CC BY
17
И: Г. Кулёев.
f ПОТЕРИ' ЭНЕРГИИ В ТРАНСФОРМАТОРАХ ПРИ
НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ РАБОТЫ.
4 Стахановское движение ломает старые взгляды на технику, ломает ста-
рые Технические нормы, старЬе проектные мощности, старые производственные планы и требует создания новых, более высоких технических норм, • проектных мощностей и производственных планов. Сварочцые трансформаторы, работающие исключительно при неустановившемся режиме, не имеют теоретически обоснованного выражения мощности, идущей на покрытие потерь, которые имеют место в самом трансформаторе. Не зная -потерь, нельзя расчитать трансформатора, и следовательно,Нельзя от него получить другой, более высокой, проектной мощности.
Настоящая работа ставит своей целью заполнить этот пробел.
4 Мощность, доставляемая трансформатору, работающему вхолостую, расходуется в нем самом на покрытие потерь в меди первичной обмотки и потерь в железе от гистерезиса и токов Фуко.-Первые потери обязаны на-' , личию активного сопротивление первичной обмотки. Потери на гистерезис обязаны той работе, которую нужно затратить на циклическое перемагни-чивание железа. Потери от токов Фуко "обязаны тем паразитнкм^токам» которые индуктируются переменным магнитным потоком в листах железа трансформатора.
Рассмотрим каждую составляющую потерь отделено. С целью упрощения рассмотрим сначала их при работе трансформатора вхолостую. В этом последнем случае намагничение железа трансформатора производится только первичной ч>бмоткой. t ^ МЕДНЫЕ ПОТЕРИ.
Активная составляющая тока холостого хода сравнительно с намагничивающей составляющей настолько мала, что ею можко пренебречь. Сле-J довательно, можно считать, что потери при холостом ходе трансформатора вызываются ;уэлько" намагничивающим током. #
Поэтому в нижеследующие формулы для подсчета потерь при холостом ходе будет входить только намагничивающий ток. Зависимость между током и потоком или током и индукцией дается следующими авторами.
1) Bergtold (л. 1):
Здесь Си С2 и постоянные, зависящие от сорта листовой стали, В— индукция в гауссах и i—ток в амперах, . , •
2) Ollendorff (л. 2):
h = snh b ' * (2)
Здесь h—напряженность магнитного поля и b—относительная индукция.
В
Д-1Я трансформаторов Ol lendfforff дает b—~—. . а
2ор0
Здесь В—максимальное значение магнитной индукции в гауссах.
*
3) витшегв (л.^З);
¿Л
Здесь
к = Ах ——^ Л3 эп 3 агсэп
Вт Вт
йп 5 агсэп--1~.
Вт
Ах = Нвт — (— ¿3 + А> - Л7 + Л9 + ... ),
1 * '
Аь -г-/4э = — (т2 — 74+Те)>
V I О
О
Т4 + Тв-»-Т8+Т1в),
У, >
* 1 . \
• . 1 1 V 5
/ ! 1 1 \ - • /
> / 1 1 > 1 А
к 1 1 * ♦ К , 1 N
в 'вс<1>
Фиг. 1.
Ъ— мгновенное значейие индукции, Вт—максимальное значение индукции, И—максимальное значение напряженности поля и •у—см. на фиг. 1;
ОАепдо^—более просто выражает зависимость Ь от А. Поэтому в-, дальнейшем буду .пользоваться этой последней формулой.
При включении трансформатора-в момент, когда напряжение не проходит через максимум, ток достигает , некоторого максимального* значения, после чего затухает до нормальной своей величины. Затухание тока зависит от насыщения железа трансформатора: При боль-*ших насыщениях, благодаря малому индуктивному сопротивлению, затухание ,;гока происходит довольно быстро (фиг. 2),
* Для сравнения на фиг. 3 представлена осцилограмма тока включения у большого, но умеренно насыщенного трансформатора. Для того, чтобы найти зависимость тока от времени в явном виде, воспользуемся диференциальным уравнением трансформатора:
• Ш о) Ю-8 ^^ И?— V т$п а. -
¿а , . V
Здесь Ф—магнитный поток, а= <*>;,£—мгновенное значение тока,/?—активное сопротивление, Ут — максимальное значение на- гтл
пряжения, И?'—число витков, * со—угловая скорость и время. '
Так как А = /, то можем
написать:
' 1 = 4-
БП О0
Здесь г0 — мгновенное ___ значение тока Холостого 1 хода, д0—относительная индукция при холостом ходе Фиг. 2.
т Ь—значение относительной индукции при включении.
Подставляя формулу (4) в дифференциальное урав&ние трансформатора, ■получим:
<1Ф 108
с¿а
¥т эп а — ц Д
эпЬ Ь ЭпЬ Ьа
(5)
Интегрирование данного диференциального уравнения может быть произведена только приближенно. Я считаю наиболее простым*, дающим достаточную для практики точность, графический ме-то^ Эйлера К,Ли (л. 4), который заключается в следующем. Прямыми, параллельными оси ординат, разбиваем ось абсцисс^на л равных частей (фиг* 4) и влево от начала координат аткладываем отрезок Отравный единичному значению. В моем случае
с/Фа '
ОР равен одному радиану. При а — = 0,--=0. Подставляя в правую
Фиг. 3.
часть уравнения (4) а отрезок; ОАи равный
¿а0 йФ,
=»сс1, определим величину-
^ ¿ОСх
ахФ
и отложим на оси ординат
равный
Ф
йФх
Отрезок РАХ будет иметь угловой коэфициент,
и будет, следовательно, параллелей касательной к кривой, в
точке*-Л^. Из точки тх проводим луч, параллельный РАг, до пересечения его в точке М2 с прямой а = а2, параллельной оси ОФ. Поступая аналогично
^ для "других значений, построим ломаную ливию, представляющую приблизительно искомую интегральную кривую. На фиг. 5 представлены кривые Ф = /(а). Они -построены указанным выше способом для трансформатора 50 КУА 50 периодов, 8000/191 вольт, Ф — 1.131,106 силовых линий/ В — 12600 гаусс, #=13,5 ом и /0 = 0,2 А.
Для % того, чтобы цайтн • зависимость магнитного потока от времени и наблюдать его изменения, не прибегая к отысканию большого числа точек,
мною указанным выше способом построены кривые изменения магнитного потока от времени для Следующих данных (фиг. 5): кривые 1,2 и 3—вклю-напряжение проходит через нуль, и
| » -с__ —^ {
\ *
Л 1 !
Р 0
\ Ч
Фрг. 4.
*3
чение происходит в- момент, когда сопротивления первичной обмотки предположены соответственно равными:
* /^¡З.б; /?2 = 2500 и /?31000 ом.
Кривая (4) соответствует случаю, когда в момент включения напряжение V— Утэп 67°30°, и сопротивление первичной обмотки предположено равным =»1000 ом. '
С целью удобства, наблюдения для указанных на фиг* 5 случаев, мною вычерчены кривые, проходящие через максимальные значения магнитного
Фиг. 5. ь 1
■ - ' л
потока (фиг. 6). Результирующий магнитный поток состоит,/как йзвестно,
из потока установившегося режима и потока переходного режима. Под-' Ф
— . 1 .1—— ■■ -■"' -' 1——...... 1 1 ■■■■ '—-.II - ——' ■ ' . 1. ' ! ...
' - * ! 1 ! 1
\ о —— __ г ** -
:
к^юоо« •-
1000»^ 7=67,5"** ^___^
■
/
»
%
13»ю"
Фиг. б.
счеты показывают, что поток переходного режима может быть выражея нижеследующей предлагаемой мною формулой:
Фп = Фте . (6)
7
-V
Здесь Фп—переходная составляющая магнитного потока, Фт—наибольшее значение переходной составляющей^агнитного потока, £—время и е—основание натуральных логарифмов. В таком случае, результирующий магнитный поток получился равным (л. 5):
« * I
^ ^ г ^ . % ч , —1,48 ЬЛ/Мъ
0 = ФЖ[—С08(а + ^)+.С08фв ] (7)
Здесь Фт—максимальное значение установившегося магнитного потока, ф—определяет мгновенное значение напряжения в момент включения.
Подставляя в э^ формулу, соответствующие случаям включения, имеющим место» на фиг. 5, значения /?, и также и получим значения
магнитного потока, отмеченного на фиг. 6, точками. Мы видим, ЧТО П£-ток, найденный графическим методом* весьма мало отличается от магнитного Фиг. 7. ч
потока, подсчитанного цо формуле (7),
т. е. предлагаемая мною формула (6) достаточно точно представляет переходную составляющую магнитного потока.
Для того, ЧТ96Ы сравнить кривую магнитного * потока, найденную йо формуле (7), с действительной кривой, мною сня-, та осциллограмма тока включения (фиг. 7) катушки, имеющей активное со-протиэление /?=0,7 ома.
По осциллограмме (фиг. 7) и по кривой намагничения (кривая 2, фиг. 9) мною построена кривая результирующего магнитного потока фиг. 8). Точки выше кривой показывают значение магнитного потока, подсчитанного по формуле (7). На основе проделанных сравнений прйхвжу к заключению, что формулой (7) вполне можно пользоваться-при количественных подсчетах, связанных с неустановившимся режимом работы трансформатора.
Так как Ф = Ь, то формулу (7) мЪжно преобразовать» так:
' и иг / I IV ! . -ШЬ(j\/kt-
> " Ь-—Ь0[— соэ(а + ф> + сое ]
Следовательно, среднее действующее значение тока за время включения /о
—<
%
"—1 1 <1
ч _! 1__
* - ч -
1 1 \
/ И
• V ■
Фиг. 8.'
8пЬ
(Здесь/0—действующее значение тока холостого хода), - V <
или заменяя БтЬ ["•■]'
/'2 | +- ♦ «-¿А <8"
Здесь и—время включения, т. е. время от момента включения и до момента выключения. '
Этот интеграл можно вычислить только приближенно, например, по формуле Симпсона (л. 6)
fc: ff(*)
dt
Ь — а Ък
\fl*>) + ? / + 2/(*я) + ср f(x3)+ ... / (xk)] 49)
(
I / «ме-м»* 0
^ (Здесь к—число слагаемых, равное четному числу);
CD Е
Ш*^ 260
235 240
246 220
19( 100
17« 180
15? 160
\У1 1*0
11» 120
98 100
76} 80 60
m 4о 26
——1 1 I
- с и Е
Л
Л I .i
у Г
л г « 1
/ \
/
*
h if d
г
1 | \
■ ч
6 J г 3 i 5 6 7 ft J 9 10 И 12 15
Фиг, 9. *
или путем следующих преобразований подинтёгральйого выражения
1 ГЬ . г , . .. Г '. -хМьунс
1 Ги ' —1
I cosh [— cos (a-f-ф)-f-cos фе ' " " ] dt » 2ti J * t
о - „
1 /•/« 2^0 [-cos (а+ф) — cos ф e
2-
4 rfe 2^0 cos - cos ф € л
J * , , +
о - ' __
1 f 4 -2й0 [- cos (а+ф)-ъ08 ф e~l'4sb'vrt]
e - dt =
—f .24 J
1 У #
N .1 f £ 2&0 cos (а+ф) 2&o cos ф
.e
-xa&boV'Rt
1 щ rti 2b0 COS (а+ф) ~260СОЗф^
Нг/
•e
* Если ввести следующие сокращенные обозначения
2b0 cos ф = а; 1,481>0 VR = с, "г '
то уравнение может быть написано еще и так: * \
21
1 Ctl иль г /»,41 , -M^V*'-,
- I cosh 2 [— cos (а + ф) -f cos ф е ] at
i J '
о
-ct -ct
1 rti —2£0 cos (а+ф) a e . 1 rtt 2 60'cos (а+ф) — ае
— I e .e at A--I e
4tJ - ■ , 46 J
о о
/ -
dt.
Из теории функций Бесселя (л. 7) известно, что~(%
гь, cos (а+Ф) = л (2йо) 2У; (2йо) cos<a + ф) + 2Л (2йо) cos ('2а +
• *
е-260 cos (а+ф) = Уо (2йо) _ 27i cos (а + ф) + 2Л (f£0) cos (2а + ф) -ги из теории рядов известно (л. 8), ч-уо
а2 e-2ct а3
яе t . ае е =1 -(-;
1!
2!
3!
-ct .
—ае , е — 1
ае
—ct
2 р—2с/ а3 е
а< е
—3 ct
1!
2!
3!
+ .
.следовательно,
J_
21
1 Ctl 1см г / ■ -1.48 ЬоУЛ/
— I cosh 2b0 [— cos (а + ф) + cos Ф е ] at
1>t\ J
+
j= — Г [Л (26о) — 27i cos (а + ф) 4i, J
о
2/2 (2ft0) cos*(2a + ф а) + ...]
+ -¿-J'1 J Л (2bo) + 2У: (2ft0) cos (а + ф)5+...
u2
1 + +-+...
- 11 2!-
dt + ft
X
XI
ae
-ct
a2 e
■let
1!
2!
dt
Считаю метод Симпсона, менее громоздким и, стало быть, более пригодным для решения уравнения (8). Применительно к моему случаю фор- • мулА Симпсона примет седующйй вид:
1=
snh b{
1 / 1 Ctl U СМ. Г / -WbVRt 4 1 rh
]/—I cosh 2b0 [—cos (а + ф) + cos фг ^ ^ 2tJ
1 о__._•__[_
J* 1 / 1 \ < uau f / л ,
V 23 ' C°S [~"cos(а° + Ф) + cosф ^ ] +
dt=
snh bt
,3.k
+ 4 cosh 2&p [— cos (ссх + Ф) + cos ф -f 2 cosh 2bo [ — cos (a2 + ф) +
Ч-созф^^]+--. + со5Ь 2b0[-~ со8(аА + ф) + со8фе-1'48&°|/^]}_1 (11)
Вт
Относительную индукцию ¿о — — » соответствующую нормальному
X
напряжению, необходимо так выбрать, чтобы ток > '
-\ snhb
соответствовал тому значению, которое получается по кривой намагничения. ' i
Прежде чем приступить ^определению по формуле (11) тока включения для вышехказанной катушки, мною проделан подбор Ь0, который заключается в том, что, задавая произрольно значение ö0, я находил по формуле^) такой ток, который при заданном значении Ь0 соответствовал току, найденному цо кривой» намагничения. Чобы сравнить токи, полученные по) формуле\(4), с токами/найденными по фивой намагничения, мною токи, HáñAeHHbie по формуле (4), указаны на фиг. 9 точками с соответствующими, индексами. t
Точки с индексом 1*около кривой намагничения соответствуют случаю, когда к катушке приложено напряжение 135 вольт, Вт= 10500 гаусс » &0 = 3,18. Точки с индексом II относятся к случаю, когда к катушке приложено напряжение 168 вольт* Вт= 13000 гаусс и Ь0 = 5,05.*Точки с индексом III относятся к случаю, когда к катушке приложено напряжение 188~вольт, Вт = 14600 гаусс и Ь0 — 5,37.
При включении катушки в момент, когда напряжение проходит через нуль, толчек тока достигает наибольшего значения. При включении ка* тушки в момент, когда напряжение проходит через максимум, толчка тока
совершенно не будет (фиг. 10). При включении катушки в момент, отличный от ука^ан-йых выше, толчек тока будет иметь какое-то промежуточное значение. Так как появление joro или иного случая включения равновероятно, то значение эквивалент / тока включения дли отмеченных выше 3 случаев включения определится по, формуле (9)
Фиг., 10.
; ' / =Т/ Л/2*1 + Уз 23 ¿3 (12>
5 |/ ^ + . Тз(А + 4+...у
Здесь ¿х и ¿2—отрезки времени между двумя смежными ордина?ами;
в мбем случае они равнр, т. е. — *
/12 —/г — /2; — /2 — /3;
А— действующе^ значение, тока включения, если оно произошло в момент, когда напряжение проходит через ну^ь; ч
/2 — действующее значение тока включения, если включение произошло в момент, когда напряжение V '—Ъщ эп 45°;
/3 — действующее значение тока включения,'если включение произошла в момент, когда напряжение проходит через максимум.
Эквивалентный ток включения будет тем больше, чем больше индукция. В таблице 1 приводятся подсчитанные по формулам (11) и (12) значения эквивалентных токов включения при различных значение ^напряжения, приложенного к катушке с активным сопротивлением = 0,7* ома-
Таблица 1,
ф Напряжена е
г 135 V ' 168 V 188 V
Вт к А /2 • 'л к н_ * Рмед / 10500 3,18 1,4 1,24 • 0,6 1,2 160 0,0025 . 0,4 1 ватт г • 13000 "5,05 : 9,75 4,95 0,9 ч 5,25 124 0,0025 0,31 ■34,2 ватта 14000 5,35 23,7 * 9,3 1,55 13,3 100 0,0025 0,25 123 вАта
Здесь •••—отрезки времени между двумя смежцымй ордина-
тами, А — время включения, 1Э — эквивалентный ток; включения, РМед— потери в меди, подсчитанные по формуле Л2/?. Число ординат в каждом случае взято таким, чтобы ток в конце • включения составлял не больш« (1—5°/0) от толчка тока лри включении.
Из таблицы 1 видно, что потери в меди тем 'больше, чем больше индукция. С достаточной для практики точностью они могут быть подсчитаны по предлагаемой мною формуле: %
■ - -/ Вт
Рмед—____.
\ 9000 У
ЛейсТвительно, подставляя указанные ниже значения т» 10500 гаусс.
Рмг = 0,7
10500 \ю.о
при Я =13006 гаусс
Рм =0,7
9000 13000 У о,о
и при 5= 14600.гаусс
Рм = 0,7
9000 /
14600 \io.4
9000
= 3,2 ватт, = 28 ватт,-= 115 ватт.
(13)
получим при I
Значительное расхождением первом случае не имеет большого значения, так как при малом насыщении потери в меди составляют лишь 5°/<>
Г
и
и
12
% 1 1 1 -
» 1 - |
< 1 1
ч
\
А
12 56 , 20 24 2& )2 И 46 М 4А 5*
Фиг. П.. ~ п >
от потерь в железе. Расхождения во втором случае с опытными данными, как увйдим ниже, нет. При другом числе включений "в секунду показатель степени имеет иное значение. Чтобы иметь возможность-пвльзоваться этой формулой при самом различном чис^£ включений в секунду, мною на( основании формул И, и 12 вычислена й построена, представленная на фиг. 11, кривая, представляющая зависимость показателя степени ? от числа включений в секунду п\
/
ПОТЕРИ ОТ ТОКОВ ФУКО. Л
При установившемся режиме работы токи Фуко в трансформаторе порождаются электродвижущей силой, наводимой изменениями магнитяого потока. При включении трансформатора, в железе его, кроме установившегося ;гока 1фУ, появляется еще переходная составляющая 1фП. Последняя
имеет следующее выражение (л. 10) #
♦ . ___
* , 1Фп--А,е Гл+Л4е г' . ' ' (13)
Т3 — постоянная временя полей расстояния от^токов Фуко, —
— коэфициент самоиндукции рассеяния от токов Фуко; Иф—сопротивление токам Фуко, Тн*~ постоянная времени главного поля токов Фуко, Л3 и А4 — постоянные, значение которых см. ниже. *
Если предположить, что изменение напряжений трансформатора происходит по закону синуса, то среднее действующее значение переходного тока за время включения определится по формуле
' /
-/иг
" 0 0
А3е "cos^+H^ s costy
dty dt —
21 . _ _t___t_ 1L ' 0
Th — 2 A3A4e Ts + Л42 e =
- y yj JT«
»00,"
" _» ZJTTZ ZH " •
J 1 j*(Aa*e r" 2A3 A4e Т" e T\ + A¿ e T*) (cos 2ф +1) dty dt =
/ThAj 4 A
21 ' 2ft ПЛ2 „ 'ЦТ., Ts я 'Т.
(1-е A4 (1 — § s)~ ■ ,
4A A
_ Th+Ts " ■ '
-A.A./^i 1-е , (15)
Для tofo, чтобы • определить воспользуемся, следующими рассуждениям^.
Фиг. 12 представляет сечение стержня трансформатора, fio теореме Стокса (л. 11) / Ads, взятый по кривой 5, будет равен сумме таких же интегралов, взятых по периферии отдельных площадок^ибо по лш^ш соприкосновения двух смежных площадок *А ds будет иметь противоположные значения, так kjk А сохраняет свое наг^равление, a ds для смежных площадок имеет-противоположные значения. Следовательно, магнитное дей-
ствие токов Фуко, проходящих по сердечнику, может быть заменено действием их при йрохож'дении по железному витку, расположенному начте-риферии, сердечникд,7 активное сопротивление которогй найдем так: Потери от токов Фуко
отсюда
Рф = 1ф^Я^
_ РФ
V
(16)
Г. Н. Петров (л. .12) дает потери от токов 'Фуко при тол- ^
щине листов железа 0,35 мм в Фиг. 12.
восемь р£5 меньше потерь на ги-
стерйис и при Толщине листов железа 0,5 мм потери от токов Фуко в 5 раз меньше потерь на гистерезис, т, е.
♦ * - РФ =
(17>
Здбеь Рж — потери в железе. Следовательно
т
V
6 ' 9
9
Рж
Р
лс
V
Высота витка
(18)
Здесь кн — высота стержня, // — длина ярма между осями стержней/ Ау.— высота ярма.*Толщина витка равна толщине листов железа трансформатора, длину воздушного промежутка, в котором проходит поток рассеяния, принимак» равной 8=1 си.
Коэфициент самоиндукции, соответствующий потоку рассеяния,—
1 -(М««*(19)
яй
2 '
У
Здесь ¿/ — длина железного витка. *
Для трансформаторов и равно удвоенной ширине листа железа стержня или ярма, если стержень и ярмо -имейт одинаковые размеры. В нашем случае £/ = 2.3,-6 = 7.2 см. \ *
Постоянная времени потока рассеяния от токов Фуко
Т*
0Аъи>2Ржи
С
. Яф, 2 (А* +// + /*,) (6 \ 3
Подставляя С = 0,8§ мм, получим '0.4*35.7,2 / 0.035
Н)
т,=
2.41,6.9.1682 \ 3 Здесь 117=1,при С = 0.5 см; Т5= 10.310"в сек
0.5 =7.92,10~6 сек.
14
—--/
• '
В формуле (6) по аналогии с ненасыщенными цепями ьржно считать
1.48 Ь0 У#"= у ■ ' „ (20)
Здесь Г—постоянная времени. ,
В таком случае постоянная времени главного поля первичной1 обмотки
Тх =-=--—^^ = о А&сек.
\А8Ь0УЯ 1.48.5,05^0,7
Постоянная рремени чглавного поля токов Фуко при. У= 168
ф 9
Тф= —-1—г = 1.57. Ю-з сеКл
1.48.5,05]/ 111682. . >.
у 35
\ - в * ■ т '
Для того, чтобы определить ошедщие в уравнения (13) постоянные А3 .и А4, воспользуемся диференциальными уравнениями двух обмоток, индурт^вно связанных общим магнитным потоком.* Для замкнутого'накоротко, со стороны вторичной обмотки, трансформатора они примут следующий вйд'.| ^ ' .
аг аь
\.
г ¿¿2 , л л сИ\
Ф
= 0 (21)
йЬ (И
i
Если продиференцировать уравнение (21) по I исключить 12 из вновь полученных уравнений, то получается следующее линейно^ диференцй-альное уравнение второго* порядка относительно ¿и правую часть кото-, рого приравниваю нулю, так как меня интересуют лишь затухающие токи неустановившегося режима (л. 13):, . . -
^ + (в! «2 «» = 0.
* а/2 ах
Здесь - ,
• , М2
•V а1 =—а2 =-; ^=1--..
¿IX 12хь * Ц.Ц
Яи ¿ь £2 — соответственно , активные сопротивления и коэфициенты самоиндукции первичной и вторичной обмоток трансформатора, М — ко-эфициент взаимоиндукции, ¿хп — переходная составляющая тока первичной обмотки. '
Вышенаписаннор диференциальное уравнение ймеет следующее, решение: * 0
—а* Ь —а§ Ь . %
, 11я = А1е +А2е . (22а)
' - Ч
Точно такое же диференциальное уравнение как .для Ьп существует и для г2л. Таким образом для текущего по вторичной обмотке тока по» лучается ^ ■
—ал t 4 — в2" Ь *
.1„ = А,е (22Ь)
З^сь I — время в секундах;
2 У 4 = ах + а2 ■ У (ах + ^)2 2 /У . 4
а2
— ^ а2 т
ах й2 т
\
Ах, А2, Л3М4-^- постоянные интегрирования.
Подставляя уравнения (22) \ уравнений (21)^ и приравнивая правую часть нулю, получим/ ' $
/¿1 Ах 1 Ах = О
¿1 Л2 а2 + ЖЛ4а2—' I ^24)
, Х2 Лз^ + ЖЛ^! — ЯЛ23 = Ок ¿2 Л4 а2 4* ЖЛ2 а2 — #^2 4 == О
Предположи}^ что включение происходит в момент, когда напряжение проходит через нуль, т. (л. 14) ' с
$ # / Цп = — /, ^ ¿2ГГ= — /'а (25)
Л + = —Л3+Л4 = — ¿'2 * . (26)
Тогда уравнение (24) вместе, с уравнением (26) дает необходимое идо-статочное "число уравнений-для определения постоянных интегрирования от Ах доЛ4/* • '
Л М* — а2 Тх)
Ах =
а2— а.
А — А (1 —
ЖЙ! а2Г2 л /?(а2 —а,) Мах
Л»
а2 — а1
_ (1 — а2 Т\) Ц1Х (1 -Т.ау) (а2 — ах) МТХ
л (а2— ах)МТг а2 —«1
/?(а2 — а^ /;2 (1 - Тх
а2 — ах
\
.Коэфидиент рассеяния Л — весьма малая величина. Допуская т = 0, полу-
0
чим для постоянной затухания ах неопределенность вида —»котораяпереходит, однако, после раскрытия по правилу Лопиталя (л. 15)ч в
' " < 1 * «1
Тх + Т2
и кроме тогб " а2 = оо
Подставляя значение ах в а2 и уравнение для Л3, получаю неопреде-которая переходит, после раскрытия по правилу Ло-
ленность вида
оо
оо
питаля, в \
Так как то
МТ" '2
/1 + /'2 = -/^
•/Р ^
♦ -
А,=
Т\ + 'Л
(26 а)
' ¡а *
Других постоянных интегрирования не] отыскиваю, так как они не требуются, Здесь Т2 — постоянная .времени вторичной цепи. В рассматриваемом случае Т2 = Тф, так как индуктивно связаны общим Магнитным потоком будут первичная обмотка трансформатора и- железный виток, по которому проходят токи Фуко,.а вторичная обмотка разомкнута. Следовательно, в окончательном виде формула напишется так:
Аг= —
V
9
Тх+Тф ■ '
' /
Пренебрегая составляющей от потока рассеяния, среднее действующее значение переходной составляющей токов *Фуко за время включения^ согласно формулё (15)^— __
/
е Тн) .
4 Подставляя значения Л3 и Тн~ Тг-\-Тф (л. 16), получив
• •
$п —
^ + Тф
( 2 7\ + Тф Г I
Составляющая токов Фуко установившегося режима 1фУ »
тирующее'значение токов Фуко за время включения
1фв=У~12фу+Р*п
9 V
. \
Резуль-(27).
Потери оттоков Фуко при неустановившемся режиме работы
Рфв ~ 1-2фв Яф ► \
' / / Потери от токов Фуко при неустановившемся режиме работы зависят от чксла включений в секунду и приводятся в таблице 2.
Таблица 2.
Время включения в секундах « 1фп 1фу 1фв ' Рфв ~—--/п Рфу \ V Рфв * Рфу,
0,31 3,16.103 8,32Л03 2,34,102 4,0 3,9 168 1,03
0,02 5,9103 2,32,102 2,38,10* 4,121 3,9 ' 168 - 1,08
В таблице 2 взято по кривой намагничения (фиг. 9), Т^ подсчитан по формуле (20) и потери от токов Фуко при установившемся режиме работы подсчитаны по формуле
^ п _ Ржу <
Здесь" Яжу ~ потери в железе при установившемся режиме 'работы.
Из таблицы 2 следует, что', если числа «включений в секунду меньше ста,- то переходной составляющей потерь от токов Фуко можно пренебречь. •
В таком случае потери* от токов Фуко при неустановившемся.режиме работы будут выражаться так же, как и при у становившемся режиме работы, У. е. .
1 РеЬ Й --#
Потери на гистерезис
До настоящего времен^ вопросом' потерь на гистерезис'при больших смещенных циклах никто не занимался. Работа J. D. Ball (л. 17) относится к небольшим смешанным циклау. В кциге В. К. 'Аркадьеву (л. 18), тоже не рассматриваются потери на гистерезис при больших* смещенных циклах. .
Потери на гистерезис пропорциональны петле гистерезисного цикла. В брльшинстве случаев включения трансформатора гистерезисный цикл смещается относительно оси напряженности поля (фиг. 13 и 15). При включении трансформатора в момент, когда напряжение проходит через нуль, магнитный поток, стало быть и ий^укция, достигают удвоенного значения (фиг. 13). При включении трансформатора в момент, когда напря,-жение проходит через максимум, магнитный поток в железе трансформатора за время включения не превзойде*г\нормального значения (фиг. 14), т. е. будет одинаков с тем, который имеет* местр при установившемся режиме. Во всех иных случаях включения трансформатора гистерезисные циклы будут
ь
а> « | -
• '---
//
7 *
1 f- •
ь
>
1 j • |
4 у 1
9
t %
О ОС OS 0« 0» i
9 ) /
7 u |.» и гр'-гг г.* ы
Фиг. 13.
Фиг. 14.
занимать промежуточные положения между т£ми, которые указаны на фиг. 13 и 14, например, — фиг.^ 15. Таким образом максимум индукции при включении трансформатора" будет достигать значения1, в пределах Вн до 2 Вн. Здесь Вн — нормальное значение индукции.
4 С целью установить количественные изменения потерь на гистерезис при больших смещенных^ циклах,мною в электроизмерительной лаборатории Тбмского индустриального, института аппаратом Кежеля для отме-
ценных выше моментов включения заснята петля гистерезиса (фиг. 13, 14 и 15). Размах петли во всех случаях оставался один и тот же. Исследуемый стержень был изготовлей непростого железа.
С помощью планиметра быда найдена площадь: фиг. 13—& = 1,95 см2; фиг. 15 52 = 17 см и фиг. 14—53= 15,1 см. Т. е. при увеличении максимума индукции смещен-ногЬ -цикла * относительно максимума
14500 , п.
симметричного цикла в --= 1,94ра-
" и % 7500
19 5
за (фиг. 13), площадь увеличилась в V —
15,1
= 1,29 рава; при увеличении максимума
10500
индукции смещенного цикла в — = ^ 7600
= 1,4 раза (фиг. 15), площадь увеличи-
17
яась в —■—-=1.125 раза.'Площадь г-исте-15,1
резисного цикла представляет собою потери на гистерезис. Следовательно, можем сделать заключение, что потери гистерезис при одностороннем увеличении индукции возрастают пропорционально 375
. Здесь . Ву — максимальное
! - 11*10 к 7
{0 / /
• 9 у / /
i/ Г /
1 /
— 6 1
4 1
3
2 I
1 1
А 4 * ч 1 * ь к1 а « 3 '
/ 2
- Ц( к К
.10»
Фиг. 15.
значение индукции при установившемся режиме и В — максимальное значение ин-
дукции при неустановившемся режиме.
Действительно, при
-^4 = 1,94
•вУ У~ '
при
/ п \ 0,375 0,375
(1,94) = 1,282
ву
0,375 0>»5
(1,4) = 1,134
— == 1,125. ... -
* ,
Следовательно, первый после включения гистерезисный цикл будет вызывать потери
/ о \ 0,375 » / £> \
( Вг \
Здесь Ру — потери на гистерезис за один цикл при установившемся режиме работы, Ви — максимальное значение индукции первого после включения цикла. Последующие циклы по причине затухания чбудут иметь-меньшее значение максимальной индукции. Наконец, настанет такой - момент, ■когда гистерезисный ' цикл будет, симметричен относительно оси времени. Потери на гистёрезис складываются из- потерь, вызываемых отдельными гистерезисными циклами, следовательно, среднее действующее значение их будет равно
' о ,
Здесь /—число циклов; Рщ — потери на гистерезис за один цикл, равные
1 0,375
" = (28)
Максимальное значение индукции в.каждый данный момент неустановившегося режима состоит из составляющей установившегося режима и переходной составляющей, определяемой моментом включения, т. е.
Bf=By{ 1 + совф*~~в7>)
ч
Здесь Г--время одного цикла, /—число циклов; ф определяет мгновенное значение напряжения при включении и В/— максимальное значение индукции при f цикле. Если допустить, что включение происходит при Cos ф = 1 и подставить ^формулу (29) в форм. (28), то потери на гистерезис за fx циклов будут равны
V / Г Г/ь, ,
I . Р*=РгуУ Jpl + e
п '
df
Здесь Ргу—потери на гистерезис при установившемся режиме; работы и Пусть
Тогда.
1+<Га7/=и.
1 аТ
л du
— df —
(и — 1)аГ
Предположим
U — Z*-.
тогда
du—Az3 dz.
l/--L-FJULou ]/—zG:z4 — Г=»22 -f-
r o-Tf, J u — l V aTfi J z*—l ^
t\f a
z*
Z< — 1
Следовательно ✓
V * aTfx J zt—\ V. &Tfi J \ atfj'
z*
(2*У
dz
Разлагая"
о
z2
%f Следовательно
aз на элементарные дроби, получим Z} &__ А % В . Cz + D
(Z-l)(Z-±l)(2*+l) Z — + l *
V - *ТФ1 J ' «r/i J 1
/ a 77,
/
.Подставляя найдем
2:3 1 1 11 ,H
----lti(z — 1 ) -j--/я (z + 1)--arctg i
3 4 4 V 1 / 2
• #
4 —aTA*U -a7A2U
, Л) +/«[(l+e 7l) +1]
l] -2 3rctg-(l+^ a7"Y + 1,53}.
-а Г/, V.
Полученное выражение потерь на гистерезис^при неустановившемся режиме работы неудобно для пользование Если, пользуясь этой формулой, вычертить кривую, то она получится весьма мало отличающейся от прямой линии. Я не сделаю большой ошибки, если допущу, что^ изменение потерь на гистерезис от момента включения ж до установившегося состояния происходит по прямой линии. Следовательно, для момента включения, когда напряжение проходит через ^уль, эквивалентные потери Ут гистерезис за неустановившийся период, согласно формуле (12), будут^>авны
' Рго = Я^у |/%29.1 -|-б,292 — 1,14.
Здесь 1 определяет потери при* установившемся режиме работы и 1,29 определяет максимальные потери при включении, когда напряжение Проходит через нуль.
* Для случая, когда при включении мгновенное значение индукции достигает 5—1,5 Ву, эквивалентные потери на гистерезис за неустановившийся период буд^т равны
Здесь
Д1в5 == j/71,16.1
1,16
в
в.
0,375%
. 0,375
= (1.5).
Так как появление того или иного случая включения-равновероятно,то эквивалентные потери на гистерезис от момента, включения и до момента установившегося режима работы будут~равны
р.=•/>;,/ ПДШШЖЕ^З!™^ ,,075
Зде<^ 1—определяет потери при включении, когда напряжение прохб-дит через максимум.
.Если включение происходит через каждые 0,02 сек, т. е. за время вклкк чения совершается только один гистерезисный цикл, то потери на гистерезис за время включения будут равны
Следовательно, можно считать, что потер%на гистерезис при установившемся режиме работы трансформатора
= (1,075. 1,15) Ргу (31)
Здесь 1,075 относится к случаю, когда каждое последующее включение происходит при полном исчезновении переходной составляющей,,и 1,15 относится к случаю, когда включение происходит через каждые 0,02 сек.
Общие потери в трансформаторе при неустановившемся режиме работы, с^ласно формуле 13* 27 и 31, будут равны
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ.
.С целью экспериментального подтверждения формулы (32) мною в электромашинной лаборатории Томского индустриального института были проведены следующие опыты. , " * •
Катушка (модель трансформатора) в течение определенного времени работала при неустановившемся режиме, для'которого желательно было определить потери по формуле (32). По бкончании опыта находилась потребляемая катушкой мощность, которая затем«сравнйвалась с подсчитанной по -формуле (32).
Катушка имела следующие данные: сечение стержня 13 см2, толщина листов трансформаторного железа 0,35мм, активное сопротивление — 0,7 мм, число витков 444, кривая намагничения катушки (1) и кривая потребляемой мощности при холостом ходе (2) приведены на фиг. 9. Во время опыта катушка погружалась в трансформаторное масло. С целью уменьшения количества тепла, отдаваемого окружающей среде, бак с маслом изолировался от окружающей ✓среды. х *
За время опыта энергия, поглощаемая катушкой,
М=Ц1*Я + Рф + Рг) (33)
расходуется\на нагревание масла, обмотки, железа, сосуда, в котором помещалась катушка <? маслом, и часть ее уходит в окружающую среду-
В формуле (33) Р — мощность, t—-время в секуадах, / — ток, Я —активное сопротивление обмотки, Р^—потери от токов Фуко и Р?—потери на гистерезис. ♦ ^
Уравнение тецлового баланса имеет следующий вид (л. 9)
Р1~Съ + Ахс' (34)
Здесь т—приращение темпер&турц за время опыта ъер—среднее превышение температуры масла над температурой окружающей среды, С — общая теплоемкость и А —^теплоотдача. Определить общую теплоемкость С и теплоотдачу Л методом "подсчета затруднительно. Для определения указанных величин я поступил следующие образом.
Указанную выше катушку подключил на некоторое время к. сети, с напряжением 230 вольт. За время, когда катушка была подключена к. сети, температура масла повысилась до 36,5°С.
Через 4 часа 30 мин- после отключения катушки температура масла
понизилась на т„6°С, при (
* *
хс/) = -16>5 + 30'5 -18=15,5°С * 2
Здесь 1*8 = в.— температура окружающей среды.
После ртключения катушки от сети, уравнение теплового баланса примет следующий вид
Ст = АхсрЬ > (35)
Подставляя в эту формулу найденное методом подсчета приближенное ватт
значение С =30000-—, найдем
°С
. Сх 30000.6 - ватт *
А —-=--= 0.74——-.
х€рг 15,5.16200 - °с
Теплоемкость С—найдена приближенно. Для. того, что'бы найти более точное^ ее значение, указанная выше катушка была подключена4 к сети с напряжением 230 вольт в течение 10080 секунд. Рабртая при установившемся режиме, катушка потребляла мощность 50 ватт. Температура масла за время опыта поднялась на 14,5°С. Нагрев масла незначителен. Поэтому можно считать—нарастание температуры масла время нагрева происходит по прямой линии Ь весьма малыми потерями тепла ^в окружающую среду.
В таком случае
- Щ 50.10080
- — -- = 0,4 С,
/ • 2С • 2.30000 - %
и более точное значение теплоемкости
• ч
с_Р1 — кхсрЬ_ 50,10080—0,74.8,4:10080 _ 30400 ватт ~~ * 14,6 °С
* Принимаю окончательно € = 30400 А = 0,74 ватт .
Сравнение пбтерь, подсчитанных по формуле (32), с потерями, полученными из опыта, произЛдилось, пользуясь данными трех опытов.
Во всех трех опытах время, когда катушка была, подключена к сети* составляет 75% времени цикла, т. е«%75% времени от одного до другого включений. Время включения в каждом опыте соответствует тому значению, при котором был подсчитан по формуле (11) ток при неустановившемся состоянии. В таком случае уравнение теплового баланса катушки за время опыта выразится , 4
0,75 Р01 = Сх — АхСр? • * (36)
Здесь ¿—-время в течение которого длился опыт, Ра—эквивалентная мощность неустановившегося режима, £—время-от начала опыта до конца измерения температуры масла. Это соответствует моменту* когда температура масла достигает установившегося состояния' •
Периодическое включение катушки производилось с пбмощью машины , постоянного тока, на шкив которой насажено деревянное кЬльцо, 0,75 длины окружности которого покрыто железом.* В первом опыте число оборотов машины «1 — 112,5 об/мин. или в секунду
112,5
= 1,875 об ¡сек. ' 60 60
Следовательно, время включения в первом опыте
* °'75 л >1
и == —0,4 сек.,
во нторода опыте в третьем опыте
¿1
■ 1,87
0,75.60 145
0,75.60 180
= 0,31 сек.,
а
= 0,25 сек.,
Данные опытов сведены в таблицу 3.
а б л и ца 3.
1-й опыт 2-й опыт 3-:г-опыт
28,2 19,4 # 11,8°С
15,7 20,2 ■ 14,ГС
** 17 ч. 27 м. 5 ч. 7 м. 12 ч. ¿Ю м.
п 112,5 об/мин. об/мин. 180 об,ыин.
и 18 ч. 27 м. ' 5 ч. 45 м. 13 ч. 30 м.
28,5 °С 23 °С 26°С
Г '18 ч. 43 м. 6 ч. 5 м. 13 ч. 56 м.
* у * 135 1ба 188
* 12,8 °С 2,8 °С 11,8°С
Т о % 12,5 °С —0,8 —2,4°С
Чр ' 12,65 ГС 1°С 9,4°С
т . 0,3 °С 3,6°С 14,2°С
Ро 19,6 ватта 65,3 ватта 173,5 ватта
Здесь
ЬМн — температура масла в начале опыта; #
$ос —температура окружающей среды; # ^
4 —время начала оцыта;
Л —число оборотов в минуту машины постоянного то^а; —время выключения трансформатора; ' ^мк — температура масла в конце опыта; -
V — время когда масло достигло установившегося состояния;
V —напряжение; •
т'—превышение температуры масла над температурой окружающей среды при установившемся состояний ,
йос;
%0 — превышение температуры масла над температурой окружающей среды в начале опыта
10 = дня — ; /
\
> ♦
г
ср
— среднее превышение температуры масла над температурой окру-
жающей среды
X ср —~
т—приращение температуры масла за время опыта; Р0 — потери, найденные, из опыта
• г'о- -
А х Ср Ь
0,75 Ь
Потери энергии, подсчитанные по формуле (22) и полученные из опыта,
сведены в таблицу № 4. В таблице число включений в секунду п' — — .
ч Мх
Здесь £—число ордиЬат в формуле Симпсона и —расстояние между двумя смежными ординатами, & в каждом опыте берется таким, которое было взято при пользовании формулой Симпсона, Ржу взято по кривой 2 (фиг. 9), Рп—потери подсчитанные по формуле (32), и Р0—потери, полученные из ошыта. ,
Табллца 4. »
Первый опыт 7=135 , Второй опыт 7= 168 Третий опыт 7=188
Вщ 105Й0 1300*) 14600 -
п' 3,22 4,0
Л 10,0 10,0 10,4
«т Ржу 19 ватт 35 ватт 50 ватт
Рф 2,1 ватта 3,9 ватта 5,6 ватта
Рг 18,0 ватта 33,5 ватта 47,8 ватта
Рм 3,2 28 ватт ч 115 ватт
Рп • 23,3 ватта 65,4 168,4
Ро 19,6 65,3 ватта 173,5 ватта
Я 0,7 , 0,7
Из таблицы 4 ясно, что увеличение потерь при неустановившемся режиме происходит главным образом за счет потерь в меди. .Они тем больше, чем больше насыщение железа трансформатора и число ^ключейий" в секунду. Для сравнения потерь при различим числе включемй в секунду и при напряжении 1/=168 вольт составлена, пользуюсь формулами (13), (27) у. (31), таблица 5. В ней прй подсчете медных потерь, нагрузочный ток не учтен.
Таблица 5.
п' Рм • Рг Рф Ржу Рм Ржу
* щ ■ Ш
0 3,2 31,1 3,9 35 0,09
4 28 33,5 3,9 35 0,8
50 204 25,8 4,1 35 / ' 5,85
Если включение трансформатора происходит при коротком замыкании, то переходные составляющие тока в. обмотках могут быть выражены сле-
дующими уравнениями
и = —
/и- ;
I
Тн
1е
+ 1е
(37а)
(37Ь)
г ■" ^ 1 *
Здесь У — ток нагрузки, У^— цацетнЬниваю.щий ток, е-т^ основание натуральных логарифмов, I — время, Гл—постоянная времени главного потока и '/¿^постоянная времени Л|токаг рассеяния/ .
Намагничивающий ток покрывается как это видно из уфдвнений (37), обоими обмотками в одинаковой мере, в то время как намагничивающий ток установившегося > состояния покрывается, как -известно, лишь с, первичной стороны. * I
Переходная составляющая тока во вторичной обмотке достигает, ко-, нечнр, лишь половинной высоты намагничивающего тока, соответствующего накладывающему переходному потоку. Если , поэтому во вторичной обмотке следует ожидать л род»' удвоенного значений тока короткого замыкания, то в яервичной обмотке, если рассеяние. не очень мало, моГут иметь место^ более высоте толчки токд.
Если обра^ить^я к формулеч (2^а), то увидим, что - намагничивающая составляющая будет тем меньше,- ^ем больше активное сопротивление цепи. Так как при включении св^ро^ного^ трансформатор^ под нагрузкой активное сопротивление вторичной цепи большое, то адожна считать с достаточной для практики точностью, что и ^|томч случае намагничение трансформатора происходит только с первичной стороны- В таком случае, дчйтая ток вторичной обмотки совпадающим с. напряжением,« результирующий ток первичной обмотки будет
4 0
Здесь. У'«*— максимальное значение приведенного в5Р|ич^ого тока, ф— определяет мгновенное значение тока при включении. Так как постоянная времени рассеяния —малая величина, то можно считать, что
• * • ' <38>
; I
Здесь /2; — приведённое значений вторичного тока. В таком случае потери в трансформаторе при неустановившемся режиме будут равны %
%
\ 9000 /
+ Я,/22 + + (1,0751.15) Ржу (39)
^ /
Здесь /?2 — сопротивление вторичной обмотки и У2 — ток вторичной обмотки.
Формула (39) позволяет произвести подсчет потерь в трансформаторе для любого случая включения и для любого значения индукции. Следовательно, с помощью этой формулы «можно произвести более совершенный расчет трансформатора получить большую мощность при одних и тех •ж£ затратах.
8месте! с этим необходймо отметить то обстоятельство, что лучшее использование сварочного трансформатора' бу;шт в том случае, когда ин-Дкция' будет небольшая. Подробно на этом вопросе останавливаться *не буду, гак как этот. вопрос и^ ряд других, связанных с ним, «предполагаю разрешить в следующей работе.
Л
Список* литературы.
и
1. ETZ. 1928, S. 1847. \ у ш • W « ' •
2. F. Oll ejido г ff- Aie. ß XXI, 1928, Ö7XXII.-1929, S. .349 и В. XXÏII. Í929; S. 162. 3rSumшeirs GER. Voll. 36, >M. 1933, P. 182.. , /'.
4. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. И, Стр. 92. 1
5. Г. Н. Петров, Трансформаторы, т. I,, стр. 223.
6. А. Крылов. Лекции о приближенном вычислений, стр. 78^
7. Р. О. Кузьмин. Бесселевы функции, стр.(60. , ^
8. В. И. Смирнов. Курс высшей-математики, т. I, стр. 268. . 9.,В. К Попов. Применение электродвигателей в промышленности, ч. I, стр. 65*
10. р. Рюденберг. Явления неустановившегося режйма в электрических установках," 4 стр. 65. , 4- ■ ' / • ' ' " ' v
11. к. А. Круг. Основы электротехнику, т. I, стр. 512. 1 4
12. Г. Н. Петров. Трансформаторы* f. Г, стр. 180. •,• t \
13. И Бирмане, Сверхтош в установках высокого на!ряженйя, стр. 36. > \
14. И. Б^ рм а нс Сверхтоки в установках высокого напряжения,, стр!,4®.
15. В. И. Смирнов. Курс высшей математики/т. Í, стр. 146. < '
16. И. Бирмане. Сверхтоки в установках высокого напряженйя, стр. 46.
17. JD Ball. Transactions5AIEE p. 2693, 1945. # :
18. В. K. A p ка дьев. Электшмагнитные процессы и металадх, 1935.
19. В. К. Попов. Примене^А электродвигателей ' в промышленности. Часть J, стр. 33.
V
I
- }
ч •
ь
