Гармонические функции на графах с зависимостью длительностей прохождения по дугам от времени начала движения по ним Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ НА ГРАФАХ С ЗАВИСИМОСТЬЮ ДЛИТЕЛЬНОСТЕЙ ПРОХОЖДЕНИЯ ПО ДУГАМ ОТ ВРЕМЕНИ НАЧАЛА ДВИЖЕНИЯ ПО НИМ

© 2013 г. А.С. Чеботарева

Чеботарева Анастасия Сергеевна - аспирант, кафедра алгебры и дискретной математики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected].

Chebotaryova Anastasia Sergeevna - Post-Graduate Student, Department of the Algebra and Discrete Mathematics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected].

Введено понятие дискретного оператора Лапласа для графов с зависимостью длительностей дуг от дискретного времени начала движения по ним. Определены понятия границы и внутренности графа. Предложен аналог принципа максимума для субгармонических внутри графа функций. Приведена теорема существования и единственности решения задачи Дирихле на графах с зависимостью длительностей дуг от дискретного времени начала движения по ним.

Ключевые слова: граф, алгоритмы на графах, нестандартная достижимость, блуждание частицы, принцип максимума, задача Дирихле.

The notion of discrete Laplace operator on graphs with varying on discrete time duration of arks is entered in the article. The notions of border and interior of the graph with varying on discrete time duration of arks are determined. The analog of the principle of a maximum for subharmonic on the interior peaks of such a graph functions is suggested. The theorem of existence and uniquiness of the solve of a Dirichlet problen on the graphs with varying on discrete time duration of arks is formulated and proved.

Keywords: graph, graph algorithms, nonstandard reachability, flows on networks, particle wandering, principle of a maximum, Dirichletproblem.

Графы с нестандартной достижимостью и их аналоги (графы с зависимостью длительностей дуг от дискретного времени начала движения по ним) рассмотрены в [1 - 7]. Особенностью графов такого вида является то, что не все дуги равноправны, вследствие чего некоторые пути становятся недопустимыми. Поэтому возникает неприменимость классических алгоритмов, поскольку все они предполагают допустимость всех возможных путей графа.

При исследовании дискретного аналога оператора Лапласа на графах и краевых задач, порождаемых им, рассматривают топологические сети, которые имеют только некоторые сходства с графами. Однако имеются работы, посвященные изучению краевых задач именно на ориентированных графах [8, 9].

Основные понятия и определения

Пусть G(X,UJ) - ориентированный граф, у которого для каждой дуги u указана величина ё(и, /) - длительность прохождения по этой дуге при условии начала движения в момент времени t е 2. Будем считать величины d(u,t) периодическими по времени с периодом T [1 - 4], при этом основной промежуток -0 = [0;Т -1]2 .

Согласно [8, 9], дискретный оператор Лапласа для графа G и функции g : X ^ Я, определенной в его вершинах, задается соотношением

Ар g(x) = £ + рШ((р2 о /)(и)) - g(x), (1)

ие [х]

где [х]+ (= {и еЛ | (р1 о /)(и) = х })- дуги, исходящие из вершины х; вес р(и) > 0 задан на каждой дуге u графа G и удовлетворяет неравенству £ р(и) = 1

Vx е X.

В случае, когда p(u) = -

1

ue[ x]

на каждой дуге

+(х)

и е [х]+ графа G, имеем классический лапласиан

Аg(x) £ g((Р2 о Г)(и)) - g(х) .

аеБ +(х) ие[ х]+

Аналогичным образом введем дискретный аналог оператора Лапласа для функции g : X х в ^ Я , определенной в вершинах графа с циклической зависимостью весов дуг от времени [1 - 4, 6, 7]:

Аpg(x,^ = £р(и)g((Р2 о /)(и), 0 - g(x,о . (2)

ие[ х]+

Здесь вес р(и) > 0 задан для каждой дуги и еЛ и удовлетворяет равенству (1).

Определение 1. Вершина х графа G называется граничной, если подграф, индуцированный множеством I" (х) (множество всех вершин, достижимых из вершины х), сильно связен. Множество всех граничных вершин графа называется границей и обозначается дО. Вершина графа, не являющаяся граничной, называется внутренней. Множество всех внутренних вершин графа называется внутренностью и обозначается int G.

Определение 2. Функцию g : X х в ^ R будем называть гармонической на графе G с циклической зависимостью весов от времени, если Д g(x, t) = 0 для

любой пары (х, t) е X хв такой, что Г(х) ф 0 ; и гармонической внутри графа G, если Д g(x, t) = 0 для

любой вершины х е int G в каждый момент времени

t ев .

Определение 3. Функцию g : X хв ^ R будем называть субгармонической (супергармонической) на графе G, если Д g(x, t) > 0 (Д g(x, t) < 0) для любой

пары (х,t) еXхв такой, что Г(х) ф 0.

Функция g(х, t) - субгармоническая (супергармоническая) внутри графа G, если Д g(х, t) > 0 (Д g(х, t) < 0) для любой вершины х е int G в каждый момент времени t ев .

Аналогично тому, как это было сделано в [1 - 7], будем рассматривать вспомогательный граф G', который будет строиться по правилам из [2].

На графе G рассмотрим функцию h: X' ^ R, задаваемую правилом:

h(х) = g(х, t), Vt ев. (3)

Определение 4. Граничными вершинами вспомогательного графа будем считать те вершины, которые соответствуют граничным вершинам исходного графа. Внутренними вершинами вспомогательного графа считаются те вершины, которые соответствуют внутренним вершинам исходного графа.

Теорема 1. Функция h(х{) является гармонической на вспомогательном графе тогда и только тогда, когда функция g(х, t) гармоническая на исходном графе.

Доказательство. Зафиксируем произвольную вершину х е X и произвольный момент времени t ев .

Правила построения вспомогательного графа для графа с циклической зависимостью длительностей по времени: |Г(х,)| = |Г(х)| , Vt ев , где в = [0;Г -1]z .

Вероятности прохождения по дугам графа G -стационарные величины, т.е. p(ut) = p(u), где ut -дуга вспомогательного графа, соответствующая дуге u исходного графа в момент времени t.

Так как выполняется (3), то получим следующую связь лапласианов функций g и h:

A pg(x, t) = 2 p(u)g(( p2 о f)( u), t) - g( x, t) =

ые[ x]+

= 2 p(ut ЖP2 о f ')(ut)) - h(xt) = Aph(xt) .

ut е[ xt ]+

В силу произвольности выбора точки x и момента времени t для любой пары (x, t) е X хв равенство Ap g(x, t) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда Aph(xt) = 0, xt е X'. Следовательно, согласно определению гармонической функции на графе, не имеющем зависимостей каких-либо характеристик от времени (см. [8, 9]), и определению 2, функции g :Xхв ^R и h :X' ^R являются гармоническими одновременно. Теорема доказана.

Принцип максимума

Для графа G с циклической зависимостью длительностей прохождения по дугам от времени начала движения по ним и некоторой вершины x рассмотрим множество всех пар вида (y;t) таких, что вершина y достижима из вершины х при условии начала движения в момент времени t и притом за n шагов (путь из вершины х в любую вершину z е Г (x), состоящий ровно из одной дуги, является шагом). При этом tt -момент достижения вершины y. Обозначим это множество как Г" (x, t).

Таким образом,

Г(x, t) = {(J, t') | 3u : f (u) = (x, y); t' = d(u, t) +t}.

Аналогично Г -1 (x, t) = {(y, t') 13 u: f (u) = (y, x); t = d(u, t') +1'}.

Введем в рассмотрение множество r(x,t) = r1(x,t)^r2(x,t)'u..., которое назовем множеством достижимости вершины х при условии начала движения в момент времени t.

Пусть функция g(x,t) - субгармоническая на графе G.

Справедливо следующее утверждение:

Лемма 1. Если для некоторой пары (z, tk) имеет место g(z, tk) = M, где M = sup g(x, t) и выполня-

(x,t )eX хв

ется равенство 2 P(u) = 1, тогда g(x, t) = M для

ue[z]+

любой (x, t) такой, что (x, t) er(z, tk).

Доказательство. Так как функция g(x, t) субгармоническая на графе G, то Д pg (z, tk) = = 2 p(u)g ((P2 о f)( u), t) - g(z, tk ) > 0 .

ue[ z]+

Из условия g(z, tk) = M следует, что V(x, t) е X хв

g(x, t) < g(z, tk ). (4)

Для того чтобы выполнялись одновременно (2) и (3), должно выполняться неравенство

g(x, t) > g(z, tk ). (5)

Из (4), (5) следует, что g(x, t) = g(z, tk).

То есть утверждение справедливо для всех (x,t) е ri(z,tk).

Рассматривая аналогичным образом (x, t) еГ2(z, tk), затем (x, t) еЦ (z, tk) и далее, получим, что g(x, t) = g(z, tk ) = M V(x, t) е r(z, tk ).

Теорема доказана.

Пусть функция g ( x, t) - периодическая с периодом T и субгармоническая на графе G.

Теорема 2. Пусть существует вершина ё, еX

такая, что Г(ё) и 2 P(u) < 1, тогда не сущест-

uе[f]+

вует пары (z, t') еГ^ё, t) такой, что g(z, t') = Ml, где M1 = max g (x, t).

(x,t )еX хв

Доказательство. Предположим, что такая пара (z, t') существует. Тогда по лемме 1 g(A, t") = Mx для любой пары (Л, t") е r(z, t').

Значит,

g(ё, t) = M1, 2 p(u) < 1. (6)

uе[ё]+

С другой стороны, так как функция g(x, t) субгармоническая на графе G, то

Apg(t, t) = 2p(u)g((P2 о f)(u), t) - g(ё, t) > 0 . (7)

ме[ё]+

Для того чтобы одновременно выполнялись условия (6) и (7), необходимо существование некоторой дуги u такой, что g((p2 о f )(u), t) > g(ё, t) = Ml. Но Mj = max g(x, t), следовательно, такой дуги не су-

( xJ^X хв

ществует.

Теорема доказана.

Определение 5. Функцию g : X хв ^ R будем называть транзитивно постоянной в вершине x е X графа G с циклической зависимостью длительностей дуг от времени с периодом T, если g(y, t') = g(x, t) для любой пары (y, t') е Г( x, t) для любого t ев .

Пусть Y - некоторое подмножество множества вершин графа G.

Теорема 3. Субгармоническая функция, не являющаяся транзитивно постоянной ни в одной вершине x е Y графа G, не может достигать своего наибольшего значения на этом множестве вершин графа.

Доказательство теоремы следует из доказательств леммы 1 и теоремы 2.

Задача Дирихле на графах с циклической зависимостью весов дуг от времени начала движения по ним

Определение 6. Говорят, что граф прогрессивно конечен в вершине х, если в этом графе не существует бесконечных путей, начинающихся в вершине x. Граф, являющийся прогрессивно конечным в каждой своей вершине, называется прогрессивно конечным.

Рассмотрим задачу о нахождении гармонической на графе G функции, которая на границе дО совпада-

(8)

ет с заданной функцией <р(х,^ [8, 9], т.е. задачу о нахождении функции g(х,Г) : Vtев

g(x, t) = 0, х е МО Ф 0; [g(х, t) = ф(х, t), х е дО Ф 0.

Теорема 4. Пусть граф G(X,U¡/) не содержит бесконечных компонент сильной связности, причем его конденсация является прогрессивно конечным графом, и пусть на границе графа G задана ограниченная функция <р(х, ^ . Тогда задача Дирихле (8), порожденная оператором Лапласа А , имеет решение, и оно единственно.

Доказательство теоремы следует из доказательства теоремы о существовании и единственности задачи Дирихле на классическом ориентированном графе (см. [8]).

Пример 1.

Рассмотрим ориентированный граф О(Х,Л, ^ на рис. 1, длительности дуг которого зависят от времени

Вспомогательный граф О', построенный по правилам, приведенным в [1], показан на рис. 2.

периодом 1

T = t -1 ± »2 '0 •

p(u, t) =

deg + (х)

Пусть на каждой дуге u еЛ .

для

него

Рис. 1 • Граф G с циклической зависимостью длительности дуг от времени

Рассмотрим задачу Дирихле на графе G с циклической зависимостью длительностей дуг от времени с периодом T. Функцию р(х, t) в граничных вершинах исходного графа зададим следующим образом: р(3, t0) = 0; р(3, ti) = 1; р(3, t2) = 1; р(4, t0) = 1; р(4, ^) = 0; р(4, t2) = 0.

Для решения поставленной задачи Дирихле построим вспомогательный граф G' (см. [1 - 7]). Найдем функцию, гармоническую на графе G' и совпадающую в граничных точках вспомогательного графа с функцией х), которую определим через заданную функцию р следующим образом: у(хг) = р(х,t).

Граничными вершинами графа G являются dG = {3,4}, внутренними - int G = {1,2}.

Зависимость длительностей прохождения по дугам графа G от времени начала движения по ним ( d (u, t) ) представлена в таблице.

Веса дуг графа G в зависимости от времени

u t0 t1 t2

1 ^ 2 2 1 1

2 ^ 3 1 1 1

2 ^ 4 1 2 1

Рис. 2. Вспомогательный граф G'

Согласно определению 4, граничными вершинами вспомогательного графа являются только те вершины, которые соответствуют граничным вершинам исходного графа, т.е. вершины dG'= {30,31532,40,4j,42},

внутренними - int G' = {10,1,12,20,2j,22}.

Для вспомогательного графа граничные условия исходного графа преобразуются в следующие равенства: р(30) = 0; р(3) = 1; р(3) = 1; р(4) = 1; р(41) = 0; р(42) = 0.

Для того чтобы функция h(хг) была гармонической на графе G', необходимо выполнение равенств Д ph(20) = 0; Д ph(21) = 0; Д рИ{22) = 0; Д ph(10) = 0; Д рН(\) = 0; Д ph(12) = 0.

Запишем уравнения оператора Лапласа для внутренних вершин рассматриваемого вспомогательного

графа G', учитывая, что p(u) =-1-:

deg + (х)

Д ph(20) = p(20,31 )-h(31) + p(20,41 )-h(41) - h(20) =

= 0,5h(3 ) + 0,5h(4 ) - h(20 ),

Д ph(21) = p(21,32 )-h(32) + p(21,40 )-h(40) - h(21) =

= 0,5- h(3) + 0,5-h(40) - h(2),

Д ph(22) = p(22,30) ■ h(30) + p(22,40)-h(4„) - h(22) =

= 0,5- h(30) + 0,5-h(40) - h(2),

Д ph(10 ) = p(10,22 )■ h(22) - h(10 ) = 1h(22) - h(10 ),

Д ph1) = p(11,22) ■ h(22) - h(11) = 1h(22) - h(11), Дph(12) = p(12,20) 'h(20)-h(12) = 1 h(20)-h(12).

Таким образом, для вспомогательного графа получена система линейных уравнений, которая, согласно теореме 4, имеет единственное решение: гармоническая на графе G' функция h(х): h(20 ) = 0,5; h(2 ) = 1; h(22 )= 0,5; h(10) = 0,5; h(1) = 0,5; h(12) = 0,5; h(30) = 0; h(31) = 1; h(32) = 1; h(40) = 1; h(4 ) = 0; h(42) = 0 .

Тогда, согласно правилам задания, функция g (х, t), гармоническая внутри графа G, выглядит следующим образом:

с

О = 0,5; Г2) = 0,5; ш(3, Г0) = 0; ш(3, О = !

Ш(2, Го) = 0,5; Ш(2, V = ! Ш(2, Г2) = 0,5; Ш(1, = 0,5;

Ш(3, Г2) =!; Ш(4, Ы = ! Ш(4,0 = 0; Ш(4, Г2) = 0.

Литература

1. Скороходов В.А., Чеботарева А.С. Максимальный поток в сети с циклической зависимостью длительностей прохождения по дугам от времени // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2011. № 5. С. 23 - 27.

2. Скороходов В.А. Потоки в обобщенных сетях со связанными дугами // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 2. С. 42 - 53.

3. Скороходов В.А., Чеботарева А.С. Графы с зависимостью некоторых характеристик от времени: достижимость, случайные процессы // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2012. № 3. С. 13 - 18.

4. Скороходов В.А. Потоки в сетях с меняющейся дли-

Поступила в редакцию

тельностью прохождения // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2011. № 1. С. 21 - 26.

5. Скороходов В.А., Ерусалимский Я.М. Нестандартная достижимость на графах: модели и алгоритмы. Saarbrücken, Germany, 2011. 188 p.

6. Ерусалимский Я.М., СкороходовВ.А., КузьминоваМ.В., Петросян А.Г. Графы с нестандартной достижимостью: задачи, приложения. Ростов н/Д, 2009. 195 с.

7. Скороходов В.А. Достижимость на графах с ограничением на прохождение по дугам и зависимостью весов дуг от времени // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2009. № 6. С. 14 - 17.

8. Степовой Д.В. Оператор Лапласа на конечных ориентированных графах. Зерноград, 1996. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 27.09.96, № 2899.

9. Ерусалимский Я.М., Степовой Д.В. Потенциальный оператор, функция Грина на ориентированных графах и некоторые их приложения в квантовой механике // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. Спецвыпуск. С. 67 - 71.

16 июля 2013 г