CC BY
82018
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Информатика. Механика
Вып. 1 (40)
УДК 519.2
Построение спектральной плотности решения линейного стохастического дифференциального уравнения в частных производных с постоянными запаздываниями
И. Е. Полосков
Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г.Пермь, ул.Букирева, 15 [email protected]; тел. (342) 239-65-60
Данная работа посвящена распространению схемы Гийюзика (Б.СиШоигш), предложенной для вычисления спектральной плотности решения линейного стохастического дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами и запаздыванием, на новое семейство уравнений - стохастические эволюционные дифференциальные уравнения в частных производных с несколькими постоянными запаздываниями. Задача исследования состояла в построении спектральной плотности стационарного случайного поля - решения гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами и случайным входом.
Ключевые слова: спектральная плотность; стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных; запаздывание; стационарное случайное поле; условие существования спектральной плотности.
Б01: 10.17072/1993-0550-2018-1-36-45
Введение
В последние десятилетия детерминированные и стохастические обыкновенные функционально-дифференциальные уравнения (ДОФДУ, СОФДУ, СОДУ) и их частные формы, такие как обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздыванием (ДОДУсЗ, СОДУсЗ), дифференциальные уравнения нейтрального типа (ОДУНТ, СО-ДУНТ), интегро-дифференциальные уравнения (ОИДУ, СОЙДУ) и их различные сочетания [1-7] стали важнейшим классом мо-
© Полосков И. Е., 2018
дел ей, призванных учесть влияние последействия на динамику различных систем. Такие уравнения используются для описания процессов в наследственной механике (бетон, полимеры, древесина, лед, горные породы), аэроавтоупругость, электроника, радиотехника, радиофизика, теплопередача, робототехника и нейродинамика; для изучения действия лекарственных средств, циклов в судостроительной промышленности, функционирования следящих приводов, ги-стерезисных систем, воздействия гидравлических ударов на устойчивость турбин и т.д.
Основными вероятностными характеристиками векторов состояний стохастических
систем с сосредоточенными параметрами с запаздываниями или без них являются плотности вероятности, зависящие от пространственных и временных координат. К сожалению, в настоящее время невозможно получить точные аналитические представления таких функций для векторов состояния произвольных систем СОДУ и СОДУсЗ. В ряде случаев мы можем ограничиться вычислением стационарных плотностей вероятности, если таковые существуют. Анализ систем существенно упрощается, когда эти системы могут быть описаны линейным СОДУ с постоянными коэффициентами и аддитивными флуктуациями [8,9]. Такое упрощение является следствием того, что в этом случае стационарными плотностями будут одномерные или многомерные гауссовские распределения, параметризованные векторами математических ожиданий и матрицами ко-вариаций соответствующего порядка.
В последние годы большая группа исследователей обратилась к математическим моделям в виде функционально-дифференциальных уравнений в частных производных (ФДУвЧП) с целью более полного и качественного исследования явлений природы и общества. Классификация ФДУвЧП, в основном, похожа на типологию для ОФДУ. Но эта типология имеет свою специфику, связанную с наличием нескольких аргументов с отклонениями у неизвестных функций.
С другой стороны, интенсивное изучение стохастических дифференциальных уравнений с частными производными [10] началось сравнительно недавно. Причины этого состоят в том, что эти уравнения используются при моделировании физических явлений, процессов в популяционной биологии и финансах [11], при решении проблем фильтрации [12] и т.д.
Наконец, современным этапом развития теории дифференциальных уравнений является разработка теоретического аппарата и методов решения стохастических функционально-дифференциальных уравнений в частных производных (СДУвЧП) в различных формах. Эти уравнения используются как математические модели в физике (тепловая диффузия в материалах, функционирование линий передачи для различных целей), ма-
шиностроении, теории управления, экономике, теории управления, теории устойчивости, вязкоупругости, колебаний в случайной среде [13-19] и др.
Из-за особой сложности анализа подобных уравнений особый интерес представляют редкие модели, форма которых позволяет получить точные вероятностные характеристики соответствующих векторных случайных полей состояния.
Ряд простых проблем для СОДУ с одним постоянным запаздыванием был решен С. Гийюзиком, Т.Д. Франком и У. Кюхлером [20-27]. В частности, С. Гийюзик предложил интересную и очень полезную схему расчета ковариационных функций и спектральных плотностей в установившемся состоянии, а также параметров одномерных стационарных гауссовских распределений. Кроме того, Т.Д. Франк использовал эту схему для получения двухточечной плотности вероятности искомого решения в моменты времени, разделенные запаздыванием.
В этой статье мы распространяем схему С. Гийюзика на новый класс моделей и применяем ее для анализа стационарных колебаний в системе, описываемой линейным гиперболическим СДУвЧП с двумя постоянными запаздываниями, а возмущение представлено стационарным шумом, дифференцируемым в среднем квадратичном.
1. Постановка задачи
Рассмотрим следующее уравнение:
д 2 и (ж,*) д*2
+
ди(ж,*) ди(ж,* - п) + 2 «1 ( ' ) + 2 а-^-^+
+ в1 и (ж,*) + в2 и (ж,* - Т2) = д 2 и (ж,*)
= 7"
дж2
+ ао V(ж,*), (1.1)
где * - время (* ^ 0), 7"1, Т2 - постоянные положительные запаздывания, {и(ж, *), ж € М, * ^ 0} - случайное поле с неизвестными вероятностными характеристиками, {V(ж, *), ж € М, * ^ 0} - стационарное поле с известной пространственно-временной ковариационной функцией {Суу(ж,^), ж, £ € М} и спектральной плотностью {5уу (^1 ,^2),
€ К}, связанными формулами Вине-ра-Хинчина [28]:
5уу (^1,^2) =
1
„-■¿(^101+^202) у
/ \ о I I е У
(2п)2 У^к
хСуу (01,02) ¿01 ¿02, (1.2)
Суу (01,02 )= / / Л ./К
¿(Ш101+Ш202) •
х5уу (ш1,ш2) , (1.3)
г - мнимая единица, а1 > 0 а2, в1 > 0 в2) 7 > 0 сто > 0 - постоянные, К = (-то,
Предположим, что и (ж, ¿) - случайное поле второго порядка, дважды дифференцируемое по ж и £ в среднеквадратичном. Целью исследования является построение спектральной плотности поля и (ж, £), определяющего состояние исследуемой системы и являющееся решением уравнения (1.1).
2. Решение задачи
Запишем уравнение (1.1) в переменных ж = Ж1, £ = £1 и ж = ж2, £ = ¿2:
д2и (ж1, ¿1)
д*2
-+
+ 2 а1 + 2 а2 ди ^ - Т1) +
+ в1 и (ж1, ¿1)+ в2 и (ж1, ¿1 - Т2) =
= 7
д2и (ж1 ,¿1) дж2
+ сто V(ж1 ,¿1), (2.1)
+
д2и (ж2, ¿2 )
ди(ж2,¿2) |0 ди(ж2,¿2 - Т1)
+ 2 а1 ---г 2 а2 -777--I"
»¿2 »¿2
+ в1 и(ж2, ¿2) + в2 и(ж2, ¿2 - Т2) = д2и (ж2 ,¿2)
+ 2 дтц (ж1, ¿1) + 2 дтц (ж1 ,¿1 - Т1) +
I 2 ^^ 1 <—>. I 2 о 1 +
д^1
+ в1 тц(ж1 ,¿1) + в2 тц(жь^ - Т2) = д2тц (ж1 ,¿1) , ,,
= 7--) + сто ту (жь^), (2.3)
дж1
д2 тц (ж2, ¿2)
д*2
+
дтц(ж2,^) , „ дтц(ж2,¿2 - Т1)
+ 2 а1 -о!--г 2 а2 -777--Н
дÍ2 дÍ2
+ в1 тц(ж2, ¿2) + в2 тц(ж2, ¿2 - Т2) =
д2тц(ж2, ¿2) . , п /„.V
■ + сто ту (ж2, ¿2), (2.4)
7'
дж2
В уравнениях (2.3) и (2.4) для функций математического ожидания использованы обозначения:
тц (ж^) = (и (ж^)), ту (ж^) = (V (ж^)),
где (...) - символ усреднения.
Если теперь вычесть уравнение (2.3) из уравнения (2.1) и (2.4) из уравнения (2.2), умножить результаты на и(ж2,^2) -тц(ж2^2) и V(ж1, - ту(ж^^) соответственно, а затем дополнительно усреднить их, то получим:
д2 Сцц (ж1, ¿1, ж2, ¿2) дí2
+
дСцц (ж1, ¿1, ж2, ¿2 ) ,
+ 2 а1 -Т77--+
д^
дСцц(ж1 ,¿1 - Т1,ж2,¿2),
+ 2 а2-^г-+
+ в1 Сцц (ж1, ¿1 ,ж2 ,¿2) +
+ в2 Сцц(жь^ - Т2, ж2, ¿2) =
= д2Сцц(ж1, ¿1 ,ж2,¿2) + = 7 дж2 +
+ сто Суц (ж1, ¿1, ж2, ¿2), (2.5)
7'
дж2
+ сто V(ж2,¿2), (2.2) д2Суц(ж1, ¿1, ж2, ¿2)
д^2
+
и усредним левые и правые стороны уравнений (2.1) и (2.2) во всему пространству состояний. Тогда получим следующие уравнения:
д2тц (ж1, ¿1) дí2
+
дСуц(ж1, ¿1, ж2,¿2) ,
+ 2 а1 -777--+
дÍ2
дСуц(жь^ ,ж2,¿2 - Т1)
+ 2 а2 -777--+
дÍ2
+ в1 Суц (ж1, ¿1, ж2, ¿2 ) + + в2 Суц(ж1, ¿1, ж2 ,¿2 - Т2) =
7
д 2Суи (ж1 ,*1,ж2 ,*2)
дж2
+
+ Сто Суу (ж1,*1 ,ж2,*2), (2-6)
где
Сии (ж1 ,*1,ж2 ,*2) = = ({и(ж1 ,*1) - ти(ж1,*1)} х
х {и(ж2,*2) - ти(ж2,*2)}), Суи (ж1,*1,ж2,*2 ) = = ({V(ж1 ,*1) - ту(ж1,*1)} х
х {и(ж2,*2) - ти(ж2,*2)}), Суу (ж1 ,*1,ж2 ,*2) = = ({V(ж1 ,*1) - ту(ж1,*1)} х
х {V(ж2,*2) - ту(ж2,*2)}).
Предположим, что после завершения переходного процесса исследуемая система пришла в стационарное состояние, а случайное поле и (ж, *) стало стационарным пространственно-временным в широком смысле. Тогда уравнения (2.5), (2.6) примут следующий вид:
д2Сии (£,0) 0 дСии (£,0) - 2 «1
д02 - 2 а
д0
дСии (е,0+п) д0
+ в1 Сии (£,0)+
+ в2 Сии(£,0 + Т2) = 7
д 2Сии (£,0)
+
д£2
+ ао Суи (£,0), (2.7)
д2Суи (£,0) + 2 д Суц (£,0) + + 2 «1-—--Ь
д02
д0
+ 2 «2 дСуи(|00 - Т1) + в1 Суи(£,0)+
+ в2 Суи (£,0 - Т2)= 7^^^ +
+ ао Суу (£,0), (2.8)
где £ = ж2 - жь 0 = *2 -
Пусть У (ж, *) и ^ (ж, *) - дважды дифференцируемые по ж и £ в среднеквадратичном, стационарные в широком смысле пространственно-временные случайные поля второго порядка с известными ковариационными функциями и спектральными
плотностями. Тогда справедливы следующие соотношения:
(^1,^2) =
1
3-г(шх £+^20)
(2п)1 JМJМ
х Су^(£,0) ¿£¿0, (2.9)
е±<Ш2Т (^1,^2) =
(2п)2
е-г(шх£+^20) х
МЛ
х Су^(£,0 ± Т) ¿£¿0, (2.10)
(г ^)2 (^1 ,^2) =
1
(2п)2
3-г(шх £+^20)
ММ
дг Су^ (£,0)
д£2
¿£¿0, (2.11)
(г с^Г (^1,^2) =
(2п)2
3-г(шх £+^20)
дг Су^ (£,0) д0г
¿£¿0, (2.12)
для г = 1, 2.
Воспользовавшись соотношениями (2.9)-(2.12), перейдем в уравнениях (2.7), (2.8) от ковариационных функций к спектральным плотностям:
- (^1,^2) - 2 г «1 ^2 (^1,^2)-
- 2 г а ^2 е™2Т1 И,^)+ + в1 ^ии (^1,^2) + в2 е^2Т2 (^1,^2) = = -7^2 (^1,^2)+ ао 5уи (^1,^2),
- (^1,^2) + 2 г а ^2 5уи (^1,^2)+
+ 2 г а ^2 е-^2Т1 5уи (^, + в1 5уи(^1 + в2 е-™ 5уи(^1,^2) = = -7^2 5уи (^1,^2)+ ао 5уу (^1,^2),
или
^1(^1 ,^2) (^1,^2) = ао 5уи (^1,^2), ^2(^1 ,^2) 5уи (^1,^2) = ао 5уу (^1,^2),
1
х
X
М
где
Qi(wi,w2) = - 2 i w (ai + a2 eiW2T1) +
+ в1 + в2 eiW2T2 + 7^2, Q2(wi,W2) = —+ 2i w (ai + a2 e-™) + + ei + в2 e-™ + 7^2-
Отсюда получаем, что
Suu (Wi,W2) =
0"n
Q(Wi,W2)
Syy(wi,w2), (2.13)
где
Q(Wi,W2)= Qi(Wi,W2) Q2(wi, W2) =
= [y^2 — + 2 a2 w2 sin w2ri +
+ei + в2 cos W2T^2 +
+ [ — 2 W2 (ai + a2 cos W2T1) + ^2 sin W2T2] 2
= H(W!,W2) + H|(Wi,W2).
Заметим, что Suu(wi,W2) > 0 для всех, Hi и H2 являются четной и нечетной функциями относительно Wi и W2 соответственно, а следовательно, H2 и H|, как и Suu(w 1,w2) в целом, - четными функциями, что согласуется с общими свойствами спектральных плотностей. Поэтому структуру спектральной плотности можно рассматривать только для w i ^ 0и W2 ^ 0. Одним из необходимых условий существования спектральной плотности (2.13) является интегрируемость этой функции на множестве {(w i, W2) | — го < w i, W2 <
Рассмотрим ситуацию с особенностями правой части соотношения (2.13). Эти особенности совпадают с нулями функции q(w 1,w2) или, что то же самое, с нулями функций Hi(w i, W2) и h2(w i,W2)• Если искать точки бесконечных разрывов, то простейшая точка локального минимума q(w1,w2) совпадает с точкой Po(0,0), где Hi(0,0) = в1 + в2 и H2(0,0) = 0. Поэтому, если в1 + в2 = 0, то Q(0, 0) = 0. Вторая подобная точка на оси Owi будет отсутствовать, если будет выполнено неравенство
(в1 + в2)/7> 0/
Рассмотрим еще один частный случай, а именно, ограничимся поиском условия необращения в нуль функции H2. Вследствие того, что
—H2 = 2 a1 w2 + 2 a2 w2 cos w2 т1 — в2 sin w2 т2,
то из истинности неравенства 2 (ai — |a2|) > |в21 т2 следует, что H2 < 0 и q(w1,w2) = 0 для всех w2.
Если существуют другие возможные особенности, то их положения трансцендентно зависят от коэффициентов уравнения (1.1) и не могут быть найдены в общем случае. Но некоторые вспомогательные инструменты анализа можно получить. Для этого, предполагая, что a1 + a2 cos w2 т1 = 0, разрешим уравнение H2 = 0 относительно переменной W2, не входящей в аргументы синуса и косинуса:
W2
в2 sin W2 Т2
(2.14)
2 (a1 + a2 cos w2 т1)' Далее, из уравнении Hi = 0 находим, что
1
2 = — — 2 a2 w2 sin w2t1 —
7
—в1 — в2 COS W2T2) .
Подставим в правую часть последнего равенства соотношение для W2 из (2.14), что после приведения к общему знаменателю и преобразований дает следующее выражение для w2:
w2
1
4 7 (a1 + a2 cos w2 т1) x — 4ei {2 a2 + a2+ + 4 a1 a2 cos w2 t1 + a2 cos 2 w2 ti } — — в2 {8 ai cos w2 т2 + 4 a2 cos w2 т2+ + в2 cos 2 W2 T2 + 12 ai a2 cos W2 (Т2 — Ti) + + 4 a2 cos W2 (t2 — 2 Ti) + + 4 ai a2 cos W2 (ti + T2)} ]. (2.15)
Для отсутствия действительных wi, а следовательно, и вещественных корней уравнений H1 = 0 H2 = 0, с учетом y > 0 a1 > 0 и ai > |a21 требуется, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части соотношения (2.15) было отрицательным при любом w2 и заданных ai, a2, вь в2 7> ть т2.
3. Пример
Вследствие симметрии спектральной плотности относительно плоскостей wi = 0 и
<2 = 0 на рисунках в этой секции поверхности (<1 ,<2) показаны лишь для < ^ 0 и <2 ^ 0. Линии же уровня приведены полностью.
Основная группа значений параметров, которые использовались при визуализации спектральных плотностей, состояла из следующих величин:
ах =0,5; в =4,0; 7 = 0,1;
Т1 = 1,0; ао = 1,0.
Изменения в значениях трех параметров ме-
нялись, что можно зафиксировать как следующие варианты:
(a) а = -0,1; в2 = -1,0
(b) а = -0,3; в2 = -2,0
(c) а2 = -0,3; в2 = -1,0
Т2 =0,5; Т2 =0,5; Т2 = 1,0.
Рис. 1-6 демонстрируют вид поверхностей и отвечающих им линий уровня спектральных плотностей для вариантов (а), (Ь) и (с) соответственно.
Рис. 1
Заключение
В статье представлена модификация схемы С.Гийюзика расчета стационарных вероятностных характеристик линейных стохастических систем с одним постоянным запаздыванием. Данная модификация распространяет схему С. Гийюзика на новый класс систем, а именно, на новый класс стохастических систем с распределенными параметрами. Несмотря на то, что рассматривается только частный случай гиперболических уравнений, его легко перенести на более сложные отдельные линейные эволюционные СДУвЧПсЗ и на системы таких уравнений.
Список литературы
1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.
2. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.
3. Рубаник В.П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Мн.: Изд-во "Университетское", 1985. 143 с.
4. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига: Зинатне, 1989. 421 с.
5. Эльсгольц Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.
6. Boukas El-K., Liu Zi-K. Deterministic and stochastic time delay systems. Boston: Birk-hauser, 2002. XVI, 423 p.
-2
-4
- 6
-10 - 8
- 2 0
Рис. 2
Рис. 3
7. Driver R.D. Ordinary and delay differential equations. New York, Heidelberg, Berlin: Springer, 1977. IX, 501 p.
8. Маланин В.В., Полосков И.Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах: учеб. пособие. Ижевск: РХД, 2005. 296 с.
9. Полосков И.Е. Стохастический анализ динамических систем [Электронный ресурс]: монография. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2016. 772 с.
10. Garrido T.G. Existence and uniqueness of so-
lutions for non-linear stochastic partial differential equations // Collectanea Mathematica. 1991. Vol. 42, № 1. P. 51-74.
11. Chow P.-L. Stochastic partial differential equations. Boca Raton (FL): Chapman & Hall / CRC, 2015. XII, 314 p.
12. Mandrekar V.S., Gawarecki L. Stochastic analysis for Gaussian random processes and fields with applications. Boca Raton (FL): Chapman & Hall / CRC, 2016. XXI, [1], 179 p.
13. Caraballo T., Real JTaniguchi T. The exponential stability of neutral stochastic delay
6
5
4
3
2
0
-1
-3
-5
6
4
2
4
6
8
10
-2
-4
- 61-
-10 - 8
- 2 0
Рис. 4
6 8 10
0.25
Phc. 5
partial differential equations // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Ser. A. 2007. Vol. 18, № 2-3. P. 295-313.
14. Chang M.-H. Weak infinitesimal generator for a stochastic partial differential equation with time delay // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 1995. Vol.8, № 2. P. 115-138.
15. Galtier M. Touboul J. On an explicit representation of the solution of linear stochastic partial differential equations with delays // Comptes Rendus Mathematique. 2012. Vol.
350, № 3-4. P. 167-172.
16. Jahanipur R. Stochastic functional evolution equations with monotone nonlinearity: Existence and stability of the mild solutions // Journal of Differential Equations. 2010. Vol. 248, № 5. P. 12301255.
17. Liu KTruman A. Lyapunov function approaches and asymptotic stability of stochastic evolution equations in Hilbert spaces - A survey of recent developments // Stochastic partial differential equations and applications / G. Da Prato, L.Tubaro (eds.). New York:
6
5
4
2
0
-1
- 3
6
4
2
4
Marcel Dekker, 2002. P. 337-372.
18. Luo Q., Deng F., Bao J. Zhao B. Sliding mode control of a class of Ito type distributed parameter systems with delay // Acta Mathe-matica Scientia. 2007. Vol. 27B, № 1. P. 67-76.
19. Pan L., Zhong S. Dynamic analysis of stochastic reaction-diffusion Cohen-Grossberg neural networks with delays // Advances in Difference Equations. 2009. Vol. 2009. Article ID 410823. 18 p.
20. Frank T.D., Beek P.J. Stationary solutions of linear stochastic delay differential equations: Applications to biological systems // Physical Review. 2001. Vol. E64, № 2. P. 1:021917. 12 p.
21. Frank T.D. Multivariate Markov processes for stochastic systems with delays: Application to the stochastic Gompertz model with delay // Physical Review. 2002. V0I.E66, № 1. P. 1:011914. 8 p.
22. Frank T.D. Stationary distributions of stochastic processes described by a linear neutral delay differential equation // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2005. Vol. 38, № 28. P. L485-L490.
23. Frank T.D. Delay Fokker-Planck equations, Novikov's theorem, and Boltzmann distributi-
ons as small delay approximations // Physical Review. 2005. Vol.E72, № 1. P.l:011112. 8 p.
24. Guillouzic S., L'Heureux I., Longtin A. Small delay approximation of stochastic differential delay equations // Physical Review. 1999. Vol.E59, № 4. P. 3970-3982.
25. Guillouzic S., L'Heureux I., Longtin A. Rate processes in a stochastically driven delayed overdamped // Physical Review. 2000. V0I.E6I, № 5. P. 4906-4914.
26. Guillouzic S. Fokker-Planck approach to stochastic delay differential equations. Thesis ... Doctor of Philosophy. Ottawa: University of Ottawa, 2000. 200 p.
27. Kiichler U., Mensch B. Langevin's stochastic differential equation extended by a time-delayed term // Stochastics and Stochastic Reports. 1992. Vol.40, № 1-2. P. 23-42.
28. VanMarcke E. Random fields: Analysis and synthesis. Cambridge: MIT Press, 1983. 382 p. (Web Edition by Rare Book Services, Princeton (NJ): Princeton University Press, 1998).
Derivation of the spectral density function for solution of linear stochastic partial differential equation with constant delays
I. E. Poloskov
Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia [email protected]; (342) 239 65 60
This paper is devoted to extension of the scheme of S. Guillouzic, proposed to calculate the spectral density functions for solutions of linear stochastic differential equations of the first order with constant coefficients and one fixed delay, to a new family of equations, i.e. stochastic evolutionary partial differential equations with few constant delays. The aim of our study was to construct the spectral density function of a stationary random field as the solution of hyperbolic equation with fixed coefficients and with random input.
Keywords: spectral density function; stochastic partial differential equation; delay; stationary random field; condition of existence for spectral density function.
