за к шагов на

вспомогательном графе (РО (а, Ь, к, '0) = Р& а , Ьг, к));' ' определяется следующим образом:

ния (2) в (1), получим РаЬ

t1 =

^ ,k < tj,k *

1; 11

j=k - и tj < 1.

< 1

РаЬ = 2 2 P(^t (a, b)).

i=1цеМ2

(1)

Доказательство теоремы 4 следует из доказательства теоремы 1 и правил построения вспомогательного графа.

Пример 4. Теперь построим вспомогательный граф О' (рис. 6) для графа на рис. 5.

По теореме 1, для того чтобы найти вероятность перехода из вершины 1 в вершину 3 за два промежутка времени при условии начала движения в момент времени '0 , необходимо найти матрицу

Р = + А2 (А и А2 - матрицы вероятностей перехода за один шаг по дугам длительности 1 и 2 соответственно). Интересующий нас элемент стоит на пересечении первой строки и одиннадцатого столбца матрицы Р . Этот элемент равен 0,7.

Рис. 6. Вспомогательный граф О'

Таким образом, мы нашли вероятность перехода из вершины 1 в вершину 3 за два промежутка времени при условии начала движения в момент времени /0 .

Литература

1. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А. Общий подход к

нестандартной достижимости на графах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. Спецвыпуск. Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики. С. 64-67; 2000. № 3. С. 184-188.

2. Басангова Е.О., Ерусалимский Я.М. Смешанная дости-

жимость на частично ориентированных графах // Вычислительные системы и алгоритмы. Ростов н/Д, 1983. С. 135-140.

3. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А. Достижимость на

графах с условиями затухания и усиления // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. Спецвыпуск. Математика и механика. С. 110-112.

4. Скороходов В.А. Случайные блуждания и потоки в сетях

с магнитной достижимостью // Модели и дискретные структуры. Элиста, 2002. С. 93-100.

Поступила в редакцию_2 декабря 2011 г.